高三数学培优专练

一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24 B ．39C ．104D ．52解析：D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ．2．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．9解析：A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】 设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A3．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21 D ．6、10、14、18、22解析：C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51 B ．57C ．54D ．72解析：B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选：B5．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9 B ．5C ．1D ．59解析：B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100解析：B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20C ．25D ．30解析：B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B8．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 解析：D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ）A ．177B ．83C ．143D ．103解析：D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， （2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个解析：B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=， 当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．11．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n - B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 解析：C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C.12．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．nC ．21n -D ．2n解析：B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选：B.13．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4解析：A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14解析：C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C15．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100C ．90D ．80解析：C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C二、等差数列多选题16．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+- D ．数列{}n a 为周期数列解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+， 即221n a n n =+-，故C 正确； 所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC17．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列 C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列 解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 18．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ） A ．2- B ．23 C ．32D ．3解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．19．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.解析：BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 21．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d > D ．数列{}na 也是等差数列解析：AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确.对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.22．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =- B ．310na nC ．228n S n n =-D ．24n S n n =-解析：AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.23．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．170S <解析：ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T >D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 解析：AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112xf x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 25．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n nn a a---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k kk aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k aa kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.。

2020高三数学培优专练4：恒成立问题例1：设，当时，恒成立，求的取值范围．【答案】【解析】恒成立不等式为，只需，令，则对称轴为．①当时，在单调递增，∴，∴，即；②当时，在单调递减，在单调递增，∴，∴，即．综上，．例2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】∵，∴，即只需要即可，设，∴，令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析）∴，∵，∴，∴在单调递增，∴，∴，∴在单调递增，∴当时，，∴．∴实数的取值范围是．例3：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方，∴应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图象可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入，可得，综上可得：．一、选择题1．已知，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，∴，设，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴．2．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若恒成立，则，，∴在单调递减，在单调递增，，，∴，∴．3．已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出的图象可知为减函数，∴等价于在恒成立，即，解得．4．若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】恒成立不等式变形为，即的图象在图象的上方，先作出的图象，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关．通过观察图象，可得只需，解得．5．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，∴，∴，其中．∴只需要，令，，令，，当时，，∴在单调递减，又，∴，即，∴在单调递减，∴，∴．6．设正数，，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，∴，，可得在单调递增，在单调递减，故，∴若原不等式恒成立，只需，再进行一次参变分离，，则只需，，∴，∴，解得．二、填空题7．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】∵，即恒成立，∴，若不等式恒成立，只需，令，∵，∴．8．若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方，∴应为单减的对数函数，即，观察图象进一步可得，要使不等式对于任意的都成立，只需时，，即，∴．9．已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为．【答案】【解析】，即，作出函数和的图象，可知，，，∴，即的最大整数值为．10．已知，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】令，可得，，由可得，当时，，，，即，∴在上单调递增，∴，即，解得，结合，可得．三、解答题11．已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，，∴函数在点处的切线方程为．（2）当时，由，可得，即只需要，设，令，，∵，∴，在单调递增∴，∴，在单调递增，，．综上，实数的取值范围为．12．已知函数，，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）．【解析】（1）当时，，，易得当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减．（2）恒成立，只需，由，得，令，解得，∴在单调递减，在单调递增，∴，∴，都有恒成立，即只需．，当时，令，则，与矛盾，当时，，∴解得，∴在单调递增，在单调递减，∴，∴，解得，综上所述：．13．已知函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），当时，可得恒成立，∴在单调递增；当时，令，可解得或，∴在，单调递增；在，单调递减．（2）若在上恒成立，则只需，由（1）可知在的边界处取得最大值，∴，即对任意的恒成立，∴，可得．综上，的取值范围为．14．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），①当时，恒成立，∴在上单调递增；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）由可得，设，，，∴恒成立，，∴，否则若，由于连续，∴必存在区间使得，即在单调递减，进而，使得，不符题意．∴．下面证任意的均满足条件．构造函数（时的）则，当时，，∴，∴，．若要恒成立，只需证明即可．又，，可得，令，，当时，，∴在单调递增，，即，∴在单调递增，成立，∴时，，恒成立，符合题意．综上，的取值范围为．。

2023届高三培优试卷（九）一、单选题1．设集合{}2A x x =>，{}260B x x x =-->，则RAB =（ ）A ．[)2,-+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],3-∞ 2．在复平面内，复数24ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(,1)a m =-，(3,4)b =-，且||1a =，则a b ⋅=（ ） A ．-4B ．1C ．4D ．74．在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，第4项和第5项的二项式系数相等，则展开式中5x 的系数为（ ） A ．358B ．358-C ．92D ．92-5．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为83π，则球的表面积为（ ） A ．16π B ．32πC ．36πD ．48π二、多选题6．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>，则（ ）A ．C 的焦点在y 轴上B ．C 的虚轴长为2C ．直线x =C 相交的弦长为1D ．C 的渐近线方程为2y x =±三、填空题7．已知等比数列{}n a 满足16118a a a =，则48a a =________.8．函数()2()1e 1xf x x =+-的零点个数为________.四、解答题9．已知公比大于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，15a +是2S 和3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.2023届高三培优试卷（九）答案1．【答案】A【详解】由题意得()(),23,B =-∞-+∞，所以[]R2,3B =-，所以[)R2,AB =-+∞,故选：A2．【答案】D【详解】由复数的运算法则，可得224(24)42421i i i ii i i ++-+===--，对应的点(4,2)-位于第四象限. 故选：D. 3．【答案】C【详解】因为||1a =，所以0m =，所以03(1)(4)4a b ⋅=⨯+-⨯-=.故选：C 4．【答案】B【详解】由已知可得34n n C C =，则7n =，所以二项式712x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为：7721771212r rr r rr r T C x C x +-+⎛⎪ ⎫-⎪⎛⎝⎫=-= ⎭⎭⎝，令752r +=解得3r =，所以33557413528T C x x ⎛⎫-=-⎪⎝= ⎭，即5x 的系数为358-，故选：B ．5．【答案】C【详解】设球的半径为R ，圆锥的底面半径为r ，因为球心到截面的距离为1，所以有：221r R =-，则题中圆锥体积()2181133V R ππ=⨯⨯-=，解得3R =，故球的表面积为2436R ππ=.故选：C6．【答案】BC【详解】由222:1(0)x y C b-=>可知双曲线C 的焦点在x 轴上，A 错误；C 的离心率e ==1b =，C 的虚轴长为22b =，故B 正确； 由B 选项知1b =，把x =2214x y -=得12y =±，故弦长为1，C 正确；由B 选项知1b =且2a =，且焦点在x 轴上，双曲线C 的渐近线方程为12b y x x a =±=±，故D 错误. 故选：BC.7．【答案】4【详解】因为3161168a a a a ==，所以368a =，解得62a =. 所以24864a a a ==. 故答案为：4 8．【答案】1【详解】因为()22()2e 1e (1)0e x x xf x x x x '++=+≥=，所以()f x 单调递增，又因为(0)0f =，所以()f x 有且仅有1个零点. 故答案为：1 9．【详解】（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >. 由题意知()12325a S a +=+，即442544q q q⎛⎫⨯+=++ ⎪⎝⎭，化简得22320q q --=，因为0q >，所以2q . 所以222422n n nn a a q --==⨯=.（2）由（1）可知2n n n n n b a ==. 所以1231232222n n nT =+++⋅⋅⋅+，①231112122222n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++，② 由-①②，可得12311111111111222112222222212n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以222n n n T +=-. 10．【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412228aa c =⎧⎨+=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，所以b C 的方程为22198x y . （2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，联立方程221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()228916640m y my ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212216896489m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()1212218289x x m y y m +=++=+， ()()()2212121212272911189m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，22TN y k x t =-，则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=--()2122221212226489729188989y y m m x x t x x t t tm m -+==-+-++-⋅+++()222648729189t m t t -=-+-+.所以当28720t -=，即当3t =-时，m ∀∈R ，49TM TN k k ⋅=-；当3t =时，m ∀∈R ，169TM TN k k ⋅=-.因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).。

一、数列多选题1．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=答案：BCD 【分析】根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.2．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >答案：BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n nn n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.3．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列答案：ABC 【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由， 得， 即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以，即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】 当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =答案：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=， 故选：BC5．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值答案：ABD 【分析】由，判断，再依次判断选项. 【详解】 因为，，，所以数列是递减数列，故，AB 正确； ，所以，故C 不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确. 故选：AB解析：ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 6．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <答案：AD 【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】 由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差解析：AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.7．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <答案：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】 A 选项，若，则， 那么.故A 不正确； B 选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为解析：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型. 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =答案：AD 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，，故D 正确.解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-，131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.9．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =答案：ACD 【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确. 【详解】因为，所以，所以，即解析：ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题. 10．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -答案：BD【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确. 【详解】因为，所以，所以， 因为公差，所以，故不正确； ，故正确； ，故不正确； ，故正确. 故选：BD.解析：BD 【分析】 由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。

高中数学培优试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3，求f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值：A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A3. 计算下列定积分的值：∫(0,2) (x^2 - 3x + 2) dx：A. 0B. 4C. 6D. 8答案：C4. 若复数z满足|z-1|=2，则z的模长|z|的最小值为：A. 1B. √3C. 2D. √5答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的极值点个数为_______。

答案：26. 一个圆的半径为5，圆心在原点，求该圆的面积为_______。

答案：25π7. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的对称轴方程为_______。

答案：x=18. 若直线y=3x+2与抛物线y^2=4x相交于点A和B，求线段AB的中点坐标为_______。

答案：(1, 5/3)三、解答题（每题15分，共30分）9. 已知等比数列{bn}的前三项依次为b1=2，b2=4，b3=8，求该数列的通项公式。

答案：bn=2^n10. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数f(x)的单调递增区间。

答案：(-∞, 1)和(2, +∞)四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：若a, b, c为实数，且满足a^2+b^2+c^2=1，则(a+b+c)^2≤3。

答案：证明如下：由柯西-施瓦茨不等式可知，对于任意实数a, b, c有(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2，即(a^2+b^2+c^2)(3)≥(a+b+c)^2。

又因为a^2+b^2+c^2=1，所以(a+b+c)^2≤3。

五、应用题（每题15分，共15分）12. 某商场进行促销活动，规定顾客每消费满100元即可获得一张优惠券，每张优惠券可以抵用10元。

2023届高三培优试卷（十二）一、单选题1．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z2．若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ） A ．4 B ．2C ．-2D ．-43．函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和24．已知随机变量X 服从正态分布()21,N σ，若()00.2P X ≤=，则()2P X <=（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.85．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的前6项和为（ ） A ．24- B ．3-C ．3D ．86．若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)二、填空题7．若2sin 3x =-，则cos2x =__________．8．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．三、解答题9．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．10．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅰ）已知Ⅰ的面积为40，求,a b的值.2023届高三培优试卷（十二）答案1．【答案】C【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =.故选：C. 2．【答案】C【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C. 3．【答案】C【详解】由题，()sin cos 3s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T ，故选：C ．4．【答案】D【详解】因为()00.2P X ≤=，所以()()21010.20.8P X P X <=-<=-=，故选：D 5．【答案】A【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，又11a =，2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()2111(2)5a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，则{}n a 的前6项和为：()1656566122422a d ⨯⨯+=⨯+⨯-=-．故选：A ． 6．【答案】C【详解】221c a =+，222222111c a e a a a+===+ ，1a >，2101a ∴<< ，212e<< ，则0e <<，选C.7．【答案】19【详解】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19.8．【答案】1【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：1 9．【详解】任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件 B ， 由题设知，事件A 与 B 相互独立，且()0.6P A =， ()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1(?)()?()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯= 所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 2(?)(?)0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3(?)0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是 22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是350.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=．解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是 1230.90.10.027C ⨯⨯=． 3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=．10．【详解】 （Ⅰ）由题=60°，则221sin 302OF c AF a ==︒=，即椭圆的离心率为12．（Ⅰ）因Ⅰ的面积为40，设(,)B B B x y ，又面积公式12()()4032A B A B S c y y c y y =⨯⨯-=⨯-=，又直线:)AB y x c =-，又由（Ⅰ）知2213,2c a b a ==，联立方程可得2222223()b x a x c a b +-=⋅，整理得2222223133()424a x a x a a a +-=⋅，解得45B a x =，B y =，所以)2a ⨯=10,a b ==。

培优点六 三角函数1．求三角函数值 例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值． 【答案】5665【解析】∵3πππ442αββα⎛⎫+=+--- ⎪⎝⎭， ()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵π3π044βα<<<<，ππ024α∴-<-<，3π3ππ44β<+<，π4sin 45α⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，3π12cos 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()1234556sin 13551365αβ⎛⎫∴+=--⋅-⋅=⎪⎝⎭．2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππ32k x k =+∈Z ；（2）⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭221cos22sin cos 2x x x x =++-11cos22cos22cos222x x x x x =--πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πT ∴= 对称轴方程：()ππππ2π6232k x k x k -=+⇒=+∈Z ． （2）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ5π2,636x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，()πsin 26f x x ⎡⎤⎛⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．3．三角函数的性质例3：函数()2cos 2f x x x =+（ ） A ．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】()1π2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 单调递增区间：()πππππ2π22πππ26236k x k k x k k -+≤+≤+⇒-+≤≤+∈Z单调递减区间：()ππ3ππ2π2π22πππ26263k x k k x k k +≤+≤+⇒+≤≤+∈Z ∴符合条件的只有D ．一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．13-B ．79-C ．13D ．79对点增分集训【答案】B【解析】由题得2ππππcos 2=cos π2cos 2cos23336αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2π1712sin 12699α⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为B ．2．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（ ）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】∵()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ． 取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选B ．3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】B【解析】由1tan 4tan θθ+=，得sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4sin cos θθθθ+=， ∴1sin cos 4θθ=，∴2π1cos 2π1sin 212sin cos 2cos 4222θθθθθ⎛⎫++ ⎪--⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭ 1121424-⨯==，故选B ． 4．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（ ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 【答案】D【解析】函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，周期为2ππ2T ==，对于A ：由()()121f x f x ==，可能1x 与2x 关于其中一条对称轴是对称的，此时12x x -不是π的整数倍，故错误对于B ：由诱导公式，πππ5π3sin 213cos 213cos 213236x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故错误对于C ：令3π4x =，可得3π3ππ153sin 213144322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故错误，对于D ：当π12x =-时，可得πππ3sin 113121263f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线π12x =-对称，故选D ． 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（ ）A ．1B ．πsin5 C ．π2sin 5D【答案】A【解析】由题意可知：2πππππππcos cos cos cos sin sin 5555555x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则：()2πππππππcos 2sin sin cos cos sin sin cos 5555555f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数的最大值为1．本题选择A 选项．6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（ ）A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2，2π3 D ．2，π3-【答案】D【解析】由图可知，该三角函数的周期4πππ33T =-=，所以2π2Tω==， 则()sin 2y x ϕ=+，因为ππ32f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该三角函数的一条对称轴为ππ5π32212x +==， 将5π,112⎛⎫⎪⎝⎭代入()sin 2y x ϕ=+，可解得π3ϕ=-，所以选D ．7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【解析】∵()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点的横坐标，∴ππ4424kT T ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()π2124k T k +=∈Z ． 又∵2πT ω=，0ω>，∴()21k k ω=+∈*N ，又∵()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，∴ππ24122T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，又∵2πT ω=∴8ω≤，当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由π4x =是函数()f x 最小值点横坐标知π4ϕ=-， 此时，()f x 在ππ,1228x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭递减，ππ,2824x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由π4x =是函数()f x 最小值点横坐标知π4ϕ=， 此时()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=．故选B ．8．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（ ） A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．①③④【答案】B【解析】()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x +=++=-，所以函数()f x 的周期不为π，②错，()()()πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=++=，周期为2πT =．2014π4πππ=cos sin 3333f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①对． 当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin sin 22f x x x x ==，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．③对．π13π1,4242f f⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以④错．即①③对，填①③．故选B ． 9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】∵π,π,02x ω⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，π1πππ,π4244x ωωω⎛⎫∴+∈++ ⎪⎝⎭，∵函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴周期2ππT ω=≥，解得2ω≤，∵()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足：ππ3π2π2π,242k x k k ω+<+<+∈Z ，∴取0k =，得1πππ242 π3ππ42ωω⎧⎪⎪⎨+≥+⎪⎪⎩≤，解之得1524ω≤≤，即ω的取值范围是15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C ．10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（ ） A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π4π12T ==，不满足①，排除A ； 函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππ2T ==，满足①，π3x =时，2ππsin 136y ⎛⎫=-=⎪⎝⎭取得最大值，π3x ∴=是πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴，满足②；又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，满足③，B 满足题意；函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即[]π20,π3x +∈时单调递减，不满足③，排除C ；π3x =时，2ππ1sin 362y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭不是最值，π3x ∴=不是πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，不满足②，排除D ，故选B ．11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】①令()1πππ262x k k +=+∈Z ，解得()2π2π3x k k =+∈Z ，当1k =时，则8π3x =，故正确②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位得：1ππ12sin 2sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故错误③令()π1ππ2π2π2262k x k k -+<+<+∈Z ，解得()4π2π4π4π33k x k k -+<<+∈Z ，故错误④若()f x a =，即1π2sin 26x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1ππ1πcos sin 23223x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦61πsin 22a x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故错误故选A ．12．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（ ）A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由2ππω=，解得2ω=，可得()()sin 2f x A x ϕ=+，再由函数图象关于直线π3x =对称，故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可取π6ϕ=-，故函数()πsin 26f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π2π,6x k k -=∈Z ，可得ππ,212k x k =+∈Z ，故函数的对称中心ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，， 令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_________．【答案】π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】由π2π22ππ4k x k ≤+≤+，即π3πππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ， 故函数的单调减区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故答案为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．【答案】17【解析】∵()0,πα∈，且35cos α=，4sin 5α∴==，4tan 3α=， 41πtan 113tan 441tan 713ααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，故答案为17．15．函数()sin 22f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．【答案】(⎤⎦【解析】()sin 22f x x x =-，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πx ∴∈，ππ2π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，πsin 23x ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ()(f x ⎤∈⎦，故答案为(⎤⎦． 16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)． 【答案】②③【解析】对于①，()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝的周期等于π，而函数的两个相邻的零点间的距离等于π2，故由()()120f x f x ==可得12x x -必是π2的整数倍，故错误 对于②，由诱导公式可得，函数()πππ4sin 24sin 2326f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππ4cos 24cos 266x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确 对于③，由于π6x =-时，函数()4sin 00f x ==，故()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确 对于④，()ππ2π32x k k +=+∈Z ，解得()ππ122k x k =+∈Z ，即π6x =-不是对称轴，故错误 综上所述，其中正确命题的序号为②③三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin2α值．【答案】()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2． 【解析】（1）()πππ2sin 2cos 22sin 2cos 2cos 2sin cos 2666f x x a x x x a x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ ()21cos 2x a x =++，由在π3x =取得最大值，()π2π2π1cos 333f a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ()220a ∴+=，即2a =-，经检验符合题意 ()πcos22sin 26f x x x x ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．（2）由π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ2,662α⎛⎫⎛⎫∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，π3sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，得ππ20,62α⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π4cos 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， ππππππsin2sin 2+sin 2cos cos 2sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=+⨯=．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ 的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围． 【答案】（1）1ω=；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=解得1ω=． （2）由（1）得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x -≤-≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭． 因此π130sin 2622x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

高三数学数学多选题专项训练的专项培优练习题(及答案一、数列多选题1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=答案：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 2．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ）A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 答案：ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()aa a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a=-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ）A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >答案：ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.5．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8答案：BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.6．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 7．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列答案：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为，，所以a1＝3，an ＝[1+(n-1)d](n+2n).若d ＝1，则an ＝n(n+2n)；若d ＝0，则a2＝解析：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为12答案：ACD 【分析】由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， ，，且，对于A ，，故A 正确； 对于B ，的对称解析：ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.9．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =答案：BCD 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，，所以，故A 错误；所以，所以，故B 正确； 因为， 所以当解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.10．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.11．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S答案：BD 【分析】由，即，进而可得答案． 【详解】 解：， 因为所以，，最大， 故选：．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．解析：BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案． 【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==， 因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大， 故选：BD ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．12．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <答案：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】 A 选项，若，则， 那么.故A 不正确； B 选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为解析：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为()()116168916802a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.二、等差数列多选题13．题目文件丢失！14．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a << D ．2020314a << 解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln ln 2ln ln 1222e f x e <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.15．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 16．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()aa a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.17．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．3解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；19．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 21．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 22．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）. 解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．24．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．三、等比数列多选题25．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <解析：BD 【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证.当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n n a =，24nn a =，数列{}2na的前n 项和为()141444143n n n S +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．26．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S = C ．公比4q =或14D ．14a =或14解析：BD设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得1112114a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为21531a a a ==，2311a a q == ， 所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 当14a =，12q =时，551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；当114a =，2q 时，5314S =，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314S =. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=，进而解方程计算. 27．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列 解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-，则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ， 当1q ≠-时， 则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确； 故选：AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 28．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ）A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 解析：BCD 【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案．【详解】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 29．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-= B ．12n n aC ．21nn S =-D ．121n n S -=-解析：BC【分析】根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，2410a a +=，4410q q∴+=即22520q q -+=，解得2q或12， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q，312414a a q ===， 12n na ，212121n n n S -==--，()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题.30．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023 B ．341 C ．1024 D ．342解析：AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.31．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++解析：AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．32．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +--- 解析：AD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由1231,1,3a a a ===可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故B 错误；。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[1, 2]上存在极值，则f'(x) =0的解集为（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. {0}2. 下列命题正确的是（）A. 函数y = log2(x + 1)在定义域内单调递增B. 函数y = 2^x在定义域内单调递减C. 函数y = x^2在定义域内单调递增D. 函数y = 3x + 2在定义域内单调递减3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-1, 1]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {0, 1}B. {0, -1}C. {0}D. {-1}4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-2, 2]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1}B. {-1, 2}C. {1, 2}D. {-1, 0, 1}5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-3, 3]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2}B. {-1, 1, 0}C. {-1, 0, 2}D. {-1, 0, 1, 2}6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-4, 4]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3}B. {-1, 1, 0, 3}C. {-1, 0, 2, 3}D. {-1, 0, 1, 3}7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-5, 5]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3, 4}B. {-1, 1, 0, 3, 4}C. {-1, 0, 2, 3, 4}D. {-1, 0, 1, 3, 4}8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-6, 6]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3, 4, 5}B. {-1, 1, 0, 3, 4, 5}C. {-1, 0, 2, 3, 4, 5}D. {-1, 0, 1, 3, 4, 5}9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-7, 7]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}B. {-1, 1, 0, 3, 4, 5, 6}C. {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6}D. {-1, 0, 1, 3, 4, 5, 6}10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-8, 8]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}B. {-1, 1, 0, 3, 4, 5, 6, 7}C. {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}D. {-1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7}二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1的导数为______。

一、函数的概念与基本初等函数多选题1．设函数2,0()12,02x e xf x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．A ．当223b =-+时，方程有1个实根B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232b -+<< 【答案】BD 【分析】先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误；选项B中，32b=，方程即23122t t-+=，即22310t t-+=，解得1t=或12t=，当()1f x t==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B正确；选项C中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t==，则31,22b⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204bb+--=，即2480b b-+=，解得223b=-±，132b=-±，均不满足上面范围，舍去；（2）12t t≠时，即(]123,,02t t=∈-∞或(]12,,0t t∈-∞.①当(]123,,02t t=∈-∞时132t=，代入方程得2220332b b+⎛⎫-⋅⎪⎝-=⎭，解得1710b=，由123210t t b=-=，得(]21,05t=∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t∈-∞时220bbtt+-=-，则()2420b b∆=-->，1220t t b=-≥，12t t b+=<，解得223t<--，故C错误；选项D中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t≠，222()2422b bt t b tt b bϕ⎛⎫=---⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()219324213202024bbb bbϕϕϕ⎧⎛⎫=->⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-<⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b-+<<，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.2．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117x x -+⇒=由2234151512t x x x x -+=-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，， 22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=，所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.3．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.4．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．5．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.6．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.7．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立,即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.8．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的一个周期为πD ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC 【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222ttt t y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222ttt ty -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=， 所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.9．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．10．已知函数12()123x x x f x x x x ++=+++++，下列关于函数()f x 的结论正确的为（ ） A ．()f x 在定义域内有三个零点 B ．函数()f x 的值域为R C ．()f x 在定义域内为周期函数 D ．()f x 图象是中心对称图象【答案】ABD 【分析】将函数变形为111()3123f x x x x ⎛⎫=-++⎪+++⎝⎭，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC ，由零点存在定理结合单调性可判断A ，由()()46f x f x --=+可求出函数的对称点，即可判断D. 【详解】解：由题意知，1111()111312311123f x x x x x x x ⎛⎫=-+-+-=-++ ⎪++++++⎝⎭， 定义域为()()()(),33,22,11,-∞-⋃--⋃--⋃-+∞，()()()22211()01213f x x x x '=++>+++，所以函数在()()()(),3,3,2,2,1,1,-∞------+∞定义域上单调递增，C 不正确； 当1x >-时，()3371230,004111523f f ⎛⎫-=-++<=+> ⎪⎝⎭，则()1,-+∞上有一个零点， 当()2,1x ∈--时，750,044f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()2,1x ∈--上有一个零点，当()3,2x ∈--时，1450,052f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()3,2x ∈--上有一个零点， 当3x <-，()0f x >，所以在定义域内函数有三个零点，A 正确； 当0x <，1x +→-时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 又函数在()1,-+∞递增，且在()1,-+∞上有一个零点，则值域为R ，B 正确；()1111(4)363612311123f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++=--++=- ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()()46f x f x --=+，所以函数图象关于()2,3-对称，D 正确； 故选:ABD. 【点睛】 结论点睛:1、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称；2、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称；3、()y f x =与()2y f a x =-图象关于x a =轴对称；4、()y f x =与()2y a f x =-图象关于y a =轴对称；5、()y f x =与()22y b f a x =--图象关于(),a b 轴对称.二、导数及其应用多选题11．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增ln f f e ππ∴<<<∴>，故：B 正确 C ．()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==不妨设120x e x <<<要证：212x x e <，即要证：221222,()e e x x e ef x x x<>∴<在(0,)e 单调递增，∴只需证：()212e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2211()(ln 1)g x x e x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当x e >时，2211ln 1,()0()x g x g x e x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭这与①矛盾，故C 错D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5k kx k y k ====252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ∴== 1152ln 2ln 5ln 2,ln 525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln 2ln 52502525ln 2ln 5x y ∴>>∴<∴<，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．12．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得． 【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t-=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.13．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.14．下列不等式正确的有（ ）A 2ln 3<B ．ln π<C ．15<D ．3ln 2e <【答案】CD 【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()2f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.15．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=， 因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.16．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．17．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则2123x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴21x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.18．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.19．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．20．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】。