数字信号处理 无限长单位脉冲响应滤波器设计方法共75页

| H ( e j0 )| jωc δ1 20lg 20 lg | H ( e ) | 20lg(1 α1 ) （6-2a） jωc | H( e )| | H ( e j0 )| jωst δ2 20lg 20 lg | H ( e ) | 20lg α2 jωst | H( e )|
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第6章 无限长单位冲激响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
6.1 引言
6.2 IIR滤波器设计的特点
6.3 常用模拟低通滤波器的设计方法
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.1 引
6.1.1 选频滤波器的分类
言
数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、 检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系 统。 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性移不变系统。它 将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.2 IIR滤波器设计的特点
IIR滤波器的系统函数用极、零点表示如下：
M M
H ( z)
b z
k 0 N k k 1
k
1 ak z k
A
(1 c z
k 1 N k k 1
1
)
1 ( 1 d z ) k
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
H( e
jω
) H( e
2. 相位响应 jω j arg H ( e )
)e
jω
Re[ H ( e jω ) j Im H ( e jω )] β ( e jω

(7.1.7)
03.11.2020
课件
5
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
按照上式可以将H(z)表示为
H(z)1[H(z)z(N1)H(z1)]1N1 h(n)[znz(N1)zn]
2
2n0
(N1)N1
z 2
h(n)[1[znN21znN21]]
n0
2
将z=e jω代入上式，得到：
H
(e
j
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较
03.11.2020
课件
2
2n0
N1N1
z 2
h(n)1[znN21znN21]
n0
2
03.11.2020
课件
7
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
H(ej)H(z)
zej
jN1N1
je 2
n0
h(n)sin[(nN1)]
2
jN1jN1
e 2 2
h(n)sin[(N1n)]
n0
2
因此，幅度函数和相位函数分别为
N1
Hg()
1
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅 度特性以及零点、网络结构的特点。
1. 线性相位条件
对于长度为N的h(n)，传输函数为
N 1

线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0

ωp ----通带截止频率（Pass band cut off frequency） 通带频率范围：0≤ω≤ ωp
通带中要求：(11)H(ej)1
ωs ----阻带截止频率（Stop band cut off frequency） 阻带频率范围： ωs ≤ω≤π 阻带中要求： H(ej) 2
通带内和阻带内允许的衰减用dB表示 通带内允许的最大衰减用αp表示 阻带内允许的最小衰减用αs表示
(3) 按网络结构分：FIR、IIR滤波器
FIR滤波器：永远稳定，容易做到线性相位； IIR滤波器：极点要求苛刻，设计来源于AF，传输特 性差，相位需要矫正
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )

2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
6.1 数字滤波器的基本概念
1 定义：
(1)广义滤波器：信号选择系统，让某些信号通过又阻 止或衰减一些成分，其输入输出均为数字信号，即通过 一定的运算改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
（2）狭义：选频系统，低通，高通，带通滤波器等 2 数字滤波器的分类
经典滤波器：数字信号处理就是从噪声中提取信号， 噪声和信号频谱无重叠时用。
zk-1是极点， (zk-1)*也是极点
-----最小相位系统
相频特性：表示各频率成分通过滤波器后在时 间上的延时情况
实际的滤波器通带和阻带中都 允许一定的误差-----通带不一 定水平，阻带不一定完全衰减 到零，通带和阻带之间允许一 定宽度的过渡带。

第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
,0 n N 1
第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还 有一附加的相位，即
( )
利用类似的关系，可以得出新的解答为
N 1 2 2 h n h N 1 n
序言
FIR数字滤波器的差分方程描述
N 1 i 0
y (n) ai x(n i)
H ( z ) ai z
i 0
N 1 i 0
①
对应的系统函数
N 1
i
因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示
y(n) h(i) x(n i)
比较①、③得：
③
ai h(i ) H ( z ) h(i ) z i
0

2
由于 对这些点也奇对称。
点呈奇对称，所以
由于 时， 相当于H（z）在 处有两个零点，不能用 于 的滤波器设计，故不能 用作低通、高通和带阻滤波器的设计。
第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
第5章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法
4.h(n)奇对称，N为偶数
He
§5.1 线性相位FIR数字滤波器的特性
5.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的 线性函数，即

设 计 步 骤 ： 先 设 计 模 拟 滤 波 器 得 到 传 输 函 数 Ha(s) ， 然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
另一类是直接在频域或时域中进行设计。 FIR滤波器的设计方法,常用的有窗函数法和频率 采样法。
X
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
6.2 模拟滤波器的设计
3dB
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
αp是通带(Ω=0~Ωp)中的 最大衰减系数，αs是阻带
Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp 和αs一般用dB数表示。
s
图中Ωc称为3dB截止频率。
当 Ω Ω c时， H a(j有 c)1 221 2 1 2l0 g H a(j c)(d) B 2l0 g 22(d) B 3 (d)B X
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用 下式表示：
Ha(
j)
2
1(
1
)2N
c
N称为滤波器的阶数.
(6.2.6)
X
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
将幅度平方函数
Ha(
j)
2
1(
1
)2N
c
写成s的函数：
Ha( j)
1
N=2
0.707
N=4
0
c
N=8
图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系
bo
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
1 1.0000
2 1.0000 1.4142
3 1.0000 2.0000 2.0000
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
对于单调下降的幅度特性，可表示成：

7.1.1 数字滤波器的分类
器均是不可能实现的，因为它们的单位冲激响应均是非因果且是无 限长的，设计者只能按照某些准则设计实际滤波器，使之尽可能逼 近它，因此图7.1所示的理想滤波器可作为逼近的标准。 数字滤波器从实现的网络结构或单位冲激响应分类，可以分成 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器和有限长单位冲激响应（FIR） 滤波器。它们的系统函数分别表示为
2
（4）由求出的零点、极点及增益常数，则可完全确定系统函数 H a (s ) 。
7.2.2 巴特沃斯 （Butterworth）滤波器
7.2.2 巴特沃斯（Butterworth）滤波器
巴特沃斯滤波器的特点是具有通带内最大平坦的幅度特性，而且随 着频率的升高而单调地下降。它的幅度平方函数可以写成
H a ( jΩ ) =
Y ( z) H ( z) = = X ( z) bk z − k ∑ 1 − ∑ ak z −k
z ) = ∑ h( k ) z − k
k =0
N −1
（7.2）
数字滤波器的分类
式（7.1）中，一般满足 M ≤ N ，这类系统称为 N 阶IIR系统； 当
H a (s ) 、分母多项式的系数制成表格，如表7.1所示以供查用。
巴特沃斯滤波器
阶 次
系 统 函 数
H a (s )
1
Ω c /( s + Ω c )
Ω c /( s 2 + 2Ω c s + Ω c )
2 2
2
3
Ω c /( s 3 + 2Ω c s 2 + 2Ω c s + Ω c )
3 2 3
7.2 模拟滤波器的设计方 法简介
为了从模拟滤波器出发设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足 技术指标的模拟滤波器，亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤 波器的指标，因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的 模拟低通滤波器供设计者选择，如巴特沃斯（Butterworth）滤波 器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellips）滤波器、贝塞 尔（Bessel）滤波器等。这些典型的滤波器各有特点，巴特沃斯滤 波器具有通带内最平坦且单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的 幅频特性在通带或阻带内有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器 通带内有较好的线性相位特性；而椭圆滤波器的选择性相对前三种 是最好的。 设计模拟滤波器是根据一组设计规范来设计模拟系统函数H a (s) ， 使其逼近某个理想滤波器的特性。例如逼近图7.3所示的低通滤波器 的幅度特性，这是根据幅度平方函数来逼近的。

6.1 引 言
数字滤波器的性能要求
通带截止频率 误差容限 阻带截止频率
具有误差容限的的滤波器具有三个特征范围： 通带 过渡带
阻带
1 1 H (e j ) 1,
c
c st
H (e j ) 2 , st
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
z e j
H ( z)H ( z 1) 的零极点特征：
1 若 z re ji 是H(z)的极点，则 z e ji 是H(z-1)的极点。 r 即 H ( z)H ( z 1) 的极点是以单位圆镜像对称的，同时也是共轭的。
jIm[z]
满足上述条件的极点可能有几种情况。 对于可实现的系统，系统函数的极点都在单位圆内。 对于零点的分析类似极点，只是系统函数的零点没
0 1
Re[z]
4
有只在单位圆内的限制。
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
6.1 引 言
M
设计IIR数字滤波器的方法 数字滤波器可用系统函数表示
H ( z)
1 ak z k
k 0
k 0 N
bk z k
对IIR系统，N>0,且一般有MN。
设计的目的就是要求出ak和bk，使对应的传输函数逼近所要求的特性。
对于因果稳定的LSI系统，其单位冲击响应 h(n)为实函数，因而满足共轭 对称条件，即 H (e j ) H (e j )
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
6.1 引 言
幅度平方响应：
H (e
j 2
) H (e j ) H (e j ) H (e j ) H (e j ) H ( z ) H ( z 1 )

？
得到数字高通、带通、带阻滤波器 H (z)
最直接到方法，将：
p ,s , p,s
利用：
利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器
G( p), G(s)
？ H (z)
H (z) G(s) s 1 ln z Ts
但这样做，H (z) 将不再是 z 的有理多项式，给
极－零分析带来困难。
数字滤波器的 单位抽样响应
切比雪 夫滤波 器的极 点分布
最后： 了实p际反频映率
6.3 模拟高通、带通及带阻滤波器的设计
给定高通、 带通或带阻 的技术指标
频率转换
p ,s , p ,s p
q j
低通滤 波器技 术指标
p , s , p ,s
得到高通、 带通或带阻 滤波器H(s)
频率转换
p q
设计模拟低 通滤波器G(p)
带阻：
：通带允许的最大衰减； ：阻带内应达到的最小衰减
数字滤波器设计的一般步骤:
1. 给定所设计的滤波器的技术指标：
LP, HP
2. 设计出一个 H (z) ，使
如何设计 ？
H (e j )
BP, BS
满足给定的 技术要求 没有考虑相位
数字IIR滤波器设计的具体步骤：
给定数字滤波器的技术指标 p ,s , p ,s（更多）
即 2N个极点均匀分布在 s( p) 平面半径为 1
的圆上，应取左半平面的 N 个予 G( p) ，
右半平面的 N 个赋予 G( p)
？
则：
G(s) G( p) ps/p
p 反映 了实际频率
4.巴特沃思滤波器幅频响应的特点:
“最平”幅频 响应滤波器.
例：给定 如下技术指标，设计模拟低通 Butterworth滤波器

Cn1() cos(n1) cos(n)cos()sin(n)sin()
Cn1() cos(n1) cos(n)cos()sin(n)sin()
Cn1()2Cn()Cn1() Cn() 2Cn1()Cn2()
的多项式
C0() cos(0) 1
3. 滤波器的技术要求
低通：
p :通带截止(频 又率 称通带上限 ) 频率 s :阻带下限截止频率
p ：通带允许的最大衰减；
s ：阻带内应达到的最小衰减
p 20lg||HH((eejj0p))|| 20lg| H(ejp)|
s
| H(ej0)|
20lg |
H(ejs
Step2. Step3.
C 1 ;N lg1 0 3 0/1 0 1lg25
p k e x p [ j( k 2 )5 ] ,k 1 ,2 ,3 ,4 ,5
Step4. G ( p ) 1 ( p p 1 ) ( p p 2 ) ( p p 3 ) ( p p 4 ) ( p p 5 )
|
G(
j)
|2

1
1 C2(2)N
C为待定常数 ,N为待定的滤波器阶. 次
2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器
定 义C n 2( ) c o s2(n c o s 1 )
|G(j)|212C 1n2()
3. 切比雪夫II型滤波器
|
G(j)|2
12
1 CnC2n(2( s /s ) )2
C1() cos()
的确是 的多项式
C2() 2C1() C0() 22 1
C3() 2C2() C1() 43 3