高等数学函数的概念及性质

机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 , 指数函数 y ex , x (, ) 对数函数
2 y=3x2-x3,
定义域为x R,
f -x =3x2 +x3 - f x f x, f x =3x2 -x3为非奇非偶函数.
(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). y
x axb
称为开区间，记为 a, b, 即
( a , b ) x a x b , a 和 b 称为
区间的端点。
开
闭区间：数集 x a x b 称为闭区间，即
[ a , b ] x a x b,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似地有 a , b ] x a<x b , a , b x a x<b ,
说明: 还可定义有上界、有下界、无界
(2) 单调性
x1, x,2 f (Ix,)当x1M ,x2称时为, 有上界
y
若
f
(x1) ,
f( M
x2
) f
, 称 f (x) 为 I 上的 (单x)调, 称增函为数有下; 界
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域
.
解:
f
(
1 2
)

2
1 2

2
f
(
1 t
)

11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义
值 域 f (D) [0, )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习 习题1.1 题1：（3）、（6）
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Hale Waihona Puke Baidu
例1. 已知函数
y

f
(x)

2 1
x, x,
0 x 1 x 1
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
记
ch x 双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如, y f (x) ex ex 2
y
ex
ex
奇函数
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y
sh x ch x

ex ex
3 y tan x 1,
x 1 k , x k 1k z,
2
2
tan

x
1 定义域为 x

x


2
+k
-1,k

z.
6 y=
5x-x2
lg
,
4
由题意，y要有意义，必须满足
l5gx45-xx24-x>20,
称为半开半闭区间。 无限区间
点的 邻域
(
)
a a a
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
1.1.2 函数的概念
定义1.1.1. 设数集 D R , 则称映射
为定义在
D 上的函数 , 记为 y f (x), x D
0

0<x<5, 1 x 4
1
x

4.

定义域为x 1 x 4.
1.1.3. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
定义域
因变量
自变量
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x D f y f (D) y y f (x), xD
(定义域)
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第1节
第一章
1.1 函数
1.1.1 区间和邻域 1.1.2 函数的概念 1.1.3函数的几种特性 1.1.4 反函数与复合函数 1.1.5 初等函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.1.1 区间和邻域
开区间：设 a 和 b 都是实数，且 a b, 则数集

ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习 1.1 题5.
51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
则称 f ( x ) 无界单.调减函数 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 ,则当 x o x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
2 o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C 狄里克雷函数
1, x 为有理数 0, x 为无理数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.1.4. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1为 f 的反函数 . 习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D) 性质: 1) y＝f (x) 单调递增(减) 其反函数 且也单调递增 (减) .