高三数学精准培优专题练习15：平行垂直关系的证明

培优点十五 平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点．求证：（1）EG ∥平面11BB D D ；（2）平面BDF ∥平面11B D H ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ，因为1112OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ．（2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ， 因为1BH D F ∥，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，1=2AA ．（1）求证：1B C ∥平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ．在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ．（2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥，又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥．∵1=AA AC A ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥ ∵=2AC ，∴=1AM ．又∵1=2AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △中，11tan tan 2AC C A MA ∠==，∴11AC C A MA ∠∠＝，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11A M AC ⊥∵1BM A M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．（3）解：当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，∴1DM CC ∥，且112DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =， ∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ⊂平面1AC N ，∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．一、单选题1．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中：对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m n ，分别为11A C BD ，，对点增分集训满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为111A D AD ，，m n ，分别为111A C BD ，，满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥， 该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC BD ，，m n ，分别为11AC BD ，，满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ， 1m 、1n 分别为11A D AD ，，m 、n 分别为11A C BC ，，满足1m 与1n 平行，但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D 选项．2．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥【答案】D【解析】对于选项A ，若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l 不一定垂直平面α，∵m 有可能和n 平行，∴该选项错误；对于选项B ，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α、β可能相交或平行，∴该选项错误；对于选项C ，若m m n α⊥⊥，，则n 有可能在平面α内，∴该选项错误；对于选项D ，由于两平行线中有一条垂直平面α，则另一条也垂直平面α，∴该选项正确，故答案为D ．3．给出下列四种说法：①若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ∥；②若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ∥；③若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β∥；④若直线a α∥，a β∥，则αβ∥．其中正确说法的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D 【解析】若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ，可异面；若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线； 若直线a α∥，a β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线；若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β与无交点，即a β∥；故选D ．4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1）m α⊂，n α⊂，m β∥，n βαβ⇒∥∥（2）n m ∥，n m αα⊥⇒⊥（3）αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥（4）m α⊥，m n n α⊥⇒∥A ．0个B ．1个C ．2个D ．3 【答案】B【解析】由m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，若a b ，相交，则可得αβ∥，若a b ∥，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m n ∥，n α⊥根据线面垂直的第二判定定理可得m α⊥，故（2）正确；若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥或m n ，异面，故（3）错误；若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故（4）错误；故选B ．5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是1111C D BC A D ，，的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．MN AP ∥B ．1MN BD ∥C ．11MN BBD D ∥平面D ．MN BDP ∥平面【答案】C【解析】A ：MN 和AP 是异面直线，故选项不正确；B ：MN 和1BD 是异面直线，故选项不正确；C ：记AC BD O =I ．∵正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别11C D BC ，是的中点，∴1ON D M CD ∥∥，112ON D M CD ==，∴1MNOD 为平行四边形，∴1MN OD ∥， ∵MN ⊄平面1BD D ，1OD ⊂平面1BD D ，∴MN ∥平面1BD D ．D ：由C 知11MN BB D D ∥平面，而面11BB D D 和面BDP 相交，故选项不正确；故选C ．6．已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若αβ，垂直于同一平面，则αβ与平行B ．若m n ，平行于同一平面，则m n 与平行C ．若αβ，不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m n ，不平行，则m n 与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确； D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D 正确．故选D ．7．已知m n ，是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥；②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；③若m n m n αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，则αβ∥．其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④【答案】D【解析】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥，命题正确；②如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβγ，，分别为平面1111ABB A ADD A ABCD ，，，满足αγβγ⊥⊥，，但是不满足αβ∥，命题错误；③如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβ，分别为平面1111ABB A ADD A ，， 直线m n ，分别为11BB DD ，，满足m n m n αβ⊂⊂，，∥，但是不满足αβ∥，命题错误；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，由面面平行的性质定理易知αβ∥，命题正确；综上可得，真命题是①和④，本题选择D 选项．8．如图，正方体的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E F ，，且2EF =；则下列结论错误的是（ ）．A ．BD CE ⊥B ．EF ABCD ∥平面C ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF △的面积与CEF △的面积相等 【答案】D【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11A ACC ，而CE ⊂平面11A ACC ，故BD CE ⊥，故A 正确．又11A C ∥平面ABCD ，因此EF ∥平面ABCD ，故B 正确．当EF 变化时，三角形CEF 的面积不变，点B 到平面CEF 的距离就是B 到平面11A CCC 的距离，它是一个定值，故三棱锥E FBC -的体积为定值（此时可看成三棱锥B CEF -的体积），故C 正确．在正方体中，点B 到EF 的距离为62，而C 到EF 的距离为1，D 是错误的，故选D ． 9．如图所示，AB 是圆O 的直径，VA 垂直于圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A B ，的任意一点，M N ，分别为VA VC ，的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN AB ∥B ．MN 与BC 所成的角为45︒ C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC【答案】D【解析】对于A 项，MN 与AB 异面，故A 项错；对于B 项，可证BC ⊥平面VAC ，故BC MN ⊥，∴所成的角为90︒，因此B 项错； 对于C 项，OC 与AC 不垂直，∴OC 不可能垂直平面VAC ，故C 项错；对于D 项，由于BC AC ⊥，VA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴VA BC ⊥，∵=AC VA A I ，∴BC ⊥平面VAC ，BC ⊂平面VBC ，∴平面VAC ⊥平面VBC ，故选D ．10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1ABE 【答案】C【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，∴B 错； 对于C 项，∵AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确；对于D 项，∵11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11A C ∥平面1AB E 不正确，∴D 项不正确；故选C ．11．设E F ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且21AB EF ==，，给出下列四个命题：①三棱锥11D B EF -的体积为定值；②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒；③11D B ⊥平面1B EF ；④直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60︒．其中正确的命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①④【答案】A【解析】由题意得，如图所示，①中，三棱锥的体积的为11111111112223323D B EF B D EF D EF V V S B C EF --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴体积为定值；②中，在正方体中，11EF C D ∥，∴异面直线11D B 与EF 所成的角就是直线11D B 与11C D 所成的角，即11145B D C ∠=︒，∴这正确的；③中，由②可知，直线11D B 与EF 不垂直，∴11D B ⊥面1B EF 不成立，∴是错误的； ④中，根据斜线与平面所成的角，可知11D B 与平面1B EF 所成的角，即为11145B D C ∠=︒，∴不正确．12．如下图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，145AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，，，将ABD △沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22；③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '．其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】B【解析】①∵90BAD AD AB ∠=︒=，，∴45ADB ABD ∠=∠=︒，∵45AD BC BCD ∠=︒∥，，∴BD DC ⊥，∵平面A BD '⊥平面BCD ，且平面A BD 'I 平面BCD BD =，∴CD ⊥平面A BD '， ∵A D '⊂平面A BD '，∴CD A D ⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥A BCD '-的体积为1122223226⋅⋅⋅⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又∵A B '⊂平面A BD '，∴CD A B ⊥'，又A B A D '⊥'，且A D '、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，∴A B '⊥平面A DC '，又A B '⊂平面A BC '，∴平面A BC '⊥平面A DC '，故④正确．故选B ．二、填空题13．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，m β∥，则αβ∥；③若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；④若m α∥，αβ⊥，则m β⊥．【答案】③【解析】m α∥，n α∥，则m n ∥，m 与n 可能相交也可能异面，∴①不正确； m α∥，m β∥，则αβ∥，还有α与β可能相交，∴②不正确；m n ∥，m α⊥，则n α⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确；m α∥，αβ⊥，则m β⊥，也可能m β∥，也可能m A β=，∴④不正确；故答案为③．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①AB EF ⊥；②AB 与CM 所成的角为60︒；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD ∥． 以上四个命题中，正确命题的序号是_________．【答案】①③【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：则AB EF ⊥，EF 与MN 异面，AB CM MN CD ⊥∥，，只有①③正确．故答案为①③．15．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD AC BD AD BC ===，，，给出下列结论：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90︒而小于180︒；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）【答案】②④【解析】①将四面体ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，∴平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误；②四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；③由②，四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180︒．③错误； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．16．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB =，102AD =，E F ，分别为AD BC ，的中点，现分别将ABE △，CDF △沿BE DF ，折起，且A C 、在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE CD ∥③当A C 、重合于点P 时，PG PD ⊥④当A C 、重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π【答案】①④【解析】在ABE △中，2tan 2ABE ∠=，在ACD △中，2tan 2CAD ∠=， ∴ABE DAC ∠=∠，由题意，将ABE CDF △，△沿BE DF ，折起，且A C ，在平面BEDF 同侧，此时A C G H ，，，四点在同一平面内，平面ABE I 平面AGHC AG =，平面CDF I 平面AGHC CH =，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG CH ∥，显然AG CH =，∴四边形AGHC 是平行四边形，∴AC GH ∥，进而得到AC ∥平面BFDE ，∴①正确的；由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，∴AE 与CD 不平行，∴②错误的； 折叠后，可得1033PG =，10PD =，其中10GD =，222PG PD GD +≠， ∴PG 和PD 不垂直，∴③不正确；当,A C 重合于点P 时，在三棱锥P DEF -中，EFD △和FCD △均为直角三角形， ∴DF 为外接球的直径，即5622DF R ==， 则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为2256441502R ⎛⎫π=π⨯=π ⎪ ⎪⎝⎭，∴④是正确， 综上正确命题的序号为①④．三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形． 且23PA =．（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．【答案】（1）见解析；（2）89． 【解析】（1）证明：∵AB AD ⊥，且2AB AD ==，∴22BD =，又PBD △为正三角形，∴22PB PD BD ===，又∵2AB =，23PA =，∴AB PB ⊥， 又∵AB AD ⊥，BC AD ∥，∴AB BC ⊥，PB BC B =，∴AB ⊥平面PBC ，又∵AB ⊆平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ．（2）如图，连接BD ，AC 交于点O ，∵BC AD ∥，且2AD BC =，∴2OD OB =，连接OE ，∵PB ∥平面ACE ，∴PB OE ∥，则2DE PE =，由（1）点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， ∴111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△， 即四面体A CDE -的体积为89． 18．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4AB =，2AE =，1EF =．（1）求证：BC AF ⊥；（2）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ； （3）求证：AF ⊥平面EBC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）∵EF AB ∥，∴EF 与AB 确定平面EABF ，∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA BC ⊥．由已知得AB BC ⊥且=EA AB A I ， ∴BC ⊥平面EABF ．又AF ⊂平面EABF ，∴BC AF ⊥．（2）过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，连接FN ，则MN AB ∥． 又14CM AC =，∴MN AB =．又EF AB ∥且14EF AB =，∴EF MN ∥且EF MN =，∴四边形EFNM 为平行四边形，∴EM FN ∥． 又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，∴EM ∥平面FBC ．（3）由（1）可知，AF BC ⊥．在四边形ABFE 中，4AB =，2AE =，1EF =，90BAE AEF ∠=∠=︒， ∴1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠． 设AF BE P =I ，∵90PAE PAB ∠+∠=︒，故90PBA PAB ∠+∠=︒，则90APB ∠=︒，即EB AF ⊥．又∵EB BC B =I ，∴AF ⊥平面EBC ．。

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题01平行、垂直问题的证明类型对应典例证明线线平行典例1证明线面平行典例2证明面面平行典例3证明线线垂直典例4证明线面垂直典例5证明面面垂直典例6【典例1】如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F .（Ⅰ）求证：//AD EF ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，直接写出12V V 的值.【典例2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠= ，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【典例3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.（1）当1λ=时，求证：平面BEF P 平面1A DQ ；（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.【典例4】如图，菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠= ，M 是AD 的中点，以BM 为折痕，将ABM ∆折起，使点A 到达点1A 的位置，且平面1A BM ⊥平面BCDM ，（1）求证：1A M BD ⊥；（2）若K 为1AC 的中点，求四面体1M A BK -的体积．【典例5】如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥.（1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值.【典例6】已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值.1.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.2.已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.3.已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥.若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC P 平面α.求证:（1）∥EH FG ；（2）AB FG ⊥.4.如图，在四边形'A BCD 中，'E 是'A D 的中点，'A BD ∆为正三角形，2DB =，1DC =，BC =.将'A BD ∆沿直线BD 折起，使'A 到达A 处，'E 到达E 处，此时平面ABD ⊥平面BCD .（1）求证：DC BE ⊥；（2）求点D 到平面BCE 的距离.5.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，,D E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为030，求二面角1D BC B --的余弦值.6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30 ，PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．参考答案【典例1】解：（I ）证明：因为正方形ABCD ，所以//AD BC .因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面AEFD ，平面AEFD ⋂平面PBC EF =，所以//AD EF .（II ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB .因为PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.因为PAB ∆为等边三角形，E 是PB 中点，所以PB AE ⊥.因为AE ⊂平面AEFD ，AD ⊂平面AEFD ，AE AD A ⋂=，所以PB ⊥平面AEFD .（III ）解：由（Ⅰ）知，122133C AEFDE ABCF ADC C AEFD V V V V V V ，＝，----===513BC AEFD V V -∴＝，则1158133P ABCD V V V V -+＝＝，1238V V ∴．【典例2】解：()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ，所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，E 0，0)，(0C ，2，0)，P 1-，)h，CE = ，2-，0)，(0EP =，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =，y ，)z ．则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴200y y hz -=-+=⎪⎩，令y =，∴1(2n h =，又平面ADE 的法向量2(0n =，0，1)，1cos n ∴<，12212·12n n n n n >===，解得377h =， 3717>，∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【典例3】解：（1）当1λ=时，Q 为BC 中点，因为E 是AD 的中点，所以,ED BQ ED BQ = ，则四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE QD .又BE ⊄平面1,A DQ DQ ⊂平面1A DQ ，所以BE 平面1A DQ .因为,E F 分别是1,AD A A 中点，所以1EF A D ，因为EF ⊄平面11,A DQ A D ⊂平面1A DQ ，所以EF 平面1A DQ .因为,BE EF E EF ⋂=⊂平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF 平面1A DQ .（2）如图，连接,AQ BD 与FQ ，因为1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥.若,BD FQ ⊥又1,A A FQ ⊂平面1A AQ ，且1A A FQ F ⋂=，所以BD ⊥平面1A AQ .因为AQ ⊂平面1A AQ ，所以AQ BD ⊥.在矩形ABCD 中，由AQ BD ⊥，得AQB DBA ∽，所以2AB AD BQ =⋅.又1,2AB AD ==，所以13,22BQ QC ==，则13BQ QC =，即13λ=.【典例4】解：（1）证明：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，M 是AD 的中点，∴AD BM ⊥，故在右图中，1A M BM ⊥，∵平面1A BM ⊥平面BCDM ，平面1A BM 平面BCDM BM =，∴1A M ⊥平面BCDM ，又BD ⊂平面BCDM ，所以1A M BD ⊥.（2）解：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，AD BM ⊥，AD BC ∥，∴BC BM ⊥，且3BM =，在右图中，连接CM ，则1111132313323A BCM BCM V S A M -∆=∙=⨯⨯=，∵K 为1AC 的中点，∴1111113226M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----====．【典例5】解：（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD Ø平面ABCD 得BD PA ⊥，又BD AC ⊥，PA AC A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥，又PC BM ⊥，BD BC B ⋂=，∴PC ⊥平面MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥，不妨设1PA =，则1BC =，PC =，PB =，在Rt PBC ∆中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得22333PM PC ==，所以63PM sin PBM PB ∠==，故直线PB 与平面MBD所成角的正弦值为3.法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P（，()1,0,0B ，()1,1,0C ，由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =- ，而()1,0,1PB =-，∴1,0,11,1,1,cos PB PC -⋅-= 63=.故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为63.【典例6】解：（Ⅰ）连接AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC ∆是正三角形，∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥又AD BC ，∴AE AD⊥∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，又PA AE A ⋂=∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角，在Rt AME ∆中，15sin 5AME ∠=，即62AE AM =，设2AB a =，则AE =，得AM =，又2AD AB a ==，设2PA b =，则()0,,M a b ，所以AM ==，从而b a =，∴2PA AD a ==，则()0,0,0A，),,0Ba -，),,0Ca ，()0,2,0D a ，()0,0,2P a，),0,0E，3,,22a F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以),0,0AE =，3,,22a AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),3,0BD a=，设(),,n x y z是平面AEF 一个法向量，则n AE n AF ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩3022ayaz ⎧=++=⎪⎩取z a =，得()0,2,n a a =- 又BD ⊥平面ACF，∴(),3,0BD a=是平面ACF 的一个法向量，∴cos ,n BD n BD n BD⋅==⋅2155=-∴二面角C AF E --的余弦值为155.1.【思路引导】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF ,所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离.取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠==== ,所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为3EH BH ==,所以6BE =所以22161562222BDES ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为113342242BDM BCD S S ==⨯⨯=,所以由E BDM M BDE V V --=,得1311533232h =⨯⨯,解得155h =.即F 到平面BDE 的距离为155．2.【思路引导】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可.解：(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH NG ＝32，又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝3.3.解：证明（1）因为PC P 平面α，平面α 平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有PC EH ,同理可证出PC FG ,根据平行公理，可得∥EH FG ；（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH ,所以AB FG ⊥.4.【思路引导】（1）先由题证明BD DC ⊥，再证明DC ⊥平面ABD 则可得DC BE ⊥；（2）用等体积转化法D BCE E BCD V V --=，求点D 到平面BCE 的距离．解：（1）由2DB =，1DC =，BC =，可知222DB DC BC +=，∴BD DC ⊥，又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =.∴DC ⊥平面ABD ，又BE ⊂平面ABD ，∴DC BE ⊥.（2）取BD 的中点F ，连接AF .∵'A BD ∆为正三角形，∴ABD ∆也为正三角形，∴AF BD ⊥.由2BD =，知AF =.∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴AF ⊥平面BCD ，又∵E 为'E 对应的点，∴E 为AD 的中点，∴点E 到底面BCD 的距离为32，BE =，1ED =，又CD AD ⊥，1CD =，∴CE =，又BC =，∴222BE CE BC +=，∴BE CE ⊥，∴116222BCE S BE CE ∆=⨯==，1121122BCD S BD DC ∆=⨯=⨯⨯=.设D 点到平面BCE 的距离为h .∵D BCE E BCD V V --=，∴11133222BCE BCD S h S h ∆∆⋅=⨯⇒=⨯，解得22h =，∴点D 到平面BCE 的距离为22.5.【思路引导】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，易证AF ⊥平面11BCC B ，再证明DE AF ,可得DE ⊥平面11BCC B（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）设12AA a =，利用三棱锥1B BDC -等体积转化，得到1B 到面BCD 的距离，利用1B C 与平面BCD 所成的角为30︒得到1B C 与d 的关系，解出a ，在两个平面分别找出,DF EF 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，AD a =，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,22E a ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =- ，()11,1,2B C a =--．因为0DE BC ⋅=，10DE B C ⋅= ，所以DE BC ⊥，1DE B C ⊥，BC ⊂面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，1BC B C B ⋂=于是DE ⊥平面11BCC B ．（2）设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =，则0n BC ⋅= ，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =- ，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1cos ,sin30n B C =︒ ，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得22a =，(n= ．由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11222cos ,2n AF n AF n AF+⋅==⋅，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ,AB AC = ∴AF BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ,1B B ⊂平面11BCC B ,1BC B B B⋂=∴AF ⊥平面11BCC B ．E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =，∴EF DA ，EF DA ＝，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ．∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，则()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =，则0n BC ⋅= ，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =- ，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1|cos ,)|sin30n B C <>=︒ ，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得22a =，(n= ．由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122cos ,2n AF n AF n AF +⋅==⋅所以二面角1D BC B --的余弦值为2．解法3：（1）同解法2．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =22AF =,BD DC==DF ∴==122BDC SBC DF ∴=⋅= ，1112BCB S BB BC =⋅= ，D 到平面1BCB 距离22DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDCD BCB V V --=得11133BCB BDC SDE S d ⋅=⋅，即113232d⋅=⋅⋅d =因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，所以12sin30d B C d ===︒，而在直角三角形1B BC 中1BC ==2=，解得22a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,所以AF BC ⊥，EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，DF ⊂ 平面DBC ,EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而22DA AF ==,可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．6.【思路引导】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO ⊥BD ，而正方形中AC ⊥BD ，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．解：（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD⊥∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=,又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD =====如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,,,0,,,22A B C D P ⎛ ⎝设面PBC 法向量为()1,,n x y z =，()220,,,22BC CP ⎛==--⎝1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴022022x y ⎧=+-=⎪⎩，1,0,z y x ===令则)1n = 同理PCD 面的法向量()2n = ，1212121cos ,7n n n n n n ⋅==∴求二面角B PC D --的余弦值17-。

内的所有直线，故
，故 为真命题，
综上可知：
为真命题，
为假命题，
为真命题，
为真命题，
故正确的有①③④．
三、解答题
7．【答案】证明见解析．
【解析】用反证法，假设
平面
，
∵
平面
，则
．
∵
，∴
．
又∵
，
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
平面
，∴
，
这与
中
为锐角矛盾，
∴ 不可能垂直于平面
．
8．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
D．
2．已知 是两条异面直线，点 是直线 外的任一点，有下面四个结论：
①过点 一定存在一个与直线 都平行的平面；
②过点 一定存在一条与直线 都相交的直线；
③过点 一定存在一条与直线 都垂直的直线；
④过点 一定存在一个与直线 都垂直的平面．
则四个结论中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（多选题） ， 表示直线， 表示平面，下列命题中正确的是（ ）
， 是 的中点，∴
，
∵底面
侧面
，∴
侧面
，∴
．
（2）延长
与 交于 ，连结
，
∵
，∴
，
又
，∴
，∴
，
∵底面
侧面
，∴
侧面
，
∴截面
侧面
，∴截面
侧面
．
（3）结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性．
过作
于，
∵截面
侧面
，∴
侧面
．

培优点十五 平行垂直关系的证明例1：如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，下列结论中正确的是________．(把正确 结论的序号都填上)①PD CD ⊥； ②BD ⊥平面PAO ； ③PB CB ⊥； ④BC ∥平面PAD ． 【答案】①③④【解析】对于①，因为CD AD ⊥，CD PA ⊥，AD PA A =，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥，则①正确；对于②，BD PA ⊥，当BD AO ⊥时，BD ⊥平面PAO ，但BD 与AO 不一定垂直，故②不正确； 对于③，因为CB AB ⊥，CB PA ⊥，ABPA A =，所以CB ⊥平面PAB ，所以CB PB ⊥，则③正确；对于④，因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ，则④正确． 故填①③④．一、直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定例2：如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，1AP AB==，F、E分别是PB、PC中点．（1）证明：PB ED⊥；（2）求平面ADEF与平面PCD所成锐二面角的值．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒．【解析】（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA AD⊥，又AD AB⊥，AB，PA为平面PAB上相交直线，∴AD⊥平面PAB，∴AD PB⊥，而等腰三角形PAB中有PB AF⊥，∴PB⊥平面ADEF，而ED⊂平面ADEF，∴PB ED⊥．（2）易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，二、直线与平面垂直的判断，二面角则(0,0,0)A ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，求得平面ADEF 的一个法向量(1,0,1)=-m ，平面PCD 的一个法向量(0,1,1)=n ，∴1cos ,2<>=-m n ， ∴平面ADEF 与平面PCD 所成锐二面角为60︒．一、选择题1．如图，在三棱锥P ABQ -中，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ，则AB 与GH 的关系是（）对点增分集训A ．平行B ．垂直C ．异面D ．平行或垂直【答案】A【解析】因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF AB ∥，DC AB ∥，所以EF DC ∥，又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ， 又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ 平面PCD GH =，所以EF GH ∥，又因为EF AB ∥，所以AB GH ∥， 故选A ．2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BC 、1CD 的中点，则下列说法错误的 是（）A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．MN AB ∥D ．MN ∥平面ABCD【答案】C【解析】∵在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BC 、1CD 的中点， ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，则(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(1,2,1)M ，1(0,0,2)D ，(0,2,0)C ，(0,1,1)N ，(1,1,0)MN =--，1(0,0,2)CC =，∴10MN CC =⋅，∴1MN CC ⊥，故A 正确；(2,0,0)A ，(2,2,0)AC =-，2200AC MN ⋅=-+=，∴AC MN ⊥，又1MN CC ⊥，1ACCC C =，∴MN ⊥平面11ACC A ，故B 成立；∵ (0,2,0)AB =，(1,1,0)MN =--，∴MN 和AB 不平行，故C 错误；平面ABCD 的法向量(0,0,1)=n ，0MN ⋅=n ， 又MN ⊄平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD ，故D 正确． 故选C ．3．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E【答案】C【解析】对于A ，1CC 与1B E 均在侧面11BCC B 内， 又两直线不平行，故相交，A 错误；对于B ，AC 与平面11ABB A 所成的角为60︒，所以AC 不垂直于平面11ABB A ，故B 错误；对于C ，AE BC ⊥，11BC B C ∥，所以11AE B C ⊥，故C 正确；对于D ，AC 与平面1AB E 有公共点A ，11AC A C ∥，所以11A C 与平面1AB E 相交，故D 错误． 故选C ．4．在三棱锥P ABC -中，已知PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，点D ，E 分别为棱BC ，PC 的 中点，则下列结论正确的是（） A ．直线DE ⊥直线AD B ．直线DE ⊥直线PA C ．直线DE ⊥直线AB D ．直线DE ⊥直线AC【答案】D【解析】由题意，如图所示，因为PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，∴PAC BAC ≅△△，得PC BC =，取PB 中点G ，连接AG ，CG ， 则PB CG ⊥，PB AG ⊥， 又∵AGCG G =，∴PB ⊥平面CAG ，则PB AC ⊥，∵D ，E 分别为棱BC ，PC 的中点，∴DE PB ∥，则DE AC ⊥． 故选D ．5．如图，2AC R =为圆O 的直径，45PCA ∠=︒，PA 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A 、C 重合的点，AS PC ⊥于S ，AN PB ⊥于N ，则下列不正确的是（）A ．平面ANS ⊥平面PBCB ．平面ANS ⊥平面PABC ．平面PAB ⊥平面PBCD ．平面ABC ⊥平面PAC【答案】B【解析】⊥PA 平面ABC ，可得平面ABC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ⊥∴，由AC 为圆O 的直径，得AB BC ⊥，PA AB A =，⊥∴BC 平面PAB ，AN BC ⊥∴，AN PB ⊥，得到⊥AN 平面PBC ，∴平面ANS ⊥平面PBC ，平面PAB ⊥平面PBC ，所以选项ACD 正确； 对于选项B ，SN 与BC 一定不会平行，所以选项B 一定不成立．6．如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出下列五个结论：①OM PD ∥；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC ．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O 点，所以O 为BD 的中点． 在PBD △中，M 是PB 的中点，所以OM PD ∥，所以OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA ．因为M PB ∈，所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交． 所以①②③正确．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的 是（） A ．11A O D C ∥ B ．1A O BC ⊥C ．1A O ∥平面11B CDD ．1AO ⊥平面11AB D 【答案】C【解析】选项A ，连接1A B ，则11A B D C ∥，因为1A B 与1A O 相交，所以A 错；选项B ，取AB 中点E ，连接1A E 、OE ，则OE BC ∥，在1A EO 中，190A EO ∠=︒，所以1A O 与OE 不垂直，所以1A O 与BC 不垂直，所以B 错；选项C ，设11111AC B D O =，连接1CO ，则11CO AO ∥且11CO A O =，所以四边形11AO CO 是平行四边形，所以11A O CO ∥，又因为1AO ⊄平面11B CD ，1CO ⊂平面11B CD ，所以1A O ∥平面11B CD ，C 正确； 选项D ，连接1A C ，11B D 垂直于1A A ，11 B D 垂直于CA ，进而得到11B D 垂直于面1A AC ，故11B D 垂直于1A C ， 同理可证，1A C 垂直于1AD ，进而得到1AC ⊥平面11AB D ，所以1A O 与平面11AB D 不垂直，D 错．8．如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点．下列结论中，正确的是（）A ．1EF BB ⊥B ．EF ∥平面11ACC AC ．EF BD ⊥D ．EF ⊥平面11BCC B【答案】B【解析】如图所示，取1BB 的中点M ，连接ME ，MF ，延长ME 交1AA 于P ，延长MF 交1CC 于Q ， ∵E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，∴P 是1AA 的中点，Q 是1CC 的中点，从而可得E 是MP 的中点，F 是MQ 的中点，∴EF PQ ∥．又PQ ⊂平面11ACC A ，EF ⊄平面11ACC A ，∴EF ∥平面11ACC A ．其余结论明显错误．本题选择B 选项．二、填空题9．如图所示，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是平行四边形，G F ，分别是BE DC ，的中点， 则GF ___________平面ADE ．【答案】平行【解析】取AE 的中点H ，连接HG HD ，， 又G 是BE 的中点，所以GH AB ∥，且12GH AB =． 又F 是CD 的中点，所以12DF CD =．由四边形ABCD 是平行四边形，得AB CD ∥，AB CD =， 所以GH DF ∥，且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF DH ∥．又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以GF ∥平面ADE ． 故答案为：平行．10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下结论：①BD ∥平面11CB D ；②AD ⊥平面11CB D ；③1AC BD ⊥；④异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒．则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③【解析】①：∵11BD B D ∥，11B D ⊂平面11CB D ，BD ⊄平面11CB D ，∴BD ∥平面11CB D ， 故本结论是正确的；②：在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，显然AD 、BD 不垂直，而11BD B D ∥，所以AD 、11B D 不互相垂直，要是AD ⊥平面11CB D ，则必有AD 、11B D 互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；③：∵1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，1CC 、AC ⊂平面1CC A ，1CC AC C =，所以BD ⊥平面1CC A ，而1C A ⊂平面1CC A ，故1AC BD ⊥，因此本结论是正确的；④：因为AD BC ∥，所以异面直线AD 与1CB 所成的角为1BCB ∠，在正方形11BCC B 中，1=45BCB ∠︒，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③．三、解答题11．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EDC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，ED EC ⊥， 点F ，G 分别是EC ，AB 的中点．求证：（1）直线FG ∥平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面EBC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ．在EDC △中，H ，F 分别为DE ，EC 中点，则FH ∥DC 且12FH DC =， 又四边形ABCD 为矩形，G 为AB 中点，AG ∥DC 且12AG DC =， 所以FH AG ∥且FH AG =，故四边形AGFH 为平行四边形，从而FG AH ∥，又FG ⊄面ADE ，AH ⊂面ADE ，所以直线FG ∥面ADE ． （2）因为矩形ABCD ，所以BC DC ⊥，又平面EDC ⊥面ABCD ，面EDC 面ABCD DC =，BC ⊂面ABCD ，所以BC ⊥面DEC ，又ED ⊂面DEC ，则ED BC ⊥， 又ED EC ⊥，BCEC C =，所以ED ⊥面EBC ，又ED ⊂面ADE ，所以平面ADE ⊥平面EBC ．12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==PA =120ABC ∠=︒．G 为线段PC 上的点（点G 与点,P C 不重合）．（1）证明：BD ⊥面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正弦值； （3）若G 满足PC ⊥面BGD ，求二面角G CD A --正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）19；（3）23． 【解析】（1）取AC 中点O ，因为AB BC =，AD CD =， 所以CA BO ⊥，CA OD ⊥，∴CA BD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PAAC A =，所以BD ⊥面PAC ．（2）以O 为坐标原点，BD ，AC ，平行于PA 的直线为x ，y ，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则因为2AB BC ==，120ABC ∠=︒，所以AO OC ==1BO =，因为AD CD ==2DO =，因此(1,0,0)B ，(2,0,0)D -，C，(0,A，(0,P ，从而(3,0,0)DB =为平面APC一个法向量，0,0,2G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,0,2DG ⎛= ⎝⎭，cos ,DG DB <>==，因此DG 与平面APC． （3）同（2）建立空间直角坐标系，设(0,CG CP λλ==-，因为PC ⊥面BGD ，所以0BG CP ⋅=，∴()0BC CG CP +⋅=，(()0CP CP λ-+⋅=，6150λ-+=，25λ=．因为(0,0,1)=n 为平面ACD 一个法向量，设1(,,)x y z =n 为平面GCD 的法向量，则由1111(2,3,0)002302(0,23,3)0023305CD x y CG y z ⎧⋅--=⎧⎧⋅=--=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅-=⋅=-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩n n n n ，得1(3,2,4)=-n ，所以14423cos ,233416<>==++n n ， 因此二面角G CD A --正弦值为242316112323⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．。