【强烈推荐】2019届高三精准培优专练数学(理)(学生版) - 最新

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2019版高考数学理培优增分一轮全国经典版增分练：第7

板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( )A ．a ∥b ，a ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对答案 C解析因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .故选C.2．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1) 答案 B解析经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°.故选B.3．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4) 答案 A解析 ∵n ＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n ⊥MP →，在选项A 中，MP →＝(1,4,1)，∴n ·MP →＝0.故选A. 4．[2018·珠海模拟]已知A (1，－1,3)，B (0,2,0)，C (－1,0,1)，若点D 在z 轴上，且AD →⊥BC →，则|AD →|等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6 答案 B解析 ∵点D 在z 轴上，∴可设D 点坐标为(0,0，m )，则AD →＝(－1,1，m －3)，BC →＝(－1，－2,1)，由AD →⊥BC →，得AD →·BC →＝m －4＝0，∴m ＝4，AD →＝(－1,1,1)，|AD →|＝1＋1＋1＝ 3.故选B.5．[2018·东营质检]已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66 D ．±6 答案 C解析 OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66. 经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.故选C.6．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .故选A.7．[2018·舟山模拟]平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8 答案 A解析设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.故选A.8．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．答案 (5,13，－3)解析设D (x ，y ，z )，则AB →＝DC →.∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y ，－5－z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴D (5,13，－3)．9．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．答案 2解析由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，又AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6(x －4)－6＋18＝0，(x －4)2＝4，解得x ＝2. 10．[2018·南昌模拟]已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83解析由题意，设OQ →＝λOP →，即OQ →＝(λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83.[B 级知能提升]1．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不确定答案 B解析如图，令AB →＝a ，AC →＝b ， AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC → ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a )＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.故选B.2．[2018·广西模拟]A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案 C解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0，∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．故选C.3.[2018·包头模拟]如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．答案 (1,1,1)解析由已知得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，设P (0,0，a )(a >0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2，所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，|DP →|＝a ，|AE →|＝(－1)2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝2＋a 24＝8＋a 22.又cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以0×(－1)＋0×1＋a 22a ·8＋a 22＝33，解得a 2＝4，即a ＝2，所以E (1,1,1)．4．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB .若存在，求出点G 坐标；若不存在，试说明理由．解 (1)证明：如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0,0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)假设存在满足条件的点G ，设G (x,0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．5．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|BN →| ＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝ 3.(2)依题意，得A 1(1,0,2)， B (0,1,0)，C (0,0,0)， B 1(0,1,2)．所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明：依题意，得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0.所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，A 1B →⊥C 1M →.所以A 1B⊥C 1M .。

2019届高三好教育精准培优专练数学(理)(学生版)

数学（理）培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型932019届高三好教育精准培优专练1．单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y xx +-+=的单调递增区间为________．2．利用单调性求最值例2：函数y x =________．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（） A ．404 B ．804C ．806D ．402培优点一函数的图象与性质６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为（） A ．1- B ．1C ．0D ．无法计算一、选择题1．若函数()2f x x a =+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为（） A ．2-B ．2C ．6-D ．62．已知函数()2log 1y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =， ()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（） A ．4B ．3C ．2D ．1对点增分集训6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（）7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（） A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（） A ．()1e x f x +=B ．()1e x f x -=C ．()1e x f x -+=D ．()1e x f x --=9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（） A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（） A ．0B ．2C ．3D ．412．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（） A ．[0,3]B ．(1,3)C ．2⎡⎣D ．(22-+二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______． 14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值；（3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．培优点二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭ 3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()1010x x x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（） A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（）对点增分集训A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根（2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根（3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根（4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象；（2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值；（3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-培优点三含导函数的抽象函数的构造例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()ex f x h x = 例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对点增分集训一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（） A ．()()af b bf a 或 D ．}{1x x |>3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（） A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ42f⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（）A ．()()214f f ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <⎡⎤⎣⎦'，则（） A ．()()10f f C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（） A ．()()()1f a a f b >+ B ．()()()1f b a f a >- C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)e f =．则(1)f 的值为________．14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为_________．15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．培优点四恒成立问题2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[],3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()3,11-B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,73．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞对点增分集训6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（） A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（） A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1：求函数()()32333e x=+--的单调区间f x x x x-2．函数的极值例2：求函数()e x f x x -=的极值．3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数()()ln mf x x m x=-∈R 在区间[]1,e 上取得最小值4，则m =___________．一、单选题1．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（） A ．() 0,1B ．() 0,+∞对点增分集训C ．() 1,+∞D ．()() ,01,-∞+∞2．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（） A ．()f x 有极大值1- B ．()f x 有极小值1- C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值03．已知函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．2a >-B ．3a ≥-C ．32a -≤<-D ．32a -≤≤-4．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数1ln sin 1x y x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点，则（）A ．1122a -<D ．12a ≤-或12a ≥7．已知()22f x ax x a =++，x ∈R ，若函数()()()322g x x a x f x =---在区间()1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <-或3a >B ．1a ≤-或3a ≥C ．9a <-或3a >D ．9a ≤-或3a ≥8．函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x ='，则不等式()0f x '≤的解集为（）A ．[]1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．[)31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9．设函数()()1ln 03f x x x x =->，则()y f x =（）A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间()1,e 内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间()1,e 内有零点10．若函数()()323321f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．12a -<11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1内，则2a b -的取值范围是（）A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若在区间 (),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()5421122012f x x mx x =--在区间()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围为（）A ．31,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,59⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],5-∞D ．(],3-∞-二、填空题13．函数()3222f x x x =-在区间[]1,2-上的最大值是___________．14．若函数()32334f x x ax x a =-+-在(),1-∞-，()2,+∞上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是______． 15．函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R 在[]1,2内不存在极值点，则a 的取值范围是___________． 16．已知函数()e ln x f x a x =+， ①当1a =时，()f x 有最大值；②对于任意的0a >，函数()f x 是()0,+∞上的增函数； ③对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值； ④对于任意的0a >，都有()0f x >．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R （1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：2e e ln 0x x ->恒成立．18．已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ，其导函数为()'y f x =．（1）当2b =时，若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设0a ≠，点()(),,P m n m n ∈R 是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数()00x x m ≠使得()()000'2x m f x n f x m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭成立？并证明你的结论．1．求三角函数值例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．培优点六三角函数2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．3．三角函数的性质例3：函数()2cos2f x x x +（）A ．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（） A ．13-B ．79-C ．13D ．792．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．14C ．13D ．124．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（） A ．1 B ．πsin5C ．π2sin5D6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（）对点增分集训A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2，2π3D ．2，π3-7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（）A ．3B ．5C ．7D ．98．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（） A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（） A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（） A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是_________． 14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．15．函数()sin2f x x x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin2α值．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c =b =，60B =o ，则C =_____． 2．恒等式背景培优点七解三角形例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） ABCD2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅u u u v u u u v等于（）A ．19B ．19-C ．18D ．18-3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c =3b a =，则ABC △的面积为（）对点增分集训AB C D 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =那么ABC △外接圆的半径为（） A ．1BC ．2D ．47．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（） A ．8B ．16C ．32D ．6410．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s a b cA B C==，则ABC △是（） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，c =，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____； 14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2si n c o s 2s i n c o s b C A A C+=-，且a =ABC △面积的最大值是________16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b =，则ABC △面积的取值范围是__________．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C cos 2sin A C+=．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（）培优点八平面向量A ．3B ．3- C． D2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=uuu v uu u v__________．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（） A ．12-B ．12C ．2 D2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+a b ⋅=a b （） A ．1BCD ．23．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（）A ．1-B ．1C． D4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =uuu v b ，则AO =uuu v（）对点增分集训A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅u u u v u u u v 的最大值为（） A ．2- B ．32-C ．34 D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（） A ．4πB ．2π C ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅u u v u u u v的最大值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=o a b c c ，则c 的最大值等于（）A ．1B C D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uuu v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uuu v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（） A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 14．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到培优点九线性规划例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．72．目标函数为二次式例2：若变量x ，y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（）AB ．7C ．9D ．103．目标函数为分式例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．面积问题例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为（）A ．73B ．37C ．173-D ．317-一、单选题1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-对点增分集训2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（） A ．94B ．274C ．9D ．2723．已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x a y =-只在点()43,处取得最大值，则a 的取值范围是（） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞, C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（）A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（）AB ．4C ．9D ．106．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（）AB ．1CD7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则215y x ≤+成立的概率为（）A ．1556B ．1116 C ．58D ．389．若x ，y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为（）A ．7B ．6C ．265D ．410．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A 的坐标为)．则z OM OA =⋅u u u v u u v的最大值为（）A．B．C ．4D ．311．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（） A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UB ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭UC ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．设x ，y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =++的最大值为____________．14．若变量x ，y 满足约束条件210220x x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为_________．15．已知实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为______．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．1．等差数列的性质培优点十等差、等比数列例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（） A ．10B ．20C ．100D ．2003．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，则有（） A ．66a b = B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（） A ．4B ．2C ．2-D ．4-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（） A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12对点增分集训6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（） A ．5-B ．0C ．5D ．77．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（） A ．182-B ．78-C ．148-D ．82-9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（） A ．3B ．4-C ．5-D ．610．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（） A ．27B ．36C ．45D ．6611．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（） A ．01q <D ．6K 与7K 均为n K 的最大值12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比q 1231a a a ++=，则12S 的值是___________．。

2019届浙江省高三新高考优化提升卷(三)数学试题解析

绝密★启用前2019届浙江省高三新高考优化提升卷（三）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N ⋃=（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞答案：A解：试题分析：{}{}2|0,1M x x x ===,{}{|lg 0}|01N x x x x =≤=<≤,所以，故选A.2．已知12z i =-+，在复平面内，复数z 与1z 所对应的点关于虚轴对称，则1zz =（） A ．3455i + B ．3455-i C ．3455i -+ D ．3455i -- 答案：A由题意求出z 对应的点为()1,2-，从而可求出1z 对应的点()1,2，即可求出112z i =+，结合复数的除法运算可求出1zz 的值.解：依题意得112z i =+，z 对应的点为()1,2-，所以1z 对应的点()1,2，即112z i =+，所以112(12)(12)3412(12)(12)55z i i i i z i i i -+-+-===+++-. 故选:A. 点评：本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了复数对应的点.本题的易错点在于计算，应注意21i =-而不是1.3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．43B ．83C ．163D ．323答案：B 解：该几何体的直观图如图所示，是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，据此可得该几何体的体积为：221118(2)2(2)2.2323V =⨯⨯+⨯⨯⨯= 本题选择B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 4．已知向量(1,3)a =-r ，向量(2,1)=r b ，若()a kb b +⊥r r r，则实数k 的值为（） A ．0 B ．15C ．45D ．1答案：B先求得a kb +r r的坐标，再根据()a kb b +⊥r r r ，由()0a kb b +⋅=r r r 求解.解：因为向量(1,3)a =-r，向量(2,1)=r b ，所以(12,3)a kb k k +=+-r r ，因为()a kb b +⊥r r r ，所以()2(12)30a kb b k k +⋅=++-=r r r ，解得15k =.故选：B . 点评：本题考查平面向量的数量积及坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．函数()cos y x x x ππ=-≤≤的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：A试题分析：由题意得，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ，C ，又∵2x π=，0y =，排除D ，故选A.【考点】函数的性质及其图象.6．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂且n ⊂α，则l α⊥B ．若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m α⊥C ．若//m β，//n β，m α⊂且n ⊂α，则//αβD ．若//αβ，l α⊥，//m l 且n β⊂，则m n ⊥答案：D由题意，A 中，根据线面垂直的判定定理，只有当直线m 与直线n 相交时，才能得到l α⊥，所以不正确；B 中，根据面面垂直的性质定理可知，只有当m β⊂时，才能得到m α⊥，所以不正确；C 中，当//m n 时，此时平面α与平面β可能是相交平面，所以不正确；D 中由//,l αβα⊥，则l β⊥，又//m l ，则m β⊥，又因为n β⊂，所以m n ⊥，所以是正确的，故选D.7．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，以坐标原点O 为圆心，以OF 为半径的圆与该双曲线的渐近线在y 轴右侧的两个交点记为,A B ，且120AFB ︒∠=，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D答案：C设点A 在第一象限，由222,b y x ax y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩和0x >，求得(,)A a b ，同理得(,)B a b -，然后根据120AFB ︒∠=，得到||||AB AF =，即2b =.解：设点A 在第一象限，由222,b y x ax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩和0x >，解得,,x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)A a b ，同理得(,)B a b -，因为120AFB ︒∠=，所以|||AB AF =，即2b =22223()c a b c a -==-，化简得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==，故选：C . 点评：本题考查双曲线的几何性质、圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则（） A ．()5,()3E X D X => B ．()5,()3E X D X =< C ．()5,()3E X D X <> D ．()5,()3E X D X <<答案：B分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得(),()E X D X 的值，进而得到正确的选项.详解：根据题意可知，58559EX ⨯+==（）， 238(55)8()393D X ⨯+-==<，故选B.点睛：该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正确的答案.9．若存在实数a ，对任意(0,]x m ∈，不等式()212ln 0ax x a x---⋅≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,2]B ．10,2⎛+ ⎝⎦C ．30,2⎛- ⎝⎦D ．30,2⎛+ ⎝⎦答案：B将条件等价转化为函数2()2f x x x =-的图象和函数()1g x x =-的图象分别位于直线y a =的两侧，然后结合图象求出答案即可.解：对任意(0,]x m ∈，不等式()212ln0ax x a x---≤恒成立，等价于不等式()22[ln(1)ln ]0x x a a x ----≤恒成立，等价于)2(2(1)0x x a a x ----≤恒成立，等价于()22[(1)]0a x x a x ⎡⎤--⋅--≤⎣⎦恒成立，等价于函数2()2f x x x =-的图象和函数()1g x x =-的图象分别位于直线y a =的两侧在直角坐标系内画出函数2()2f x x x =-和函数()1g x x =-的图象如图所示，由221y x x y x ⎧=-⎨=-⎩解得35A x -=,所以两个函数图象的横坐标较小的交点坐标为3515,22A ⎛⎫--+⎪⎝⎭，由图易得当152a -+=时，m 取得最大值，令21522x x -+-=，解得max 152m +=，所以m 的取值范围为150,⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦，故选：B 点评：本题考查不等式恒成立问题、函数的性质，将题中的不等式恒成立问题转化为函数图象的问题是解题的关键.10．如图，二面角BC αβ--的大小为6π，,AB CD αβ⊂⊂，且2AB =，2BD CD ==，4ABC π∠=，3BCD π∠=，则AD 与β所成角的大小为（）A ．4π B ．3π C ．6π D ．12π答案：C取BC 的中点为E ，连接,AE DE ，根据2BD CD ==，3BCD π∠=，得到DE BC ⊥，由222AE BE AB +=，得到AE BC ⊥，从而AED ∠为二面角BC αβ--的平面角，则BC ⊥平面AED ，6AED π∠=，平面β⊥平面AED ，则ADE ∠即为AD 与平面β所成的角，然后在AED V 中由余弦定理求解. 解：如图所示：设BC 的中点为E ，连接,AE DE ，因为2BD CD ==，3BCD π∠=，所以DE BC ⊥，2BC =，则22113241,--=====B BE BC DE D BE 又因为2AB =，4ABC π∠=，所以1AE =，222AE BE AB +=，所以,AE BC AE DE E ⊥⋂=，所以AED ∠为二面角BC αβ--的平面角， BC ⊥平面AED ，所以6AED π∠=，因为BC β⊂，所以平面β⊥平面AED ，过A 作AF DE ⊥，所以AF ⊥平面β，所以DE 为AF 在平面β内的射影，所以ADE ∠即为AD 与平面β所成的角，在AED V 中，由余弦定理得:222cos +-⋅∠AD AE DE AE DE AED ，31321312=+-⨯⨯⨯= 所以1AD AE ==，所以AED V 是等腰三角形，所以6ADE AED π∠=∠=，故选：C. 点评：本题只有考查线面角、二面角的求法及应用，还考查了空间想象和推理论证，运算求解的能力，属于中档题. 二、双空题11．已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=，若12l l //，则a =__________；若12l l ⊥，则a =__________．答案：4-912//,326, 4.l l a a ∴=⨯∴=Q 12,2360,9.l l a a ⊥∴+⨯=∴=-Q12．将函数sin 2()y x x x R =+∈的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为______，此时函数的最大值为______. 答案：12π2由两角和的正弦化简sin 22sin 23y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,平移后由函数为偶函数得到2,32m k k Z πππ+=+∈,由此可求最小正数m 的值;根据化简2cos2y x =,可得此时函数的最大值为2. 解：解:sin 22sin 23y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其函数图象向左平移m 个单位长度后得到的函数图象的解析式为2sin 2()3y x m π⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦2sin 223x m π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称，所以2,32m k k Z πππ+=+∈，解得,122k Z m k ππ=+∈. 又因为0m >，所以m 的最小值为12π，此时函数2sin 22123y x ππ⎛⎫=+⨯+= ⎪⎝⎭2cos2x ，数的最大值为2.故答案为:(1)12π;(2)2点评：本题考查三角函数的图象和性质,考查了()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的平移,考查了三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的奇偶性的性质,是基础题.13．若实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y ＝1，则21x y+的最小值是__，22x y x y -+的最大值为__．答案：214先根据对数的运算性质可得xy ＝2，再根据基本不等式即可求解：解：实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y ＝1，则xy ＝2，则21x y +≥=2，当且仅当21x y =，即x ＝2，y ＝1时取等号，故21x y+的最小值是2， ()2222114()2()44x y x y x y x y x y xy x y x y x y---===≤=+-+-+-+-，当且仅当x-y 4x y=-，即x ﹣y ＝2时取等号故22x y x y -+的最大值为14，故答案为2，14．点评：本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题．14．若6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-L ，则123456a a a a a a +++++=______，3a =____.答案：6320观察等式右边特点，含有1x -的各次幂，所以先变形，再用赋值法及二项式展开式特定项的通项公式求解. 解：由666016[1(1)](1)(1)x x a a x a x =+-=+-++-L ，令1x =，得01a =，令2x =，得63126036263,20a a a a a C +++=-===L . 故答案为：63；20. 点评：本题主要考查二项式定理的应用，解题的关键是赋值，本题属于基础题. 三、填空题15．由1,1,2,2,3,3,4,4可组成不同的四位数的个数为__________．答案：204根据所选的数字的情况将此问题可以分为以下三种情况：i ）选取的4个数字是1,2,3,4；ii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组；iii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出. 解：详解：i ）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成44A 个不同的四位数；ii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组有24C 种取法，如假设取的是1，1，2，2四个数：得到以下6个四位数：1122，2211，1212，2121，1221，2112．所以此时共有246C 个不同的四位数；iii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组有14C 种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有23C 种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有24A 种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有12224342C C A C ⋅⋅⋅个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是4212224443426204A C C C A C +⋅+⋅⋅⋅=，故答案为：204 点评：本题考查了排列与组合的计算公式及其乘法原理、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．16．正四面体ABCD 的棱长为2，的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅u u u u v u u u v的最小值是__________．答案：4-很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且：()()()2420,AM AN AD DM AD DN AD AD DM DN DM DN AD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v当向量,AD DO u u u v u u u v 反向时，AM AN ⋅u u u u r u u u r取得最小值：4224-⨯=-.17．已知,,()a b c R a c +∈>，关于x 的方程2x ax b cx -+=恰有三个不等实根，且函数()f x =2x ax b cx -++的最小值是2c ，则ac=_______．答案：5由条件可得直线y cx =与2y x ax b =-+-相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得a b c ，，的方程，再由函数()f x =2x ax b cx -++的单调性，可得()f x 的最小值，化简变形即可得到a c ，的关系式，可得所求值．解：关于x 的方程2x ax b cx -+=恰有三个不等实根，可得直线y cx =与2y x ax b =-+-相切，设切点为m n （，），2y x a '=-+，则22m a c cm m am b -+==--+，，消去m ，可得214b ac （），=-设2y x ax b =-+与x轴的两个交点的横坐标为：12x x ==()f x =2x ax b cx -++，当1x x =时，()f x 取得最小值是2c ，即有2c c =，可得2242a b a c -=-（），即为2222a a c a c --=-（）（），化为50a c a c （）（）--=，可得5a c =或a c =，由a c ＞，可得5a c =，即5ac=．故答案为5．点评：本题考查二次函数的图象和性质，以及导数的概念和应用，考查函数的最值的求法，以及运算能力，属于中档题．四、解答题18．设函数2()sin 2cos cos 6f x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若||4x π…，求函数()f x 的最大值.答案：（1）最小正周期T π=；单调递增区间是,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）52（1）利用三角恒等变换，将函数化简为1()2sin(2)62f x x π=++，然后利用整体代换的方式，求得函数的最小正周期及单调递增区间；（2）利用整体代换，结合正弦函数的性质，求解函数在给定区间的最大值. 解：解：（1）11cos2()2cos2222x f x x x x +=+++Q 12cos22x x =++12sin(2)62x π=++，∴函数()f x 的最小正周期T π=，由222()262k x k k Z πππππ-++∈剟，得()36k x k k Z ππππ-+∈剟，∴函数()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈.（2）||4x πQ …，22363x πππ∴-+剟， 3sin(2)16x π∴-+剟， ∴函数()f x 的最大值为52. 点评：本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A x k w j ++或cos()A x k w j ++的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.19．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD V 是正三角形，E 为其中心.面ABC ⊥面BCD ，30ACB ∠=o，2AB BC ==，M 是BD 的中点，2AN NM =u u u r u u u u r.（1）证明：//EN 面ABC ；（2）求BC 与面ANE 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）77（1）连接CM ，由重心的性质可得在AMC V 中有AN CENM EM=，则//EN AC ，结合线面平行的判定定理可得//EN 平面ABC ；（2）解法一：作AF BC ⊥交CB 的延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，由题意可得FCG ∠为BC 与面ANE 所成角，7sin FG FCG FC ∠==；解法二：以BC 中点为原点，建立空间直角坐标系.可得()2,0,0CB =u u u r，面ANE 的法向量为()1,3,3n =-r ，则所求角的正弦值7sin cos<,>7n CB θ==r u u u r .解：（1）连接CM ，因为E 是正三角形BCD V 的中心，所以E 在CM 上且2CE EM =，又2AN NM =u u u r u u u u r ，所以在AMC V 中有AN CENM EM=，所以//EN AC ，又EN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//EN 平面ABC ；（2）解法一：作AF BC ⊥交CB 的延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，Q 面ABC ⊥面BCD ，面ABC I 面BCD BC =，AF BC ⊥，AF ⊂面ABC ，AF ∴⊥面BCD ，CH ⊂Q 平面BCD ，所以AF CH ⊥，又//FH BM ，所以FH CH ⊥，所以CH ⊥面AFH ，CH ⊂Q 平面ACH ，所以，面ACH ⊥面AFH ，作FG AH ⊥，则FG ⊥面ACH ，连接CG ，则FCG ∠为BC 与面ANE 所成的角， ∴7sin FG FCG FC ∠==，即BC 与面ANE 所成角的正弦值为7；解法二：以BC 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.2AB BC ==Q ，30ACB ∠=o ，(A ∴，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()0,D，1,2M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，(CA =u u u r，3,2CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,0,0CB =u u ur .设面ANE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CA n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v，即303022x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取(n =r，sin cos<,>n CB n CB n CBθ⋅∴===⋅r u u u r r u u u r r u u u r ，因此，BC 与面ANE. 点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了线面角正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈，（1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值. 答案：（I ）见解析（2）3,n n c =最大，即3k =（1）由题可得121221n n n n a a n a a n +++=+=++，两式相减，得()211121n n n n a a a a +++-+=-+，即12n n b b +=，求出120b =≠，即可得证；（2）由（1）可知，2n n b =即121n n n a a +-=-，通过累加可得21nn a n =--则213n n n n c --=，而112123n n n n n c c +++--=，令()212nf n n =+-，讨论()()122n f n f n +-=-的符号可得n c 的最大值，进而得到n .解：（1）121221n n n n a a n a a n +++=+=++Q ，两式相减，得211221n n n n a a a a +++-=-+ ∴()211121n n n n a a a a +++-+=-+即：12n n b b +=21120a b ==≠Q 又，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +-=-2121a a -=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11212n n n a a n ---=-≥()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=--2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==也满足上式 21n n a n ∴=--111212233n n n n n n n n c c +++----=∴= 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，()()122n f n f n ∴+-=-()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅> ()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<Q123345...c c c c c c ∴>，∴3,n n c =最大，即3k = 点评：本题考查等比关系的证明，以及数列的综合应用，属中档题.21．已知点F 是抛物线22,(0)x py p =>的焦点，点A 是抛物线上的点，且(2,0)AF =u u u v，点,B C 是抛物线上的动点，抛物线在,B C 处的切线交于点D .（1）求抛物线的方程；（2）设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，若BCD ∆的面积为32，求证：21k k -为定值.答案：（1）24x y =；（2）证明见解析试题分析：（1）设()00,,0,,2p A x y F ⎛⎫⎪⎝⎭结合()00,2,02p AF x y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭u u u v 可得抛物线的方程为24x y =（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则过点B 的切线方程为21124x x y x =-，过点C 的切线方程为22224x x y x =-，则BC 中点221212,28x x x x P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由面积公式121·322BCD S DP x x ∆=-=,得：128x x -=故212124x x k k --==为定值.试题解析：（1）设()()0000,,0,,,2,022p p A x y F AF x y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v ，得02,2x p =-=所以抛物线的方程为24x y =；（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过点B 的切线方程为()211142x x y x x -=-，即21124x x y x =-，同理过点C的切线方程为22224x xy x=-，由2 112 22 24 24 x xy xx xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，1212·,24D Dx x x xx y+==,即1212·,24x x x xD+⎛⎫⎪⎝⎭，取BC中点221212,28x x x xP⎛⎫++⎪⎝⎭，322121212121211··32228416BCDx xx x x xS DP x x x x∆-+=-=--==,得：128x x-=，由21121211224,244xx xk kx---===+，212124x xk k--==为定值.点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知函数1()(ln1)f x a xx=-+.（1）讨论函数()f x的单调区间；（2）若函数()f x的图象与x轴相切，求证：对于任意的2(1)(0,1],()xm f xmx-∈…. 答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；（1）先对函数进行求导，然后根据实数a的取值情况进行讨论，结合导数的正负，判断求解函数的单调性与单调区间；（2）因为函数()f x 的图象与x 轴相切，由（1）可知，0a >且10f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，可求出()f x ，当(0,1],(0,)m x ∈∈+∞时，22(1)(1)x x mx x --…恒成立，为证明对于任意的2(1)(0,1],()x m f x mx -∈„成立，只要证明2(1)()x f x x -„即可，令2(1)()()x g x f x x-=-，然后在利用导数在函数最值中的应用，即可证明()(1)0g x g =„，由此即可证明不等式成立.解：解：（1）函数的定义域是21(0,),()ax f x x'-+∞=，当0a „时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，10,,()0x f x a '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,,()0x f x a '⎛⎫∈+∞> ⎪⎝⎭，()f x ∴在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）证明：因为函数()f x 的图象与x 轴相切，设切点为0(,0)x ，0002011()00ax f x x x a'-==∴=> 11ln 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =，1()ln 1f x x x∴=-+，又当(0,1],(0,)m x ∈∈+∞时，22(1)(1)x x mx x --…恒成立，令2(1)()()ln 1x g x f x x x x-=-=+-，由1()0xg x x'-==，得1x =， (1)g ∴是()g x 的最大值， ()(1)0g x g ∴=…，22(1)(1)()x x f x xmx--∴剟成立. 点评：本题考查导数在研究函数中的应用、导数在不等式中的应用，属于中档题.。

2019版高考数学理培优增分一轮全国经典版增分练：第4

板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．[2018·许昌模拟]设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10 答案 B解析由a ⊥c ，得a ·c ＝2x －4＝0，解得x ＝2.由b ∥c ，得12＝ y－4，解得y ＝－2.所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.故选B.2．[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析 AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.故选A.3．[2016·全国卷Ⅲ]已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 A解析 cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°.故选A.4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 答案 B解析由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则|a |2－4a·b ≥0，即a·b ≤14|a |2.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( )A ．18B ．3C ．15D ．12 答案 A解析由题意可得△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝32，AM →＝BA →，故CM →·CA →＝(CA →＋AM →)·CA →＝CA →2＋AM →·CA →＝9＋(CA →－CB →)·CA →＝9＋CA →2－CB →·CA →＝9＋9－0＝18.故选A.6．[2018·济宁模拟]平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形答案 C解析因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．故选C.7．[2018·重庆模拟]已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π6 答案 C解析 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.故选C.8．[2018·南宁模拟]已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|＝________.答案10解析由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝12，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，所以|2α＋β|＝10.9．[2018·北京东城检测]已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.答案 8 2解析由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.10．如下图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边BC 的中点，则AD →·BC →＝________.答案－52解析利用向量的加减法法则可知AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(－AB →＋AC →)＝12(－AB →2＋AC →2)＝－52.[B 级知能提升]1．[2018·石家庄模拟]在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AC →·BC →＝1，则BC ＝( )A. 3B. 2 C ．2 D ．3 答案 D解析设∠A ＝θ，因为BC →＝AC →－AB →，AB ＝4，AC ＝3，所以AC →·BC →＝AC →2－AC →·AB →＝9－AC →·AB →＝1. AC →·AB →＝8.cos θ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝83×4＝23，所以BC ＝16＋9－2×4×3×23＝3.故选D.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝ (0,2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．答案 2解析由已知得AB →＝(－3,3)，设C (x ，y )，则OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0，所以x ＝y . AC →＝(x －3，y ＋1)．又AC →＝λOB →，即(x －3，y ＋1)＝λ(0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ，由x ＝y 得，y ＝3，所以λ＝2.3．[2018·东营模拟]若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为________．答案 π3解析由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2.故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.又0≤θ≤π，所以θ＝π3.4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0. ∴λ＞－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0. 即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ＞－53且λ≠0.5．[2017·全国卷Ⅱ改编]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，求P A →·(PB →＋PC →)的最小值．解解法一：设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时P A →·(PB →＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34.因此，当x ＝－14，y ＝34时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.。

四川省成都市第七中学2019届高三第一次诊断性检测数学(理)试题(解析版)

2019年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若随机变量～，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：随机变量～，且，．故选：A．由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．2.函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R，，故排除A，C；，当时，，可知在上为减函数，排除B．故选：D．由函数的定义域及排除A，C，再由导数研究单调性排除B，则答案可求．本题考查函数的图象及图象变换，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．3.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图其中四边形是为体现直观性而作的辅助线当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据几何体的直观图：由于直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，该几何体的俯视图为有对角线的正方形．故选：B．直接利用直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同，从而得出俯视图形．本题考查的知识要点：直观图和三视图之间的转换，主要考查学生的空间想象能力和转化能力，属于基础题型．4.设i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：由，得，即．的虚部为．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.执行如图的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入A.B.C.D.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为120．可得横线处应填入的条件为．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.设实数x，y满足，则的最大值是A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点与点的连线的斜率，由，解得：，，故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．7.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：，推不出，推不出，“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．首先转化，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.函数的图象的一条对称轴方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：．由，得，，当时，，即函数的对称轴为，故选：B．利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的对称性，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．9.将多项式分解因式得，m为常数，若，则A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】解：由，，可得：，解得，即为：，时，，故选：D．由两，通过，求出m，然后利用二项式定理求解即可．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球与四个面都相切的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：过顶点V做平面ABC是正三棱锥，为中心，过O做，垂足为D，连接VD，则为侧面与底面成的二面角，侧面与底面成的二面角，，，，，，．，为内切球的半径．，内切球的表面积．故选：B．过顶点V做平面ABC，过O做，垂足为D，连接VD，则为侧面与底面成的二面角，从而，分别求出OD、AB、VD的长，由此利用等体积法求解．本题考查棱锥的外接球球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A. 2B. 4C.D.【答案】A【解析】解：，，，，，，，，故选：A．先根据正余弦定理求出，，再将，化为，后用数量积可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．12.如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列已知数列的项数为4，记事件A：集合2，3，4，，事件B：为“局部等差”数列，则条件概率A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由已知数列{x n}的项数为4，记事件A：集合{x1，x2，x3，x4}{1，2，3，4，5}，则事件A的基本事件为：，，，，，共5个，在满足事件A的条件下，事件B：{x n}为“局部等差”数列有，共1个，即条件概率P（B|A）=，故选：C．由即时定义可得：事件A的基本事件为：，，，，，共5个，在满足事件A的条件下，事件B：{x n}为“局部等差”数列有，共1个，由条件概率可得：P（B|A）=，得解．本题考查了对即时定义的理解及条件概率，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为______．【答案】12【解析】解：高中部女教师有6人，占，则高中部人数为x，则，得人，即抽取高中人数15人，则抽取初中人数为人，则男教师有人故答案为：12根据高中女教师的人数和比例，先求出抽取高中人数，然后在求出抽取初中人数即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据人数比例以及男女老少人数比例建立方程关系是解决本题的关键．14.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且，若，则的值为______．【答案】3【解析】解：根据题意画出图形，如图所示；抛物线，焦点，准线为；设，，则，解得，；，，又，，解得．故答案为：3．根据题意画出图形，结合图形求出抛物线的焦点F和准线方程，设出点M、N的坐标，根据和求出的值．本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题．15.设，，c为自然对数的底数，若，则的最小值是______．【答案】【解析】解：，，则，即，由基本不等式得，则，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为．故答案为：．利用定积分计算出，经过配凑得出，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式可得出的最小值．本题考查定积分的计算，同时也考查了利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题．16.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意函数可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，有一个零点，函数图象的右半部分为开口向上的3次函数的一部分，必须有两个零点，，，如上图，要满足题意：，，可得，解得．综合可得，故答案为：．由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，3次函数的图象由最小值并且小于0，x大于0的部分，只有两个交点．本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.正项等比数列中，已知，．Ⅰ求的前n项和；Ⅱ对于Ⅰ中的，设，且，求数列的通项公式．【答案】解：Ⅰ正项等比数列的公比设为q，已知，，可得，，解得，，即；Ⅱ，且，可得．【解析】Ⅰ正项等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求求和；Ⅱ由，结合数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和求和方法：分组求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇～年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由【答案】解：Ⅰ频率分布直方图中第四组的频率为，则江南Q镇在梅雨季节时降雨量超过350mm的概率为，所以Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率为或；Ⅱ根据题意，总利润为元，其中，700，600，400；所以随机变量万元的分布列如下图所示；则总利润万元的数学期望为万元，因为，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大．【解析】Ⅰ由频率分布直方图计算对应的频率，利用频率估计概率，求出对应的概率值；Ⅱ根据题意计算随机变量的分布列和数学期望，比较得出结论和建议．本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19.已知椭圆的离心率为，且经过点．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ设O为椭圆的中心，点，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点C满足．，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程．【答案】解：Ⅰ椭圆的离心率，且，，，椭圆的标准方程为，Ⅱ设直线l的方程为当t存在时，由题意，代入，并整理可得，解得，于是，即，设，，解得，于是，，，，，，直线BD与OC的交点P的轨迹是以OD为直径的圆除去O，D两点，轨迹方程为，即，【解析】Ⅰ根据椭圆的离心率和，即可求出椭圆的方程，Ⅱ设直线l的方程为当t存在时，由题意，代入，并整理可得，求出点B的坐标，根据向量的运算求出点C的坐标，再根据向量的运算证明，即可求出点P的轨迹方程本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，函数与方程的思想的应用．20.如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2．Ⅰ作平面CDE与平面ABE的交线l并写出作法及理由；Ⅱ求证：平面平面ACE；Ⅲ若多面体ABCDE的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．【答案】解：Ⅰ过点E作或的平行线，即为所求直线l．理由如下：和BD交于一点，，B，C，D四点共面，又四边形ABCD边长均相等，四边形ABCD为菱形，从而，又平面CDE，且平面CDE，平面CDE，平面ABE，且平面平面，．证明：Ⅱ取AE的中点O，连结OB，OD，，，，，，平面OBD，平面OBD，，又四边形ABCD是菱形，，又，平面ACE，又平面BDE，平面平面ACE．解：Ⅲ由多面体ABCDE的体积为2，得，，设三棱锥的高为h，则，解得，，平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，0，，1，，1，，1，，1，，设平面BCE的法向量y，，则，取，得，设直线DE与平面BCE所成角为，则．直线DE与平面BCE所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ过点E作或的平行线，即为所求直线由AC和BD交于一点，得A，B，C，D四点共面，推导出四边形ABCD为菱形，从而，进而平面CDE，由此推导出．Ⅱ取AE的中点O，连结OB，OD，推导出，，从而平面OBD，进而，由四边形ABCD是菱形，得，从而平面ACE，由此能证明平面平面ACE．Ⅲ由，得，求出三棱锥的高为，得平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面BCE 所成角的正弦值．本题考查两平面的交线的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知函数，其中a为常数．Ⅰ若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a之值；Ⅱ若对，都有，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ函数的导数为，由题意可得，，可得切线方程为，即有，解得；Ⅱ若对，，在递减，当时，，在递减，，由恒成立，可得，与矛盾；当时，，在递增，可得即，由恒成立，可得且，可得；当时，，，且在递减，可得存在，，在递增，在递减，故，由恒成立，可得，，可得，又的最大值为，由，，可得，设，，，可得在递增，即有，即，不等式恒成立，综上可得a的范围是．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由题意可得a的方程，解方程可得a；Ⅱ若对，，在递减，讨论，，，结合函数的单调性和不等式恒成立思想，以及函数零点存在定理，构造函数法，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数零点存在定理和分类讨论思想方法，以及各种函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为其中t为参数在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系两种坐标系的单位长度相同中，直线l的极坐标方程为．Ⅰ求曲线C的极坐标方程；Ⅱ求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．【答案】解：Ⅰ平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为其中t为参数，曲线C的直角坐标方程为，，将，代入，得曲线C的直角坐标方程为，，将，代入，得，曲线C的极坐标方程为Ⅱ将l与C的极坐标方程联立，消去，得，，，，方程的解为，即，代入，得，直线l与曲线C的公共点P的极坐标为【解析】Ⅰ由曲线C的参数方程求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．Ⅱ将l与C的极坐标方程联立，得，从而，进而方程的解为，由此能求出直线l与曲线C的公共点P的极坐标．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线的公共点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，且a，b，．Ⅰ若，求的最小值；Ⅱ若，求证：．【答案】解：Ⅰ由柯西不等式可得，当且仅当时取等号，即；，即的最小值为．证明：Ⅱ，，故结论成立【解析】Ⅰ根据柯西不等式即可求出最小值，Ⅱ根据绝对值三角不等式即可证明．本题考查了柯西不等式和绝对值三角形不等式，考查了转化和化归的思想，属于中档题．。

2019年高考(山东卷)针对性训练数学(理工类)word精品文档8页

2019年高考（山东卷）针对性训练数学（理工类）本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后将答题卡交回．注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率：(k =0,1,2,…,n).第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集R ，集合，｛｝，则A. B ．C. D ． 2．已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是A ．B ．C ．D ．∥ 3. 是数列的前项和，则“是关于的二次函数”是“数列为等差数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数：其中“同簇函数”的是A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④5．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围A ．B ．C ．D ． 6．一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．B ．C ．D ．第6题图第7题图7．已知实数，执行如上图所示的程序框图，则输出的不小于55的概率为 A ．B ．C ．D ． 8. 函数f （x ）=log |x |，g （x ）=－x 2+3，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是U ={235}A x x =+-<x x x 或{}12>-<x x x 或{}12≥-≤x x x 或a b +a b -a b 2π=a b ||||=a b ⊥a b a b n S {}n a n n S n {}n a 22221(0,0)x y a b a b -=>>y =e (1,2)(1,2]46812[0,8]x ∈x 1412345429．已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．10.过抛物线（p ＞0）焦点作直线交抛物线于A,B 两点，O 为坐标原点，则A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 11.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种12.定义在R 上的函数满足，且为偶函数，当时，有A ．B ．C ．D ．2019年高考（山东卷）针对性训练数学（理工类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1. 第Ⅱ卷共2页，所有题目的答案考生务须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡各题区域内作答；不能写在试题卷上；如有改动，先划掉原来的答案；不能使用涂改液i 、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效；作图时，可用2B 铅笔；要求字体工整，笔迹清晰，在草稿纸上答题无效，考试结束后将答题卡和第Ⅱ卷一并上交. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效。

2019年高考数学(理科)专题八平面向量精准培优专练(含答案)

2D．【解析】考虑b在a上的投影为a⋅b，所以只需求出a，b即可．培优点八平面向量1．代数法例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且a⊥(a+b)，则b在a方向上的投影为（）A．3B．-3C．-33332【答案】Cb由a⊥(a+b)可得：a⋅(a+b)=a2+a⋅b=0，所以a⋅b=-9．进而a⋅b-933==-．故选C．b2322．几何法例2：设a，b是两个非零向量，且a=b=a+b=2，则a-b=_______．【答案】23【解析】可知a，b，a+b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由a=b=a+b=2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a=2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3a=23．3．建立直角坐标系uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD⋅BE=__________．AEB D Cuuuv uuuv1【答案】AD⋅BE=-4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A 0,3⎫⎛1⎛1⎛⎪⎪，B -,0⎪，C ,0⎪，(x,y)，∴CE uv=⎛x-1,y⎫⎪，CA v=⎛ -1,3⎫⎝⎭⎪3 x-⎪=-1x=1⇒⎨333⎪y=⎪⎩3y=2⎪⎩，∴E ,36⎪⎭∴AD= 0,-3⎫⎪⎪，BE=,⎪⎪，∴AD⋅BE=-．⎝2⎭⎝66⎭4，若a-λb与b垂直，则实数λ的值为（v uv v2B．4D．4=2，所以(a-λb)⋅b=2-λ⋅4=0⇒λ=4，故选D．3AB，⎫⎫⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭下面求E坐标：令Euu uu⎝2⎭ 22⎪⎪，由CA=3CE可得：⎨⎪uuu⎛uu⎛53⎫uuu uu uv14对点增分集训一、单选题1．已知向量a，b满足a=1，b=2，且向量a，b的夹角为π）A．-112C．-224【答案】D【解析】因为a⋅b=1⨯2⨯cosπ22．已知向量a，b满足a=1，b=2，a+b=7，则a⋅b=（）A．1B．2C．3D．2【答案】A【解析】由题意可得：a+b2=a2+b2+2a⋅b=1+4+2a⋅b=7，则a⋅b=1．故选A．3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60o，点M在AB边上，且AM=13D．【解析】因为AM=AB，所以DB=AB-AD，DM=AM-AD=AB-AD，uuuv uuuv uuuv uuuv)⎛1uuuv uuuv⎫1uuuv24uuuv uuuv uuuv2则DB⋅BM=AB-AD⋅ AB-AD⎪=AB-AB⋅AD+AD()()v2C．uuuuv uuuv则DM⋅DB=（）A．-1B．1C．-333【答案】B1uuuv uuuv uuuv uuu uv uuuv uuuv1uuuv uuuv33⎝3⎭33141=⨯4-⨯2⨯1⨯+1=1．故选B．332uuuv uuuv uuuv4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB=a，AC=b，则AO=（）11A．a+b2211B．a+b2411C．a+b4211D．a+b44【答案】Buuuv1uuuv【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AE=AC，2uuuv1uuuv uuuv又因为O是BE边的中点，所以AO=AB+AE，2uuuv1uuuv uuuv1uuuv1uuuv11所以AO=AB+AE=AB+AE=a+b，故选B．222245．在梯形ABCD中，AB∥C D，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，动点P和Q分别在线段BC和CD上，uuv uuuv uuu且BP=λBC，DQ=1uuuv uuuv uuuvDC，则AP⋅BQ的最大值为（）8λA．-2B．-334D．98【答案】D【解析】因为AB∥CD，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，因为BP=λBC，DQ=1uuu vuuu v则λ∈(01]，B(2，)，P2-λ,3λ，Q ⎛1⎝8λ，3⎪，()⎛1uu uv uu uv所以AP⋅BQ=2-λ，3λ⋅⎝8λ-2，3⎪=5λ+令f(λ)=5λ+14λ-4-且λ∈(01]，1max=f(1)=5+6．已知△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，P为线段AC上任意一点，则PB⋅PC的范围是（4⎤⎦D．[-2，]C．⎢-，⎥⎡944(0)2则线段AC的方程为x()()设P(x,y)，则PB⋅PC=(-x，-y)23-x，-y=x2+y2-23x=4x2-103x+4．9∵0≤x≤23，∴-≤PB⋅PC≤4．故选C．所以ABCD是直角梯形，且CM=3，∠BCM=30︒，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：uu v uu uv8λDC，动点P和Q分别在线段BC和CD上，，0()⎫⎭⎫⎭114λ-4-8，，8由基本不等式可知，当λ=1时可取得最大值，则f(λ)14-4-18=98．故选D．uu v uu uv）A．[1，]B．[0，]⎣44【答案】C【解析】根据题意，△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，则根据余弦定理可得BC2=4+16-2⨯2⨯4⨯cos60︒=12，即BC=23．∴△ABC为直角三角形以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A(0，)，C23，，23+y2=1，0≤x≤23．u uv u u uv33uu v uu uv42 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 a 与 b 的夹角为（4B ． 2C ． 2 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，2 b 2 +2 b ⨯ b ⨯cos θ - 2 b 2 = 0 ， 2 ， θ =4，∴ a 与 b 的夹角为 4 ，故选 A ．uuu (uu uu)9．设向量 a ， b ， c ，满足 a = b = 1， a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，则 c 的最大值等于（【解析】设 OA = a ， OB = b ， OC = c ，因为 a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，因为 AB = b - a ， AB 2 = (b - a )2 = b 2 + a 2 - 2a ⋅ b = 3 ，所以 AB = 3 ， sin120︒ = 2 ，即过 O ， A ， B ， C 四点的圆的直径为 2，v v v v v v7．已知非零向量 a ， b ，满足 a = 2）A ．ππ3π 4 D ． π【答案】A【解析】非零向量 a ， b ，满足 a =2∴ 3a 2 + a ⋅ b - 2b 2 = 0 ，∴ 3 a 2 + a ⨯ b ⨯ cos θ - 2 b 2 = 0 ，∴ 3 ⨯1 2∴ cos θ =2 π πu uv u uuv8．在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，以 A 为中点的线段 PQ = 2a ，则 BP ⋅ CQ 的最大值为（）A ． -2B ．0C ．2D ． 2 2【答案】B【解析】∵在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，∴ BA ⊥ CA ，∵ A 为线段 PQ 中点，且 PQ = 2a ，uu uuu uuu uu uuuuuv ∴原式 = -a 2 + BA ⋅ AQ - AQ ⋅ CA = -a 2 + AQ BA - CA = -a 2 + AQ ⋅ CB = -a 2 + a 2 cos θ ，uuv uuuv当 cos θ = 1 时，有最大值， BP ⋅ CQ = 0 ．故选 B ．12A ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】Duu v uu uv uuu 1 2所以 ∠AOB = 120 ︒ ， ∠ACB = 60︒ ，所以 O ， A ， B ， C 四点共圆，uu uv u u uv由正弦定理知 2R =AB所以 c 的最大值等于直径 2，故选 D ．10．已知 a 与 b 为单位向量，且 a ⊥ b ，向量 c 满足 c - a - b = 2 ，则 c 的取值范围为（）A ． ⎡⎣1,1 + 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣2 - 2,2 + 2 ⎤⎦）⎦⎦v vuuuv uuu v所以D(1,b)，C(3,b)．BD在BC上的摄影BM=BD cosθ=1+b2cosθ，12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E是线段BC上的点，且DE=BC，则AD⋅AE的A．⎢,⎥B．⎢,⎥C．⎢,⎥D．⎢,+∞⎪C．⎡⎣2,22⎤D．⎡⎣3-22,3+22⎤【答案】B【解析】由a，b是单位向量，a⋅b=0，可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，由向量c满足c-a-b=2，∴(x-1,y-1)=2，∴(x-1)2+(y-1)2=2，即(x-1)2+(y-1)2=4，其圆心C(1,1)，半径r=2，∴OC=2，∴2-2≤c=x2+y2≤2+2．故选B．uuuv u u u uuuv uuuv uuu11．平行四边形ABCD中，AC，BD在AB上投影的数量分别为3，-1，则BD在BC上的投影的取值范围是（）A．(-1,+∞)B．(-1,3)C．(0,+∞)D．(0,3)【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设B(a,0)，则C(3,b)，D(a-1,b)，则3-(a-1)=a，解得a=2．uuuv当b→0时，cos→-1，得到：BM→-1，当b→+∞时，θ→0，BM→+∞，故选A．1uuuv uuuv3取值范围是（）⎡84⎤⎣93⎦⎡48⎤⎣33⎦⎡88⎤⎣93⎦⎡4⎫⎣3⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则 A (0,1) ， B (-1,0) ， C (1,0 ) ，设 D (x ,0 )，则 E x + ,0 ⎪ ， -1 ≤ x ≤ ⎪ ．据此有 AD = (x , -1) ， AE = x + , -1⎪ ，2 1 ⎫2 8 uuuv uuuv 则 AD ⋅ AE = x 2 + x + 1 = x + ⎪ + ．据此可知，当 x = - 时， AD ⋅ AE 取得最小值；当 x = -1 或 x = 1 时， AD ⋅ AE 取得最大值； uuuv ⎛ 3 的取值范围是 ⎢ , ⎥ ．故选 A ． 1⨯ 2 =- 又 a 与 b 的夹角的取值范围为 [0, π]，故 a 与 b 的夹角为 π ．⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ uuuv 2 ⎫ ⎝⎭⎛ 3 ⎝ 3 ⎭ 91 uuuv uuuv 83 9 uuuv uuuv4 3 3uuuv uuuv AD ⋅ AE⎡ 8 4 ⎤ ⎣ 9 3 ⎦二、填空题13．已知向量 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ ) ，若 c ∥(2a + b )，则 λ = ________．【答案】 1．2【解析】因为 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ，所以 2a + b = (4,2 )，又 c = (1,λ ) ，且 c ∥(2a + b )，则 4λ = 2 ，即 λ = 1 2．14．若向量 a ， b 满足 a = 1 ， b = 2 ，且 a ⊥ (a + b ) ，则 a 与 b 的夹角为__________．3【答案】 π4【解析】由 a ⊥ (a + b ) 得， a ⋅ (a + b ) = 0 ，即 a 2 + a ⋅ b = 0 ，据此可得 a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b = -a 2，∴ cos a , b = - 1 2 2，34uuuv uuuv15．已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 是 CD 上的一个动点，则求 AE ⋅ BD 的最大值为________．( )()∴ AE ⋅ BD = AD + λ AB ⋅ AD - AB = AD 2 - λ AB 2 + (λ - 1) A B ⋅ AD = 4 - 4λ ，可得 C (0,0 )， A (0,2 )， B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为 x2 3 +()设 P (x , y )，则 y = 2 - x3 ， 0 ≤ x ≤ 2 3 ， PB = 2 3 - x , - y ， PC = (-x , - y ) ，()+ (2 y ) 2= 4x + 4 y - 8 3x + 12 = 4x + 4 2 - x ⎫2⎪ - 8 3x + 123 x 2 - 40 x - 5 3 ⎫2⎪ + 3 ， ⎝ ⎭ 由 x = 5 3⎣【答案】4uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv【解析】设 DE = λ DC = λ AB ，则 AE = AD + DE = AD + λ AB ，uuuv uuuv uuuv 又 BD = AD - AB ，uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvuuuv uuuv∵ 0 ≤ λ < 1 ，∴当 λ = 0 时， AE ⋅ BD 取得最大值 4，故答案为 4．uuv uuuv16．在 △ABC 中， ∠C = 90 ︒ ， ∠B = 30︒ ， AC = 2 ， P 为线段 AB 上一点，则 PB + PC 的取值范围为____．【答案】 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦【解析】以 C 为坐标原点， CB ， CA 所在直线为 x ， y 轴建立直角坐标系，( ) y2 = 1 ，uuvu uuvu uv u u uv 则| PB + PC 2 = 2 3 - 2 x 2⎛ 2 2 2 ⎝3 ⎭= 16 3 3 x + 28 = 16 ⎛ 3 4 ⎪uuv uuuv 4 ∈ ⎡0,2 3 ⎤⎦ ，可得 PB + PC 的最小值为为uuv uu uv即 PB + PC 的取值范围为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．故答案为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．，uuv uu uv时，则 PB + PC 的最大值。

2019高考数学(理)小题精准押题练(含解析)

小题押题练(一)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}，N ＝{x |0<x <2}，则N ∩(∁U M )＝( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1,2)D ．∅解析：选A 由M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}得M ＝{y |y ≥1}，所以∁U M ＝(－∞，1)，故N ∩(∁U M )＝(0,1)，故选A.2．已知复数z 满足(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( )A ．－1913B ．1913C ．－913D.913解析：选A 由(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i ，得z ＝5－2i 2＋3i－1＝(5－2i )(2－3i )(2＋3i )(2－3i )－1＝4－19i 13－1＝－913－1913i ，所以复数z 的虚部为－1913.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3B ．－2 C.23D ．2解析：选D 因为a ∥b ，所以3sin α＝cos α⇒tan α＝13，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13＋11－13＝2，选D.4．(2018·合肥一模)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( )A ．112B ．51C ．28D ．18解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋7×(7－1)2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.5．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝4x 或x 2＝12y B ．y 2＝4x C ．y 2＝4x 或x 2＝－12yD ．x 2＝－12y解析：选C 设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝ax ，将点(1，－2)代入可得a ＝4，故抛物线的标准方程是y 2＝4x ；设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为x 2＝by ，将点(1，－2)代入可得b ＝－12，故抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上可知，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y 2＝4x 或x 2＝－12y .6．(2019届高三·广州五校联考)已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5)A ．0.045 6B ．0.135 9C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B 因为P (－3<ξ<3)＝0.682 7，P (－6<ξ<6)＝0.954 5，所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)] ＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B.7．(2018·长郡中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的i ＝1，S ＝0，则输出的i 为( )A．7 B．9C．10 D．11解析：选B依题意，执行程序框图，i＝1，S＝0<2，S＝ln 3，i＝3，S<2；S＝ln 5，i＝5，S<2；S＝ln 7，i＝7，S<2；S＝ln 9，i＝9，S>2，此时结束循环，输出的i＝9，选B.8．(2018·郑州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于()A．10 cm3B．20 cm3C．30 cm3D．40 cm3解析：选B由三视图知该几何体为底面为长方形的四棱锥，记为四棱锥A-BDD1B1，将其放在长方体中如图所示，则该几何体的体积V＝V长方体ABCD-A1B1C1D1－V三棱锥A-A1B1D1－V三棱柱BCD-B1C1D1＝3×4×5－13×12×3×4×5－12×3×4×5＝20(cm3)，故选B.9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100 010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.10.(2018·成都模拟)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2 B ．32 C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，c 2＝a 2＋52a ＝9，得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.11．(2018·山东德州模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1B ． 3 C.3＋1D ．3解析：选B 因为a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.又A 为△ABC 的内角，所以0<A <π，所以A ＝2π3.所以b sinB ＝c sinC ＝asin A ＝3sin 2π3＝2，故b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2π3，所以B －C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，所以cos(B －C )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，当B ＝C 时，cos(B －C )＝1，所以S ＋3cos B cos C ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3，即S ＋3cos B cos C 的最大值为 3.12．(2018·广州模拟)对于定义域为R 的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′(x )>0；③当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1(x )＝－x 3＋32x 2；f 2(x )＝e x －x －1；f 3(x )＝⎩⎨⎧ln (－x ＋1)，x ≤0，2x ，x >0；f 4(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1＋12，x ≠0，0，x ＝0.则其中是“偏对称函数”的函数个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C f 1(0)＝0，f 2(0)＝e 0－0－1＝0，f 3(0)＝ln 1＝0，f 4(0)＝0，即四个函数均满足条件①.f 1′(x )＝－3x 2＋3x ，xf 1′(x )＝x (－3x 2＋3x )＝－3x 2(x －1)，当x >1时，xf 1′(x )<0，不满足条件②，则函数f 1(x )不是“偏对称函数”；f 2′(x )＝e x －1，xf 2′(x )＝x (e x －1)，当x ≠0时，恒有xf 2′(x )>0，故满足条件②；f 3′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－11－x ，x ≤0，2，x >0，故xf 3′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x1－x ，x ≤0，2x ，x >0，故xf 3′(x )>0在x ≠0时恒成立，故满足条件②；因为当x ≠0时，f 4(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x ·2＋2x －12(2x －1)＝x 2·2x ＋12x －1，所以f 4(－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝－x 2·12x ＋112x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f 4(x )，所以当x ≠0时，f 4(x )是偶函数，所以当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 4(x 1)＝f 4(x 2)，不满足条件③，所以f 4(x )不是“偏对称函数”；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 2(x 2)－f 2(x 1)＝e x 2－x 2－1－e x 1＋x 1＋1＝e x 2－e －x 2－2x 2，构造函数H (x )＝e x －e －x －2x ，则有H ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ×e －x－2＝0，当且仅当x ＝0时取等号，即H (x )是(0，＋∞)上的增函数，则x ∈(0，＋∞)时，H (x )>H (0)＝0，故f 2(x 2)－f 2(x 1)>0恒成立，所以f 2(x )满足条件③；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 3(x 2)－f 3(x 1)＝2x 2－ln(－x 1＋1)＝2x 2－ln(x 2＋1)，构造函数T (x )＝2x －ln(1＋x )，则当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )＝2－11＋x ＝1＋2x 1＋x >0，所以T (x )是(0，＋∞)上的增函数，则当x ∈(0，＋∞)时，T (x )>T (0)＝0，故f 3(x 2)－f 3(x 1)>0恒成立，故f 3(x )满足条件③.综上可知“偏对称函数”有2个，选C.二、填空题13．(2018·辽宁五校联考)已知x ，y 满足⎩⎨⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，B (1,3)．显然目标函数z ＝－3x ＋y 在点B 处取得最小值，z min ＝－3×1＋3＝0.答案：014．过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为________．解析：由题意得|OA |＝|OB |＝1， ∵△AOB 的面积为34，∴12×1×1×sin θ＝34，∴sin θ＝32， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π3，∴△AOB 为正三角形， ∴圆心(0,0)到直线l 的距离为32，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0， ∴|3k |k 2＋1＝32，∴k ＝±33. 答案：±3315.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，A ＝π6，如图，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________.解析：由a cos C ＋c cos A ＝b sin B 及余弦定理得a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b sin B ，即b ＝b sin B ⇒sin B ＝1⇒B ＝π2，又∠CAB ＝π6，∴∠ACB ＝π3.BC ＝a ，则AB ＝3a ，AC ＝2a ，S △ABC ＝12×a ×3a ＝32a 2.在△ACD 中，cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝13－4a 212，∴a 2＝13－12cos D 4.又S △ACD ＝12AD ·CD sin D ＝3sin D ，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32a 2＋3sin D ＝32×13－12cos D 4＋3sin D ＝3sinD －332cos D ＋1338＝372⎝ ⎛⎭⎪⎫27sin D －37cos D ＋1338＝372sin(D －θ)＋1338⎝⎛⎭⎪⎫其中θ满足tan θ＝32，∴当D －θ＝π2，即D ＝π2＋θ时，S四边形ABCD 最大，此时sin D ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝27＝277.答案：27716．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2＋log 2x ，x ≥1，3x －2，x <1，若f [f (0)＋k ]>2，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f (0)＝－2，所以f (－2＋k )>2.当－2＋k <1，即k <3时，令f (－2＋k )＝3(k －2)－2>2，无解；当－2＋k ≥1，即k ≥3时，令f (－2＋k )＝2＋log 2(k －2)>2，得log 2(k －2)>0，即k －2>1，解得k >3.故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)小题押题练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( )A ．(2,3)B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( )A ．3B ．2C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n －m ＝1－(－2)＝3，故选A. 3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92 C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A. 5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6. 8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233 B ． 3 C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b ＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2，由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ，即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为P A ，PB ，若△P AB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|P A |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △P AB ＝12×|P A |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △P AB ＝3316， ∴34×3x 2－y 24＝3316，∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF ∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2(a －1)(b －1)＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________.解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝ m 2＋116＝174.答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sin B ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2na n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－(3)n ]1－3，S 2n ＝a 1×[1－(3)2n ]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝(3＋1)[10×(3)n －(3)2n －9]2×(3)n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－(3)n －9(3)n .因为10－(3)n －9(3)n≤10－2(3)n×9(3)n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－(3)n－9(3)n ≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n ＝9(3)n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)小题押题练(三) 一、选择题1．(2019届高三·广东五校联考)复数z＝3－i1－i等于()A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i解析：选C z＝3－i1－i＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i2＝2＋i.2．(2018·惠州模拟)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选D集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，所以a≥2.选D.3．(2018·天津模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝3，S13－S10＝36，则数列{a n}的公差为()A．1 B．－1C．－2 D．2解析：选A设等差数列{a n}的公差为d，S13－S10＝36，即a13＋a12＋a11＝36，从而3a12＝36，a12＝12，由a12＝a3＋9d，得d＝1.故选A.4.(2018·洛阳尖子生统考)执行如图所示的程序框图，若输入m＝209，n＝121，则输出的m的值为()A ．0B ．11C ．22D ．88解析：选B 当m ＝209，n ＝121时，m 除以n 的余数r ＝88，此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数r ＝33，此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数r ＝22，此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数r ＝11，此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数r ＝0，此时m ＝11，n ＝0，退出循环，输出m 的值为11，故选B.5．(2018·武昌模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.112 B ．94 C.92D ．3解析：选D 如图，三棱锥P -ABC 为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，S △ABC ＝12×2×3＝3，点P 到平面ABC 的距离h ＝3，则V P -ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×3×3＝3，故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴右侧的第一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，第一个最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：选D 由题意得，A ＝3，设f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，ω＝2.又函数f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 7．(2018·河北五个一名校联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ． 5 C.53D.43解析：选A 在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，故c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′，由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan ∠F ′FP ＝43，又|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8，∴|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，∴a ＝1，故双曲线C 的离心率e ＝ca ＝5，故选A.8．(2018·开封模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( ) A.132 B ．116 C ．32D ．64解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.9．(2018·湖北八校第一次联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，CD ，则∠ABD ＝∠ACD ＝90°.因为M 为BC 边的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)．易知AO ―→＝12AD ―→，所以AM ―→·AO ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)·AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14(|AB ―→|·|AD ―→|·cos ∠BAD ＋|AC ―→|·|AD ―→|cos ∠CAD )＝14(|AB ―→|2＋|AC ―→|2)＝14(42＋22)＝5.故选D.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0，若将函数f (x )的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋62＝10，解得|x 1－x 2|＝8.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝16，故2πω＝16，解得ω＝π8.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，由f (2)＝0得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π4，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4，向右平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8(x －t )－π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意，该函数图象关于y 轴对称，所以π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故t 的最小值为2，选B.11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选B 由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2<2018<64×(64＋1)2＝2 080，因此第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.故选B.12．已知函数f (x )＝ln 2xx ，若关于x 的不等式f 2(x )＋af (x )>0只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，ln 2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 2，－13ln 6C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13ln 6，ln 2 解析：选C 由f (x )＝ln 2xx 得f ′(x )＝1－ln 2x x 2，令f ′(x )＝1－ln 2x x 2＝0得，x ＝e 2，当0<x <e 2时，f ′(x )>0，当x >e2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞上是减函数，所以x ＝e 2时，f (x )取得极大值，也是最大值，为2e ，又x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，当0<x <e 2时，f (x )<2e 有且只有一个整数解1；当x >e 2时，0<f (x )<2e 有无数个整数解．不等式f 2(x )＋af (x )>0可化为f (x )[f (x )＋a ]>0，当a ＝0时，不等式为f 2(x )>0，有无数个整数解，不满足条件；当a >0时，f (x )>0或f (x )<－a ，f (x )>0时，结合图象可知有无数个整数解，不满足条件；当a <0时，f (x )<0或f (x )>－a ，因为f (x )<0时没有整数解，所以f (x )>－a 有两个整数解．因为f (1)＝ln 2，f (2)＝ln 2，f (3)＝ln 63<ln 2，所以f (x )≥ln 2时，不等式有两个整数解1,2，当f (x )≥ln 63时，不等式有三个整数解1,2,3，所以要使f (x )>－a 有两个整数解，则ln 63≤－a <ln 2，即－ln 2<a ≤－ln 63，故选C.二、填空题13．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x 5的展开式中x 4的系数为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 10－2r ⎝⎛⎭⎪⎫－23x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫－23r ·x 10－3r ，令10－3r＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝409. 答案：40914．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (1，－2)是抛物线上的点．若存在斜率为－2的直线l 与抛物线C 有公共点，且点A 到直线l 的距离等于55，则直线l 的方程是________．解析：根据题意，得4＝2p ，得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0，因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由点A 到直线l 的距离d ＝55，可得|－t |5＝55，解得t ＝±1.因为t ≥－12，所以t ＝1，所以直线l 的方程为2x ＋y－1＝0.答案：2x ＋y －1＝015．(2018·云南调研)已知四棱锥P -ABCD 的所有顶点都在体积为500π81的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P -ABCD 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4π3R 3＝500π81，R ＝53，正方形ABCD 的外接圆半径r ＝1，球心到平面ABCD 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532－12＝43，因此点P 到平面ABCD 的距离的最大值为h ＋R ＝43＋53＝3，因此四棱锥P -ABCD 体积的最大值为13×(2)2×3＝2.答案：216．(2018·贵州模拟)已知函数f (x )＝x n －x n ＋1(n ∈N *)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与y 轴的交点的纵坐标为b n ，则数列{b n }的前n 项和为________．解析：因为f ′(x )＝nx n －1－(n ＋1)x n ，所以f ′(2)＝n ×2n －1－(n ＋1)×2n ，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －f (2)＝[n ×2n －1－(n ＋1)×2n ](x －2)，令x＝0可得y＝－2[n×2n－1－(n＋1)×2n]＋f(2)＝－2[n×2n－1－(n＋1)×2n]＋2n－2n ＋1＝(n＋1)×2n＝b n，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)×2n，①2S n＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，②①－②得，－S n＝2×21＋22＋…＋2n－(n＋1)×2n＋1＝2＋2(1－2n)1－2－(n＋1)×2n＋1＝2＋2(2n－1)－(n＋1)×2n＋1＝2n＋1－(n＋1)×2n＋1＝－n×2n＋1，所以S n＝n×2n＋1.答案：n×2n＋1小题押题练(四)一、选择题1．(2018·湖州模拟)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析：选D 由已知可得z ＝253－4i ＝25(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i ，故选D.2．(2018·贵阳模拟)设集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0，则A ∪B ＝( )A ．(－2,1)B ．(－2,3)C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |－1<x <3}，A ∪B ＝{x |－2<x <3}，故选B.3．(2018·张掖模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．－10解析：选B ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，∴a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6.4．(2018·唐山模拟)执行如图所示的程序框图，当输入的n 为7时，输出的S 的值是( )A ．14B ．210C ．42D ．840解析：选B n ＝7，S ＝1,7<5？，否，S ＝7×1＝7，n ＝6,6<5？，否，S ＝6×7＝42，n ＝5,5<5？，否，S ＝5×42＝210，n ＝4,4<5？，是，退出循环，输出的S 的值为210，选B.5．(2018·河北五个一名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落在阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数约为( )A ．3 333B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析：选B 题图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪1＝23，正方形的面积为1，设落在阴影部分的点的个数为n ，由几何概型的概率计算公式可知，231＝n 10 000，n ≈6 667，故选B.6．已知函数f (x )＝2x －1，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称 B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．函数f (x )的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴解析：选A 由题知，函数f (x )＝2x －1的图象是由函数y ＝2x 的图象向右平移1个单位长度得到的，可得函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，选项A 正确；函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，选项B 错误；易知函数f (x )＝2x －1的图象不关于直线x ＝1对称，选项C 错误；由函数f (x )的单调性及函数f (x )的图象，可知函数f (x )的图象上不存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴，选项D 错误．故选A.7．已知双曲线C ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，左、右焦点分别为F 1，F 2，则双曲线C 上满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 构成的图形的面积为( )A.285 B ．565 C.745D.965解析：选D 由题意得m >0，m ＋m 2＋4m＝5，解得m ＝2，所以双曲线C ：x 22－y 28＝1，设M(x 0，y 0)，则x 202－y 208＝1，因为MF 1―→·MF 2―→＝0，所以x 20＋y 20＝10，故y 0＝±4105，x 0＝±3105，所以满足条件的点M 共有四个，构成一个矩形，长为8105，宽为6105，故面积为965.8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C 的离心率为( )A.52 B ．62 C. 3D. 5解析：选B 设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，则∠F 1A F 2＝120°，得c b ＝t an 60°，即c ＝3b ，a ＝2b ，所以双曲线C 的离心率e ＝62.9．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2 B ．8－4π3 C ．8－πD ．8－2π解析：选C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.10．(2018·西安三模)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选C 设BC 的中点为D ，则由OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，可得AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)＝2λAD ―→，所以点P 在△ABC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．故选C.11．已知三棱锥S-ABC 的每个顶点都在球O 的表面上，SA ⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝215，且二面角S-BC-A 的正切值为4，则球O 的表面积为( )A ．240πB ．248πC ．252πD ．272π解析：选D 取BC 的中点D ，连接SD ，AD ，易知AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，所以∠SDA 是二面角S-BC-A 的平面角，于是有t an ∠SDA ＝4，即SA ＝4AD ＝442－(15)2＝4.在△ABC 中，sin ∠ABC ＝AD AB ＝14，由正弦定理得△ABC 的外接圆半径r ＝AC2si n ∠ABC＝8. 可将三棱锥S-ABC 补形成一个直三棱柱ABC-SB ′C ′，其中该直三棱柱的底面为△ABC ，高为SA ＝4，因此三棱锥S-ABC 的外接球的半径R ＝22＋82＝68，因此三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝272π，选D.12．(2018·武昌模拟)已知函数f (x )＝l n xx －kx 在区间[e 41，e]上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14e ，12e B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14e ，12e C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e2，14e D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，1e 解析：选A 令f (x )＝l n x x －kx ＝0，则k ＝l n x x 2，令g(x )＝l n x x 2，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l n x x 2′＝1－2l n xx 3，令g ′(x )＝0，解得x ＝e 21∈[e 41，e]．因为当x ∈(e 41，e 21)时，g ′(x )>0，所以g(x )在(e 41，e 21)上单调递增；当x ∈(e 21，e)时，g ′(x )<0，所以g(x )在(e 21，e)上单调递减．所以当x ＝e 21时，g(x )取得最大值g(e 21)＝l n e 21(e21)2＝12e .由题意函数f (x )＝l n x x －kx 在区间[e 41，e]上有两个不同的零点，知直线y ＝k 与g(x )＝l n x x 2的图象在区间[e 41，e]上有两个不同的交点，又g(e 41)＝l n e 41(e 41)2＝14e，g(e)＝l n e e 2＝1e 2，因为1e 2<14e ，所以14e≤k <12e ，故选A.二、填空题13．若f (x )＝x 2－2x －4l n x ，则f ′(x )>0的解集为________．解析：f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x (x >0)，由f ′(x )>0得2(x 2－x －2)x>0，解得－1<x <0或x >2，又x >0，∴f ′(x )>0的解集为{x |x >2}．答案：(2，＋∞)14．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k b1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2，k OP ·k OQ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋b x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋b x 2＝k 2＋kb ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k b b 2－4＋b 2(1＋k 2)b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1.答案：±115．(2019届高三·南宁、柳州联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，等差数列{a n }满足a 1＝x ，a 5＝y ，其前n 项和为S n ，则S 5－S 2的最大值为________．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．因为a 1＝x ，a 5＝y ，所以公差d ＝y －x4，S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝3(a 5－d )＝34x ＋94y .设z ＝34x ＋94y ，作出直线34x ＋94y ＝0，平移该直线，当该直线经过点B (2,3)时，z 取得最大值334，即S 5－S 2的最大值为334.答案：33416．(2019届高三·湘东五校联考)已知f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)则函数f (x )的单调递增区间是________________；(2)锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(2a －c)cos B ＝b cos C ，则f (A)的取值范围是____________．解析：f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. ∵f (x )的最小正周期为4π，∴2ω＝2π4π＝12，可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.(1)令2k π－π2≤12x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，k ∈Z . (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， ∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin A ，又sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3， ∵三角形ABC 为锐角三角形， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴π4<12A ＋π6<5π12，22<f (A )<6＋24.答案：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，k ∈Z (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，6＋24。

2019届高三数学(理)二轮复习精品同步：第1部分基础送分题：教师用书：题型专题(4) 不等式(通用版)

题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0，解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。

2019年高考数学(理科)一本“培养优选练”增分即时训练1Word版含解析

增分即时训练(一)(建议用时：60分钟) (对应学生用书第109页)一、选择题1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [∵a ＞0，∴a 2＋1＞1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．]2．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则m n ＝( ) A ．34 B ．43 C ．32或233D ．34或43D [若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，解得m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.故所求值为34或43.]3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2，若x 2＋y 2的最大值为m ，最小值为n ，则m －n ＝( )A ．252B ．172C ．8D ．9B [作出可行域，如图所示x 2＋y 2表示可行域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到直线x ＋y －3＝0的距离|OD |的平方为最小值，即此时等于n ，|OA |2＝m ，经过计算可得m ＝13，n ＝92，则m －n ＝172，故选B. ]4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对于任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，若实数x ，y 满足不等式f (x 2－2x )＋f (y 2－3)≥0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．9D [当x 1＞x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在R 上单调递减．因为f (x 2－2x )＋f (y 2－3)≥0，所以f (x 2－2x )≥f (3－y 2)，x 2－2x ≤3－y 2，∴(x －1)2＋y 2≤4，因此x 2＋y 2的最大值为(12＋02＋2)2＝9，选D.]5．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A ．2－1B ． 2C ．2＋1D ．2＋2C [∵|a |＝|b |＝1，且a·b ＝0，∴可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )．∴c －a －b ＝(x －1，y －1)．∵|c －a －b |＝1， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即(x －1)2＋(y －1)2＝1. 又|c |＝x 2＋y 2，如图所示．由图可知，当c 对应的点(x ，y )在点C 处时，|c |有最大值且|c |max ＝12＋12＋1＝2＋1.]6．已知直线(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0所过定点恰好落在函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，0＜x ≤3，|x －4|，x ＞3的图象上，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1D ．(1，＋∞)B [由(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0得x ＋y －4－m (x －3y )＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＝0可得直线过定点(3,1)，∴log a 3＝1，∴a ＝3.令f (x )－mx ＋2＝0，得f (x )＝mx －2，在同一坐标系中作出y 1＝f (x )与y 2＝mx －2的图象，易得当12＜m ＜1时满足题意，故选B.]7．(2018·西安模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( )A ．3B ．4C ．23－2D ．92B [∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1＝1，∴a 23＝a 1a 13，∴(1＋2d )2＝1＋12d ，d ≠0，解得d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2. ∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝n ＋1＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1时，即n ＝2时取等号，且2S n ＋16a n ＋3取到最小值4，故选B.]8．已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1＜f (x 1)＜x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5D [由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1＜f (x 1)＜x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5，故选D.]二、填空题9．(2018·乌鲁木齐地区一诊)两条渐近线所成的锐角为60°，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为________．x 2－y 23＝1或3y 27－x 27＝1 [当双曲线的焦点位于x 轴时，其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，其渐近线方程为：y ＝±ba x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝tan 60°＝3，2a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，双曲线的方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点位于y 轴时，其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，其渐近线方程为：y ＝±a b x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝tan 60°＝3，3a 2－2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝73，b 2＝7，双曲线的方程为3y 27－x 27＝1.]10．(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)1 260 [不含有0的四位数有C 25×C 23×A 44＝720(个)．含有0的四位数有C 25×C 13×C 13×A 33＝540(个)．综上，四位数的个数为720＋540＝1 260.]11．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为________．2π3 [由抛物线的定义可得|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则|AF |＋|BF |＝233|AB |≥2|AF |·|BF |，所以|AF |·|BF |≤13|AB |2.在△AFB 中，由余弦定理可得cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF ||BF |＝(|AF |＋|BF |)2－2|AF ||BF |－|AB |22|AF ||BF |＝43|AB |2－|AB |22|AF ||BF |－1＝|AB |26|AF ||BF |－1≥－12，所以∠AFB 的最大值是2π3.] 12．关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a >0在(2，＋∞)上恰成立，则a 的取值集合为________．{－1,3} [关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a >0在(2，＋∞)上恰成立⇔函数。

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数学（理）培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10 培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型932019届高三好教育精准培优专练1．单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值例2：函数y x =+________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（） A ．404 B ．804C ．806D ．402培优点一函数的图象与性质６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为（） A ．1- B ．1C ．0D ．无法计算一、选择题1．若函数()2f x x a =+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为（） A ．2-B ．2C ．6-D ．62．已知函数()2log 1y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =， ()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（） A ．4B ．3C ．2D ．1对点增分集训6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（）7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（） A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（） A ．()1ex f x +=B ．()1ex f x -=C ．()1ex f x -+=D ．()1ex f x --=9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（） A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（） A ．0B ．2C ．3D ．412．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（） A ．[0,3]B ．(1,3)C ．2⎡-⎣D ．(2二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______． 14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x xx f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值；（3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．1．零点的判断与证明培优点二函数零点例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2对点增分集训一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()221ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（） A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（）A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根（2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根（3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根（4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______． 15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象；（2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值；（3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（）培优点三含导函数的抽象函数的构造A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()e xf x h x = 例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C34f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，对点增分集训则必有（） A ．()()af b bf a 或 D ．}{1x x |>3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（） A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ42f⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π64f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（）A ．()()214f f ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <⎡⎤⎣⎦'，则（） A ．()()10f f C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（） A ．()()()1f a a f b >+ B ．()()()1f b a f a >- C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)ef =．则(1)f 的值为________．14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为_________．15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．培优点四恒成立问题3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[],3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()3,11- B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,73．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--对点增分集训7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（） A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1：求函数()()32=+--的单调区间333e xf x x x x-2．函数的极值例2：求函数()e x f x x -=的极值．3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数()()ln mf x x m x=-∈R 在区间[]1,e 上取得最小值4，则m =___________．一、单选题1．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（） A ．() 0,1 B ．() 0,+∞ C ．() 1,+∞D ．()() ,01,-∞+∞2．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（） A ．()f x 有极大值1-B ．()f x 有极小值1-对点增分集训C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值03．已知函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．2a >-B ．3a ≥-C ．32a -≤<-D ．32a -≤≤-4．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数1ln sin 1x y x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点，则（）A ．1122a -<D ．12a ≤-或12a ≥7．已知()22f x ax x a =++，x ∈R ，若函数()()()322g x x a x f x =---在区间()1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <-或3a >B ．1a ≤-或3a ≥C ．9a <-或3a >D ．9a ≤-或3a ≥8．函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x ='，则不等式()0f x '≤的解集为（）A ．[]1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．[)31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9．设函数()()1ln 03f x x x x =->，则()y f x =（）A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间()1,e 内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间()1,e 内有零点10．若函数()()323321f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．12a -<11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1内，则2a b -的取值范围是（）A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若在区间 (),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()5421122012f x x mx x =--在区间()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围为（）A ．31,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,59⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],5-∞D ．(],3-∞-二、填空题13．函数()3222f x x x =-在区间[]1,2-上的最大值是___________．14．若函数()32334f x x ax x a =-+-在(),1-∞-，()2,+∞上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是______． 15．函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R 在[]1,2内不存在极值点，则a 的取值范围是___________． 16．已知函数()e ln x f x a x =+， ①当1a =时，()f x 有最大值；②对于任意的0a >，函数()f x 是()0,+∞上的增函数； ③对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值； ④对于任意的0a >，都有()0f x >．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R （1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：2e e ln 0x x ->恒成立．18．已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ，其导函数为()'y f x =．（1）当2b =时，若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设0a ≠，点()(),,P m n m n ∈R 是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数()00x x m ≠使得()()000'2x m f x n f x m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭成立？并证明你的结论．1．求三角函数值例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．培优点六三角函数2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．3．三角函数的性质例3：函数()2cos 2f x x x =+（）A ．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增对点增分集训一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（） A ．13-B ．79-C ．13D ．792．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．14C ．13D ．124．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（）A ．1B ．πsin5C ．π2sin 5D6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（）A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2，2π3 D ．2，π3-7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（）A ．3B ．5C ．7D ．98．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（） A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（）A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（）A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_________．14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．15．函数()sin 22f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin2α值．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b =，60B =o ，则C =_____． 2．恒等式背景培优点七解三角形例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） ABCD2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅uu u v uu u v等于（）A ．19B ．19-C ．18D ．18-3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c =3b a =，则ABC △的面积为（）对点增分集训AB C D 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =那么ABC △外接圆的半径为（） A ．1BC ．2D ．47．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（） A ．8B ．16C ．32D ．6410．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s a b cA B C==，则ABC △是（） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，c =tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____； 14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2si n c o s 2s i n c o s b C A AC+=-，且a =ABC △面积的最大值是________16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b =，则ABC △面积的取值范围是__________．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C cos 2sin A C+=．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，AB =4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（）培优点八平面向量A ．3B ．3- C． D2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（） A ．12-B ．12C． D2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （） A ．1BCD ．23．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（）A ．1-B ．1C． D4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO =u u u v（）对点增分集训A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（） A ．2-B ．32-C ．34 D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则a 与b 的夹角为（） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（）A ．2- B ．0 C ．2D ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（）A ．1B C D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡-⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（） A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB AC =D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则A D A E⋅u u u v u uv 的取值范围是（）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 14．若向量a ，b 满足1=a，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到培优点九线性规划例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．72．目标函数为二次式例2：若变量x ，y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（）AB ．7C ．9D ．103．目标函数为分式例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．面积问题例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为（）A ．73B ．37C ．173-D ．317-一、单选题1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-对点增分集训2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（）A ．94B ．274C ．9D ．2723．已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x a y =-只在点()43,处取得最大值，则a 的取值范围是（） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞, C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（）A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（）AB ．4C ．9D ．106．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（）AB ．1 CD7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则215y x ≤+成立的概率为（）A ．1556B ．1116 C ．58D ．389．若x ，y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为（）A ．7B ．6C ．265D ．410．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A 的坐标为)．则z OM OA =⋅u u u v u u v的最大值为（）A．B．C ．4 D ．311．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（） A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UB ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭UC ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．设x ，y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =++的最大值为____________．14．若变量x，y满足约束条件210220xx yx y≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y=+的最小值为_________．15．已知实数x，y满足11x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x yx++的最小值为______．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．1．等差数列的性质培优点十等差、等比数列例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（） A ．10B ．20C ．100D ．2003．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，则有（） A ．66a b = B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（） A ．4B ．2C ．2-D ．4-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（） A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12对点增分集训6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（）A ．5-B ．0C ．5D ．77．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（） A ．182-B ．78-C ．148-D ．82-9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（） A ．3B ．4-C ．5-D ．610．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（） A ．27B ．36C ．45D ．6611．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（） A ．01q <D ．6K 与7K 均为n K 的最大值12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，若公比q =，且1231a a a ++=，则12S 的值是___________．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53109a a =，则95SS =_______．。

【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八)及答案

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