高中数学第一轮总复习 第1章第1讲 集合的概念、集合间的基本关系 苏教版

第一讲集合知识梳理学问点一集合的基本概念一组对象的总体构成一个集合．1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性．2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．学问点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的全部元素都相同A＝B子集A中的随意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 留意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n，真子集的个数为 2n－1 ，非空真子集的个数为 2n－2 .(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．学问点三集合的基本运算符号交集A∩B 并集A∪B 补集∁U A语言图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A.3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.5．∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．双基自测题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1,0}．( × )(3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( × )(4)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．( × )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )(6)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．( × )[解析](4)当m＝－1时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性冲突，故(4)错．(6)中A＝{x|0<x<10}，∁U A＝{x|x≤0或x≥10}，故(6)错．题组二走进教材2．(多选题)(必修1P9T1改编)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( ACD )A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}[解析]易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．3．(必修1P35T9改编)已知集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，则∁U A＝( A ) A．(－4，－2)∪[1,3) B．[－2,1)C．(－4，－2]∪(1,3) D．(－2,1][解析]依据集合补集的运算解答即可．由题知，集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，所以∁U A＝{x|－4<x<－2，或1≤x<3}，即∁U A＝(－4，－2)∪[1,3)，故选A.4．(必修1P13T1改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝ {x|x≥－1} ，∁U(A∩B)＝ {x|x<2或x≥3}.题组三走向高考5．(2024·全国甲文，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁U M＝( A )A．{2,3,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}[解析]因为U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，所以∁U M＝{2,3,5}，所以N∪∁U M＝{2,3,5}．故选A.6．(2024·新课标Ⅰ，1,5分)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( C )A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}[解析]由x2－x－6≥0得x≥3或x≤－2，∴N＝{x|x≥3或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}，故选C.7．(2024·新课标Ⅱ，2,5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝( B )A．2 B．1C.23D．－1[解析]若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；若2a －2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足A⊆B.故选B.。

§1.1 集合的含义及其表示（1）【教学目标】1．初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法.2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.3．能根据集合中元素的特点，使用适当的方法和准确的语言将其表示出来，并从中体会到用数学抽象符号刻画客观事物的优越性．【考纲要求】1． 知道常用数集的概念及其记法.2． 理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.【课前导学】1．集合的含义：构成一个集合.（1）集合中的元素及其表示：.（2）集合中的元素的特性：.（3）元素与集合的关系：（i ）如果a 是集合A 的元素，就记作__________读作“___________________”； （ii ）如果a 不是集合A 的元素，就记作______或______读作“_______________”.【思考】构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】2．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________，正整数集记作__________或___________， 整数集记作________，有理数记作_______，实数集记作________.3．集合的分类：按它的元素个数多少来分：（1）________________________叫做有限集；（2）___________________ _____叫做无限集；（3）______________ _叫做空集，记为_____________4.集合的表示方法：（1）______ __________________叫做列举法；（2）________________ ________叫做描述法.（3）______ _________叫做文氏图【例题讲解】例1、 下列每组对象能否构成一个集合？(1) 高一年级所有高个子的学生；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；(3)所有正三角形的全体； (4)方程22x =的实数解；(5)不等式12x +≥的所有实数解. 例2、用适当的方法表示下列集合①由所有大于10且小于20的整数组成的集合记作A ；②直线y x =上点的集合记作B ；③不等式453x -<的解组成的集合记作C ；④方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合记作D ； ⑤第一象限的点组成的集合记作E ；⑥坐标轴上的点的集合记作F .例3、已知集合{}2|210,A x ax x x R =-+=∈,若A 中至多只有一个元素，求实数a 的取值范围.【课堂检测】1．下列对象组成的集体：①不超过45的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市；④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500分以上的学生，其中为集合的是____________2．已知2a ∈A ，a 2-a ∈A ，若A 含2个元素，则下列说法中正确的是①a 取全体实数； ②a 取除去0以外的所有实数；③a 取除去3以外的所有实数；④a 取除去0和3以外的所有实数3．已知集合{0,1,2}A x =+，则满足条件的实数x 组成的集合B =§1.1 集合的含义及其表示（2）【教学目标】1．进一步加深对集合的概念理解；2．认真理解集合中元素的特性；3. 熟练掌握集合的表示方法，逐渐培养使用数学符号的规范性.【考纲要求】3． 知道常用数集的概念及其记法.4． 理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.【课前导学】1．集合()(){}3,2,1,0=A ，则集合A 中的元素有个.2．若集合{}|0,x ax x R =∈为无限集，则a =.3.已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值.4. 集合12|,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭,则集合A =. 【例题讲解】例1、 观察下面三个集合，它们表示的意义是否相同？(1){}2|1A x y x ==+(2){}2|1B y y x ==+(3){}2(,)|1C x y y x ==+例2、含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，求20112011a b +.例3、已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈,求a 的值.【课堂检测】1.用适当符号填空： (1){}2|,1_____A x x x A ==- (2){}2|60,3____B x x x B =+-=(){}C R x x x C ___52,,22|3∈≤=2．设,a b R ∈,集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=. 3．将下列集合用列举法表示出来: (){};6|1N m N m m A ∈-∈=且()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=N x N x x B ,99|2子集·全集·补集（1）【教学目标】1.理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.【考纲要求】1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.【课前导学】1． 子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（），则称集合A 为集合B 的子集,记为_________或_________读作“_________”或“______________”用符号语言可表示为：________________ ，如右图所示：________________.2．子集的性质：① AA ② ____A ∅ ③ ,A B B C ⊆⊆,则___A C【思考】:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？【答】3．真子集的概念及记法：如果A B ⊆，并且A B ≠，这时集合A 称为集合B 的真子集,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：①∅是任何的真子集符号表示为___________________②真子集具备传递性符号表示为___________________【例题讲解】例1、下列说法正确的是_________（1） 若集合A 是集合B 的子集，则A 中的元素都属于B ；（2） 若集合A 不是集合B 的子集，则A 中的元素都不属于B ；（3） 若集合A 是集合B 的子集，则B 中一定有不属于A 的元素；（4） 空集没有子集.例2.以下六个关系，其中正确的是_________（1）{}∅⊆∅；（2）{}∅∈∅（3）{0}∅⊆（4）0∉∅（5）{0}∅≠（6）{}∅=∅例3．（1）写出集合｛a ，b ｝的所有子集，并指出子集的个数；（2）写出集合｛a ，b ，c ｝的所有子集，并指出子集的个数．【思考】含有n 个不同元素的集合有个子集，有个真子集，有个非空真子集.例4.集合{|1}A x x =>，集合{|}B x x a =>.(1) 若A B ⊆,求a 的取值范围；(2)若A B ≠⊂,求a 的取值范围.【课堂检测】1．下列关系一定成立的是________(){}13|10x x ≠⊂≤()2{1,2}{2,1}⊆()(){}(){}3|,2,13=+∈y x y x 2．集合{},0)2)(1(|=--=x x x x A 则集合A 的非空子集有个.3．若{}{}{},,16|,,23|,,13|Z n n c c C Z n n b b B Z n n a a A ∈+==∈-==∈+==则集合A,B,C 的包含关系为.§1.2 子集·全集·补集（2）【教学目标】1.理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.【考纲要求】1. 理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2. 通过概念教学，提高学生逻辑思维能力.【课前导学】1．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集.全集通常记作_____2．补集的概念：设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集,记为_____读作“__________________________”即：U C A =_______________________ U C A 可用右图阴影部分来表示：_______________________3．补集的性质：① U C ∅=__________________② U C U =__________________③ ()U U C C A =______________【例题讲解】例1已知全集2{2,3,23},{|21|,2},{5}U U a a A a C A =+-=-=，求实数a 的值.例2设,{|16},{|22}U R A x x B x a x a ==-≤≤=+≤≤，若U B C A ⊆,求实数a 的取值范围.例3若方程20x x a ++=至少有一个非负实数根，求a 的取值范围.【课堂检测】1．全集{}{}1,2,3,4,5,1,5,,U U A B C A ≠==⊂则集合B 有个. 2．全集{},321,23|,-=>==a x x A R U 则下面正确的有()1U a C A ≠⊂()2U a C A ∈(){}3a A ∈(){}4U a C A ≠⊂ 3．（1）已知全集{},3|-≥=x x U 集合{},1|>=x x A 则U C A =.（2）设全集{},|31,,U Z A x x k k Z ===±∈则U C A 为.§1.3 交集·并集（1）【教学目标】1． 理解交集和并集的概念，会求两个集合的交集和并集；2． 提高学生的逻辑思维能力，培养学生数形结合的能力；3． 渗透由具体到抽象的过程；【考纲要求】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系.【课前导学】1．交集：叫做A 与B 的交集.记作，即：.2．并集：叫做A 与B 的并集，记作，即:.3．设集合{}{},,3|,,2|N n n x x B N n n x x A ∈==∈==则________=⋂B A4．设{}{}{},3,3,1,13,2,12=⋂-=--=P M P m m M 则m 的值为.【例题讲解】例1．设{1,0,1},{0,1,2,3},A B =-=求A B U 及A B I .例2．设22{|20},{|6(2)50},A x x px q B x x p x q =-+==++++=若1{}2A B =I ,求A B U .例3．设集合{24},{}A x x B x x a =-≤≤=<.（1）若A B B =U ,求a 的取值范围；（2）若A B =∅I ,求a 的取值范围.【课堂检测】 1．设集合{}{}{},4,3,2,3,2,1,2,1===C B A 则()__________.A B C =I U 2．若集合{}{}|23,|23,S x x x T x x =≤≥=≤≤或则_________S T =I .3．设集合{}21,|0 2.5,|,32U R A x x B x x x ⎧⎫==<<=≥≤-⎨⎬⎩⎭或则()()U U C A C B I =. 4．已知{}{},1,1,3,3,1,122+--=-+-=a a a B a a A 则{}2,______A B a =-=I 则.§1.3 交集·并集（2）【教学目标】、（1）掌握集合交集及并集有关性质；运用性质解决一些简单问题；（2）掌握集合的有关术语和符号；使学生树立创新意识.【考纲要求】集合的交、并运算及正确地表示一些简单集合.【课前导学】1．有关性质：A A U = A ∅U = AB U B A UA A I = A ∅I = AB I B A I2．区间：设,,,a b R a b ∈<且规定[,]a b =，(,)a b =，[,)a b =，(,]a b =，(,)a +∞=，(,]b -∞=，(,)-∞+∞= .3.{1,2,3,4,5,6},{2,3,5},{1,4},())(),U U U U A B C A B C A C B ===U I 求与(并探求(),U C A B I ,U U C A C B 三者之间的关系.4.求满足{1,2}P Q =U 的集合,P Q 共有多少组？【例题讲解】例1设{}{}{},7,1,4,4,2,1,1,22-=+-=+--=C x y B x x A 且C B A =I ，求y x ,的值及B A Y .例2设22{|1|,3,5},{21,2,21},A a B a a a a a =+=+++-若{2,3}A B =I ,求A B U .例3设222{|40},{|2(1)10}.A x x x B x x a x a =+==+++-=（1）若A B B =U ,求a 的值；（2）若A B B =I ,求a 的值.例4设全集3{(,)|,},{(,)|1},{(,)|1}2y U x y x R y R M x y P x y y x x -=∈∈===≠+-，求().U C M P U【课堂检测】 1．设集合{},,3|Z x x x I ∈<={},2,1=A {},2,1,2--=B 则()U A C B U 等于. 2．若{}{},,非正整数非负整数==B A 则=B A I ,=B A Y .3．设R U =，{},,50|<≤=x x A {},1|≥=x x B 则()()=B C A C U U Y .4．已知集合C B A ,,满足C B B A I Y =，则C A ____.。

第一章集合学习要点1. 内容概要2. 方法点拨（1）处理集合间的运算时，数轴和Venn图是极好的工具；（2）善于进行文字语言、图形语言和符号语言的转换.典型题型一、集合的概念【例1】 (1)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，求实数a的值；(2)已知集合6N,Z3A x xx⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试用列举法表示集合A.二、集合间的基本关系【例2】(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的所有可能取值组成的集合；(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的所有可能取值组成的集合．三、集合间的运算【例3】已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－3＜x≤－1}，求同时满足下列条件的集合C：①C⊆(A∪B)∩Z；②C中恰有2个元素；③C∩B≠.变式：若集合A＝{x|x2－2x－8＜0}，B＝{x|x－m＜0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(ðU B)；(2)若A∩B＝，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．巩固练习1.已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B＝________．2.集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{2}，则A∪B＝__________.3.集合A={x|x＜－2或x＞2}，B={x|x＜1或x＞4}，则A∩B=________；A∪B=________.4.下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有个.5.已知全集U＝R，集合A＝{x∈Z|－x2＋5x≤0}，B＝{x|x－4<0}则(∁U A)∩B=________．6.已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝0}，Q＝{(x，y)|x－y＝2}，则Q∩P＝__________.7.定义集合A*B＝{x|x∈A，且x B}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B的子集个数为__________．8.已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝__________.9. 已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.10. 设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则集合M 与N 的关系是__________．11. 设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ⊆M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个.12. 已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x ≥1，B ＝{y |y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R }． (1)求A ，B ；(2)求A ∪B ，A ∩∁R B .13. 已知A ＝{x ||x ＋a |≥a }，B ＝{x |x 2＋mx ＋n ＜0}．(1)若a ＝2，m ＝4，n ＝－5，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若a ＞0，A ∩B ＝{x |－3＜x ≤－1}，A ∪B ＝R ，求a ，m ，n 的值．14. 已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋10＝0}，若A ⊆B 且A ∩B ＝{5}，求a ，b ，c .15.已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m2－3m≤0，m∈R}．(1)若{}=≤≤，求实数m的值；A B x x24(2)设全集为R，若A⊆，求实数m的取值范围．。

苏教版2019版高中数学必修第一册
第1章集合知识点清单
目录
第一章集合
1. 1 集合的概念与表示
1. 2 子集、全集、补集
1. 3 交集、并集
第一章集合
1. 1 集合的概念与表示
一、集合的相关概念
1. 集合的概念
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合. 集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
集合常用大写拉丁字母表示，如集合A，B，…，集合的元素常用小写拉丁字母表示，如a，b，….
2. 集合中元素的特性
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的.
(2)无序性：集合中的元素并无先后顺序，即任何两个元素都可以交换顺序.
(3)互异性：集合中的元素一定是不同的.
3. 元素与集合的关系：属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”或“⋷”表示).
4. 集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等.
二、集合的表示与分类
1. 常用数集及其记法。

高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念〖1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法： { x | x 具有的性质 } ，其中 x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集 . ②含有无限个元素的集合叫做无限集叫做空集 ( ).【 1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质. ③不含有任何元素的集合示意图A B（或子集B A)A B真子集（或B A）A中的任一元素都属于 BA B，且 B中至少有一元素不属于A(1)A A(2) A(3)若 A B 且 B C，则 A C(4)若 A B 且 B A，则 A B（ 1）A （ A 为非空子集）(2)若 A B 且 B C，则A CA(B)B A或B A集合A 中的任一元素都BA B(1)A相等属于 B， B 中的任A(2)B一元素都属于 AA(B)（ 7）已知集合A 有 n(n 1) 个元素，则它有2n个子集，它有 2n1个真子集，它有 2n1个非空子集，它有2n 2 非空真子集 .【 1.1.3 】集合的基本运算（ 8）交集、并集、补集名称记号意义性质{ x |x A, 且（1） A A AA （2） A交集B（3） A B Ax B}A B B{ x |x A, 或（1） A A AA （2） A A并集B（3） A B Ax B}A B B{ x | x U , 且x A} 痧U(A B) ( U A)(?U B)1 A(e UA)补集e U A痧U(A B) ( U A) (?U B)2 A (e U A) U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式的解法示意图A B A B不等式解集| x | a( a 0) { x | a x a}| x | a(a 0) x | x a 或 x a}把 ax b 看成一个整体，化成 | x | a ，| ax b | c,| ax b | c(c 0)| x | a(a 0) 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式b24ac 0 0 0二次函数y ax2bx c(a 0)的图象O 一元二次方程b b24acax2bx c 0(a 0) x1,22ax1x2b无实根（其中 x1 x2 ) 2a的根ax2bx c 0(a 0) { x | x xx2} { x | x b }R1或 x2a的解集ax2bx c 0(a 0) { x |x1x x2}的解集〖1.2 〗函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ， B 以及 A 到 B 的对应法则f）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f : A B ．②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（ 2）区间的概念及表示法①设 a,b 是两个实数，且 a b，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 [a,b] ；满足 a xb的实数 x 的集合叫做开区间，记做 (a, b) ；满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [a ,b )， (a,b] ；满足 x a, x a, x ,b x 的b实数 x 的集合分别记做[ a, ),( a, ),( , b],( ,b) ．注意：对于集合 { x | a x b} 与区间 (a,b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：① f ( x) 是整式时，定义域是全体实数．② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ y tan x 中， x k (k Z ) ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若 f (x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ，其复合函数 f[ g( x)] 的定义域应由不等式 a g( x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f (x) 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a( y) x2b( y) x c( y) 0 ，则在 a( y) 0 时，由于 x, y 为实数，故必须有b2 ( y) 4a( y)c( y)，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【 1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（ 6）映射的概念①设A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及 A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A到B的映射，记作f :AB ．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且a A,bB ．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖 1.3 〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义 图象性 质判定方法 函数的单调性 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个 自变量的值 x1 、x2, 当x1<．．x2 时，都有 f(x 1)<f(x 2) ， ． ．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区 间上是 增函数 ． ．．．如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2，当x1<．．x2 时，都有 f(x1)>f(x 2) ，． ．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区 间上是 减函数 ．．．． y y=f(X) f(x 2 ) f(x 1 ) o 1 x 2 x x y y=f(X)f(x ) 1 f(x ) 2 o x 1 x 2 x （ 1）利用定义 （ 2）利用已知函数的单调性 （ 3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数②在公共定义域内， 两个增函数的和是增函数， 两个减函数的和是减函数，函数，减函数减去一个增函数为减函数．增函数减去一个减函数为增③对于复合函数 y f [ g( x)] ，令 u g ( x) ，若 y f (u) 为增， ug( x) 为增，则 y f [ g( x)] 为增；若 yf (u) 为 减 ， u g( x) 为 减，则 yf [ g( x)] 为 增； 若 yf (u) 为 增，u g (x) 为减， 则y f [ g (x)] 为减；若 y f (u) 为减， u g( x) 为增，则 y f [ g (x)] 为减． （ 2）打“√”函数 f ( )a ( a 0) 的图象与性质 x xxf ( x) 分别在 (, a] 、[ a, ) 上为增函数，分别在y[ a,0) 、 (0, a ] 上为减函数．（ 3）最大（小）值定义①一般地， 设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数Mo x满足：（ 1）对于任意的x I ，都有 f ( x) M ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 ) M ．那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作 f max ( x) M ．②一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（ 1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) m ；（ 2）存在 x0I ，使得f (x0 ) m ．那么，我们称m 是函数 f ( x) 的最小值，记作f max ( x) m ．【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质函数的奇偶性定义图象判定方法如果对于函数f(x) 定义（ 1）利用定义（要域内任意一个x ，都有先判断定义域是否f( － x)=－f(x) ,那么函数关于原点对称）．．．．．．．．．．（ 2）利用图象（图f(x) 叫做奇函数．．．．象关于原点对称）如果对于函数f(x) 定义（ 1）利用定义（要域内任意一个x ，都有先判断定义域是否f( － x)=f(x) ,那么函数关于原点对称）．．．．．．．．．（ 2）利用图象（图f(x) 叫做偶函数．．．．象关于 y 轴对称）②若函数 f ( x) 为奇函数，且在x 0 处有定义，则f (0) 0 ．③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换y f ( x)②伸缩变换h 0,左移h个单位y f (x h) y f( x)k 0,上移k个单位y f (x)kh 0,右移 | h|个单位k 0,下移 | k|个单位y f( x)0 1,伸1,缩yf( x)0 A 1,缩A 1,伸③对称变换y f (x) y Af( x)y f( x)x轴f ( x)y f( x)y轴yy f( x)yf( x) 原点 y f ( x) 直线 y xyf 1 ( x )yf ( x)y f( x) 去掉 y 轴左边图象y f (| x |)保留 y 轴右边图象，并作其关于 y轴对称图象yf ( x)（ 2）识图保留 x 轴上方图象 y | f ( x) | 将 x 轴下方图象翻折上去对于给定函数的图象， 要能从图象的左右、 上下分别范围、 变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数 ( Ⅰ)〖 2.1 〗指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念①如果 n 1x a a R x R n ，且n N ，那么 x 叫做 a 的n 次方根．当 n 是奇数时， a 的n 次 , , , 方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时， 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为 偶数时，a0 ．③根式的性质： ( na)n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n a (a 0)| a | (a 0) ．a（ 2）分数指数幂的概念mn m①正数的正分数指数幂的意义是：a n a ( a 0, , N , 且n 1) ．0 的正分数指数幂等于0． m nm m②正数的负分数指数幂的意义是：a n ( 1 ) n n ( 1 )m( a 0,m, n N , 且 n1) ． 0 的负分数a a指数幂没有意义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质① r s r s ( 0, , ) ② rs rs a a a a r s ( a ) a (a 0,r , s R) R()r r r (0, 0, ) ③ab a b a b r R【 2.1.2】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1 0 a 1y y a x y a x y图象y 1y 1(0,1)(0,1)O xO x 定义域R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当x 0 时， y 1 ．奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数a x 1 ( x 0) a x 1 (x 0)函数值的a x 1 ( x 0) a x 1 (x 0) 变化情况a x a x1 ( x 0) 1 (x 0)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2 〗对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义①若 a x N (a 0,且 a 1)，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x log aN ，其中 a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：x log a N a x N ( a 0, a 1, N 0) ．（ 2）几个重要的对数恒等式log a 1 0 ， log a a 1， log a a b b ．（ 3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828 ⋯）．（4）对数的运算性质如果 a 0, a 1, M 0, N 0，那么①加法： log a M log a N log a (MN )②减法： log aMlog a N log a MN ③数乘： n log a M log a M n( nR) ④ a log a N N⑤ log a b M nn log a M (b 0, n R) ⑥换底公式： log aN logb N(b 0, 且 b 1)blog b a【 2.2.2 】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称 对数函数定义 函数 y log a x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数 a 1 0 a 1x 1x1yy log a x yy log a x图象O(1,0)x(1,0)Ox定义域 (0, )值域R过定点 图象过定点 (1,0) ，即当x 1时， y 0 ．奇偶性非奇非偶单调性在 (0, ) 上是增函数在 (0, ) 上是减函数log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1)函数值的 log a x 0 (x 1)log a x0 (x 1)变化情况log a x 0 (0 x 1)log a x0 (0 x 1)a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6) 反函数的概念设函数 y f ( x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子y f ( x) 中解出 x ，得式子 x ( y) ．如果对于 y 在 C 中的任何一个值， 通过式子 x( y) ， 在 A 中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子x( y)x表示 x 是 y 的函数，函数 x ( y) 叫做函数 y f ( x) 的反函数，记作 x f 1( y) ，习惯上改写成 y f 1( x) ．（ 7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f ( x) 中反解出xf 1 ( y) ； ③将 x f 1( y) 改写成 y f 1( x) ，并注明反函数的定义域．（ 8）反函数的性质①原函数yf ( x) 与反函数yf 1 (x) 的图象关于直线 y x 对称． ②函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域．③若 P(a, b) 在原函数 y f (x) 的图象上，则 P '(b, a) 在反函数 y f 1( x) 的图象上．④一般地，函数 yf (x) 要有反函数则它必须为单调函数．〖 2.3 〗幂函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质① 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0, ) 都有定义，并且图象都通过点(1,1) ．③单调性：如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) 上为增函数．如果0 ，则幂函数的图象在(0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q（其中 p, q 互质，pq qp 和 q Z ），若 p 为奇数 q 为奇数时，则y x p是奇函数，若p 为奇数 q 为偶数时，则yx p是偶函数，q若 p 为偶数 q 为奇数时，则y x p是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数y x , x (0, ) ，当1 时，若 0x 1，其图象在直线y x 下方，若 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当1时，若 0x1 ，其图象在直线y x 上方，若 x1 ，其图象在直线y x下方．〖补充知识〗二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式①一般式： f ( x) ax2bx c(a 0) ②顶点式： f (x) a( xh) 2k ( a 0) ③两根式：f ( x)a( x x1)( x x2 )( a 0) （ 2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f ( x) 更方便．（ 3）二次函数图象的性质①二次函数 f ( x) ax2bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b , 顶点坐标是2a( b , 4ac b2) ．2a 4a②当 a 0 时，抛物线开口向上，函数在( , b ] 上递减，在[ b ,) 上递增，当x b 时，2a 2a 2af min ( x)4ac b20 时，抛物线开口向下，函数在( ,b b ) 上递减，当4a；当 a ] 上递增，在 [ ,2a 2ax b4ac b2时， f max (x) ．2a4a③二次函数 f ( x)ax2bx c(a 0) 当b24ac 0 时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | | x1x2 | ．|a|（ 4）一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程 ax2bx c 0(a 0) 的两实根为 x1, x2，且 x1x2．令 f ( x) ax2bxc ，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：号．①k＜x1≤ x2 a ②对称轴位置： xb③判别式：④端点函数值符2ay ybf (k )0 a 0x2a O k Ok xx2x x x2x1 1xbf (k) 0 a2a②x1≤ x2＜ ky yf (k) 0ba 0x2aO x2O k x1k x x1x2xxb a 0f(k) 0 2a③x ＜ k＜x 2af( k) ＜ 01y ya 0 f(k ) 0 O kx1 O kx1 x2xx2xf (k ) 0a 0④k1＜ x1≤ x2＜ k2ya 0 f (k 1 ) 0 f (k 2 ) 0 x 1 x 2 O k k 2 x 1yxb2a k 1 k 2 O x 1 x 2 xf(k ) 0xb1f ( k 2 )0 a 02a⑤有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1＜x1（或 x2）＜ k2f( k1) f( k2)0，并同时考虑 f( k1)=0 或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合yya 0f (k 1 ) 0f (k 1 ) 0x kk 2O 12O x 1x2xk 1 x 2 x k 1f (k 2 ) 0 a 0f (k 2 ) 0⑥k1＜ x1＜ k2≤ p1＜ x2＜ p2此结论可直接由⑤推出．（ 5）二次函数f (x) ax 2bx c(a 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值 设 f (x) 在区间 [ p, q] 上的 最大值为 M ，最小值为 m ，令 x 01( p q) ． （Ⅰ）当 a 0 时（开口向上） 2①若b p ，则 m f ( p) ②若 p b q ，则 m f ( b) ③若 b q ，则 m f(q) 2a 2a 2a 2af f f f (q) (p) (p) (q) O x f O x O x f ((p)bb ) f b )) f ( f( 2a 2a (q) 2a b bM f x 0 ，则 M f ( p)①若 x 0 ，则 ( q)②2a2af f(p) x(q)0 x 0Ox Oxb ) ff f(b (q) 2af ((p))2a( Ⅱ ) 当 a 0 时( 开口向下)①若 b2a p ，则 Mf ( p)②若p b 2a q ，则 Mf ( b 2a ) ③若 b 2aq ，则Mf ( q)f( b )f (b ) f f ( b )2a 2af 2a (q)f(p) (p)O x O x Oxf ff(q)(q)(p) bb x0 ，则 m f( p) ． ①若 x0 ，则 m f (q)②2a2abbf ()f f ( 2a )f 2a(q)(p) x 0x 0O x O x f f(q)(p)第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1 、 函 数 零 点 的 概 念 ： 对 于 函 数 y f(x)( x D ) ， 把 使 f (x)0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数 y f (x)( x D )的零点。