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第一讲集合知识梳理学问点一集合的基本概念一组对象的总体构成一个集合．1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性．2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．学问点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的全部元素都相同A＝B子集A中的随意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 留意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n，真子集的个数为 2n－1 ，非空真子集的个数为 2n－2 .(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．学问点三集合的基本运算符号交集A∩B 并集A∪B 补集∁U A语言图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A.3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.5．∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．双基自测题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1,0}．( × )(3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( × )(4)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．( × )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )(6)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．( × )[解析](4)当m＝－1时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性冲突，故(4)错．(6)中A＝{x|0<x<10}，∁U A＝{x|x≤0或x≥10}，故(6)错．题组二走进教材2．(多选题)(必修1P9T1改编)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( ACD )A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}[解析]易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．3．(必修1P35T9改编)已知集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，则∁U A＝( A ) A．(－4，－2)∪[1,3) B．[－2,1)C．(－4，－2]∪(1,3) D．(－2,1][解析]依据集合补集的运算解答即可．由题知，集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，所以∁U A＝{x|－4<x<－2，或1≤x<3}，即∁U A＝(－4，－2)∪[1,3)，故选A.4．(必修1P13T1改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝ {x|x≥－1} ，∁U(A∩B)＝ {x|x<2或x≥3}.题组三走向高考5．(2024·全国甲文，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁U M＝( A )A．{2,3,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}[解析]因为U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，所以∁U M＝{2,3,5}，所以N∪∁U M＝{2,3,5}．故选A.6．(2024·新课标Ⅰ，1,5分)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( C )A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}[解析]由x2－x－6≥0得x≥3或x≤－2，∴N＝{x|x≥3或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}，故选C.7．(2024·新课标Ⅱ，2,5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝( B )A．2 B．1C.23D．－1[解析]若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；若2a －2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足A⊆B.故选B.。
§1.1 集合的含义及其表示（1）【教学目标】1．初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法.2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.3．能根据集合中元素的特点，使用适当的方法和准确的语言将其表示出来，并从中体会到用数学抽象符号刻画客观事物的优越性．【考纲要求】1． 知道常用数集的概念及其记法.2． 理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.【课前导学】1．集合的含义：构成一个集合.（1）集合中的元素及其表示：.（2）集合中的元素的特性：.（3）元素与集合的关系：（i ）如果a 是集合A 的元素，就记作__________读作“___________________”； （ii ）如果a 不是集合A 的元素，就记作______或______读作“_______________”.【思考】构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】2．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________，正整数集记作__________或___________， 整数集记作________，有理数记作_______，实数集记作________.3．集合的分类：按它的元素个数多少来分：（1）________________________叫做有限集；（2）___________________ _____叫做无限集；（3）______________ _叫做空集，记为_____________4.集合的表示方法：（1）______ __________________叫做列举法；（2）________________ ________叫做描述法.（3）______ _________叫做文氏图【例题讲解】例1、 下列每组对象能否构成一个集合？(1) 高一年级所有高个子的学生；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；(3)所有正三角形的全体； (4)方程22x =的实数解；(5)不等式12x +≥的所有实数解. 例2、用适当的方法表示下列集合①由所有大于10且小于20的整数组成的集合记作A ；②直线y x =上点的集合记作B ；③不等式453x -<的解组成的集合记作C ；④方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合记作D ； ⑤第一象限的点组成的集合记作E ；⑥坐标轴上的点的集合记作F .例3、已知集合{}2|210,A x ax x x R =-+=∈,若A 中至多只有一个元素，求实数a 的取值范围.【课堂检测】1．下列对象组成的集体：①不超过45的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市；④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500分以上的学生，其中为集合的是____________2．已知2a ∈A ，a 2-a ∈A ，若A 含2个元素，则下列说法中正确的是①a 取全体实数； ②a 取除去0以外的所有实数；③a 取除去3以外的所有实数；④a 取除去0和3以外的所有实数3．已知集合{0,1,2}A x =+，则满足条件的实数x 组成的集合B =§1.1 集合的含义及其表示（2）【教学目标】1．进一步加深对集合的概念理解；2．认真理解集合中元素的特性；3. 熟练掌握集合的表示方法，逐渐培养使用数学符号的规范性.【考纲要求】3． 知道常用数集的概念及其记法.4． 理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.【课前导学】1．集合()(){}3,2,1,0=A ，则集合A 中的元素有个.2．若集合{}|0,x ax x R =∈为无限集，则a =.3.已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值.4. 集合12|,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭,则集合A =. 【例题讲解】例1、 观察下面三个集合，它们表示的意义是否相同？(1){}2|1A x y x ==+(2){}2|1B y y x ==+(3){}2(,)|1C x y y x ==+例2、含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，求20112011a b +.例3、已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈,求a 的值.【课堂检测】1.用适当符号填空： (1){}2|,1_____A x x x A ==- (2){}2|60,3____B x x x B =+-=(){}C R x x x C ___52,,22|3∈≤=2．设,a b R ∈,集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=. 3．将下列集合用列举法表示出来: (){};6|1N m N m m A ∈-∈=且()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=N x N x x B ,99|2子集·全集·补集（1）【教学目标】1.理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.【考纲要求】1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.【课前导学】1． 子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（），则称集合A 为集合B 的子集,记为_________或_________读作“_________”或“______________”用符号语言可表示为：________________ ，如右图所示：________________.2．子集的性质：① AA ② ____A ∅ ③ ,A B B C ⊆⊆,则___A C【思考】:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？【答】3．真子集的概念及记法：如果A B ⊆，并且A B ≠，这时集合A 称为集合B 的真子集,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：①∅是任何的真子集符号表示为___________________②真子集具备传递性符号表示为___________________【例题讲解】例1、下列说法正确的是_________（1） 若集合A 是集合B 的子集，则A 中的元素都属于B ；（2） 若集合A 不是集合B 的子集，则A 中的元素都不属于B ；（3） 若集合A 是集合B 的子集，则B 中一定有不属于A 的元素；（4） 空集没有子集.例2.以下六个关系，其中正确的是_________（1）{}∅⊆∅；（2）{}∅∈∅（3）{0}∅⊆（4）0∉∅（5）{0}∅≠（6）{}∅=∅例3．（1）写出集合｛a ，b ｝的所有子集，并指出子集的个数；（2）写出集合｛a ，b ，c ｝的所有子集，并指出子集的个数．【思考】含有n 个不同元素的集合有个子集，有个真子集，有个非空真子集.例4.集合{|1}A x x =>，集合{|}B x x a =>.(1) 若A B ⊆,求a 的取值范围；(2)若A B ≠⊂,求a 的取值范围.【课堂检测】1．下列关系一定成立的是________(){}13|10x x ≠⊂≤()2{1,2}{2,1}⊆()(){}(){}3|,2,13=+∈y x y x 2．集合{},0)2)(1(|=--=x x x x A 则集合A 的非空子集有个.3．若{}{}{},,16|,,23|,,13|Z n n c c C Z n n b b B Z n n a a A ∈+==∈-==∈+==则集合A,B,C 的包含关系为.§1.2 子集·全集·补集（2）【教学目标】1.理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.【考纲要求】1. 理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2. 通过概念教学，提高学生逻辑思维能力.【课前导学】1．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集.全集通常记作_____2．补集的概念：设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集,记为_____读作“__________________________”即：U C A =_______________________ U C A 可用右图阴影部分来表示：_______________________3．补集的性质：① U C ∅=__________________② U C U =__________________③ ()U U C C A =______________【例题讲解】例1已知全集2{2,3,23},{|21|,2},{5}U U a a A a C A =+-=-=，求实数a 的值.例2设,{|16},{|22}U R A x x B x a x a ==-≤≤=+≤≤，若U B C A ⊆,求实数a 的取值范围.例3若方程20x x a ++=至少有一个非负实数根，求a 的取值范围.【课堂检测】1．全集{}{}1,2,3,4,5,1,5,,U U A B C A ≠==⊂则集合B 有个. 2．全集{},321,23|,-=>==a x x A R U 则下面正确的有()1U a C A ≠⊂()2U a C A ∈(){}3a A ∈(){}4U a C A ≠⊂ 3．（1）已知全集{},3|-≥=x x U 集合{},1|>=x x A 则U C A =.（2）设全集{},|31,,U Z A x x k k Z ===±∈则U C A 为.§1.3 交集·并集（1）【教学目标】1． 理解交集和并集的概念，会求两个集合的交集和并集；2． 提高学生的逻辑思维能力，培养学生数形结合的能力；3． 渗透由具体到抽象的过程；【考纲要求】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系.【课前导学】1．交集：叫做A 与B 的交集.记作，即：.2．并集：叫做A 与B 的并集，记作，即:.3．设集合{}{},,3|,,2|N n n x x B N n n x x A ∈==∈==则________=⋂B A4．设{}{}{},3,3,1,13,2,12=⋂-=--=P M P m m M 则m 的值为.【例题讲解】例1．设{1,0,1},{0,1,2,3},A B =-=求A B U 及A B I .例2．设22{|20},{|6(2)50},A x x px q B x x p x q =-+==++++=若1{}2A B =I ,求A B U .例3．设集合{24},{}A x x B x x a =-≤≤=<.（1）若A B B =U ,求a 的取值范围；（2）若A B =∅I ,求a 的取值范围.【课堂检测】 1．设集合{}{}{},4,3,2,3,2,1,2,1===C B A 则()__________.A B C =I U 2．若集合{}{}|23,|23,S x x x T x x =≤≥=≤≤或则_________S T =I .3．设集合{}21,|0 2.5,|,32U R A x x B x x x ⎧⎫==<<=≥≤-⎨⎬⎩⎭或则()()U U C A C B I =. 4．已知{}{},1,1,3,3,1,122+--=-+-=a a a B a a A 则{}2,______A B a =-=I 则.§1.3 交集·并集（2）【教学目标】、（1）掌握集合交集及并集有关性质；运用性质解决一些简单问题；（2）掌握集合的有关术语和符号；使学生树立创新意识.【考纲要求】集合的交、并运算及正确地表示一些简单集合.【课前导学】1．有关性质：A A U = A ∅U = AB U B A UA A I = A ∅I = AB I B A I2．区间：设,,,a b R a b ∈<且规定[,]a b =，(,)a b =，[,)a b =，(,]a b =，(,)a +∞=，(,]b -∞=，(,)-∞+∞= .3.{1,2,3,4,5,6},{2,3,5},{1,4},())(),U U U U A B C A B C A C B ===U I 求与(并探求(),U C A B I ,U U C A C B 三者之间的关系.4.求满足{1,2}P Q =U 的集合,P Q 共有多少组？【例题讲解】例1设{}{}{},7,1,4,4,2,1,1,22-=+-=+--=C x y B x x A 且C B A =I ，求y x ,的值及B A Y .例2设22{|1|,3,5},{21,2,21},A a B a a a a a =+=+++-若{2,3}A B =I ,求A B U .例3设222{|40},{|2(1)10}.A x x x B x x a x a =+==+++-=（1）若A B B =U ,求a 的值；（2）若A B B =I ,求a 的值.例4设全集3{(,)|,},{(,)|1},{(,)|1}2y U x y x R y R M x y P x y y x x -=∈∈===≠+-，求().U C M P U【课堂检测】 1．设集合{},,3|Z x x x I ∈<={},2,1=A {},2,1,2--=B 则()U A C B U 等于. 2．若{}{},,非正整数非负整数==B A 则=B A I ,=B A Y .3．设R U =，{},,50|<≤=x x A {},1|≥=x x B 则()()=B C A C U U Y .4．已知集合C B A ,,满足C B B A I Y =，则C A ____.。
第一章集合学习要点1. 内容概要2. 方法点拨（1）处理集合间的运算时，数轴和Venn图是极好的工具；（2）善于进行文字语言、图形语言和符号语言的转换.典型题型一、集合的概念【例1】 (1)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，求实数a的值；(2)已知集合6N,Z3A x xx⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试用列举法表示集合A.二、集合间的基本关系【例2】(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的所有可能取值组成的集合；(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的所有可能取值组成的集合．三、集合间的运算【例3】已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－3＜x≤－1}，求同时满足下列条件的集合C：①C⊆(A∪B)∩Z；②C中恰有2个元素；③C∩B≠.变式：若集合A＝{x|x2－2x－8＜0}，B＝{x|x－m＜0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(ðU B)；(2)若A∩B＝，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．巩固练习1.已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B＝________．2.集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{2}，则A∪B＝__________.3.集合A={x|x＜－2或x＞2}，B={x|x＜1或x＞4}，则A∩B=________；A∪B=________.4.下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有个.5.已知全集U＝R，集合A＝{x∈Z|－x2＋5x≤0}，B＝{x|x－4<0}则(∁U A)∩B=________．6.已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝0}，Q＝{(x，y)|x－y＝2}，则Q∩P＝__________.7.定义集合A*B＝{x|x∈A，且x B}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B的子集个数为__________．8.已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝__________.9. 已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.10. 设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则集合M 与N 的关系是__________．11. 设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ⊆M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个.12. 已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x ≥1，B ＝{y |y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R }． (1)求A ，B ；(2)求A ∪B ，A ∩∁R B .13. 已知A ＝{x ||x ＋a |≥a }，B ＝{x |x 2＋mx ＋n ＜0}．(1)若a ＝2，m ＝4，n ＝－5，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若a ＞0，A ∩B ＝{x |－3＜x ≤－1}，A ∪B ＝R ，求a ，m ，n 的值．14. 已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋10＝0}，若A ⊆B 且A ∩B ＝{5}，求a ，b ，c .15.已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m2－3m≤0，m∈R}．(1)若{}=≤≤，求实数m的值；A B x x24(2)设全集为R，若A⊆，求实数m的取值范围．。
