2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第8章第47讲 圆的方程

4/17/2018
3.△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)， 则该三角形的外接圆方程是 A. x 2 2 y 2 2 20 C. x 2 2 y 2 2 5 B. x 2 2 y 2 2 10 D. x 2 2 y 2 2 5 ( )
【解析】 设圆心 M 坐标为(x， y)， 则 (x 1)2 (y 1) 2 ( 即 (x 1)2 (y 1)2 9 . 【答案】 (x 1)2 (y 1)2 9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
| AB | 2 ) ， 2
4/17/2018
求圆的方程
常见的求圆的方程的方法有两种，一是利用圆的 几何特征，求出圆心坐标和半径，写出圆的标准 方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根
4/17/2018
【思考探究】 二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+
Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么？
提示：
A C 0 B 0 2 2 D E 4F 0
4/17/2018
2．点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心 A(a，
(x0－a) b)， 半径 r， 若点 M(x0， y0)在圆上， 则_________
【解析】易知△ABC 是直角三角形，∠B＝90°， ∴圆心是斜边 AC 的中点(2，2)，半径是斜边长的一半， 即 r＝5， ∴外接圆的方程为 x 2 2 y 2 2 5 . 【答案】C
4/17/2018
4．(2013·青岛模拟)若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是（） 7 A. (x 3)2 (y )2 1 B. (x 2)2 (y 1)2 1 3 3 C. (x 1)2 (y 3)2 1 D. (x )2 (y 1) 2 1 2

1.若 原 点 0, 0 在 圆 x m y m 4 的 内
2 2
部 ， 则 实 数 m的 取 值 范 围 是
2 2
2， 2 ) (
.
解 析 ： 依 题 意 ， 得 m m 4， 所以 2 m 2.
2.已 知 方 程 x y 2 kx 4 y 3 k 8 0 表 示 一 个 圆 ，
2 2 2 2
＝ r 7 ＝ 9b 7
2 2 2
圆的一般方程
【例1】 已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只 有一个，求a的值及圆的方程．
【解析】设所求圆的方程为 x ＋ y ＋ D x＋ Ey＋ F ＝ 0. 因 为 点 A、 B 在 此 圆 上 ， 所 以 E＋ F ＋1 ＝ 0， ① 4 D＋ aE＋ F ＋ a ＋16 ＝ 0， ② 又 知 该 圆 与 x 轴 ( 直 线 y＝ 0) 相 切 ， 所 以 由 ＝ 0， D － 4 F ＝ 0， ③
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
求轨迹方程的步骤通常可以简化为 (1)建系，设点；
(2)列式；
(3)化简．坐标系的选取决定着方程化简 的繁简，设点时，通常求哪个点的轨迹 方程，就假设那个点的坐标为(x ， y)， 同时，解题中还需区分轨迹方程与轨
迹．
【变式练习3】
已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距
得
x a y x a y
2 2
＝ ，
化 简 得 (1 － ) x ＋ (1 － ) y ＋ 2 a (1 ＋ ) x＋
2 2 2 2 2
(1 － ) a ＝ 0.
2 2
1 当 ＝1 时 ， 即

[学以致用] 1. [2014· 济南调研]已知圆的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴 上，且与直线 3x＋4y＋4＝0 相切，则圆的方程是( A. x2＋y2－4x＝0 C. x2＋y2－2x－3＝0 B. x2＋y2＋4x＝0 D. x2＋y2＋2x－3＝0 )
解析： 设圆心为 C(m,0)(m>0)， 因为所求圆与直线 3x＋4y＋4 |3m＋4×0＋4| ＝0 相切，所以 ＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得 2 2 3 ＋4 14 m＝2 或 m＝－ 3 (舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即 x2＋y2－4x＝0，故选 A.
B. (x＋1)2＋y2＝4 D. x2＋(y＋1)2＝4
[解析]
(1)因为圆 C 过坐标原点，所以可设圆 C 的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.因为圆 C 过点(4,0)，将其坐标代入圆的方程 得 D＝－4，即圆的方程为 x2＋y2－4x＋Ey＝0.又圆 C 与直线 y＝ 4 相切，可得方程 x2＋16－4x＋4E＝0，且它只有一个根，所以 Δ ＝42－4(16＋பைடு நூலகம்E)＝0， 解得 E＝－3.故所求圆的方程为 x2＋y2－4x －3y＝0.
D E (－ 2 ，－ 2 ) ③圆心坐标 ，半径 r＝
；
1 2 2 D ＋ E －4F. 2
[判一判] “× ”)．
判断下列说法是否正确 ( 请在括号内填 “√” 或
(1)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆．(×) (2)圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 的面积是 5π.(√) (3)已知点 A(2,0)，B(0，－4)，则以 AB 为直径的圆的标准方 程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.(√) (4)方程 x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0 表示圆，则 m<1.(√) (5)圆 x2＋y2－2ax＋4y＋a＝0 的半径为 2，则 a＝0 或 a＝ 1.(√)

解
3 m＝2， 3 2 2 25 得 所以圆的标准方程为 x－2 ＋y ＝ 4 .] r2＝25， 4
求圆的方程
(1)(2015· 全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( 5 A.3 2 5 C. 3 ) 21 B. 3 4 D.3
(2)(2016· 天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 4 5 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 5 ，则圆 C 的方程 为________．
(1)B (2)(x－2)2＋y2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出 △ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC| ＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三 角形．设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心． 2 2 3 所以|AE|＝3|AD|＝ 3 ，从而|OE|＝ |OA|2＋|AE|2＝ D＝－2， 1＋D＋F＝0， 4 3 3 ＋ 3 E ＋ F ＝ 0 ， 则 解得E＝－ ， 3 7＋2D＋ 3E＋F＝0， F＝1. 4 21 1＋3＝ 3 ，故选 B.
A [圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax＋y |a＋4－1| 4 －1＝0 的距离 d＝ 2 ＝1，解得 a＝－3.] a ＋1
4． (2017· 西安质检)若圆 C 的半径为 1， 其圆心与点(1,0)关于直线 y＝x 对称， 则圆 C 的标准方程为________．
3 25 x－ 2＋y2＝ 4 2
[由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，
－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，