高中数学第一轮复习资料(学生版)

第二节 等差数列一知识梳理一等差数列的有关概念(1)等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n +1-a n =d (n ∈N *).(2)等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项满足A =a +b2或者2A =a +b .(3)通项公式：如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n =a 1+(n -1)d (n ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )2，推导方法是倒序相加法.二等差数列a n 的性质(1)等差数列的拓展通项公式：a n =a m +(n -m )d (n ，m ∈N *)，d =a n -a mn -m.(2)a n =a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d ),当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，斜率为公差d ，反之亦成立.若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(3)a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，⋯仍是等差数列，公差为kd .(4)☆若a m 1+a m 1+⋯+a mk =a n 1+a n 1+⋯+a nk ⇔m 1+m 2+⋯+m k =n 1+n 2+⋯+n k .特别地，若m +n =p +q =2k ，则a m +a n =a p +a q =2a k .三等差数列前n 项和S n 的性质(1)S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+a 1-d2n ，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数且没有常数项．显然当d <0时，S n 有最大值，d >0时，S n 有最小值．(2)☆S n n =d 2n +a 1-d2，即S n n 也是等差数列，其公差为a n 的公差的一半.(3)☆等差数列依次k 项之和，仍是等差数列，即数列S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k ，⋯也是等差数列，公差为k 2d ．(4)☆S 2n -1=2n -1 (a 1+a 2n -1)2=2n -1 a n （a n 是前2n -1项的最中间项），例S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5;S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n a n +a n +1 （a n 和a n +1是前2n 项的最中间两项），例S 10=10(a 1+a 10)2=5a 5+a 6 .(5)☆当总项数为2n -1项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n -1项偶数项，S 偶=(n -1)(a 2+a 2n -2)2=(n -1)a n，此时，S 奇-S 偶=a n ，S 奇S 偶=nn -1；当总项数为2n 项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n 项偶数项，S 偶=n (a 2+a 2n )2=na n +1，此时，S 偶-S 奇=nd ，S 偶S 奇=an +1a n ；(6)☆综合(4)和(5)得，n 为奇数时，S n =na 中，S 奇=n +12a 中，S 偶=n -12a 中，∴S 奇-S 偶=a 中；n 为偶数时，S 偶-S 奇=nd 2.(7)数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n +p }，{pa n +qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1+qd 2.二题型讲解一等差数列的基础题型一等差数列基本量的计算解题通法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4=0，a 5=5，则( )A.a n =2n -5B.a n =3n -10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n 1.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8=a 8=8，则公差d =( )A.14B.12C.1D.22.(2021·内蒙古模拟)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，S 4=24，S 9=99，则a 7=( )A.13B.14C.15D.163.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+a 5=-14，S 3=-39，则S 10=( )A.6B.10C.12D.204.(2022·陕西汉中)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 6=15，S 9=99，则等差数列a n 的公差是( )A.-4B.-3C.14D.45.(2022·陕西·西安工业大学附中)设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 4=4，S 9=72，则a 10=( )A.20B.23C.24D.286.(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n -1}与{3n -2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为.二等差数列的判定与证明（详见第一节题型四）2.(2021·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2)，a 1=12.(1)求证：1S n是等差数列；(2)求a n 的表达式．反思感悟等差数列判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若a n -a n -1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法2a n =a n +1+a n -1(n ≥2，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法a n =pn +q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式验证S n =An 2+Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7.下列选项中，为“数列a n 是等差数列”的一个充分不必要条件的是( )A.2a n =a n +1+a n -1(n ≥2)B.a n 2=a n +1⋅a n -1n ≥2C.通项公式a n =2n -3D.a n +2-a n =a n +1-a n -1n ≥28.(2022·全国·高三专题练习)已知不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则一定不可能是等差数列的为( )A.a ，c ，b B.a 2，b 2，c 2C.|a |，|b |，|c |D.1a ，1b ，1c9.(2022·全国·课时练习)(多选)若a n是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )A.a n+3B.a2nC.a n-1+a nD.2a n+n10.(2022·全国·高二课时练习)(多选)在数列a n中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点a n,a n-1在直线x-y-3=0上，则( )A.数列a n是等差数列B.数列a n是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=3nD.数列a n的通项公式为a n=3n三求数列{|a n|}的前n项和3.数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N*)，设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．反思感悟已知等差数列{a n}，求绝对值数列{|a n|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．11.在等差数列{a n}中，a10=23，a25=-22.(1)数列{a n}前多少项和最大？(2)求{|a n|}的前n项和S n.12.在数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求T n.二等差数列性质的应用一下标和性质的应用（m+n=p+q=2k）1.(2022·广州市阶段训练)已知{a n}是等差数列，a3=5，a2-a4+a6=7，则数列{a n}的公差为( )A.-2B.-1C.1D.2反思感悟(1)由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a1与d的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质a m+a n=a p+a q⇔m+n=p+q求解(注意项数不变，脚标和不变)．(2)等差数列中最常用的性质：①d=a p-a qp-q，②a m1+a m1+⋯+a mk=a n1+a n1+⋯+a nk⇔m1+m2+⋯+m k=n1+n2+⋯+n k.特别地若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q. (3)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮．1.(2022·吉林百校联盟联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a11=a9+7，则S25=( )A.1452B.145C.1752D.1752.(2021·江西九江一中月考)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3=59，则S9S5=( )A.1B.-1C.2D.123.(2022·北京通州·一模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若a3+a5=20，则S7=( )A.60B.70C.120D.1404.(2022·浙江杭州·二模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=( )A.12B.15C.18D.215.(2022·安徽滁州)已知a n是公差不为零的等差数列，若a3+a m=a4+a k,a1+a5=2a k,m,k∈N∗，则m+k=( )A.7B.8C.9D.106.(2022·河北石家庄·二模)等差数列a n的前n 项和记为S n，若a2+a2021=6，则S2022=( )A.3033B.4044C.6066D.80887.(2022·河南平顶山)已知S n为正项等差数列a n的前n项和，若a3+a9=a26，则S11=( ) A.22 B.20 C.16 D.118.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{a n }满足a n+1=a n+2且a2+a4+a6=9，则log3(a5+a7+ a9)=( )A.-3B.3C.-13D.13二等差数列前n项和S n的性质2.(2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=1，S30=5，则S40=( )A.7B.8C.9D.10反思感悟思路1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1、d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；思路2：设{a n}的前n项和S n=An2+Bn，由题意列出方程组求得A、B，从而得S n，进而得S40；思路3：利用等差数列前n项和性质S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30是等差数列，由前三项求得S20，从而得此数列的公差，进而求得S40-S30，得S40；思路4：利用S nn是等差数列，由S1010、S3030可求出公差，从而可得S4040，进而求得S40.9.(2021·山东师大附中模拟)若S n 是等差数列{a n}的前n项和，且a2+a9+a19=6，则a10=__，S19=_____.10.若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足A nB n=2n-13n+1，则a3+a7+a11b5+b9的值为( )A.3944B.58C.1516D.132211.已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n =2n +33n -1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532C.1D.212.(2022·四川师范大学附属中学二模(理))设等差数列a n ，b n 的前n 项和分别是S n ，T n ，若Sn T n =2n3n +7，则a 6b 5=( )A.65B.1117C.1114D.313.在等差数列{a n }中，a 1=-2023，其前n 项和为S n ，若S 1212-S1010=2，则S 2023=( )A.-2023 B.-2022C.-2021D.-202014.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=-12，S 9=45，则S 12=____.三数列中的S 奇、S 偶相关问题3.在等差数列{a n }中，S 10=120，且在这10项中，S 奇S 偶=1113，则公差d =________.15.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A.0.5,0.5 B.0.5,1C.0.5,2D.1,0.516.已知在等差数列{a n }中，公差d =1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为____．17.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_______，项数是________．三等差数列中的最值问题一关于S n的最值问题解题通法(1)在等差数列{a n}中，当a1>0，d<0时，S n有最大值，使S n取得最值的n可由不等式组a n≥0，a n+1≤0确定；当a1<0，d>0时，S n有最小值，使S n取到最值的n可由不等式组a n≤0，a n+1≥0确定．(2)S n=d2n2+a1-d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，S n取到最值．1.在等差数列{a n}中，a1=25，S8=S18，求前n 项和S n的最大值．2.(2022·吉林市调研)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1>0，若S5=S9，则当S n 最大时，n=()A.6B.7C.10D.9延伸 ①本例2中若将“S5=S9”改为“S5=S10”，则当S n取最大值时n=；延伸②本例2中，使S n<0的n的最小值为.二关于S n＞0或S n＜0时n的最值问题3.(2022·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n}为等差数列，若a11a10<-1，且其前n项和S n有最大值，则使得S n>0的最大值n为()A.11B.19C.20D.21延伸本例3中，使S n取最大值时n=.1.(2021·长春市模拟)等差数列{a n}中，已知|a6|=|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7C.8D.92.在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为.3.(2022·重庆·二模)(多选)设等差数列a n前n 项和为S n，公差d>0，若S9=S20，则下列结论中正确的有( )A.a15=0B.当n=15时，S n取得最小值C.a10+a22>0D.当S n>0时，n的最小值为294.(2022·内蒙古赤峰)已知等差数列a n的前n 项和为S n，若a3=15，S2=36，则S n取最大值时正整数n的值为( )A.9B.10C.11D.125.(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10=S20，则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时，Sn<06.(2022·浙江省浦江中学高三期末)设等差数列a n的公差为d，其前n项和为S n，且S5=S13，a6+ a14<0，则使得S n<0的正整数n的最小值为( )A.16B.17C.18D.19跟踪测验1(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n}中，已知a3+a5+a7=15，则该数列前9项和S9=( ) A.18 B.27 C.36 D.452已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2= 4，S4=22，a n=28，则n=( )A.3B.7C.9D.103(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n.若S10=40，a6=5，则( ) A.d=3 B.a10=12C.S20=280D.a1=-44一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的范围是(　) A.d>875 B.d<325C.875<d<325D.875<d≤3255（多选）等差数列{a n}是递增数列，满足a7= 3a5，前n项和为S n，下列选项正确的是( )A.d>0B.a1>0C.当n=5时S n最小D.S n>0时，n最小值为86（多选）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S20=07(2022·安徽·芜湖一中)等差数列a n的前n 项和为S n，满足：3a27+S21=72，则S25=( ) A.72 B.75 C.60 D.1008(2022·全国·高三阶段练习(理))若数列3a n+2是等差数列，a1=1，a5=-53，则a2= ( )A.-1B.1C.-2D.29(2022·全国·高三专题练习)已知数列a nn∈N*是等差数列，S n是其前n项和，若a2a5+a8=0,S9=27，则数列a n的公差是( )A.1B.2C.3D.410(2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测(文))已知等差数列a n的前n项和为S n，且a5+ 2a10+a13=18，则S18=( )A.74B.81C.162D.14811(2022·安徽合肥·二模)设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15=5(a3+a8+a m)，则m的值为( )A.10B.12C.13D.1412(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知a，b，c成等差数列，则( )A.a2，b2，c2一定成等差数列B.2a，2b，2c可能成等差数列C.ka+2，kb+2，kc+2(k为常数)一定成等差数列D.1a，1b，1c可能成等差数列一轮复习第六章数列13(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d<0”是“S n有最大值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14(2022·重庆·二模)等差数列a n的公差为2，前n项和为S n，若a m=5，则S m的最大值为( )A.3B.6C.9D.1215(2022·云南师大附中)已知a n是等差数列，S n是a n的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n>S3”是“a4>a3”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件16(2022·四川南充)设等差数列a n的前n项和为S n，满足a1<0,S9=S16，则( )A.d<0B.S n的最小值为S25C.a13=0D.满足S n>0的最大自然数n的值为2517(2022·全国·高三专题练习)在等差数列a n中，S n为a n的前n项和，a1>0，a6a7<0，则无法判断正负的是( )A.S11B.S12C.S13D.S1418(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=019(2022·全国·高三专题练习)(多选)等差数列a n与b n的前n项和分别为S n与T n，且S2nT n= 8n3n+5，则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时，b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀x∈N*，T n>020(2022·全国·高三专题练习)(多选设a n是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7> S8，则下列结论正确的是( )A.d>0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值21(2022·云南昭通)等差数列a n,b n的前n项和分别为S n,T n,S nT n=3n-22n+1,a1=2，则b n的公差为____.22(2022·全国·高三专题练习)已知两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n，T n，且S nT n= n2n+1，则a3b5=_________.23(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n，b n的前n项和分别为S n，T n，若S nT n= 3n-12n+3，则a9b11=______．1112一轮复习 第六章 数列公众号：玩酷高中数学24(2022·黑龙江·哈九中二模)已知数列a n 满足a 1a 2⋅⋅⋅a n =2-2a n ，n ∈N ∗．证明：数列11-a n是等差数列，并求数列a n 的通项公式；25(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=4，a n +1=4-4a nn ∈N *．求证：1a n -2 是等差数列；26(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足，a 1=3，a n +1=3-4a n +1n ∈N *，设数列b n =1a n -1(1)求证数列b n 为等差数列；(2)求数列a n 的通项公式；27(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9=-a 5.(1)若a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．。

高中数学一轮总复习数与代数知识点详解在高中数学的学习中，数与代数是一个重要的知识点，涉及到了数的运算、代数式的化简、方程等内容。

本文将详细解析高中数学一轮总复习中数与代数的知识点。

一、数的运算1.整数运算在整数运算中，我们需要掌握整数的加法、减法、乘法和除法。

整数的加法和减法运算按照正负数的规则进行，乘法和除法运算需要注意正负数相乘的规则。

2.分数运算分数是整数除法的结果，我们需要了解分数的加法、减法、乘法和除法运算的规则，同时也需要掌握化简分数的方法。

3.小数运算小数运算包括加法、减法、乘法和除法，需要特别注意小数的位数对齐，以及运算结果的精确度。

4.百分数运算百分数是将分数表示的百分数转化为小数表示的百分数。

百分数运算包括百分数的加法、减法、乘法和除法，需要注意将百分数转化为小数进行运算。

二、代数式的化简1.代数式的基本概念代数式由常数、变量和运算符号组成，涉及到代数式的基本概念，比如多项式、单项式、系数、字母等。

2.代数式的合并同类项合并同类项是化简代数式的基本方法之一，需要将具有相同字母的项合并为一个项，并按照系数的大小进行排序。

3.代数式的提公因式提公因式也是化简代数式的常用方法，通过找出各项的公因式并提取出来，可以简化代数式的复杂度。

4.代数式的分解因式分解因式是将代数式因式分解的过程，需要掌握一些常用的因式分解公式，比如平方差公式、完全平方公式等。

5.代数式的乘法公式代数式的乘法公式包括平方公式、差积公式、和差积公式等，通过运用这些公式可以简化代数式的乘法运算。

三、方程1.一元一次方程一元一次方程是一个未知数的一次方程，我们需要掌握解一元一次方程的基本方法，包括化简方程、移项、合并同类项、解得未知数等。

2.一元二次方程一元二次方程是一个未知数的二次方程，我们需要掌握解一元二次方程的基本方法，包括配方法、因式分解法、求根公式等。

3.二元一次方程组二元一次方程组是两个未知数的一次方程组，我们需要掌握解二元一次方程组的基本方法，包括代入法、消元法等。

第四节数列求和知识梳理一公式求和法(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式．(2)等差数列的前n项和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.(3)等比数列的前n项和公式：S n=na1，q=1，a1-a n q1-q=a1(1-q n )1-q，q≠1.注意：等比数列公比q的取值情况，要分q=1，q≠1.二分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和．三倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．四裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．五错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．六并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{a n}是等差数列，求数列{(-1)n a n}的前n项和，可用并项求和法求解，分项数为奇数和偶数分别进行求和形如a n=(-1)n f(n)类型，可考虑采用两项合并求解．七四类特殊数列的前n项和①1+2+3+⋯+n=12n(n+1)．②1+3+5+⋯+(2n-1)=n2.③12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)．④13+23+33+⋯+n3=14n2(n+1)2.题型探究一分组求和与并项求和一分组求和法解题通法分组转化法求和的常见类型(1)若a n=b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n}的前n项和．(2)通项公式为a n=b n，n为奇数，c n，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{c n}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．1.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-12 n，则其前20项和为()A.379+1220B.399+1220C.419+1220D.439+12202.已知数列{a n}中，a1=a2=1，a n+2=a n+2，n是奇数，2a n，n是偶数，则数列{an}的前20项和为()A.1121B.1122C.1123D.11241.若数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列{a n}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-22.若a n=1n n+2,n=2k-1,k∈N∗2n,n=2k,k∈N∗，求数列{a n}的前2n项的和S2n.二并项求和法3.已知数列{a n}中，a1=1,a n+1=13a n+n ,n为奇数a n-3n,n为偶数，n∈N*．(Ⅰ)证明：数列a2n-32是等比数列；(Ⅱ)记S n是数列{a n}的前n项和，求S2n．3.已知数列a n的通项公式a n=(-1)n(2n-1)，求该数列的前n项和S n．4.已知数列{a n}的前n项和为S n=1-5+9-13+17-21+⋯+(-1)n-1(4n-3)，则S15+S22-S31的值是()A.13B.76C.46D.-76二倒序相加法4.设f(x )=4x4x+2，若S=f12022+f22022+⋯+f20212022，则S=.反思感悟倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解．5.　设f(x)=x21+x2，则f12022+f12021+⋯+f(1)+f(2)+⋯+f(2022)=40432.6.(2022·全国·高三专题练习)已知f(x)=21+x2 (x∈R),若等比数列{a n}满足a1a2020=1,则f(a1)+ f(a2)+⋯+f(a2020)=( )A.20192 B.1010 C.2019 D.20207.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cos xcos30°-x，f1°+f2°+f3°+⋯+f59°=_ _______.三裂项相消法解题通法1.常见的裂项公式a n的裂项方法a n的裂项方法11n(n+k)=1k1n-1n+k72n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-121n+n+k =1k(n+k-n)8a-1a n(a n+b)(a n+1+b)=1a n+b-1a n+1+b31n2-1=121n-1-1n+19n+2n(n+1)2n=1n2n-1-1n+12n41(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+110n⋅2n-1(n+1)(n+2)=2nn+2-2n-1n+154n2(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1+1111n(n2+1)=121(n-1)n-1n(n+1)61n2(n+2)2=141n2-1(n+2)2121n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2)2.裂项的步骤（以表中7举例）①先只观察分母并对其因式分解：(2n-1)(2n+1-1)；②把分母中的两个因式分开并取倒数，然后做差：12n-1-12n+1-1；③通分：12n-1-12n+1-1=(2n+1-1)-(2n-1)(2n-1)(2n+1-1)=2n(2n-1)(2n+1-1);④跟原式进行比较来配平系数：系数为1.因此2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-13.裂项相消的注意事项①有时分母因式分解有三个因式（如11、12），这时需要把中间大小的重复利用两次，两两一组，分开，再取倒数做差；②裂项相消过程中，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，因此一次要真实相消；4.裂项相消的两种题型(1)直接考查裂项相消法求和．(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决第(2)类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{a n}的通项公式，达到求解的目的．一形如b n =1a n a n +1({a n }为等差数列)型5.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=26，a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列1S n +n的前n 项和为T n ，求T n .二形如a n =1n +k +n型6.(2021·西安八校联考)已知函数f (x )=x α的图象过点(4,2)，令a n =1f (n +1)+f (n )，n ∈N +.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2022等于()A.2021-1B.2022-1C.2023-1D.2023+1三形如b n =a n(a n +k )(a n +1+k )({a n }为等比数列)型7.(2021·辽宁凌源二中联考)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,6S n =a 2n +3a n ，n ∈N *，b n =2a n(2a n -1)(2a n +1-1)，若对任意的n ∈N *，k >T n 恒成立，则k 的最小值是()A.17B.49C.149D.8441四带(-1)n的特殊裂项相消类型8.（2022.临沂一模，20）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，4S n=a n+1a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列b n满足a n b n a n+1=(-1)n n，求b n的前2n项和T2n(n∈N*).8.(角度1)在数列{a n}中，a n=1n+1+2 n+1+⋯+nn+1，又b n=1a n a n+1，则数列{b n}的前n项和S n=.9.(角度2)求和S=11+3+13+5+⋯+1119+121=( )A.5B.4C.10D.910.(角度3){a n}是等比数列，a2=12，a5=116，b n=a n+1(a n+1)(a n+1+1)，则数列{b n}的前n项和为( )A.2n-12(2n+1)B.2n-12n+1C.12n+1D.2n-12n+211.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4 =9，a2a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n=a n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．四错位相减法解题通法1.用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n·b n}是由等差数列{a n}与等比数列{b n}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{a n·b n}的前n项和为T n，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有q k(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n.2.用错位相减法求和应注意的问题(1)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式．(2)“S n-qS n”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n-1项，一般是n-1项．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解．3.错位相减法的快捷公式S n=An+Bq n-B(利用a n解出S1，S2解关于A和B的一元二次方程组即可)9.(2022·陕西榆林·三模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n-9.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n⋅log3a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.12.(2020·课标Ⅰ，17节选)已知数列{a n}的通项公式a n=n(-2)n-1，求{a n}的前n项和S n．13.(2021·全国乙)设a n是首项为1的等比数列，数列b n满足b n=na n3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求a n和b n的通项公式；(2)记S n和T n分别为a n和b n的前n项和．证明：T n<S n2.14.1+2x+3x2+⋯+nx n-1=.(其中x≠0)15.在数列{a n}中，任意相邻两项为坐标的点P(a n，a n+1)均在直线y=2x+k上，数列{b n}满足条件：b1=2，b n=a n+1-a n(n∈N*)．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=b n∙log21bn，求数列{c n}的前n项和S n．16.已知等差数列{a n}公差不为零，且满足：a1= 2，a1，a2，a5成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=3n a n，求数列{b n}的前n项和．17.(2022·河南)已知在数列a n中，a1=1，a2= 2，a n+2=4a n n∈N*．(1)求a n的通项公式；(2)记b n=3n-5a n，求数列b n的前n项和T n．跟踪测验1已知数列{a n }满足a 1=1，且对任意的n ∈N *都有a n +1=a 1+a n +n ，则1a n的前100项和为( )A.100101 B.99100　C.101100D.2001012已知F (x )=f x +12-1是R 上的奇函数，a n =f (0)+f 1n +f 2n +⋯+f n -1n+f (1)(n∈N *)，则数列a n 的通项公式为( )A.a n =n B.a n =2n C.a n =n +1D.a n =n 2-2n +33(2021·哈尔滨三中期末)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =(-1)n (2n -1)，则S 2023=( )A.2021 B.-2021C.-2023　D.20234已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n +1=a n2，a n 为偶数3a n +1，a n 为奇数，如果a 1=1，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018=.5(2021·山东省济南市历城二中高三模考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5-2b 2=a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n =2S n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和T n ，求T 2n .6(2020·天津，19)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4-a 3)，b 5=4(b 4-b 3)．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n +2<S 2n +1(n∈N *)；(3)对任意的正整数n ，设c n =(3a n -2)b n a n a n +2，n 为奇数，a n -1b n +1，n 为偶数. 求数列{c n }的前2n 项和．7(2021·浙江，20,15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=-94，且4S n +1=3S n -9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．8(2021·湖南岳阳一模，18)已知数列{a n}满足a1=1，且点(a n，a n+1-2n)在函数f(x)=3x的图象上．(1)求证：a n2n+1是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)若b n=a n+1a n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n>3n+23.9已知数列{a n}的前n项和S n=-12n2+ kn(其中k∈N*)，且S n的最大值为8．(1)确定常数k，并求a n；(2)若数列9-2a n2n的前n项和为Tn.试证明：T n<4．10已知数列{a n}的前n项和S n=-a n-12 n-1 +2，数列{b n}满足b n=2n a n．(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)设c n=n(n+1)2n(n-a n)(n+1-a n+1)，求数列{c n}的前n项和T n．11已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n-na n =3n(n∈N*)，且a2=5．(1)证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n>310成立的最小正整数n的值．12记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =2a n -2n +1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =(-1)n ·log 223(a n +4)-43，求数列{b n }的前n 项和T n .13已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，b 1=2，数列{a n ⋅b n }的前n 项和为(n -1)⋅2n +1+2．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式．(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，c n =4S n ⋅t n -1n (n +1)b n ，t ≠0，求c 1b n +c 2b n -1+⋯+c n b 1．14(2023·菏泽模拟)已知数列{a n }中，a 1=1，它的前n 项和S n 满足2S n +a n +1=2n +1-1.(1)证明：数列a n -2n3 为等比数列；(2)求S 1+S 2+S 3+⋯+S 2n ；(3)求S 1+S 2+S 3+⋯+S n .15已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，满足32S n=1a n -2-1a n +4.(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列-1 n S n -3n 的前n 项和T n .16(2022·山东日照·模拟预测)已知数列a n 中，a 1=1，a 2=2，a n +2=ka n (k ≠1)，n ∈N ∗，a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列．(1)求k 的值和a n 的通项公式；(2)设b n =a 2n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数 ，求数列b n 的前n 项和S n ．17(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n的前n项和为S n，且S5=25,a2+a5+a10=31.(1)求数列a n的通项公式以及前n项和S n；(2)若b n=2a n,n为奇数1a n a n+2,n为偶数，求数列b n 的前2n-1项和T2n-1.18(2022·沈阳第一二〇中学高三月考)已知数列a n的前n项和S n=a n a n+12，且a n>0．(1)证明：数列a n为等差数列；(2)若b n=a n⋅2na n+1⋅a n+2，求数列b n的前n项和T n．。

高中数学第一轮复习1高中数学第一轮复习建构知识网络第一轮复习应将教材中大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，进行梳理、归纳，按教材中每章小结的知识网络图形成本章的知识结构;将教材中章与章之间的知识网络按知识的内在联系和规律，形成中学数学学科越来越有层次的知识体系和网络，以便应用时能迅速、准确地提取相关知识，解决数学问题。

这样，学生在整个学习过程中会体会到教材所蕴涵的数学思想、数学，从而形成解决问题的方式。

比如，对于“函数”这一章的复习，学生在教师指导下首先将高中所学的函数知识(函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等)进行系统梳理，并用简明的图表形式把基础知识进行串联，以便找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。

否则，学生在梳理知识的过程中过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，就会将知识与方法隔裂开来，整理的东西自然就没什么用。

注重基础，立足教材第一轮复习要注重基础、立足教材。

即要认真阅读、梳理教材，挖掘教材中概念、定理、公式和习题的可变因素进行深入的理解、应用，夯实教材的基础知识、基本技能、基本方法和基本题型。

比如，“数列”这一章中的等差数列和等比数列的前n项求和公式的推导过程分别使用了“倒序相加法”和“错位相减法”，而这两种方法又是数列求和的重要方法。

因此，在复习中我们要紧扣课本，对课本中的例题、知识点加以概括和延伸，达到举一反三、触类旁通的效果;要通过师生共同挖掘一些辐射作用强的知识点，以点连成线，以线连成面，构成一个严格有序的知识体系;要通过分析综合、比较归类、抽象概括、归纳演绎等思维方法，把长期学习的各部分知识“组装”起来，融会贯通，透彻理解，使之形成系统化知识。

2高中数学必修一复习策略全面复习，不忘第一轮复习为全面复习阶段，指导思想是“既要全面系统地梳理知识，不留空白和死角，又要适当突出重点”。

按《考试说明》对知识内容的不同层次要求，全面系统地复习，切实抓好“三基”的学习，形成知识网络，以求融会贯通。

高三数学第一轮复习各个科目都有自己的读书教书方法，但其实即便是万变不离其中虽说的，基本离不开背、记，运用，数学作为科目最烧脑的选修科目之一，也是一样的。

下面是给大家整理的一些高三计算机科学数学第一轮复习的学习资料，希望对大家有所鼓励。

高考数学第一轮各种题型应对方法一，第二场复习的目标第一轮和是对高中所学的数学知识进行全面的梳理复习复习，即系统地整理知识，优化知识结构。

其指导思想是全面、扎实、系统、灵活。

全面———即全面覆盖;扎实———抓好单元知识的表述、巩固、深化;系统———注意医学知识的前后联系，有机结合，完整性、系统性，使学生初步建立明晰的知识网络;灵活———增强小综合训练，克服单向性、定向性，初步培养系统分析运用知识、灵活解题的能力。

复习的直接目标是解决高考中的基础题，数论其根本目的是为数学素质的提高作物质准备。

首要在这一阶段主要抓好对基本概念准确记忆和实质性的理解，抓基本方法、科学知识的熟练应用，抓公式和定理的正用、逆用、变用、巧用，抓基本题型的训练和熟化。

二.第一轮环境污染复习中需要注意的几个环境问题首先，教师认真专研高考考试标准，明确“考什么，怎么考，考多难”，考试标准上对于高考所要考查的数学思想，数学方法，数学能力，做题题型比例和作业量都有明确的说明，甚至对题目的能力其要求，做题目用多少时间都有说明。

教师只有熟悉考试标准，复习中才能做到胸有成竹，得心应手。

其次，教师要钟爱和研究近几年学术研究新高考试题，掌握高个别谈话的结构与特征，明确哪些内容在近几年的考题中已经出现，那些还从未涉及过，哪些知识点常考常旧有，逐一排查找出知识的重点、难点、疑点，做到心中有数，有的放矢。

充分利用图像、表格、框图，使学生在头脑中构建知识网络，使之变成清晰的几条线，而不是模糊的一风和日丽。

对概念、定义、公式、定理要让学生深刻理解，牢固记忆，融会贯通，熟练提取，力求做到提起一根线带起一大遍。

第三，教师在复习教学中要以提高学生解题能力为核心，注重对数学思想，数学方法，考试常识和艺术的渗透。

高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习（9篇）复习应结合自己的实际，基本知识是学习的基础，复习阶段就不能只满足会背诵会证明，复习过程中特别注意对重点知识的掌握与解题方法的锻炼。

那么怎么规划好复习计划呢？以下是编辑给大家整编的9篇高三数学一轮复习，欢迎阅读，希望对大家有所帮助。

高三数学一轮复习计划篇一一。

背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

在前二年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出湖南卷的特色：1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性3 重视对数学思想方法的考查4 深化能力立意，考查考生的学习潜能5 重视基础，以教材为本6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识二、教学计划与要求新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。

一轮为系统复习(一学期)，此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。

在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。

在教学中重点抓好各中通性、通法以及常规方法的复习，是学生形成一些较基本的数学意识，掌握一些较基本的数学方法。

同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。

第3讲 平面向量的数量积及应用举例【知识归纳】1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°若θ＝0°，则a 与b同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b |·cos__θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b投影 |a |cos__θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos__θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何 意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a|＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) [教材衍化]1．(必修4P108A 组T 6改编)已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( )A ．12B ．6C ．33D ．32．(必修4P105例4改编)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝________． 3．(必修4P106练习T3改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．[易错纠偏](1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋a ·c ＝________． 2．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．3．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于________． 【典例剖析】一、平面向量数量积的运算【例1】1 ．(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．02．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.3．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 34．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1【互动探究】 (变问法)在本例(4)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________．【针对练习】 1．(2020·宁波质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.2692．(2020·浙江名校协作体试题)已知在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝7，AC ＝2，且O 是△ABC 的外心，则AO →·AC →＝________，AO →·BC →＝________.3．(2020·杭州中学高三月考)若A ，B ，C 三点不共线，|AB →|＝2，|CA →|＝3|CB →|，则CA →·CB →的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，3B.⎝⎛⎭⎫－13，3C.⎝⎛⎭⎫34，3D.⎝⎛⎭⎫－34，34．(2020·浙江名校联盟联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－725．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．二、平面向量的夹角与模(高频考点) 角度一 求两向量的夹角【例2】 (2020·绍兴一中高三期中)若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【例3】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【例4】(2020·嘉兴质检)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，求|b |的值．【针对练习】 (1)(2020·浙江高考适应性考试)若向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且(a ＋8b )⊥a ，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6(2)(2020·浙江金华名校统考)已知向量a ，b 是夹角为π3的单位向量，当实数λ≤－1时，向量a 与向量a ＋λb 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，2π3 C.⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎣⎡⎭⎫π3，π(3)(2020·温州“十五校联合体”联考)已知向量a ，b 的夹角为θ，|a ＋b |＝6，|a －b |＝23，则θ的取值范围是( )A ．0≤θ≤π3 B.π3≤θ＜π2 C.π6≤θ＜π2 D ．0＜θ＜2π3角度二 求向量的模【例5】 (1)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5(2)(2020·浙江五校联考)如图，已知在平行四边形ABCD 中，E ，M 分别为DC 的两个三等分点，F ，N 分别为BC 的两个三等分点，且AE →·AF →＝25，AM →·AN →＝43，则|AC →|2＋|BD →|2等于( )A ．45B ．60C ．90D ．180(3)(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．(4)(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2 D ．2－ 3【针对练习】(1)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1，则( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定(2)(2020·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知向量a ，b 满足|a －b |＝|a ＋3b |＝2，则|a |的取值范围是________．(3)(2020·杭州质检)记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2.则( )A ．|a －c |max ＝3＋72B ．|a ＋c |max ＝3＋72 C ．|a －c |min ＝3＋72 D ．|a ＋c |min ＝3＋72.角度三 两向量垂直问题【例6】 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.求k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?角度四 求参数值或范围【例7】 已知△ABC 是正三角形，若AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．【规律方法】(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22；(2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算． ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．【针对练习】 1．(2020·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．三、向量数量积的综合应用【例8】 (2020·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．【针对练习】1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A 2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．2．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．四、平面向量中的最值范围问题【例10】 (1)(2020·杭州市高三模拟)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54B.154C.174D.174(2)(2020·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]【针对练习】1．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是__________．2．(2020·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．五、平面向量的综合运用 一、平面向量在平面几何中的应用【例11】 (1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________．二、平面向量与函数、不等式的综合应用【例12】 (1)设θ是两个非零向量a ，b 的夹角，若对任意实数t ，|a ＋t b |的最小值为1，则下列判断正确的是( )A ．若|a |确定，则θ唯一确定B ．若|b |确定，则θ唯一确定C ．若θ确定，则|b |唯一确定D ．若θ确定，则|a |唯一确定(2)(一题多解)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为________．三、平面向量与解三角形的综合应用【例13】 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .四、平面向量与解析几何的综合应用【例14】 (1)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．(2)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB →＝3F A →，则此双曲线的离心率为________．【精品练习】1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－22．(2020·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0 B.2 C ．2 D ．2 23．(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，且a ·c >0，b ·c >0.( )A ．若a·b <0则x >0，y >0B ．若a·b <0则x <0，y <0C ．若a·b >0则x <0，y <0D ．若a·b >0则x >0，y >04．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2020·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎡⎦⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 B.⎣⎡⎦⎤2π3，5π6 C.⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎣⎡⎭⎫5π6，π7．(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么|a －2b |＝________．8．(2020·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．9.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为边CD 上一个动点，CQ →＝λQD →，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则P A →·PD →的取值范围为________．10．(2020·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 11．已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．12．(2020·金华市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，求BC →·AO →的取值范围．13．(2020·嘉兴市高考模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c 满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1 B.2 C. 3 D ．214．(2020·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝ ( )A.255B.223 C ．1 D.5215．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①若m ∥n ，则tan x ＝________；②若m 与n 的夹角为π3，则x ＝________．16．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λOA →＋μOB →.若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值是________，此时OP →，OA →夹角的大小为________．第 11 页 共 11 页 17．(2020·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，求(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值．18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．。

高三数学知识点：第一轮复习要点一、复习的指导思想近几年的高考，集中表达了稳中求变，变中求新，新中求活，活中求能的特点，进一步深化能力立意，重基础，出活题，考素养，考能力的命题指导思想，因此，在第一轮复习中我们坚持贯彻落实全面、系统、扎实、灵活、创新的总体指导思想。

依照那个指导思想，第一轮重点是三基(基础知识、差不多技能、差不多方法)复习，目标是全面、扎实、系统、灵活。

学生要把握好复习课本重要例习题所包蕴的数学思想方法。

在第一轮复习中，学生学习的重心要放在三基，千万不要脱离那个目标;其次复习要求学生跟着老师或者略超前于老师的进度(成绩好的同学应该有两条复习路线，一条是跟着老师走，另外一条是自己制定的复习打算)。

最后在复习中一定要提高效率即把握好90%以上的知识点。

二、复习的原则1. 夯实基础数学中的差不多概念、定义、公式及数学中一些隐含的知识点，差不多的解题思想和方法，是第一轮复习的重点。

近些年来，我们都看到了高考的改革方向和力度，那确实是以基础知识为主，突出能力和素养的考查。

因此，复习过程要严格按照考纲要求，对需要把握的知识进行梳理和强化应用。

2. 立足教材整合知识，夯实基础，应以课本为主，同时借助资料，要把各节知识点进行整理，各章知识点形成知识体系，充分利用图表，填空等形式，构建知识网络，形成几条线。

课本是高考试题的源头,基础知识是能力提高的全然.高考试题年年有变,但考题就来源于课本的原题或变式题,没有偏题、怪题,试题注重通性通法,淡化专门技巧,表达了对差不多知识和差不多概念的考查.复习中我们重视教材的基础作用和示范作用,注意挖掘课本习题的复习功能,加强知识点覆盖的同时注意知识的综合,以《考试说明》为全然,弄清高考知识点及其对基础知识和差不多能力的要求,重视差不多方法的训练.通过一轮复习,做到差不多概念、差不多题型和差不多方法熟练把握.3. 以学生为主不重视数学的阅读明白得和数学语言表达的规范性，这是专门多学生的不良适应。

高三数学一轮复习题型归纳讲义一轮复习题型归纳讲义2022届高三数学一轮复习题型归纳讲义+专项练习专题一 《复数》讲义知识梳理.复数1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．题型一.复数的有关概念1．若z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【解答】解：z ＝（3﹣i ）（a +2i ）＝3a +2+（6﹣a ）i ， ∵z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数， ∴3a +2＝0，且6﹣a ≠0， 得a =−23，此时z =203i ， 故选：C ．2．已知i 是虚数单位，若z （1+3i ）＝i ，则z 的虚部为（ ） A ．110B ．−110C ．i10D ．−i10【解答】解：由z （1+3i ）＝i ，得z =i1+3i =i(1−3i)(1+3i)(1−3i)=3+i10=310+i10， ∴z 的虚部为110．故选：A ．3．已知复数z =2i 1+i （i 虚数单位），则z ⋅z =（ ） A ．√2B ．2C ．1D ．12【解答】解：由题意知|z|=|2i||1+i|=|2|√2=√2， 利用性质z ⋅z =|z|2，得z ⋅z =2， 故选：B ． 4．若a−i i=b +2i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a +b 的值（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．3【解答】解：∵a−i i=−ai ﹣1＝b +2i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，∴a ＝﹣2，b ＝﹣1 ∴a +b ＝﹣3． 故选：A ．5．设复数z 满足z =i−11+i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：z =i−11+i =−(1−i)22=i ，故|z |＝1， 故选：A ． 6．设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：∵复数z 满足1+z 1−z=i ，∴1+z ＝i ﹣zi ， ∴z （1+i ）＝i ﹣1， ∴z =i−1i+1=i ， ∴|z |＝1， 故选：A ．7．若复数z 满足z （1﹣i ）＝2i ，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．z 为实数C ．|z |=√2D ．z +z =2i【解答】解：因为z （1﹣i ）＝2i ，所以z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i ， 则|z |=√2；由于z 的虚部是1，则A ，B 错，z +z =−2，则D 错． 故选：C ．8．若复数Z 的实部为1，且|Z |＝2，则复数Z 的虚部是（ ） A ．−√3B ．±√3C ．±√3iD ．√3i【解答】解：复数Z 的实部为1， 设Z ＝1+bi ． |Z |＝2，可得√1+b 2=2， 解得b =±√3． 复数Z 的虚部是±√3． 故选：B ．题型二.复数的几何意义1．已知i 是虚数单位，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1−i)21+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i ，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C ．2．设i 是虚数单位，z 的复数z 的共轭复数，z ＝1+2i ，则复数z +i •z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵z ＝1+2i ，∴z +i •z =1+2i +i （1﹣2i ）＝1+2i +i +2＝3+3i ．∴复数z +i •z 在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限． 故选：A ．3．设a ∈R ，若复数（1+i ）（a +i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．√2【解答】解：∵复数（1+i ）（a +i ）＝（a ﹣1）+（a +1）i 在复平面内对应的点位于实轴上，∴a +1＝0，即a ＝﹣1． 故选：B ．4．已知复数z ＝3+4i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第 一 象限． 【解答】解：∵z ＝3+4i 3＝3﹣4i ， ∴z =3+4i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限． 故答案为：一．5．在复平面内，O 是坐标原点，向量OA →对应的复数是﹣2+i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数的模为 √5 ．【解答】解：∵向量OA →对应的复数是﹣2+i ，∴A （﹣2，1）， 又点A 关于实轴的对称点为点B ，∴B （﹣2，﹣1）． ∴向量OB →对应的复数为﹣2﹣i ，该复数的模为|﹣2﹣i |=√5． 故答案为：√5．6．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z −2i =11−i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132B ．√262 C ．√102D ．52【解答】解：由z −2i =11−i ，得z ＝2i +11−i =2i +1+i(1−i)(1+i)=12+52i ， ∴复数z 在复平面内的点的坐标为（12，52），到原点的距离为√14+254=√262．故选：B ．题型三.复数的指数幂运算1．若复数z =2i1+i7（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：∵z =2i 1+i7=2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ， ∴z =−1﹣i ，∴复数z 在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）； ∴它对应的点在第三象限， 故选：C ．2．已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，则a+i 20161+i的值为（ ）A ．1B ．0C ．1+iD ．1﹣i【解答】解：复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，可得a ＝1，a+i 20161+i=1+11+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1﹣i ．故选：D ．3．已知复数z =(1+i)3(1−i)2（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：z =(1+i)3(1−i)2=(1+i)⋅2i−2i=−1﹣i ， 则z 的虚部为﹣1， 故选：A ．4．已知复数z 满足z •i 2020＝1+i 2019（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵i 4＝1， ∴i 2020＝i 4×505＝1，i 2019＝i 4×504+3＝﹣i ，则z •i 2020＝1+i 2019化为z ＝1﹣i ， ∴z 的虚部为﹣1． 故选：A ．5．设i 是虚数单位，则复数z ＝（1+i 1−i）2013＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵1+i 1−i=(1+i)2(1+i)(1−i)=2i 2=i ，∴z ＝（1+i 1−i）2013＝i 2013＝（i 2）1006•i ＝i ．故选：D ．6．已知复数z ＝﹣1+i ，则z+2z 2+z=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵z ＝﹣1+i ， ∴z+2z 2+z=−1+i+2(−1+i)2−1+i=1+i −1−i=(1+i)(−1+i)(−1−i)(−1+i)=−1．故选：A ．7．若Z ＝1+i ，则|Z 2﹣Z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2【解答】解：∵Z ＝1+i ，∴Z 2﹣Z ＝（1+i ）2﹣（1+i ）＝1+2i +i 2﹣1﹣i ＝i 2+i ＝﹣1+i ， ∴|Z 2﹣Z |=√(−1)2+12=√2．故选：C ． 8．当z =−1−i√2时，z 100+z 50+1的值等于 ﹣i ． 【解答】解：∵z =−1−i √2=√22−√22i ∴z 2=12−2×√22×√22i +（√22i ）2＝﹣i ，可得z 4＝﹣1根据复数乘方的含义，可得z 100＝（z 4）25＝﹣1，z 50＝（z 4）12•z 2＝﹣i ∴z 100+z 50+1＝﹣1﹣i +1＝﹣i 故答案为：﹣i题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题1．若复数z 满足3z +z =−4+2i ，则z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则3z +z =3（a +bi ）+a ﹣bi ＝4a +2bi ＝﹣4+2i ， ∴{4a =−42b =2，即a ＝﹣1，b ＝1． ∴z ＝﹣1+i ． 故选：D ．2．设复数z 满足z 2＝3+4i （i 是虚数单位），则z 的模为（ ） A ．25B ．5C ．√5D ．2+i【解答】解：法一、设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 由z 2＝3+4i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝3+4i ，∴{a 2−b 2=32ab =4，解得{a =2b =1或{a =−2b =−1．∴|z|=√a 2+b 2=√5． 故选：C ．法二、由z 2＝3+4i ，得|z 2|=|z|2=√32+42=5， 则|z |=√5． 故选：C ．3．设复数z 满足|z 1|＝1，|z 2|＝2，z 1+z 2＝﹣1+√3i ，则|z 1﹣z 2|＝ √6 ．【解答】解：设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，（a ，b ，c ，d 为实数）， 因为复数z 满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=−1+√3i ， 所以{a +c =−1b +d =√3且a 2+b 2＝1，c 2+d 2＝4，所以a 2+c 2+2ac +b 2+d 2+2bd ＝4， 即2ac +2bd ＝﹣1，则|z 1﹣z 2|=√(a −c)2+(b −d)2=√a 2+b 2+c 2+d 2−2(ac +bd)=√5+1=√6． 故答案为：√6．4．已知z ∈C ，且|z |＝1，则|z ﹣2﹣2i |（i 为虚数单位）的最小值是（ ） A ．2√2−1B ．2√2+1C ．√2D ．2√2【解答】解：∵|z |＝1且z ∈C ，作图如图：∵|z ﹣2﹣2i |的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P （2，2）的距离， ∴|z ﹣2﹣2i |的最小值为：|OP |﹣1＝2√2−1． 故选：A ．5．设复数z 1，z 2满足|z 1﹣1|＝1，|z 2+3i |＝2，则|z 1﹣z 2|的最大值为（ ） A ．3+2√3B ．2√10C ．3+√10D ．6【解答】解：因为|z 1﹣1|＝1，|z 2+3i |＝2，所以z 1，对应的点在以A （1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z 2对应的点在以B （0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上， 则|z 1﹣z 2|的几何意义是两圆上点的距离，则则|z 1﹣z 2|的最大值为AB +1+2＝3+√12+(−3)2=3+√10． 故选：C ．6．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是4√2．【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，∴√x2+(y−4)2=√(x+2)2+y2，化为x+2y＝3．则2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y=4√2，因此2x+4y的最小值是4√2．故答案为：4√2．专题一 《复数》讲义知识梳理.复数1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．题型一.复数的有关概念1．若z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．202．已知i 是虚数单位，若z （1+3i ）＝i ，则z 的虚部为（ ） A ．110B ．−110C ．i10D ．−i103．已知复数z =2i1+i （i 虚数单位），则z ⋅z =（ ） A ．√2 B ．2 C ．1 D ．124．若a−i i=b +2i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a +b 的值（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．35．设复数z 满足z =i−11+i ，则|z |＝（ ） A ．1 B ．√2C ．√3D ．26．设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．27．若复数z 满足z （1﹣i ）＝2i ，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．z 为实数C ．|z |=√2D ．z +z =2i8．若复数Z 的实部为1，且|Z |＝2，则复数Z 的虚部是（ ） A ．−√3 B ．±√3C ．±√3iD ．√3i题型二.复数的几何意义1．已知i 是虚数单位，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设i 是虚数单位，z 的复数z 的共轭复数，z ＝1+2i ，则复数z +i •z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ∈R ，若复数（1+i ）（a +i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．√24．已知复数z ＝3+4i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第 象限．5．在复平面内，O 是坐标原点，向量OA →对应的复数是﹣2+i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数的模为 ．6．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z −2i =11−i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132B ．√262C ．√102D ．52题型三.复数的指数幂运算1．若复数z =2i1+i7（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，则a+i 20161+i的值为（ ）A ．1B ．0C ．1+iD ．1﹣i3．已知复数z =(1+i)3(1−i)2（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i4．已知复数z 满足z •i 2020＝1+i 2019（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i5．设i 是虚数单位，则复数z ＝（1+i 1−i）2013＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．已知复数z ＝﹣1+i ，则z+2z 2+z=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i7．若Z ＝1+i ，则|Z 2﹣Z |＝（ ） A ．0 B ．1C ．√2D ．28．当z =−1−i√2时，z 100+z 50+1的值等于 ．题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题1．若复数z满足3z+z=−4+2i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（）A．25B．5C．√5D．2+i3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+√3i，则|z1﹣z2|＝．4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2D．2√25．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（）A．3+2√3B．2√10C．3+√10D．66．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是．专题一 《复数》专项练习课后作业.复数一．选择题（共10小题） 1．设i 是虚数单位，复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z|=（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：复数z 满足1+z 1−z=i ，可得1+z ＝（1﹣z ）i ，解得z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ． 则|z|=|i |＝1． 故选：A ．2．若（2﹣mi ）（3﹣2i ）（m ∈R ）是纯虚数，则在复平面内复数z =m−2i1+i 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵（2﹣mi ）（3﹣2i ）＝（6﹣2m ）﹣（3m +4）i 是纯虚数， ∴{6−2m =03m +4≠0，即m ＝3． ∴z =m−2i1+i =3−2i1+i =(3−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−52i ，∴复数z 所对应的点的坐标为（12，−52），位于第四象限．故选：D ．3．复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√55B ．√525C ．125D ．15【解答】解：复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位）， 可得|z （3﹣4i ）|＝1， 即|z ||3﹣4i |＝1， 可得5|z |＝1， ∴|z |=15， 故选：D ． 4．若复数a+i b−3i （a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，则ab 的值是（ ）A ．﹣15B ．3C ．﹣3D ．15【解答】解：a+ib−3i=(a+i)(b+3i)(b−3i)(b+3i)=ab+(3a+b)i+3i 2b 2−9i 2=ab−3b 2+9+3a+b b 2+9i ，∵复数a+ib−3i（a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，∴ab−3b 2+9=0，即ab ＝3，故选：B ．5．复数z 满足z （2+i ）＝3﹣6i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．﹣3iC ．3iD ．﹣3【解答】解：∵z （2+i ）＝3﹣6i ， ∴z =3−6i2+i =(3−6i)(2−i)(2+i)(2−i)=−3i ， ∴复数z =3i ， ∴复数z 的虚部为：3， 故选：A ． 6．已知复数z 满足z 1+i=|2−i|，则z 的共轭复数对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：z 1+i=|2−i|=√5，∴z =√5+√5i ．则z 的共轭复数√5−√5对应的点（√5，−√5）位于复平面内的第四象限． 故选：D ．7．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3+4i ，则z 1z 2＝（ ） A ．﹣25B ．25C ．7﹣24iD ．﹣7﹣24i【解答】解：由复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝3+4i ， 得z 2＝﹣3+4i ，∴z 1z 2＝（3+4i ）（﹣3+4i ）＝（4i ）2﹣32＝﹣16﹣9＝﹣25． 故选：A ．8．已知复数z 在复平面内对应的点为（1，﹣1），则|z •z +2i 3|＝（ ） A ．2√2B ．2√3C ．6D ．7【解答】解：由题意得z ＝1﹣i ，z =1+i ，z ⋅z =2， 则|z •z +2i 3|＝|2﹣2i |＝2√2． 故选：A ．9．已知复数z 满足|z|=√2，z +z =2，（z 为z 的共轭复数）．下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．1+i 或1﹣iD ．﹣1+i 或﹣1﹣i【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ， ∵复数z 满足|z|=√2，z +z =2，∴{a 2+b 2=22a =2，得{a =1b =±1，∴z ＝1+i 或z ＝1﹣i ． 故选：C ．10．已知复数z 满足|z ﹣1﹣i |≤1，则|z |的最小值为（ ） A ．1B ．√2−1C ．√2D ．√2+1【解答】解：∵复数z 满足|z ﹣1﹣i |＝1，∴点z 对应的点在以（1，1）为圆心，1为半径的圆上以及圆内， 要求|z |的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可， 连接圆心与原点，长度是√2， 最短距离要减去半径，即√2−1． 故选：B ．二．多选题（共4小题）11．已知复数z ＝1+i （其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A ．复数z 的虚部为iB ．|z |=√2C ．复数z 的共轭复数z =1﹣iD ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【解答】解：∵复数z ＝1+i ，∴复数z 的虚部为1，故A 错误； |z |=√2，故B 正确；复数z 的共轭复数z =1﹣i ，故C 正确；数z 在复平面内对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故D 正确． 故选：BCD ．12．设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0．下列命题中正确的是（ ） A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z 2=z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当z2=z3时，则z2=z3，所以|z1z2|2−|z1z3|2=(z1z2)(z1z2)−(z1z3)(z1z3)=z1z2z1z2−z1z3z1z3=0，故选项C 正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2=|z1|2=z1z1，可得z1z2−z1z1=z1(z2−z1)=0，所以z1=z2，故选项D错误．故选：BC．13．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（）A．若复数z=3+i，则1z=310−i10B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y﹣2）2＝1 C．若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0D．复数z＝1﹣3i的虚部是3【解答】解：复数13+i =3−i(3+i)(3−i)=3−i10=310−i10所以z=3+i，则1z=310−i10，正确；复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），√x2+(y−2)2=1，则x2+（y ﹣2）2＝1，所以B正确；若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0，正确；z＝1﹣3i的虚部是﹣3．所以D不正确．故选：ABC．14．已知复数z0＝1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为（1，2）B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），∵|z ﹣1|＝|z ﹣i |，∴（a ﹣1）2+b 2＝a 2+（b ﹣1）2，∴a ＝b ， A ：∵z 0＝1+2i ，∴P 0（1，2），∴A 正确， B ：∵z 0＝1+2i ，∴z 0=1﹣2i ，∴z 0对应的点P 的坐标为（1，﹣2）与P 0（1，2）关于实轴对称，∴B 错误， C ：∵a ＝b ，∴复数z ＝a +bi 对应的点（a ，a ）在直线y ＝x 上，∴C 正确， D ：∵P 0（1，2）到直线y ＝x 的距离d =|1−2|√2=√22， ∴P 0（1，2）与复数z ＝a +bi 对应的点Z （a ，a ）的最小值为√22，∴D 错误． 故选：AC ．三．填空题（共4小题）15．i 是虚数单位，则i 607的共轭复数为 i ． 【解答】解：i 607＝i 4×151+3＝i 3＝﹣i ，故其共轭复数是i ，故答案为：i16．若复数z 与其共轭复数z 满足|z |=√3，z +z =2，则z +3z= ﹣2+4√2i 或﹣2+4√2i ． 【解答】解：设复数z ＝a +bi ，a 、b ∈R ， 则z =a ﹣bi ， 由|z |=√3，z +z =2，得{√a 2+b 2=√32a =2， 解得a ＝1，b ＝±√2；当a ＝1，b =√2时，z +3z =（1+√2i ）1+√2i=−2+4√2i ； 当a ＝1，b =−√2时，z +3z =（1−√2i ）1−√2i=−2﹣4√2i ； 故答案为：﹣2+4√2i 或﹣2+4√2i ．17．若复数z 满足|z ﹣3i |＝1，求|z +2|的最大值 1+√13 ．【解答】解：|z ﹣3i |＝1的复数z 对应的点是以C （0，3）为圆心，1为半径的圆， |z +2|表示得复数z 所对应的点和A （﹣2，0）的距离， ∵|AC |=√4+9=√13， ∴|z +2|的最大值1+√13． 故答案为：1+√13．18．若复数z满足z•z+z+z=0，则复数|z﹣1﹣2i|的最大值为2√2+1．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则由z•z+z+z=0，得a2+b2+2a＝0，即（a+1）2+b2＝1，复数z在复平面内对应的点在以A（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆上，则复数|z﹣1﹣2i|=√(a−1)2+(b−2)2表示z在复平面内的点到点P（1，2）的距离，∴|z﹣1﹣2i|的最大值为|P A|+1=√(−1−1)2+(0−2)2+1＝2√2+1，故答案为：2√2+1．专题一 《复数》专项练习课后作业.复数一．选择题（共10小题） 1．设i 是虚数单位，复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z|=（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．22．若（2﹣mi ）（3﹣2i ）（m ∈R ）是纯虚数，则在复平面内复数z =m−2i1+i 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√55B ．√525C ．125D ．154．若复数a+i b−3i（a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，则ab 的值是（ ）A ．﹣15B ．3C ．﹣3D ．155．复数z 满足z （2+i ）＝3﹣6i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．﹣3iC ．3iD ．﹣36．已知复数z 满足z 1+i=|2−i|，则z 的共轭复数对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3+4i ，则z 1z 2＝（ ） A ．﹣25B ．25C ．7﹣24iD ．﹣7﹣24i8．已知复数z 在复平面内对应的点为（1，﹣1），则|z •z +2i 3|＝（ ） A ．2√2B ．2√3C ．6D ．79．已知复数z 满足|z|=√2，z +z =2，（z 为z 的共轭复数）．下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．1+i 或1﹣iD ．﹣1+i 或﹣1﹣i10．已知复数z 满足|z ﹣1﹣i |≤1，则|z |的最小值为（ ） A ．1B ．√2−1C ．√2D ．√2+1二．多选题（共4小题）11．已知复数z ＝1+i （其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A ．复数z 的虚部为iB．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1﹣iD．复数z在复平面内对应的点在第一象限12．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若z2=z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 13．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（）A．若复数z=3+i，则1z=310−i10B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y﹣2）2＝1C．若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0D．复数z＝1﹣3i的虚部是314．已知复数z0＝1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为（1，2）B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2三．填空题（共4小题）15．i是虚数单位，则i607的共轭复数为．16．若复数z与其共轭复数z满足|z|=√3，z+z=2，则z+3z=．17．若复数z满足|z﹣3i|＝1，求|z+2|的最大值．18．若复数z满足z•z+z+z=0，则复数|z﹣1﹣2i|的最大值为．专题二《集合》讲义知识梳理.集合1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．题型一.集合的基本概念1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，a＝2时，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），故选：C．2．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，ba，b}，则b﹣a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：根据题意，集合{1，a+b，a}={0，ba，b}，又∵a≠0，∴a+b＝0，即a＝﹣b，∴ba=−1，b＝1；故a＝﹣1，b＝1，则b﹣a＝2，故选：C．3．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【解答】解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是2．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，3﹣m∈A，∴{3−m=1m≠0m≠1或{3−m=2m≠0m≠1或{3−m=3m≠0m≠1，解得m＝2．∴非零实数m的数值是2．故答案为：2．6．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4【解答】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4故选：A．题型二.集合的基本关系——子集个数1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（）A．1或2B．﹣1或﹣2C．2D．1【解答】解：∵A＝B，∴3a﹣2＝a2，解得：a＝1或2，当a＝1时，集合A＝{0，1，1}不满足元素的互异性，故舍去，当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，所以a＝2，故选：C ．2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（ ） A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a ＞2}【解答】解：由题意作图则a ＞2即可， 故选：D ．3．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{﹣1，1}C ．{1，0}D ．{1，﹣1，0}【解答】解：∵集合M ＝{x |x 2＝1}＝{﹣1，1}，N ＝{x |ax ＝1}，N ⊆M ， ∴当a ＝0时，N ＝∅，成立； 当a ≠0时，N ＝{1a }，∵N ⊆M ，∴1a=−1或1a=1．解得a ＝﹣1或a ＝1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}． 故选：D ．4．已知集合A ＝{x |x 2﹣3ax ﹣4a 2＞0，（a ＞0）}，B ＝{x |x ＞2}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 （0，12] ．【解答】解：集合A ＝{x |x 2﹣3ax ﹣4a 2＞0，（a ＞0）} ＝{x |（x ﹣4a ）（x +a ）＞0，a ＞0} ＝{x |x ＜﹣a 或x ＞4a ，a ＞0}， B ＝{x |x ＞2}，B ⊆A ， ∴0＜4a ≤2，解得0＜a ≤12． ∴实数a 的取值范围是（0，12]．故答案为：（0，12]．5．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2+3x ＜0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4．故选：C．6．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M 的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．15个【解答】解：a＝1，b＝2时，x＝6，a＝1，b＝3时，x＝12，a＝0，b＝2时，x＝4，a＝0，b＝3时，x＝9，故M＝{4，6，9，12}，故M的真子集的个数是：24﹣1＝15个，故选：D．题型三.集合的基本运算1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，A∩B＝{1}，∴x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，∴1﹣4+m﹣1＝0，解得m＝4，∴B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：在同一个坐标下，画出圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x的图象如下所示：圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x有两个交点，∴A∩B中元素的个数为：2．故选：B．3．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．4．满足M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}的集合M的子集个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}，说明集合M中只含有一个元素a3，即M＝{a3}，M的子集为∅，{a3}，∴集合M的子集个数是2．故选：B．5．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B={x|32x≤1}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥32或x＜0}，故A∩B＝{﹣2，﹣1，2}，故选：C．6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或2【解答】解：a＝1时，B中方程为x2﹣3x+1＝0，其解为无理数，A∩B＝∅；a＝2时，B中方程为x2﹣3x+2＝0，其解为1和2，A∩B＝{1，2}≠∅；a＝3时，B中方程为x2﹣3x+3＝0，无解，A∩B＝∅；综上，a的值为2．故选：B．7．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．φ【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}＝{x|﹣4≤x≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R（A∩B）＝{x|x∈R，x≠0}，故选：B．8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3【解答】解：A＝{x|1＜x＜3}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；①若a≤0，B＝R，满足A⊆B；②若a＞0，则B＝{x|x≥a，或x≤﹣a}；∴0＜a≤1；综上得，a≤1．故选：A．题型四.用韦恩图解决集合问题——新定义问题1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3，4，5}【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}＝{x|x＞3}，∴∁U B＝{x|x≤3}．∴图中阴影部分表示的集合为：A∩（∁U B）＝{1，2，3}．故选：B．2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩∁U B＝{1，5，7}，∁U A∩∁U B＝{9}，则A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}．【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由题意如图所示由韦恩图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}故答案为：{1，3，5，7}；{2，3，4，6，8}3．已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪（∁R N）＝（）A．∅B．M C．N D．R【解答】解：如图所示易知M∪（∁R N）＝M．故选：B．4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C．5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有17个．【解答】解：由集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”有：当A＝{1}，B＝{2}或{3}或{4}或{2，3}或{2，4}或{3，4}或{2，3，4}；当A＝{2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}当A＝{3}时，B＝{4}A＝{1，2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}A＝{1，3}时，B＝{4}，A＝{2，3}，B＝{4}A＝{1，2，3}，B＝{4}故答案为：17．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：x⊗y={x+y(x与y奇偶相同)x×y(x与y奇偶不同)，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是9．【解答】解：①当x与y都为奇数时，有1+5＝6，3+3＝6，据此可得出（1，5），（5，1），（3，3），3个点符合题意，②当x与y都为偶数时，有2+4＝6，据此可得出（2，4），（4，2），2个点符合题意，③当x与y一奇一偶时，1×6＝6，2×3＝6，据此可得出（1，6），（6，1），（2，3），（3，2），4个点符合题意，所以共有9个点符合题意，故答案为：9．专题二《集合》讲义知识梳理.集合1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或22．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，ba，b}，则b﹣a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．44．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．65．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是．6．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4题型二.集合的基本关系——子集个数1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（）A．1或2B．﹣1或﹣2C．2D．12．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥1}B．{a|a≤1}C．{a|a≥2}D．{a|a＞2}3．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{1，0}D．{1，﹣1，0} 4．已知集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}，B＝{x|x＞2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．5．已知集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2B．3C．4D．86．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M 的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．151．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．03．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]4．满足M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}的集合M的子集个数是（）A．1B．2C．3D．45．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B={x|32x≤1}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或27．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．φ8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3题型四.用韦恩图解决集合问题——新定义问题1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3，4，5} 2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩∁U B＝{1，5，7}，∁U A∩∁U B＝{9}，则A＝，B＝．3．（2021•全国模拟）已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪（∁R N）＝（）A．∅B．M C．N D．R4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有个．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：x⊗y={x+y(x与y奇偶相同)x×y(x与y奇偶不同)，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是．专题二 《集合》专项练习课后作业.集合一．选择题（共8小题）1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，T ＝{x |x =b a，a ，b ∈A ，a ＞b }，则集合T 中元素的个数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去．a ＝2时，b ＝1，可得：b a =12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a =13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a =14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a =15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a =16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =b a ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11．故选：C ．2．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则B 的子集个数为（ ）A ．8B ．2C ．4D ．7【解答】解：集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x +y ，x ∈A ，y ∈A }，当x ＝0，y ＝0时，z ＝0，当x ＝0，y ＝1或x ＝1，y ＝0时，z ＝1，当x ＝1，y ＝1时，z ＝2，∴集合B 含有3个元素，其子集个数为23＝8个．故选：A ．3．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝﹣x +2}，B ＝{（x ，y ）|y ＝2x }，则A ∩B 元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：作y ＝﹣x +2和y ＝2x 的图象如下：根据图象看出，直线y＝﹣x+2和指数函数y＝2x的图象只有一个交点；∴A∩B元素的个数为1．故选：B．4．已知集合A＝{x|2x+1≤1}，B＝{x|2x＜1}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣1，0）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：A＝{x|x＜﹣1，或x≥1}，B＝{x|x＜0}；∴∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；∴（∁R A）∩B＝{x|﹣1≤x＜0}＝[﹣1，0）．故选：A．5．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若A∩B＝B，则实数a的取值为（）A．1B．﹣1或2C．2D．﹣1或1【解答】解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴a+2＝3或a+2＝a2，∴a＝1或a＝﹣1或a＝2，a＝1或a＝﹣1时，集合A的元素不满足互异性，不合题意；a＝2时，符合题意，∴a＝2．故选：C．6．已知全集U＝R，集合M＝{x|x+2a≥0}，N＝{x|log2（x﹣1）＜1}，若集合M∩（∁U N）＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为（）A．a=12B．a≤12C．a=−12D．a≥12【解答】解：由题意可知：∵log2（x﹣1）＜1，∴x﹣1＞0且x﹣1＜2，即1＜x＜3，∴N＝{x|1＜x＜3}，∴∁u N ＝{x |x ≤1或x ≥3}又∵M ＝{x |x +2a ≥0}＝{x |x ≥﹣2a }，而M ∩（∁∪N ）＝{x |x ＝1，或x ≥3}，∴﹣2a ＝1，∴a =−12故选：C ．7．已知集合A ＝{x ∈N ||x |≤1}，集合B ={x ∈Z|y =√x +1⋅√3−x}，则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1，3]B ．（1，3]C ．{﹣1，2，3}D ．{﹣1，0，2，3}【解答】解：A ＝{x ∈N ||x |≤1}＝{0，1}，由{x +1≥03−x ≥0得{x ≥−1x ≤3得﹣1≤x ≤3， 则B ＝{﹣1，0，1，2，3}，阴影部分对应的集合为∁B A ，则∁B A ＝{﹣1，2，3}，故选：C ．8．设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1}，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}【解答】解：由|x ﹣a |＜1得﹣1＜x ﹣a ＜1，即a ﹣1＜x ＜a +1．如图由图可知a +1≤1或a ﹣1≥5，所以a ≤0或a ≥6．故选：C ．二．多选题（共4小题）9．已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，1，4}，则下列判断正确的是（ ）A ．M ∪N ＝{0，1，2，3，4}B ．（∁U M ）∩N ＝{0，1}C．∁U N＝{1，2，3}D．M∩N＝{0，4}【解答】解：M∪N＝{0，1，2，3，4}，故A正确，∁U M＝{0，1}，则（∁U M）∩N＝{0，1}，故B正确，∁U N＝{2，3}，故C错误，M∩N＝{4}，故D错误，故选：AB．10．设全集U＝R，若集合M⊆N，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．∁U M⊆∁U N D．（M∪N）⊆N 【解答】解：因为M⊆N，则M∩N＝M，M∪N＝N，所以A，B正确，且∁U M⊇∁U N，（M∪N）⊆N，所以C错误，D正确，故选：ABD．11．已知非空集合A、B满足：全集U＝A∪B＝（﹣1，5]，A∩∁U B＝[4，5]，下列说法不一定正确的有（）A．A∩B＝∅B．A∩B≠∅C．B＝（﹣1，4）D．B∩∁U A＝（﹣1，4）【解答】解：∵A∩∁u B＝[4，5]，U＝A∪B＝（﹣1，5]，∴B＝U﹣A∩∁u B＝（﹣1，4），∴C正确．则集合A一定包含[4，5]，当A＝[4，5]时，A∩B＝∅，∴B错误．当A＝（3，5]时，A∩B＝（3，4），∴A错误．此时∁u A＝（﹣1，3]，B∩∁u A＝（﹣1，3]，∴D错误．故选：ABD．12．若非空数集M满足任意x，y∈M，都有x+y∈M，x﹣y∈M，则称M为“优集”．已知A，B是优集，则下列命题中正确的是（）A．A∩B是优集B．A∪B是优集C．若A∪B是优集，则A⊆B或B⊆AD．若A∪B是优集，则A∩B是优集【解答】解：选项A：任取x∈A∩B，y∈A∩B，因为集合A，B是优集，则x+y∈A，x+y∈B，则x+y∈A∩B，x﹣y∈A，x﹣y∈B，则x﹣y∈A∩B，所以A正确，选项B：取A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝3m，m∈Z}，则A＝{x|x＝2k或x＝3k，k∈Z}，令x＝3，y＝2，则x+y＝5∉A∪B，B错误，选项C：任取x∈A，y∈B，可得x，y∈A∪B，因为A∪B是优集，则x+y∈A∪B，x﹣y∈A∪B，若x+y∈B，则x＝（x+y）﹣y∈B，此时A⊆B，若x+y∈A，则x＝（x+y）﹣y∈A，此时B⊆A，C正确，选项D：A∪B是优集，可得A⊆B，则A∩B＝A为优集，或B⊆A，则A∩B＝B为优集，所以A∩B是优集，D正确，故选：ACD．三．填空题（共6小题）13．设集合A＝{0，﹣4}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪{1}．【解答】解：∵集合A＝{0，﹣4}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，x∈R}，B⊆A，∴当B＝∅时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0无解，△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，解得a＜﹣1；当B＝{0}时，把x＝0代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，得a＝±1；当a＝1时，B＝{0，﹣4}≠{0}，∴a≠1；当a＝﹣1时，B＝{0}，∴a＝﹣1；当B＝{﹣4}时，把x＝﹣4代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，得a＝1或a＝7；当a＝1时，B＝{0，﹣4}≠{﹣4}，∴a≠1；当a＝7时，B＝{﹣4，﹣12}≠{﹣4}，∴a≠7；当B＝{0，﹣4}时，则a＝1；当a＝1时，B＝{0，﹣4}，∴a＝1；综上所述：a≤﹣1或a＝1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪{1}．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{1}．14．设全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}，A＝{x|x2﹣5x+q＝0}，B＝{x|x2+px+12＝0}，（∁u A）∪B ＝{1，3，4，5}，则集合B＝{3，4}【解答】解：全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，。

高考数学一轮复习知识点(精选5篇)高考数学一轮复习知识点篇11、基础不牢，地动山摇。

数学想考高分，基础是最重要的，这也是很多学生数学成绩一直不好的核心原因，牢记基本公式和基本定理，根据课本目录，能熟练回忆出课本上所有知识点，真正打牢基础，你才有学好数学的可能。

2、从基础题由浅入深进行练习。

不少人对数学学习彻底失去了信心，甚至感觉自己就不是学习数学的料，其实都是平时不会选题，基础差还总爱做难题，最后被打击的自信心全无。

正确的做法是从最基础的题目开始做，先完成老师布置的作业，然后再每天给自己准备一定数量的题目，题目的选择应该从浅入深，基础不好就先做简单的题目，一点一点加深难度。

3、不要怕问。

数学想考满分，你的知识体系必须非常完美，知识没有任何漏洞才行。

遇到问题千万不要放弃，一定要多问多想，遇到不会的难题，不要硬靠自己，要敢于走出去找老师解答，在这个过程中，你可以体会老师的解题方法和老师的解题思想，更有效地利用做题时间。

4、错题本必须要有。

有人经常说，数学学霸们的学习方法并不适合所有人，但错题本学习法确实是人人都应该掌握的一个高效学习法。

如果不想错题一错再错，错题本是必须要有的。

最重要的是经常出错的题要多看，也可以的错题进行归类，不然你整理再多错题作用也不大。

高考数学一轮复习知识点篇2越是容易的题要越小心，因为这样的题很可能有陷阱。

出现怪异的答案的题要小心，因为很有可能计算错误。

任何带有数字的题要多问一下自己，有没有遗漏答案，如出现2的答案，就要考虑-2有没有可能也是答案。

最后一道填空题很有可能是难题，如果不能马上解出，应迅速放在一边进行下面答题，毕竟这道题再难也分数也有限，不应恋战。

高考数学一轮复习知识点篇3三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础。

是高考数学必考题型。

高考对其的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。

近几年来，高考关于数列方面的命题有以下三个方面。

洛必达法则知识与方法在有的问题中，我们要研究函数的图象，但函数存在没有定义的点，代入解析式计算函数在该点处的函数值时，会出现诸如00、∞∞的不定式，从而无法用初等的方法研究函数在该点附近的图象走势.例如，在研究函数()ln 1xf x x =-在1x =附近的图象时，初等代数的方法就会显得束手无策，此时，我们需要用到高等代数中的一个重要定理：洛必达法则.1．洛必达法则：设函数()f x 与()g x 在()()000,x x εε+>上存在导数，()0g x '≠，且()()00lim lim 0x x x x f x g x ++→→==或∞，()()lim x x f x a g x +→'='，其中a 为有限值或无穷大，则()()()()lim lim x x x x f x f x a g x g x ++→→'=='（其中0x x +→表示从0x 的右侧无限逼近0x ，类似的，0x x -→表示从0x 的左侧无限逼近0x ）类似的，对于左侧极限，也有相应的结论：()()()()lim lim x x x x f x f x a g x g x --→→'==' 洛必达法则给了我们一种求极限的简便方法，在高中数学的范畴，一般来说，洛必达法则的条件都能够满足，因此，如果遇到00型、∞∞型的不定式，就可以把分子分母分别求导， 再求极限，所得的结果与原来的极限值是相等的.下面我们来考虑1x →时，式ln 1xx -的极限值，注意到该式的分子ln 0x →，分母10x -→，属于型的不定式，分子分母在1x =附近都能求导，所以两者相除所得的极限值等于分子分母分别求导之后再相除求极限所得值，即()()1111ln ln limlim lim 1111x x x x xx x x →→→'===-'-. 如果我们要作出函数()()ln 0,11xf x x x x =>≠-的图象，可以先求导研究其单调性，再作草图.易求得()()21ln 1x x x f x x x --'=-，令()()1ln 0g x x x x x =-->，则()ln g x x '=-，显然()001x g x >⇔<<'，()01g x x '<⇔>，所以()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；从而()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时取等号，故()0f x '<，所以()f x 在()0,1和(1,)+∞上均为减函数，虽然()f x 在1x =处没有定义，但我们已经求出了它在1x →时的极限，再求出当0x +→、x →+∞时()f x 的极限值()0ln lim lim 11x x x f x x ++→→-∞===+∞--， ()ln 1lim limlim 01x x x x f x x x→+∞→+∞→+∞===-，据此就可以作出函数()y f x =的草图，如下图所示.洛必达法则在高等代数中的应用非常广泛，在高中数学里，我们也可以用它来解决一些简单的求极限问题.下面通过一些实例来感受洛必达法则的作用.提醒：①若用了一次洛必达法则后，仍然满足洛必达法则的使用条件，那么可以再用洛必达法则，直到不满足洛必达法则的使用条件为止；②在解答题中使用洛必达法则，存在被扣分的风险，所以本节的例题和强化训练，我们都只选取小题.解答题中使用洛必达法则的方法和小题中类似；③同学们提前了解洛必达法则，主要目的是学习一个新的研究函数的工具，能够站在更高处，更为透彻地看待问题，不应该是为了用它投机取巧，反而忽略了高中数学中本该重点学习的初等方法.典型例题【例1】若函数()21x f x e ax x =---有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 【例2】若当0x ≥时，()2ln 1x x ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.强化训练1.（★★★★）若函数()1 2ln f x a x x x ⎛⎫ ⎪⎝-⎭=-有且仅有3个零点，则实数α的取值范围是________.2.（★★★★）若当1x ≥时，不等式112ln a ax a x x-++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.3.（★★★★）若当0x ≥时，11x xe ax --≤+恒成立，则实数a 的取值范围是________. 4.（★★★★）不等式11n ae n -⎛⎫⎪⎝⎭+≥对任意的n *∈N 成立，则实数a 的取值范围是________.。

第06讲平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。

由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。

本讲内容难度较大，需要综合学习。

1.模长的范围及最值与向量的模有关的问题,一般都会用到22||a a，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。

2.夹角的范围及最值类别几何表示坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。

考点一、模长的范围及最值问题1．（浙江·高考真题）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c的最大值是A ．1B ．2C ．D ．2．（湖南·高考真题）已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --= 则的取值范围是（）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，3．（四川·高考真题）已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点,P M 满足1AP = ，PM MC =，则2BM 的最大值是A ．434B ．494C ．37634+D ．372334+1．（2024·全国·模拟预测）已知,,a b c为单位向量，且357a b -= ，则22a c b c -+- 的最小值为（）A ．2B ．23C ．4D ．62．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量,a b 满足112a b a b ==⋅= ，22||c b c =⋅ ，则22c c a b-+- 的最小值是.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +rr 共线，则||b c + 的最小值为.4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量,,a b c 满足：10,2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为．5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知3a = ，1= b ，0a b ⋅= ，4c a c a ++-= ，2430d b d -⋅+= ，则c d - 的最大值为（）A ．2113+B ．4C ．42123+D ．3136．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知||||||1a b c ===，12a b ⋅= ，,,3a c b c π〈〉+〈〉= ．若,R m n ∈，则||||||ma nb ma c nb c -+-+-的最小值为（）A ．0B ．32C ．1D ．3考点二、夹角的范围及最值问题1．（2024·广东江门·二模）设向量(1,),(2,)OA x OB x == ，则cos ,OA OB 〈〉的最小值为.2．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量,,,a b x y满足关系(),2a y x b mx y m =-=-≥ ，又设a 与b 的模均为1且互相垂直，则x 与y的夹角取值范围为.3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π61．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量a 与b的夹角为锐角，c 为b 在a 方向上的投影向量，且||||2c a == ，则a b c ++r r r 与b的夹角的最大值是．2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量,a b 满足1a a b =+= ，12a b ⋅=- ，向量p 满足()2p a b λλ=-+ ，当p 与p a -的夹角余弦值取得最小值时，实数λ的值为.3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知,a b ru r 是空间单位向量，0a b ⋅= ，若空间向量c满足：1,2,10c a c b c ⋅=⋅==r r r r r 则a b c ++=，对于任意,x y R ∈，向量c与向量xa yb +r r 所成角的最小值为．一、单选题1．（2023·江西九江·一模）已知m 、n为单位向量，则向量2m n + 与n 夹角的最大值为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2023·北京·模拟预测）平面向量a ，b 满足3a b =r r ，且4a b -= ，则a 与a b -夹角的正弦值的最大值为（）A ．14B ．13C ．12D ．233．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a ，b的夹角为θ，2a b += ，且43a b ≥ ，则夹角θ的最小值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a ，b ，c满足1a = ，b = ，32a b ⋅=- ，,30a c b c --︒= ，则c的最大值等于（）A ．B C ．D ．5．（2024·全国·模拟预测）已知a ，b 为非零向量，且||||(0)a b r r ==>，π,3a b 〈〉= ，若||a tb + 则22r t +的值为（）．A ．52B ．94C ．4D ．1746．（2021·全国·模拟预测）已知向量a ，b 满足3a b += ，0a b ⋅= ，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a c b ⋅=⋅，则c r的最大值为（）A ．3B ．2C ．12D ．327．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足2a = ，1b c -= ，若a 与b 的夹角为π3，则a c - 的最小值为（）A1BC 1D 8．（2021·全国·模拟预测）设||=1a →，||b →=a b →→⊥，若向量c →满足2c a b a b →→→→→--=-，则||c →的最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量,a b 满足22a b == ，对任意的0,a b λλ>-则a 与b的夹角为．10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量,a b 满足1a b -= 且a b ⊥ ，当向量a b - 与向量3a b -的夹角最大时，向量b的模为．11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量,a b ，若对任意实数x ，xa b -恒成立，则向量,a b 的夹角的最小值为.12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量a ，向量b 与a不共线，且5π,6a b b -=r r r ，则b 的最大值为．13．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量a 、b 、c满足5a = ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b的最小值是14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量a ，b ，且满足||||2⋅=== a b a b ，若e 为平面单位向量，则⋅+⋅a eb e 的最大值15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，()()0a b a c -⋅-= ，3b c -= ，则a b c ++的最大值是.16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量a ，b 满足6a b += ，若a 在b方向上的投影与b在a 方向上的投影之和等于()2a b ⋅ ，则a ，b 夹角的余弦值的最小值为．17．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量a ，b ，c满足4a b -= ，且()()1a c b c -⋅-=- ，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是.18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是CD 的中点，2AF FE =，若设,BA a BC b == ，则BF可用a ，b 表示为；若ADE V 的面积为2，则BF 的最小值为．19．（2020·浙江温州·三模）已知向量a ，b满足||3a = ，1b ||=，若存在不同的实数()1212,0λλλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+ ，且()()0(1,2),i i i c a c b -⋅-==则12c c - 的取值范围是20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量,,a b c 满足74a b ⋅= ，3a b -=,()()2a c b c -⋅-=- ,则c 的取值范围是；已知向量,a b 是单位向量，若0a b =，且2c a c b -+-=r r r r 2c a +r r 的取值范围是.。

2024年高考数学第一轮复习重点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义：给定一个集合X和Y，如果对于集合X中的每个元素x，都有唯一一个元素y与之对应，那么就称这个对应关系为函数，记作y = f(x)。

- 函数的性质：定义域、值域、图像、奇偶性、单调性等。

2. 一次函数与二次函数- 一次函数：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

掌握一次函数的图像、性质和应用。

- 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

掌握二次函数的图像、性质和应用，包括顶点坐标、对称轴、开口方向、零点等。

3. 指数与对数函数- 指数函数：y = a^x，其中a>0且a≠1。

掌握指数函数的图像、性质和应用，包括定义域、值域、增减性等。

- 对数函数：y = loga(x)，其中a>0且a≠1。

掌握对数函数的图像、性质和应用，包括定义域、值域、增减性等，以及常用对数函数的特殊性质。

4. 复合函数与反函数- 复合函数：由两个或多个函数通过代数运算得到的新函数。

掌握复合函数的性质和计算方法。

- 反函数：函数f(x)的反函数记作f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x)) = f^(-1)(f(x)) = x。

掌握反函数的概念、性质和计算方法。

5. 方程与不等式- 方程的解：使方程两边相等的未知数的值。

掌握一元一次方程、一元二次方程的解法，以及应用题中方程的建立和解题方法。

- 不等式的解：使不等式左边大于、小于或等于右边的未知数的值。

掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法，以及应用题中不等式的建立和解题方法。

二、数与数量关系1. 数列与数列求和- 数列的概念与表示：数列是按照一定规律排列起来的一组数。

掌握等差数列、等比数列的概念与表示方法，以及常见数列的性质。

- 数列的通项公式：根据数列的规律，确定数列的通项公式。

掌握等差数列、等比数列的通项公式，以及应用题中数列的建立和求解方法。