2021新课标高中数学高考第一轮总复习综合测试卷及答案解析

析姓名，年级：时间：析第三讲 椭 圆1。

[2020湖南岳阳入学调研考试］已知定点M (1,0)和椭圆x 29+y 23=1上两个动点P ，Q 满足MP ⊥MQ ，则MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时点P 的横坐标为 （ )A 。

12B 。

1 C.32 D.522。

［2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1（a 〉b >0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点,｜F 1F 2｜=2√2，B 为短轴的一个端点,三角形BF 1O (O 为坐标原点）的面积为√7,则椭圆的长轴长为( ）A 。

4B 。

8C 。

1+√332D 。

1+√333。

［2020陕西省部分学校摸底检测]已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b >0）的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限的点,延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ,且|PF 1｜=|PQ |，则椭圆的离心率为( ）A.2—√2B.√3-√2C.√2-1D.√6−√34.［2020福建省三明市模拟］已知P 是椭圆x 225+y 29=1上一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2面积为（ )A 。

3√3 B.2√3 C.√3 D.√335.［2019唐山市高三摸底考试］已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a 〉b >0)和双曲线E :x 2-y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线E 的离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形 C 。

钝角三角形 D 。

不能确定6.［2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C 1：x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1〉0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2>0,b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是曲线C 1与C 2的一个公共点,e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率,若PF 1⊥PF 2,则4e 12+e 22的最小值为 .7。

2021年高考数学一轮复习第七章数列第43课数列的通项公式（2）文（含解析）四、递推式为“”型的数列，构造等比数列求通项适用于递推式为“”型，可以在它的两边相加数，构造等比数数列，然后利用等比数列的通项公式求解例4.已知数列满足，，求【解析】，∴，即，．∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．【变式】已知数列满足，求【解析】原等式可化为，∴，∴数列是以2为首项、以3为公比的等比数列，∴，∴．五．递推关系形如的数列，取倒数法方法：取倒数变形成【例5】已知数列满足，，求【解析】∵，∴，即∴数列是等差数列，，它的首项，公差∴，即．【变式】已知数列满足，，求.【解析】∵，∴，∴，即∴数列是等比数列，它的首项，公比为∴，∴．六、递推关系形如，两边同除以方法：①将原递推公式两边同除以，②得，③，得，④再利用“递推关系形如”方法来求.【例6】已知数列满足，，求【解析】在两边除以，得，令，则，∴，∴，∴．∴．【变式】已知数列满足，求.【解析】在原不等式两边同除以，得，不妨引入辅助数列且，则，∴，∴，∴．第43课： 数列的通项公式（2）的课后作业1．数列中，，，则 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：a 10＝(a 10－a 9)＋(a 9－a 8)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝lg 109＋lg 98＋…＋lg 21＋1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫109×98×…×21＋1＝2.故选B. 答案：B2. 已知数列的前项和为 ，且 ，则 ( )A ．－16B ．16C ．31D ．32解析：由已知可得时，，所以 ，所以是等比数列，公比为2，所以 .故选B. 答案：B3. 在数列中， ，，则为( )A ．34B ．36C ．38D ．40解析：因为na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，所以a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以a 1010＝a 1010－a 99＋a 99－a 88＋…＋a 22－a 11＋a 1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3810，所以a 10＝38.故选C. 答案：C4. 已知数列满足，，求【解析】，∴，即，．∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．5. 已知数列满足，，求.【解析】∵，∴，∴∴数列是等差数列，它的首项，公差为∴，∴．6. 已知数列满足，，求【解析】在两边除以，得，令，则，∴，∴数列是等比数列，其中首项，公比∴，∴．∴．7. 已知数列满足，，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式【解析】，令则，∴，解得．∴，∴，∴．-29002 714A 煊35699 8B73 譳38825 97A9 鞩I34360 8638 蘸26769 6891 梑O29448 7308 猈39718 9B26 鬦38740 9754 靔34191 858F 薏33744 83D0 菐q29810 7472 瑲。

第5节数学归纳法(选用)考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1。

数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0（n0∈N＊）时命题成立；（2)（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n ＝k＋1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

2。

数学归纳法的框图表示［常用结论与易错提醒]1。

数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.诊断自测1。

判断下列说法的正误。

（1）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时,左边式子应为1＋2＋22＋23.（）(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(）(3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项。

()解析对于（2），有些命题也可以直接证明；对于(3）,数学归纳法必须用归纳假设；对于(4),由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案(1）√(2）×（3）×（4)×2。

（选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时，第一步检验n等于（）A.1B.2C。

3 D.4解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3。

答案C3。

已知f（n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则(）A.f(n)中共有n项,当n＝2时，f（2)＝错误!＋错误!B.f（n）中共有n＋1项,当n＝2时，f(2)＝错误!＋错误!＋错误!C.f(n）中共有n2－n项,当n＝2时,f（2）＝错误!＋错误!D。

f（n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时,f（2)＝错误!＋错误!＋错误!解析f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时,错误!＝错误!，错误!＝错误!，故f(2）＝错误!＋错误!＋错误!.答案D4.用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<n（n∈N，且n〉1）,第一步要证的不等式是________。

2021版高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练85n 次独立重复试验与二项分布理2021051541341．下列表中能成为随机变量X 的分布列的是( )答案 C2．袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( ) A ．1，2，…，6 B ．1，2，…，7 C ．1，2，…，11 D ．1，2，3，…答案 B解析 除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B.3．若某一随机变量X 的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )X 0 1 2 3 P0.1mn0.1 A.－0.2 C ．0.1 D ．－0.1答案 B解析 由m ＋n ＋0.2＝1，m ＋2n ＝1.2，可得m ＝n ＝0.4，m －n2＝0.2.4．已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝12k ，k ＝1，2，…，则P(2<X≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516答案 A解析 P(2<X≤4)＝P(X ＝3)＋P(X ＝4)＝123＋124＝316.5．若随机变量X 的分布列为则当P(X<a)＝0.8A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．(1，2] D ．(1，2)答案 C解析 由随机变量X 的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a 的取值范畴是(1，2]．6．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( ) A ．25 B ．10 C ．7 D ．6答案 C解析 X 的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8，4＋5＝9.7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，竞赛规定：关于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮竞赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 答案 －1，0，1，2，3解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了；X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X ＝2时，甲抢到2题均答对；X ＝3时，甲抢到3题均答对．8．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________． 答案310解析 ξ可能取的值为0，1，2，3，P (ξ＝0)＝C 32C 42C 42C 62＝15，P (ξ＝1)＝C 31C 42＋C 32C 21C 41C 42C 62＝715，又P(ξ＝3)＝C 31C 42C 62＝130，∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－15－715－130＝310.9．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．答案 (1)67 (2)175解析 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ， 则P(A)＝C 21C 53＋C 22C 52C 74＝67. 因此取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P(X ＝1)＝C 33C 74＝135，P(X ＝2)＝C 43C 74＝435，P(X ＝3)＝C 53C 74＝27，P(X ＝4)＝C 63C 74＝47.则随机变量X 的分布列是故随机变量X 的数学期望E(X)＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝5.10．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列． 答案 (1)23(2)略解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由因此等可能地抽取，因此该顾客中奖的概率 P ＝C 41C 61＋C 42C 102＝3045＝23.(或用间接法，即P ＝1－C 62C 102＝1－1545＝23)．(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0，10，20，50，60(元)，且P(X ＝0)＝C 40C 62C 102＝13，P(X ＝10)＝C 31C 61C 102＝25，P(X ＝20)＝C 32C 102＝115，P(X ＝50)＝C 11C 61C 102＝215，P(X ＝60)＝C 11C 31C 102＝115.因此X 的分布列为：11.在103件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 答案 (1)略 (2)31120解析 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 103，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C 3kC 73－k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P(X ＝k)＝C 3kC 73－kC 103，k ＝0，1，2，3.因此随机变量X 的分布列是(2)设“取出的31件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P(A 1)＝C 31C 32C 103＝340，P(A 2)＝P(X ＝2)＝740，P(A 3)＝P(X ＝3)＝1120，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝340＋740＋1120＝31120. 12．(2021·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的概率分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的概率分布列． 答案 (1)略 (2)略解析 (1)由题意知X 的可能取值为0，1，2，3， 则P(X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－23)＝19，P(X ＝1)＝12×(1－13)×(1－23)＋(1－12)×13×(1－23)＋(1－12)×(1－13)×23＝718，P(X ＝2)＝12×13×(1－23)＋(1－12)×13×23＋12×(1－13)×23＝718，P(X ＝3)＝12×13×23＝19.∴X 的分布列为(2)∵得分Y ＝5X ＋2(3∵X 的可能取值为0，1，2，3.∴Y 的可能取值6，9，12，15.则P(Y ＝6)＝P(X ＝0)＝19，P(Y ＝9)＝P(X ＝1)＝718，P(Y ＝12)＝P(X ＝2)＝718，P(Y ＝15)＝P(X ＝3)＝19.∴Y 的分布列为13.力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出．每期节目有四位导师参加．导师背对歌手，若每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手能够选择加入为其转身的导师的团队中同意指导训练．已知某期《中国新歌声》，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情形如下表所示：现从这6(1)求选出的2人导师为其转身的人数和为4的概率；(2)记选出的2人导师为其转身的人数之和为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 答案 (1)15(2)E(X)＝5解析 (1)设6位选手中，A 有4位导师为其转身，B ，C 有3位导师为其转知，D ，E 有2位导师为其转身，F 只有1位导师为其转身．从6人中随机抽取两人有C 62＝15种情形，其中选出的2人导师为其转身的人数和为4的有C 22＋C 21C 11＝3种，∴所求概率为P ＝315＝15.(2)X 的所有可能取值为3，4，5，6，7.P(X ＝3)＝C 21C 11C 62＝215；P(X ＝4)＝15；P(X ＝5)＝1＋C 21C 21C 62＝515＝13；P(X ＝6)＝C 21C 11＋C 22C 62＝315＝15；P(X ＝7)＝C 21C 11C 62＝215. ∴X 的分布列为X 3 4 5 6 7 P215151315215E(X)＝3×215＋4×5＋5×3＋6×5＋7×15＝5.1．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x，y ”代替)，其分布列如下：X 1 2 3 4 5 6 P0.200.100.x50.100.1y0.20答案 2，5解析 由于0.20＋0.10＋(0.1x ＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，得10x ＋y ＝25，又因为x ，y 为正整数，故两个数据依次为2，5.2．一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的分布列是________． 答案Y 1 2 3 4 P15152515解析 Y P(Y ＝1)＝15，P(Y ＝2)＝15，P(Y ＝3)＝25，P(Y ＝4)＝15.∴Y 的分布列为3.一个袋子中装有74，黄球3个，编号分别为2，4，6，从袋中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同)． (1)求取出小球中有相同编号的概率；(2)记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 答案 (1)1935(2)略解析 (1)设“取出的小球中有相同编号的”为事件A ，编号相同可分成一个相同和两个相同，则P(A)＝2（C 21C 31＋C 32）＋1C 74＝1935. (2)随机变量X 的可能取值为：3，4，6. P(X ＝3)＝1C 74＝135，P(X ＝4)＝C 21C 43＋C 42C 74＝25， P(X ＝6)＝C 63C 74＝47，随机变量X 的分布列为：4.一袋中装有102个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 答案 (1)5个 (2)略解析 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P(A)＝1－C 10－x 2C 102＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，P(X ＝k)＝C 5kC 53－kC 103，k ＝0，1，2，3.因此可得其分布列为P112 512 512 1125.(2020·福建，理)该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发觉自己不记得了银行卡的密码，但能够确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则终止尝试；否则连续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 答案 (1)12 (2)分布列略，E(X)＝52解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P(X ＝1)＝16，P(X ＝2)＝56×15＝16，P(X ＝3)＝56×45×1＝23.因此X 的分布列为X 1 2 3 P161623因此E(X)＝1×16＋2×16＋3×3＝2.6．某中学动员学生在春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；(3)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．答案 (1)2.3 (2)4199(3)略解析 依照统计图知参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10，50，40.(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为x －＝1×10＋2×50＋3×40100＝2.3.(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率P ＝C 102＋C 502＋C 402C 1002＝4199. (3)ξ的取值为0，1，2，ξ的分布列为7.(2020·重庆)摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．依照摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列． 答案 (1)1835(2)略解析 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0，1，2，3)与B j (j ＝0，1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A 1)＝C 31C 42C 73＝1835.(2)X 的所有可能的值为：0，10，50，200， 则P(X ＝200)＝P(A 3B 1)＝P(A 3)P(B 1)＝C 33C 73·13＝1105，P(X ＝50)＝P(A 3B 0)＝P(A 3)P(B 0)＝C 33C 73·23＝2105，P(X ＝10)＝P(A 2B 1)＝P(A 2)P(B 1)＝C 32C 41C 73·13＝12105＝435，P(X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知X 的分布列为8.试销终止后(3件，当天营业终止后检查存货，若发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)设X 为翌日开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和均值． 答案 (1)310 (2)114解析 (1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P(X ＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝520＝14；P(X ＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34.故X 的分布列为X 的均值为E(X)＝2×14＋3×34＝4.9．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解析 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，因此共有8C 32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C 32C 122＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C 122＝111. 因此P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611.因此随机变量ξ的分布列是因此E(ξ)＝1×611＋10．(2020·贵州遵义联考)2021年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家差不多上通过层层选择才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采纳分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量(单位：毫克)．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x≥175，且y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估量乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)． 答案 (1)35 (2)14 (3)45解析 (1)乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35.(2)样品中优等品的频率为25，估量乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14.(3)ξ＝0，1，2，P (ξ＝i)＝C 2iC 32－iC 52(i ＝0，1，2)， ξ的分布列为3 10＋1×35＋2×110＝45.均值E(ξ)＝0×。

2021年全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷（理科）专题13 统计、统计案例与概率（A卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识“谢谢惠顾”、A B C标识的饮料数量之比标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有,,为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（）A．2 B．4 C．6 D．82．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（）A．39人B．49人C．59人D．超过59人3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编 从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：号分别为001,002,,599,60032 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5784．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1．5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9007．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲型号手机在外观方面比较好B ．甲、乙两型号的系统评分相同C ．甲型号手机在性能方面比较好D ．乙型号手机在拍照方面比较好8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量x （万件） 14 16 182022单位成本y （元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =-+，则a 的值等于（ ） A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．69．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）A ．B ．C ．D ．10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：根据表中数据，得到的观测值()22501320107 4.84423272030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（ ） A ．B ．C ．D ．11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ） A ．310B ．23C ．35D ．45第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．某公司对2019年14月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 123 4利润y /万元5 6 6.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为__________．14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”． 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]人数②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率．18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率．（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率．19．（12分）已知某商品每件的生产成本x （元）与销售价格y （元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：（1）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的月销售量z （千件）与生产成本x （元）的关系为221z x =-+，[2,10]x ∈， 根据（1）中求出的线性回归方程，预测当x 为何值时，该商品的月销售额最大．附：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；（2）求50名学员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级．①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?②根据茎叶图填写下面的列联表：并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0100.0050.0016.6357.87910.828P K kk≥．21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足OP在OE上的投影大于12的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于3的概率．22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②bx y ae =1021()iii y y =-∑ 30407 14607参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．x y u1021()ii xx =-∑()()101iii x x y y =--∑ ()()101iii x x uu =--∑表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．专题13 统计、统计案例与概率 答 案+解 析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即11243⨯=． 2．【答案】A【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以110，1120，2130，3140，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使110，1120，2130，3140四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右，故选A ． 3．【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适，则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578， 则第6个编号为578，故选D ． 4．【答案】B【解析】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B ． 5．【答案】A【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦， 故275s <．故选A ． 6．【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为0.03100.3⨯=，301000.3n ∴==，本题正确选项A ． 7．【答案】C【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85， 故A 正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B 正确； 甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C 错误； 甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D 正确； 故选C ． 8．【答案】B 【解析】1416182022901855x，1210733255a ay ， x y ，在线性回归方程ˆ 1.1528.1yx =-+上， 1.151828.17.4y ，则32=7.45a，解得5a =，故选B ． 9．【答案】D【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D ．10．【答案】B【解析】由观测值，对照临界值得4．844>3．841，由于P （X 2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B ． 11．【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种， 概率是14，故选C ． 12．【答案】C【解析】由题意，知()00f x ≥，即200280x x -++≥，解得{}0024x x -≤≤，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】ˆ0.954yx =+ 【解析】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =， 由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954y x =+，故答案为ˆ0.954yx =+． 14．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 故答案为5%．15．【答案】29【解析】试验发生包含的事件（k ，b ）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当00k b <>⎧⎨⎩时，直线不经过第三象限，符合条件的（k ，b ）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率29P =，故答案为29．16．【答案】π8【解析】如图，正方形面积，因为，故，所以π4AOM ∠=， 同理π4NOB ∠=，所以π2MON ∠=， 又，∴()212222ππMONS =⨯⨯=扇形． ∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为8ππ24P ==．故答案为π8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）平均数60，中位数4557；（2）①详见解析，②35． 【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55．57）． （2）①每组应各抽取人数如下表：②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c ，共15种情况．设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ， 则93()155P A ==． 18．【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62%；（2）0.6． 【解析】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262%100+==． （2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为35C 10=，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为2132C C 6=， 所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==． 19．【答案】（1）ˆ46y x =-；（2）预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．【解析】（1）根据题意，5678 6.54x +++==，15172127204y +++==，41515617721827540i ix y=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222215678174i x =+++=∑，所以414222145404 6.52041744 6.54i ii x y x yb x x--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以204 6.56a y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程ˆ46yx =-． （2）依题意，销售额2()(221)(46)896126([2,10])f x x x x x x =-+-=-+-∈． 其对称轴为9662(8)x =-=⨯-，又因为()f x 为开口向下的抛物线，故当6x =时()f x 最大， 最大值()836966126162f x =-⨯+⨯-=． 答：预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①84人，②有把握． 【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：①由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高． 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知798079.52m +==． ①参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为725， 又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为73008425⨯=人． ②列联表如下：于是2250(181877)9.6825252525k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为9.687.879>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异． 21．【答案】（1）13；（2）35． 【解析】（1）OD ，OF 在OE 上的投影为cos cos OD OD OE OF OF OE 〈〉=〈〉,,11cos602=⨯︒=， ∴当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）上运动时，OP 在OE 上的投影大于12，∴OP 在OE 上的投影大于12的概率2163p ==．（2， 选出的两个点不相邻有9种，（A ，C ），(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )， (D ，F )，(C ，F )；六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )；(93155P x ∴≥==． 22．【答案】（1）0.11235x y e =；（2）见解析． 【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈，5.46235c a e e =≈≈，∴模型②的回归方程为0.11235x y e =．（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）．。

专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。

第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。

等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。

2021届高考一轮复习综合检测一(全国卷)数 学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2－xx >0，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}2．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)复平面内表示复数z ＝6＋2i2－i 的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．(2019·四川省成都市外国语学校期中)函数f (x )＝log121x ＋1的图象大致是( )4.如图，在△OAB 中， P 为线段AB 上的一点， OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝145．若m ＝log 312，n ＝7－0.1，p ＝log 425，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．m >p >nB ．p >n >mC ．p >m >nD ．n >p >m6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为( )A ．15B ．37C ．83D ．1777．在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 4＝1，则当2a 2＋a 6取得最小值时，log 2q 等于( ) A.14 B ．－14 C.18 D ．－188.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为( )A.332πB.33π2C.322πD.3π29.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是( )A.28B.38C.24D.3410．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a sin 2B ＋b sin A ＝0，若a ＋c ＝2，则边b 的最小值为( ) A. 2 B ．3 3 C ．2 3 D.311．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两支分别交于M ，N 两点，且MF 1，NF 2都垂直于x 轴(其中F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.5－1 D.5＋1212．(2020·四川省遂宁市射洪县射洪中学月考)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ＋3，g (x )＝x 3－x 2，若∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤13，2，f (x 1)－g (x 2)≥0，则实数a 的取值范围为( ) A ．[4，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则使f (a )＝－1成立的a 的值是________．14．(2x ＋x )4的展开式中x 3的系数是________．15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________． 16．已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，若函数y ＝f (x )在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是________．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }前2 020项的和．18．(12分)如图，在五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，△SBC为边长为2的正三角形，将△SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．(1)当AB＝2时，证明：平面SAB⊥平面SCD；(2)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．19.(12分)某工厂欲购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．(1)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．20．(12分)(2019·甘青宁联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，焦距为2 3.(1)求C 的方程；(2)若斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，O 为坐标原点．证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21.(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1.(1)当k 为何值时，直线y ＝g (x )是曲线y ＝kf (x )的切线； (2)若不等式g (x )≥af (x )在[1，e]上恒成立，求a 的取值范围．请在第22～23题中任选一题作答．22．(10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6cos θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求|P A |＋|PB |的最小值．23．(10分)设函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋a |(a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若关于x 的不等式f (x )<5x ＋a 在x ∈[1,2]上有解，求实数a 的取值范围．解析附后答案精析1．C [由集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2－xx >0，可知A ＝{x |0<x <2}，因为B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩B ＝{}x |1≤x <2，故选C.] 2．A [∵z ＝6＋2i 2－i ＝(6＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝10＋10i5＝2＋2i ，∴z 在复平面内对应的点(2,2)在第一象限．]3．D [函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1x ＋1>0，即{x |x >－1}，所以排除A ，B 选项；因为f (x )＝log 12x为单调递减函数，f (x )＝1x ＋1在[－1，＋∞)时为单调递减函数，由复合函数单调性可知f (x )＝log 121x ＋1为单调递增函数，所以排除C 选项．综上可知，D 为正确选项．]4．A [由题可知OP →＝OB →＋BP →， 又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23B A →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23O A →＋13 OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A.]5．B [log 312∈(－1,0)，7－0.1∈(0,1)，log 425＝log 25∈(2,3)，故p >n >m .]6．B [执行程序，可得S ＝0，i ＝1，不符合，返回循环；S ＝2×0＋1＝1，i ＝3，不符合，返回循环； S ＝2×1＋3＝5，i ＝5，不符合，返回循环； S ＝2×5＋5＝15，i ＝7，不符合，返回循环； S ＝2×15＋7＝37，i ＝9，符合，输出S ＝37. 故选B.]7．A [2a 2＋a 6≥22a 2a 6＝22a 24＝22，当且仅当q 4＝2时取等号，所以log 2q ＝log 2214＝14，故选A.]8．A [设圆的半径为r ，则圆的面积S 圆＝πr 2，正六边形的面积S正六边形＝6×12×r 2×sin60°＝332r 2，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率P ＝S 正六边形S 圆＝332r 2πr 2＝332π，故选A.]9．C [由长方体∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°， 设AD ＝DD 1＝1，CD ＝ 3.连接BC 1，BD .由AD 1∥BC 1，所以异面直线AD 1与DC 1所成的角等于∠BC 1D . 在△BDC 1中，BC 1＝2，BD ＝2，C 1D ＝2， 由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝C 1D 2＋BC 21－BD22C 1D ·BC 1＝22＋2－222×2×2＝24，所以异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是24.] 10．D [根据a sin 2B ＋b sin A ＝0，由正弦定理可得sin A sin 2B ＋sin B sin A ＝0⇒cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝2π3， A ＋C ＝π3.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝4－ac . ∵a ＋c ＝2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝1时取等号， ∴ac ≤1 .∴b 2＝4－ac ≥3, 即b ≥ 3. 故边b 的最小值为 3.]11．D [∵直线l 与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，且MF 1，NF 2都垂直于x 轴， ∴根据双曲线的对称性，设点M (－c ，－y )，N (c ，y )(y >0)，则c 2a 2－y 2b 2＝1，即|y |＝c 2－a 2a ，且|MF 1|＝|NF 2|＝|y |， 又∵直线l 的倾斜角为45°， ∴直线l 过坐标原点，|y |＝c ， ∴ c 2－a 2a ＝c ，整理得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解方程得e ＝5＋12，e ＝1－52(舍)．] 12．D [由题意知，对于∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤13，2，f (x 1)－g (x 2)≥0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最小值不小于g (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值， 由g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －23， 可得当x ∈⎣⎡⎭⎫13，23时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎦⎤23，2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，又由g ⎝⎛⎭⎫13＝－227，g (2)＝4， 即g (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值为4， 所以f (x )＝x ln x ＋ax ＋3≥4在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 即a ≥x －x 2ln x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 令h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，2， 则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令p (x )＝1－2x ln x －x ，则p ′(x )＝－3－2ln x ， 当x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时，p ′(x )<0，函数p (x )单调递减， 即h ′(x )在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减，又由h ′(1)＝0，所以h ′(x )在⎣⎡⎭⎫13，1上大于0，在(1,2]上小于0， 所以h (x )在⎣⎡⎭⎫13，1上单调递增，在(1,2]上单调递减， 所以h (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值为h (1)＝1，所以a ≥1.] 13．－4或2解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0， f (a )＝－1，当a ≤0时，f (a )＝12a ＋1＝－1，解得a ＝－4,当a ＞0 时，f (a )＝－(a －1)2＝－1，解得a ＝2. 14．24解析 (2x ＋x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4(2x )4－k (x )k ＝C k 424－k x 4－k 2，令4－k 2＝3，解得k ＝2，故x 3的系数为C 2422＝24.15．8π解析 作出圆柱与其外接球的轴截面如图，设圆柱的底面圆半径为r ，则BC ＝2r ，所以轴截面的面积为S 正方形ABCD ＝(2r )2＝4，解得r ＝1，因此，该圆柱的外接球的半径 R ＝BD2＝22＋222＝2，所以球的表面积为S ＝4π(2)2＝8π. 16.π3解析 因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以ω＝2ππ＝2，又对任意的x ，都使得f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π3，所以2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，则函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递减， 故a 的最大值是π3.17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，a 211＝a 1·a 13，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，d ＝－2，∴{a n }的通项公式为a n ＝27－2n (n ∈N *)． (2){b n }的前2 020项的和S 2 020＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2 019＋b 2 020＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2 018－a 2 017)＋ (a 2 020－a 2 019)＝(－2)×2 0202＝－2 020.18．(1)证明 作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ， ∴SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，又AB ⊥AD ，SO ∩AD ＝O ，SO ，AD ⊂平面SAD ， ∴AB ⊥平面SAD ，∴AB ⊥SA ，AB ⊥SD .利用勾股定理得SA ＝SB 2－AB 2＝4－2＝2， 同理可得SD ＝ 2.在△SAD 中，AD ＝2，SA ＝SD ＝2，SA 2＋SD 2＝AD 2， ∴SA ⊥SD ，又SA ∩AB ＝A ，SA ，AB ⊂平面SAB ，∴SD ⊥平面SAB ， 又SD ⊂平面SCD ，∴平面SAB ⊥平面SCD .(2)解 连接BO ，CO ，∵SB ＝SC ，∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ， ∴BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形， ∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD .取BC 中点为E ，连接OE ，得OE ∥AB ，连接SE ， ∴SE ＝3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12＝2，由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以直线OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∴O (0,0,0)，D (－1,0,0)，C (－1,1,0)，S (0,0，2)，B (1,1,0)， ∴DC →＝(0,1,0)，SC →＝(－1,1，－2)， BC →＝(－2,0,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝0，m ·SC →＝0，即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2，0,1)，设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 1＝1得n ＝(0，2，1)． 则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝13×3＝13， 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13.19．解 (1)由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为 y ＝10x ＋60，x ∈N ，方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧200，x ≤15，x ∈N ，20x －100，x >15，x ∈N . (2)设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以E (X )＝190×0.1＋200×0.4＋210×0.1＋220×0.2＋230×0.2＝210. 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为E (Y )＝200×0.6＋220×0.2＋240×0.2＝212. 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．20．(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2c ＝23，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝－12x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2(m 2－1)＝0，则Δ＝4m 2－8(m 2－1)＝4(2－m 2)>0， 且x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2(m 2－1)>0， 故y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋m ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋m ＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－12，k OP k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－122(m 2－1)＝14＝k 2PQ，即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21．解 (1)令n (x )＝kf (x )＝k ln x ，n ′(x )＝kx ，设切点为(x 0，y 0)，则kx 0＝1，x 0－1＝k ln x 0，则ln k ＋1k＝1.令F (x )＝ln x ＋1x ，F ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，则函数y ＝F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且F (1)＝1，所以k ＝1. (2)令h (x )＝af (x )－g (x )＝a ln x －x ＋1， 则h ′(x )＝a x －12x ＝2a －x 2x ，①当a ≤0时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在[1，e]上单调递减， 所以h (x )≤h (1)＝0，所以a ≤0满足题意． ②当a >0时，令h ′(x )＝0，得x ＝4a 2， 所以当x ∈(0,4a 2)时，h ′(x )>0， 当x ∈(4a 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以函数h (x )在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2，＋∞)上单调递减． (ⅰ)当4a 2≥e ，即a ≥e2时，h (x )在[1，e]上单调递增， 所以h (x )≤h (e)＝a －e ＋1≤0， 所以a ≤e －1，此时无解．(ⅱ)当1<4a 2<e ，即12<a <e2时，函数h (x )在(1,4a 2)上单调递增，在(4a 2，e)上单调递减．所以h (x )≤h (4a 2)＝a ln(4a 2)－2a ＋1＝2a ln(2a )－2a ＋1≤0. 设m (x )＝2x ln(2x )－2x ＋1⎝⎛⎭⎫12<x <e2，则m ′(x )＝2ln(2x )>0，所以m (x )在⎝⎛⎭⎫12，e2上单调递增，m (x )>m ⎝⎛⎭⎫12＝0，不满足题意．(ⅲ)当0<4a 2≤1，即0<a ≤12时，h (x )在[1，e]上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，所以0<a ≤12满足题意．综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12.22．解 (1)由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得t 2＋2(sin α－cos α)t －7＝0. 由Δ＝4(sin α－cos α)2＋4×7＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根， 所以t 1＋t 2＝2(cos α－sin α)，t 1t 2＝－7， 又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝4(sin α－cos α)2＋28＝32－4sin 2α≥27，当sin 2α＝1时取等号．所以|P A |＋|PB |的最小值为27.23．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋1|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12－(x ＋1)＝32， 当且仅当x ＝12时取等号．故f (x )的最小值为12.(2)当x ∈[1,2]时，f (x )<5x＋a ，则|2x －a |＋x ＋a <5x ＋a ，即|a －2x |<5x －x ，即3x －5x <a <x ＋5x，因为x ∈[1,2]时，3x －5x 的最小值为－2，x ＋5x 的最大值为6，所以－2<a <6，又因为a >0，所以0<a <6. 所以a 的取值范围为(0,6)．。

2021版高考数学一轮总复习第六章数列题组训练34数列的基本概念理202105154821．在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 应取( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22答案 C解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，∴a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，∴x ＝8＋13＝21，故选C. 2．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝12n ＋1B ．a n ＝1n ＋2C ．a n ＝1n （n ＋2）D ．a n ＝12n －1答案 C解析 观看知a n ＝1（n ＋1）2－1＝1n （n ＋2）. 3．(2020·济宁模拟)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B.65 C.130 D ．30 答案 D解析 ∵当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1），∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2 017的值为( ) A ．－1 B.12 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，因此a n ＋1＝1－1a n ，因此a 2＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，可知数列的周期为3.而2 017 ＝3×672＋1，因此a 2 017＝a 1＝2.故选C. 5．(2020·辽宁省实验中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n－1答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为a n ＝2n.故选C. 6．(2020·辽宁)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d<0 B ．d>0 C ．a 1d<0 D ．a 1d>0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n >2a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d<0.故选C.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n(n∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式．∴a n ＝2n －11(n∈N *)．记f(n)＝na n ＝n(2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图像的对称轴为直线n ＝114，但n∈N *，∴当n ＝3时，f(n)取最小值．因此，数列{na n }中数值最小的项是第3项． 8．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序实数对(a ，b)能够是( ) A ．(21，－5) B ．(16，－1) C ．(－412，112)D ．(412，－112)答案 D解析 由数列中的项可观看规律，5－3＝10－8＝17－(a ＋b)＝(a －b)－24＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得a ＝412，b ＝－112.故选D.9．(2021·山东荷泽重点高中联考)观看下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中的小正方形的个数f(n)为( )A.（n ＋1）（n ＋2）2B.（n ＋2）（n ＋3）2C.n 2D.n 2＋n 2答案 A解析 由题意可得f(1)＝2＋1；f(2)＝3＋2＋1；f(3)＝4＋3＋2＋1；f(4)＝5＋4＋3＋2＋1；f(5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；∴f(n)＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋…＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2.10．(2020·郑州第二次质量推测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n≥2)，a 1＝m ，a 2＝n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017的值为( ) A ．2 017n －m B ．n －2 017m C ．m D ．n答案 C解析 依照题意运算可得a 3＝n －m ，a 4＝－m ，a 5＝－n ，a 6＝m －n ，a 7＝m ，a 8＝n ，…，因此数列{a n }是以6为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，因此S 2 017＝S 336×6＋1＝a 1＝m.故选C.11．(2020·湖南长沙模拟)已知S n 是各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，S n >1且S n ＝（a n ＋3）（a n ＋1）8(n∈N *)，则a n ＝( )A ．4n －1B ．4n －3C ．4n －3或4n －1D ．n ＋2 答案 A解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝（a 1＋3）（a 1＋1）8，解得a 1＝1或a 1＝3，∵S n >1，∴a 1＝3，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（a n ＋3）（a n ＋1）8－（a n －1＋3）（a n －1＋1）8，即(a n ＋a n －1)(a n －a n－1－4)＝0，∵a n >0，故a n －a n －1＝4，∴{a n }是首项为3，公差为4的等差数列，∴a n ＝3＋4(n－1)＝4n －1.12．(2020·湖北宜昌一中月考)定义a n ＝5n＋(15)n ，其中n∈{110，15，12，1}，则a n 取最小值时，n 的值为( ) A.110 B.15 C.12 D ．1答案 A解析 令5n＝t>0，考虑函数y ＝t ＋1t (t>0)，易知其中(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小．再考虑函数t ＝5n，当0<n≤1时，t ∈(1，5]，可知当n ＝110时，a n 取得最小值．故选A.13．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式能够是________． 答案 a n ＝2n ＋114．(2020·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，∴当n≥2时，a n ＝－2a n －1.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.15．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 013＝________；a 2 014＝________． 答案 1，0解析 a 2 013＝a 504×4－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.16．(2020·广东梅州质量检测)已知数列2 016，2 017，1，－2 016，－2 017，…，那个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则那个数列的前2 017项之和S 2 017等于________． 答案 2 016解析 依照题意可将该数列多写几项出来，以便观看：2 016，2 017，1，－2 016，－2 017，－1，2 016，2 017，1，….观看发觉该数列是周期为6的周期数列，且前6项的和为0.而要求的2 017＝6×336＋1，则S 2 017＝0×336＋a 2 017＝0＋a 1＝2 016.17．(2020·广州一模)设数列{a n }的各项差不多上正数，且对任意n∈N *，都有4S n ＝a n 2＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________． 答案 2n解析 当n ＝1时，由4S 1＝a 12＋2a 1，a 1>0，得a 1＝2； 当n≥2时，由4a n ＝4S n －4S n －1＝(a n 2＋2a n )－(a n －12＋2a n －1)， 得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n ＋a n －1>0， 因此a n －a n －1＝2，则数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.18．(2020·北京海淀区一模)数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n－1，n ≤4，－n 2＋（a －1）n ，n ≥5，(n∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范畴是________． 答案 [9，12]解析 当n≤4时，a n ＝2n－1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15. 当n≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n ＝－(n －a －12)2＋（a －1）24.∵a 5是{a n }中的最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －12≤5.5，－52＋5（a －1）≥15，解得9≤a≤12.∴a 的取值范畴是[9，12]．19．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．答案 (1)a 2＝3，a 3＝6 (2)a n ＝n （n ＋1）2解析 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n>1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.因此a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n （n ＋1）2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.1．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C2．关于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a 2>|a 1|不成立，即a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 3．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项答案 C解析 由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为a n ＝2＋3（n －1）＝3n －1，由3n －1＝25，可得n ＝7.4．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n≥1)，则当n≥1时，a n 等于( ) A ．2nB.12n(n ＋1) C ．2n －1D ．2n－1答案 C解析 由题设可知a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2. 代入四个选项检验可知a n ＝2n －1.故选C.5．(2021·上海松江一模)在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把如此的操作叫做该数列的一次“H 扩展”．已知数列1，2.第一次“H 扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”，后得到1，4，3，5，2.那么第10次“H 扩展”后得到的数列的项数为( ) A ．1 023 B ．1 025 C ．513 D ．511答案 B解析 设第n 次“H 扩展”后得到的数列的项数为a n ，则第n ＋1次“H 扩展”后得到的数列的项数为a n ＋1＝2a n －1，∴a n ＋1－1＝2(a n －1)．∴a n ＋1－1a n －1＝2.又∵a 1－1＝3－1＝2，∴{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n －1＝2·2n －1，∴a n ＝2n ＋1，∴a 10＝210＋1＝1 025.故选B.6．(2020·辽宁沈阳二中月考)数列{a n }中，a n ＝n － 2 016n － 2 017，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44 C ．a 45，a 44 D ．a 45，a 50答案 C 解析 a n ＝1＋2 017－ 2 016n － 2 017，∴a 44<0，a 45>0，且从a 1到a 44递减，从a 45到a 100递减．7．(2020·河北省衡水中学模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n 2(a n >0，n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －1D ．22n －1答案 D解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n 2(a n >0，n ∈N *)， 因此log 2a n ＋1＝2log 2a n ，即log 2a n ＋1log 2a n ＝2.又a 1＝2，因此log 2a 1＝log 22＝1.故数列{log 2a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 因此log 2a n ＝2n －1，即a n ＝22n －1.故选D.8．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 7＋a 8的值为________． 答案 28解析 a 7＋a 8＝S 8－S 6＝82－62＝28.9．(2021·广东广州5月月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋a n ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则[1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 017＋1]＝________．答案 0解析 因为a n ＋1＝a n 2＋a n ，因此1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n －1a n ＋1，即1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，因此1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2021＋1＝(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a 2 017－1a 2 018)＝1a 1－1a 2 018.因为a 1＝1，a 2＝2>1，a 3＝6>1，…，可知1a 2 018∈(0，1)，则1a 1－1a 2 018∈(0，1)，因此[1a 1－1a 2 018]＝0.10．(2020·安徽屯溪一中月考)已知函数f(x)＝2x －2－x，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n(n∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)讨论数列{a n }的单调性，并证明你的结论． 答案 (1)a n ＝n 2＋1－n (2)略解析 (1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log 2a n )＝－2n ， 因此2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n ＝－2n ，因此a n 2＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n±n 2＋1. 因为a n >0，因此a n ＝n 2＋1－n. (2)数列{a n }是递减数列．证明如下： 因为a n ＋1a n ＝（n ＋1）2＋1－（n ＋1）n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n（n ＋1）2＋1＋（n ＋1）<1， 又a n >0，因此a n ＋1<a n ，即数列{a n }是递减数列．11．(2020·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n－λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范畴． 答案 (1)a n ＝n(n∈N *) (2)(－∞，2)解析 (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1， ∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ， 即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n(n∈N *)． (2)b n ＝3n－λn 2. b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，则c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1.∴{c n}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范畴为(－∞，2)．。

多维层次练28[A级基础巩固]1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的() A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项解析：数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.答案：C2．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，所以“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n不一定大于零，还有可能小于零，所以“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，所以“a n>0”不是“数列{S n}是递增数列”的必要条件．所以“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．答案：A3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( )A ．31B ．42C ．37D ．47解析：由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＋1＋1＝2(S n＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47.答案：D4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋n ln nB ．2n ＋(n －1)ln nC ．2n ＋n ln nD ．1＋n ＋n ln n解析：由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1，2，3，…，(n －1)取代，累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1＝ln n ，a nn ＝2＋ln n ，所以a n ＝2n ＋n ln n .答案：C5．(2020·广东广雅中学模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，则a n 的表达式为( ) A ．a n ＝24n －3B ．a n ＝26n －5C ．a n ＝24n ＋3D ．a n ＝22n －1解析：(1)数列{a n }中，由a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，可得1a n ＋1＝3＋1a n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为3的等差数列，所以1a n ＝12＋3(n －1)＝6n －52.可得a n ＝26n －5(n ∈N *)．答案：B6．(2019·上海卷)已知数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S n ＋a n ＝2，则S 5＝________．解析：n ＝1时，S 1＋a 1＝2，所以a 1＝1. n ≥2时，由S n ＋a n ＝2得S n －1＋a n －1＝2， 两式相减得a n ＝12a n －1(n ≥2)，所以{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：31167．(2020·河北省级示范性高中联考)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，…， a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面(n －1)个式子左右两边分别相加得a n －a 1＝（n ＋4）（n －1）2(n ≥2)，即a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3适合上式，所以a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，n ∈N *，所以a 39＝40×412＝820.答案：8208．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．解析：由题意可知，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， 所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)， 所以a 3＋a 5＝3222＋5242＝6116.答案：61169．(2020·天河模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，b n ＝(－1)n a 2n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n . 解：(1)当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1＋2，且a 1<2，解得a 1＝1.当n ≥2时，6a n ＝6S n －6S n －1＝a 2n ＋3a n ＋2－(a 2n －1＋3a n －1＋2)．化简得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)b n ＝(－1)n a 2n ＝(－1)n (3n －2)2.所以b 2n －1＋b 2n ＝－(6n －5)2＋(6n －2)2＝36n －21. 所以数列{b n }的前2n 项的和T 2n ＝36(1＋2＋…＋n )－21n ＝36×n （n ＋1）2－21n ＝18n 2－3n .10．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.[B 级 能力提升]11．数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( ) A.9998 B ．2 C.9950D.99100解析：由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1， 则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－1100＝9950. 答案：C12．(一题多解)(2020·湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(约公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a ，当a ∈[2，2 019]时，符合条件的a 共有________个．解析：法一由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，则3m＝5n ＋1，m，n∈N，当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在；当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；当m＝5k＋3时，n不存在；当m＝5k＋4时，n不存在，其中k∈N.故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－615≤k≤2 01115，故k＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a共有135个．故答案为135.法二一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为a n＝8＋15(n－1)＝15n－7，由15n－7≤2 019得15n≤2 026，n≤135115，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个．答案：13513．(一题多解)已知数列{a n}中，a1＝3，且n(n＋1)(a n－a n＋1)＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a1·a2·…·a n（n＋1）·2n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)法一 由题意知，a n －a n ＋1＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， 所以n ≥2时，a n －1－a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ，a n －2－a n －1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n －1，…，a 1－a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12， 以上(n －1)个式子左右两边分别相加得a 1－a n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ， 又a 1＝3，所以a n ＝1＋2n (n ≥2)．又a 1＝3符合上式，故a n ＝1＋2n(n ∈N *)．法二 由题意知，a n －a n ＋1＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， 所以a n ＋1－2n ＋1＝a n －2n ，所以a n －2n ＝a n －1－2n －1＝…＝a 1－21＝3－2＝1，所以a n ＝1＋2n.(2)法一 由(1)知，a n ＝1＋2n ＝n ＋2n，所以a 1a 2…a n ＝31×42×…×n ＋1n －1×n ＋2n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，所以b n ＝a 1·a 2·…·a n（n ＋1）·2n＝n ＋22n ＋1，所以S n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2， 两式相减得12S n ＝322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋123⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n ＋2＝1－12n ＋1－n ＋22n ＋2＝1－n ＋42n ＋2， 故S n ＝2－n ＋42n ＋1.法二 由(1)知a n ＝1＋2n ＝n ＋2n，所以a 1·a 2·…·a n ＝31×42×…×n ＋1n －1×n ＋2n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，所以b n ＝a 1·a 2·…·a n（n ＋1）·2n ＝n ＋22n ＋1＝n ＋32n －n ＋42n ＋1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫421－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－623＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32n －n ＋42n ＋1＝2－n ＋42n ＋1.[C 级 素养升华]14．(多选题)已知数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则下列数字在数列{a n }中的是( )A ．14B ．18C ．20D ．32解析：由题意知，数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5，n >1， 两式相减得，a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，所以a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *. 当n ＝1时，a 12＝7，所以a 1＝14.综上可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：AD。

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核心考点·精准研析考点一条件概率、事件的独立性1.市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为,而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( )A. B. C. D.2.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)的值为( )A. B.C. D.3.甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,求:乙投篮次数不超过1次的概率.世纪金榜导学号【解析】1.选A.不合格小电器在网上购买的概率为×=,不合格小电器在实体店购买的概率为×=,所以这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是=.2.选C.因为P(B)=,P(AB)=,所以P(A|B)==.3.记“甲投篮投中”为事件A,“乙投篮投中”为事件B.“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况:一种是甲第1次投篮投中,另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中,所求的概率是P=P(A+·B+··A)=P(A)+P(·B)+P(··A)=P(A)+P()·P(B)+P()·P()·P(A)=+×+××=.所以乙投篮次数不超过1次的概率为.1.条件概率的3种求法定义法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=缩样法缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简2.相互独立事件同时发生的概率的两种求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式.(2)间接法:从对立事件入手计算.考点二n次独立重复试验、二项分布【典例】1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为( )A.0.33B.0.66C.0.5D.0.452.某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率.(2)5次预报中至少有2次准确的概率.(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率. 【解题导思】序号联想解题1种5棵成活4棵联想到n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式2 (1)联想到用公式p k(2)由“至少2次”联想到对立事件“最多1次”,即0次,1次(3)转化为4次独立重复试验恰好发生1次试验模型【解析】1.选A.根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为0.94(1-0.9)≈0.33.2.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X～B5,,故其分布列为P(X=k)=k1-5-k(k=0,1,2,3,4,5).(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=2×1-3=10××≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-×0×1-5-××1-4=1-0.000 32-0.006 4≈0.99. (3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为××1-3×≈0.02.1.熟记概率公式n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为p k(1-p)n-k.2.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.1.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.如图,由题可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率.所求概率为P=×2×3=×5=.2.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)=________.【解析】P(ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-p0·(1-p)2=,所以p=,P(η≥1)=1-P(η=0)=1-04=1-=.答案:3.在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ,求ξ的分布列.【解析】随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ～B4,.所以P(ξ=k)=k1-4-k=4(k=0,1,2,3,4).所以变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P考点三正态分布命题精解读考什么:(1)正态曲线的应用.(2)正态分布与统计的综合应用.怎么考:正态分布作为考查数学应用意识的重要载体,在高考题中经常出现,试题常以选择题、填空题形式出现.学霸好方法巧用正态曲线的性质解题(1)正态曲线关于直线x=μ对称,用此性质可以进行灵活转化.(2)正态曲线与x轴之间的面积是1.正态曲线的应用【典例】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)= ( )A.0.447B.0.628C.0.954D.0.9772.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )A.997B.954C.819D.683【解析】1.选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,σ2), 所以正态曲线关于直线x=0对称.又P(ξ>2)=0.023,所以P(ξ<-2)=0.023.所以P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.2.选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,所以P(58.5<X<62.5)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,从而属于正常情况的人数是1 000×0.683≈683.如何利用正态曲线的性质解题?提示:充分利用正态曲线的对称性及正态曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).3σ原则的应用【典例】1.在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线C 下方(曲线C为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附:正态变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别是0.683,0.954,0.997.A.4 985B.8 185C.9 970D.24 5582.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N4,,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个? 世纪金榜导学号【解析】1.选B.由题意P(0<X<3)=P(0<X≤2)+P(2<X<3)=0.683+(0.954-0.683)=0.818 5,所以落在曲线C下方的点的个数的估计值为30 000×=8 185.2.因为X～N4,,所以μ=4,σ=.所以不属于区间(3,5]的概率为P(X≤3)+P(X>5)=1-P(3<X≤5)=1-P(4-1<X≤4+1)=1-P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈1-0.997=0.003,所以1 000×0.003=3个,即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个.正态分布与统计的交汇问题【典例】近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备今年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在去年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数. (ⅰ)任取一人,求该人是目标客户的概率;(ⅱ)问:10 000人中目标客户的人数X为何值时概率最大?附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997,≈0.49. 世纪金榜导学号【解析】(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2,从而T服从N(2,0.24),又σ=≈0.49,从而P(1.51<T<2.49)=P(μ-σ<T<μ+σ)≈0.683.(2)(ⅰ)任意抽取1名客户,该客户是目标客户的概率为P(2<T<2.98)=P(μ<T<μ+2σ)=P(μ-2σ<T<μ+2σ)≈×0.954=0.477.(ⅱ)X服从B(10 000,0.477),P(X=k)=0.477k(1-0.477)10 000-k=0.477k·0.52310 000-k(k=0,1,2,…,10 000).设当X=k(k≥1,k∈N)时概率最大,则有得解得4 770-0.523<k<4 770+0.477,所以k=4 770.所以10 000人中目标客户的人数为4 770时概率最大.1.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)等于( )A. B. C. D.【解析】选D.由正态分布图象知,μ=3为该图象的对称轴,P(X<3)=P(X>3)=.2.随机变量X服从标准正态分布,则X的总体在区间(-3,3)内取值的概率为( ) A.0.998 B.0.997C.0.944D.0.841【解析】选B.标准正态分布N(0,1),σ=1,区间(-3,3),即(-3σ,3σ),概率P=0.997.1.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,则Δ=4-4ξ<0,ξ>1,因为ξ～N(1,σ2),所以μ=1,P=.2.“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕, A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X 的分布列.附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=≈11.95;②若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954.【解析】(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数为=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.(2)①因为Z服从正态分布N(μ,σ2 ), μ=26.5,σ≈11.95,所以P(14.55<Z<38.45)=P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)≈0.683,所以Z落在区间(14.55,38.45)内的概率约为0.683.②根据题意得X～B4,,所以P(X=0)=4=,P(X=1)=4= ;P(X=2)=4= ;P(X=3)=4= ;P(X=4)=4=.所以X的分布列为X 0 1 2 3 4P关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

古典概型课时作业1.(2019·新疆乌鲁木齐第三次质检)从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，其和为7的概率为( )A.215B.15C.415D.13答案 B解析 从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，共有15种不同的取法，它们分别是{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15种．从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，它们的和为7，则不同的取法为{1,6}，{2,5}，{3,4}，共3种，故所求的概率为15，故选B.2.(2019·安徽江淮十校最后一卷)《易经》是我国古代预测未来的著作．其中有同时抛掷三枚古钱币观察正反面来预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为( )A.18B.14C.38D.12答案 C解析 抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，{反反反}，共8种，其中出现两正一反的基本事件共3种，故概率为38.故选C.3．(2019·山东潍坊三模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成．如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为( )A.12B.13C.14D.15答案 A解析 从金、木、水、火、土中任取2类，包含的基本事件为金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中2类元素相生的基本事件包含木火、火土、水木、金水、土金，共5种，所以2类元素相生的概率为510＝12，故选A.4.(2019·湖南六校联考)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是( )A.23B.12C.14D.16答案 B解析 从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共6种．其中包含白色的基本事件有3种，所以选中的颜色中含有白色的概率为12，故选B.5.(2019·湖南雅礼中学模拟二)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为( )A.12B.13C.14D.15 答案 C解析 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，包含(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)．其中甲、乙将贺年卡都送给丁的情况只有一种，其概率是14，故选C.6.(2019·辽宁大连二模)一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有1个红球的概率为( )A.910B.35C.310D.110 答案 A解析 由题意知白球有5－3＝2个，记三个红球为A ，B ，C ，两个白球为a ，b .一次摸出2个球所有可能的结果为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10种，至少有一个红球的结果为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，共9种．∴所求概率P ＝910.7.(2019·江西景德镇第二次质检)袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率．利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：A.19B.29C.518D.718答案 C解析 事件A 包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为P ＝518，故选C.8.(2019·湖北4月联考)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，若抽得的第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数的概率为p 1，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为p 2，抽得的第一张卡片上的数等于第二张卡片上的数的概率为p 3，则( )A.p 1＋p 2＝1 B ．p 2<p 1,C.p 1>p 3D ．p 1＝p 2＝答案 C解析 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n ＝25，抽得的第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个，抽得的第一张卡片上的数等于第二张卡片上的数包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，共5个，∴p 1＝p 2＝1025＝25，p 3＝525＝15，故选C.9.(2019·四川宜宾二检)一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花．现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不同的概率为( )A.45B.710C.35D.12答案 B解析 记3张红桃，1张黑桃，1张梅花分别为红1，红2，红3，黑1，梅1.所有可能情况有(红1，黑1)，(红1，梅1)，(红2，黑1)，(红2，梅1)，(红3，黑1)，(红3，梅1)，(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(黑1，梅1)，共10种．其中符合花色不同的情况有(红1，黑1)，(红1，梅1)，(红2，黑1)，(红2，梅1)，(红3，黑1)，(红3，梅1)，(黑1，梅1)，共7种，根据古典概型的概率公式得P ＝710，故选B.10.(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A.14B.38C.12D.58答案 B解析 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b a>1，总基本事件数为16，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为38. 11.(2019·新疆阿克苏三诊)将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是( )A.29B.827C.49D.1627答案 C解析 由题可得大正方体的最上层、中间一层及最底层都有4个恰好是两面涂色的小正方体，所以恰好是两面涂色的小正方体个数为4×3＝12，所以从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是P ＝1227＝49，故选C.12．(2019·湖南长郡中学第六次月考)某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是( )A.13B.23C.14D.34答案 B解析 此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径有A →G →O →H ，A →E →O →H ，A →E →D →H ，共3条．记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件有A →G →O →H ，A →E→O →H ，共2条．所以他经过市中心的概率为P (M )＝23，故选B.13.(2019·合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排1名男生、星期日安排1名女生的概率为________．答案 13解析 设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动的情况有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，共12种，而星期六安排1名男生、星期日安排1名女生的情况有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，共4种，则所求的概率为P ＝412＝13.14.(2019·四川绵阳模拟)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．答案 16解析 从2,3,8,9中任取两个不同的数字，(a ，b )的所有可能结果有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共12种，其中log 28＝3，log 39＝2为整数，所以log a b 为整数的概率为16.15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．答案 25解析 由题意，得基本事件有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，共15种，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的基本事件有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)，共6种，所以所求概率为615＝25.16.(2019·黑龙江哈尔滨六中二模)从装有3双不同鞋子的柜子里，随机取出2只鞋子，则取出的2只鞋子不成对的概率为________．答案 45解析 设3双鞋子分别为A 1，A 2、B 1，B 2、C 1，C 2，则取出2只鞋子的情况有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(C 1，C 2)共15种，其中，不成对的情况有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，共12种，由古典概型的公式得，所求概率为1215＝45.17.(2019·成都市高三一诊)某部门为了解某企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：(2)已知样本中日用水量在[80,90)内的这6个数据分别为83,85,86,87,88,89，从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率．解 (1)∵3＋6＋m ＝12，∴m ＝3，∴n ＝312＝14，p ＝m 12＝312＝14，,∴m ＝3，n ＝p ＝14.(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有{83,85}，{83,86}，{83,87}，{83,88}，{83,89}，{85,86}，{85,87}，{85,88}，{85,89}，{86,87}，{86,88}，{86,89}，{87,88}，{87,89}，{88,89}，共15种．其中2个数据都小于或等于86的情况有{83,85}，{83,86}，{85,86}，共3种． 故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率P ＝1－315＝45.18.(2019·西安模拟)某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：他们各自在每个站下车的可能性是相同的．(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车的方案共有多少种？ (2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．解 (1)由题意，得甲、乙两人乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A 1，B 1，C 1.,甲、乙两人下车方案有(A 1，A 1)，(A 1，B 1)，(A 1，C 1)，(B 1，A 1)，(B 1，B 1)，(B 1，C 1)，(C 1，A 1)，(C 1，B 1)，(C 1，C 1)，共9种．(2)设9站分别为A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2，A 3，B 3，C 3.因为甲、乙两人共付费4元，所以可能有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元，共三类情况．由(1)可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案．而甲比乙先到达目的地的方案有(A 1，A 3)，(A 1，B 3)，(A 1，C 3)，(B 1，A 3)，(B 1，B 3)，(B 1，C 3)，(C 1，A 3)，(C 1，B 3)，(C 1，C 3)，(A 2，B 2)，(A 2，C 2)，(B 2，C 2)，共12种，故所求概率为1227＝49.所以甲比乙先到达目的地的概率为49.19.(2019·河南八市重点高中联盟压轴)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚．现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据：(1)当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A ，B 两类：A 类员工在处罚金不超过100元时就会改正行为；B 类是其他员工．现对A 类与B 类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类员工的概率是多少？解 (1)∵当处罚金定为100元时，员工迟到的概率为40200＝15，不处罚时，迟到的概率为80200＝25.∴当处罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低15.(2)由题意知，A 类员工和B 类员工各有40人，分别从A 类员工和B 类员工中各抽出两人，从A 类员工中抽出的两人分别记为A 1，A 2，从B 类员工中抽出的两人分别记为B 1，B 2，设“从A 类与B 类员工中按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，则事件M 中首先抽出A 1的事件有(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种，,同理首先抽出A 2，B 1，B 2的事件也各有6种，故事件M 共有4×6＝24种，设“抽取4人中前两位均为B 类员工”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)，共4种，∴P (N )＝424＝16，∴抽取4人中前两位均为B 类员工的概率是16.20.(2019·山东淄博模拟)为响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计数据表明，样本中所有人每天用于阅读的时间(简称阅读用时)都不超过3小时，其频数分布表如下：(用时单位：小时)(2)为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书经验交流会，从这200人中筛选出男、女代表各3名，其中有2名男代表和1名女代表喜欢古典文学．现从这6名代表中任选2名男代表和2名女代表参加交流会，求参加交流会的4名代表中，喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率．解 (1)根据阅读用时频数分布表知，该市市民每天阅读用时的平均值为0＋0.52×10200＋0.5＋12×20200＋1＋1.52×50200＋1.5＋22×60200＋2＋2.52×40200＋2.5＋32×20200＝1.65，故该市市民每天阅读用时的平均值为1.65.(2)设参加交流会的男代表为A 1，A 2，a ，其中A 1，A 2喜欢古典文学，则男代表参加交流会的方式有A 1A 2，A 1a ，A 2a ，共3种．参加交流会的女代表为B ，b 1，b 2，其中B 喜欢古典文学，则女代表参加交流会的方式有Bb 1，Bb 2，b 1b 2，共3种，所以参加交流会代表的组成方式有{Bb 1，A 1A 2}，{Bb 1，A 1a }，{Bb 1，A 2a }，{Bb 2，A 1A 2}，{Bb 2，A 1a }，{Bb 2，A 2a }，{b 1b 2，A 1A 2}，{b 1b 2，A 1a }，{b 1b 2，A 2a }，共9种，其中喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的是{Bb 1，A 1A 2}，{Bb 2，A 1A 2}，{b 1b 2，A 1A 2}，{b 1b 2，A 1a }，{b 1b 2，A 2a }，共5种，所以喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率是P ＝59.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

专题1.1集合（真题测试）一、单选题1．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.2．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ， 比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， 故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B.4．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．5．（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．6．（2020·天津·高考真题）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.7．（2020·北京·高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12k k k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.8．（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量,a b 均为单位向量所以|3||3|a b a b -=+⇔()()2233a b a b -=+ ⇔22226996a a b b a a b b -⋅+=+⋅+⇔169961a b a b -⋅+=+⋅+⇔0a b ⋅=⇔a b ⊥所以“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的充要条件故选：C9．（2019·北京·高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】 0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.10．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 11．（2019·北京·高考真题（理））设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】 由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.12．（2007·山东·高考真题（理））命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+> 【答案】C【解析】【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+>选C.13．（2018·北京·高考真题（理））设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，（2,1）A ∉C ．当且仅当a <0时,（2,1）A ∉D ．当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 【答案】D【解析】【详解】分析：求出(2,1)A ∈及(2,1)A ∉所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若(2,1)A ∈，则32a >且0a ≥，即若(2,1)A ∈，则32a >，此命题的逆否命题为：若32a ≤，则有(2,1)A ∉，故选D. 点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设{|()},{|()}A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式. 14．（2018·浙江·高考真题）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】 m α⊄，n ⊂α，所以当//m n 时，//m α成立，即充分性成立；当//m α时， //m n 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以//m n 是//m α的充分不必要条件，故选：A15．（2018·天津·高考真题（理））设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<， 由31x <⇔1x <. 据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.二、填空题16．（2022·江苏省天一中学高二期中）下列命题正确的是（ ）A ．命题“2R,10x x x ∃∈++≥”的否定是“2R,10x x x ∀∈++<”B ．0a b +=的充要条件是1b a=- C ．2R,0x x ∀∈> D ．11a b >>，是1ab >的充分条件 【答案】AD【解析】【分析】根据含量词的命题的否定方法判断A ，根据充分条件和必要条件的定义判断B ，D ，根据全称量词命题的真假的判断方法判断C.【详解】命题“2R,10x x x ∃∈++≥”的否定是“2R,10x x x ∀∈++<”，A 对，当0a b 时，0a b +=但b a 不存在，所以0a b +=不是1b a=-的充分条件，B 错， 当0x =时，20x =，C 错，由11a b >>，可得1ab >，所以11a b >>，是1ab >的充分条件，D 对， 故选：AD.17．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）给定命题:p x m ∀>，都有28x >.若命题p 为假命题，则实数m 可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】【分析】命题p 的否定：x m ∃>，28x ≤是真命题. 再把选项取值代入检验即得解.【详解】解：由于命题p 为假命题，所以命题p 的否定：x m ∃>，28x ≤是真命题.当1m =时，则1x >，令22,28x =<，所以选项A 正确；当2m =时，则2x >，令22.5,2.58x =<，所以选项B 正确；当3m =时，则3x >，29x >，28x ≤不成立，所以选项C 错误；当4m =时，则4x >，216x >，28x ≤不成立，所以选项D 错误.故选：AB18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知直线l ⊄平面α，直线m ⊂平面α，则（ ）A ．若l 与m 不垂直，则l 与α一定不垂直B ．若l 与m 所成的角为30，则l 与α所成的角也为30C ．//l m 是//l α的充分不必要条件D ．若l 与α相交，则l 与m 一定是异面直线【答案】AC【解析】【分析】利用反证法可判断A 选项；利用线面角的定义可判断B 选项；利用线面平行的判定定理和性质可判断C 选项；根据已知条件直接判断l 与m 的位置关系，可判断D 选项.【详解】对于A ，当l 与m 不垂直时，假设l α⊥，因为m α⊂，则l m ⊥，这与已知条件矛盾，因此l 与α一定不垂直，A 正确；对于B 选项，由线面角的定义可知，l 与α所成的角是直线l 与平面α内所有直线所成角中最小的角， 若l 与m 所成的角为30，则l 与α所成的角θ满足030θ≤≤，B 错；对于C 选项，若//l m ，m α⊂，l α⊄，则//l α，即l m l α⇒////，若//l α，因为m α⊂，则l 与m 平行或异面，即l m l α⇐/////.所以，//l m 是//l α的充分不必要条件，C 对； 对于D 选项， 若l 与α相交，则l 与m 相交或异面，D 错.故选：AC.三、填空题19．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是_______【答案】1x ∃>,20x x -≤,【解析】【分析】根据全称量词命题的否定即可求解.【详解】“1x ∀>，20x x ->”的否定是:1x ∃>,20x x -≤,故答案为：1x ∃>,20x x -≤,20．（2022·北京·人大附中三模）能够说明“若,,a b m 均为正数，则b m b a m a+>+”是真命题的充分必要条件为___________.【答案】a b >【解析】【分析】利用充分必要条件的定义判断.【详解】 解：()()0a b m b m b a m a a a m -+-=>++， 因为,,a b m 均为正数，所以a b >，反之也成立，故“若,,a b m 均为正数，则b m b a m a +>+”是真命题的充分必要条件为a b >， 故答案为：a b >21．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“l α∥”的________条件（填充分性和必要性）【答案】必要性【解析】【分析】根据l n l α⊥⇒∥或l α⊂，l l n α→⇒⊥∥得出结果.【详解】 n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线， l n l α∴⊥⇒∥或l α⊂，l l n α→⇒⊥∥， ∴“l n ⊥”是“l α∥”的必要性.故答案为：必要性四、双空题22．（2021·江苏省天一中学高一期中）已知命题p ：01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，200210x x λ-+<，则命题p 的否定为___________；若命题p 为真命题，则λ的取值范围为___________.【答案】 1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥ ()+∞【解析】【分析】利用特称命题的否定为全称命题可写出命题p的否定；命题p为真，将已知变形为1,22x⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得12xxλ>+成立，即min12xxλ⎛⎫+⎪⎝⎭>，利用基本不等式求得最小值即可得解.【详解】命题p：01 ,2 2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，200210x xλ-+<为特称命题，特称命题的否定为全称命题，所以命题p的否定为1,22x⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x xλ-+≥命题p为真，即01 ,2 2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，200210x xλ-+<成立，则1,22x⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得12xxλ>+成立，所以min12xxλ⎛⎫+⎪⎝⎭>又12xx+≥=12xx=，即x=min12xx⎛⎫∴+=⎪⎝⎭λ>所以λ的取值范围为()+∞故答案为：1,22x⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x xλ-+≥；λ>。

2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则(A B = )A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}2．（5分）已知2z i =-，则()(z z i += ) A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +3．（5，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B ．C ．4D ．4．（5分）下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是( )A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 5．（5分）已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．66．（5分）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)(sin cos θθθθ+=+ )A ．65-B ．25-C ．25D ．657．（5分）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<8．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。