任意角的三角函数公开课教案
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任意角三角函数学案页数:4
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任意角的三角函数导学案1页数:2
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1.2.1任意角的三角函数学案(一)页数:2
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【任意角的三角函数】教学教案
《任意角的三角函数》教学设计高一级王拴礼一、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。
因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。
学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
二、教学目标分析（一）知识与技能1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3．记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。
（二）过程与方法锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。
（三）情感、态度与价值观1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2．通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神．三、教学重点、难点分析（一）教学重点三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。
因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。
（二）教学难点本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，研究范围是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其学生的主体作用。
具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫。
人教课标版高中数学必修3《任意角的三角函数(第2课时)》教学设计
1.2.1 任意角的三角函数（第2课时）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握有向线段以及三角函数线的概念，会利用三角函数线表示三角函数值，体会数形结合的数学思想方法.（二）学习目标1．掌握有向线段的概念.2．掌握正弦线、余弦线、正切线的概念，并能利用三角函数线（几何形式）在单位圆中表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.3．三角函数线的运用，如利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.（三）学习重点1．三角函数线的概念及其运用.2．三角函数线的作法.3．理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性.（四）学习难点1．利用与单位圆有关的有向线段将任意角的三角函数值用几何形式表示.2．三角函数线的运用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页“练习”以下部分至第17页“阅读与思考”以上部分，并完成下列问题：①有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点，字母顺序不能任意调换)的线段，并规定：与坐标轴正方向同向时为正，与坐标轴正方向反向时为负.②如下图所示，单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.③当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.2．预习自测（1）已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么α的终边（）A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x或y=-x上答案：D解析：【知识点】正切线的概念.【数学思想】数形结合、分类讨论思想.【解题过程】当角α的正切线是单位长度的有向线段时，此时角α的终边落在直线y=x或y=-x 上.点拨：明确正切线的位置.（2）判断(正确的打“√”，错误的打“×”)①α一定时，单位圆的正弦线一定. （）②在单位圆中，有相同正弦线的角必相等. （）③α与α＋π有相同的正切线. （）答案：(1)√(2)×(3)√解析：【知识点】三角函数线概念辨析.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】①α一定时，sinα一定，正确；②当sinα一定时，角α不唯一，错误；③tanα=tan(α＋π)，正确.点拨：正确理解三角函数线的概念. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）单位圆的定义：以原点O 为圆心，单位长度为半径作的圆。
《任意角的三角函数》教学设计(可编辑修改word版)
《任意角的三角函数》教学设计高一级王拴礼一、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。
因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。
学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
二、教学目标分析（一）知识与技能1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。
（二）过程与方法锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。
（三）情感、态度与价值观1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2.通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神．三、教学重点、难点分析（一）教学重点三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。
因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。
（二）教学难点本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，研究范围是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其学生的主体作用。
具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫。
中职数学——8.2.1任意角的三角函数市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
课后作业
1.教材第88页 习题 2.《作业本》8.2.1
第26页
l
面积公式 : S 1 lR ， 2
S 1 | | R2 2
第2页
8.2.1 任意角三角函数
第3页
初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们
都是以锐角α为自变量，以比值为函数值，定义 了角α正弦、余弦、正切三角函数.
角范围已经推广，那么对任一角α是否也能 像锐角一样定义三角函数呢？
本节课我们研究当角α是一个任意角时，其三
由
sin tan
0 0
知 θ终边在第三或第四象限或与x轴非正半轴重合 θ终边在第一或第三象限
故角θ为第三象限角.
第22页
思考： 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3) (x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解
∵r＝
x2＋9，cos θ＝xr，∴ 1100x＝
P0(-3,-4)
tan
.
x cos 3
第12页
三角函数坐标定义 ： (见教材86页)
普通地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
第13页
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角正弦、余弦和正切值.
3
2
P(1 ,
3 ).
22
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
第9页
例1.求以下角正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 终边与单位圆交点坐标为 P(1, 0).
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角三角函数》教学设计一、教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
二、学生情况分析本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。
三、教学目标知识与技能目标：借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。
方法与过程目标：在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。
情感态度与价值观：在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。
四、教学重、难点分析：重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。
五、教学方法与策略：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用"启发探索、讲练结合”的方法组织教学.六、教具、教学媒体准备：为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维教学过程一、情景设置：问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的?（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评）/ P锐角三角函数的定义：在直角厶OAF中，/ A是直角，那么/问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表/示锐角三角函数呢？ _______/P（学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤 )建立平面直角坐标系，设点 P 的坐标为（x ，y ）,那么|OP|=J x 2 • y 2，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点 P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角:-的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点 P 的位置无关,可以利用相似三角形证明•教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，----- 仅与角〉有关• 问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗? 学生回答：对于确定的角：•，比值-,-,-都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角 :-的r r x函数•问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？r( . x 2 y 20)，我们规定:取r=1，即选取角:-终边与单位圆的交点为P （x ，y ），r ry贝U sin 二=y, cos 二=x, tanx三角函数正弦函数余弦函数正切函数对应法则自变量y*请你给出任意角的三角函数定义。
任意角的三角函数》教案
任意角的三角函数》教案任意角三角函数》教案教学目标：知识与技能目标：1.理解任意角的三角函数的定义；2.根据三角函数的定义，求出三角函数值；3.根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1.通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力；2.通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。
教学难点：三角函数值在各象限的符号；已知三角函数值来判断角的象限。
教具准备：直尺、多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练法教学过程：一、情景设置:问题1：初中时的锐角三角函数如何定义的？学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评）锐角三角函数的定义：在直角△OAP中，∠A是直角，那么问题2：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤）建立平面直角坐标系，设点P的坐标为（x，y），那么。
问题3：对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动）锐角的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P的位置无关，可以利用相似三角形证明。
教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P的位置无关，仅与角有关。
问题4：你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？学生回答）对于确定的角，比值都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角的函数。
问题5：终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？请你给出任意角的三角函数定义。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案关键信息1、课程名称：任意角的三角函数2、教学目标：学生能够理解任意角三角函数的定义。
掌握三角函数在各象限的符号。
能够运用三角函数解决简单的数学问题。
3、教学方法：讲授法练习法讨论法4、教学资源：教材多媒体课件练习册5、教学时长：具体时长6、教学评估：课堂提问作业完成情况考试成绩1、教学内容11 任意角的概念111 回顾锐角、直角、钝角等常见角的概念。
112 引入任意角的定义，包括正角、负角和零角。
113 通过实例说明任意角在实际生活和数学中的应用。
12 弧度制121 讲解弧度制的定义和与角度制的换算关系。
122 进行弧度制与角度制的转换练习。
13 任意角的三角函数定义131 以单位圆为基础，介绍正弦、余弦、正切函数的定义。
132 通过图形和实例，帮助学生理解三角函数的定义。
14 三角函数在各象限的符号141 分析三角函数在不同象限的正负情况。
142 给出记忆口诀，帮助学生快速判断符号。
15 三角函数的基本关系式151 推导同角三角函数的基本关系式。
152 通过例题和练习巩固关系式的应用。
2、教学方法21 讲授法211 教师系统地讲解任意角的三角函数的概念、定义和相关知识。
212 运用多媒体课件辅助讲解，使抽象的知识更加直观。
22 练习法221 安排学生进行课堂练习，及时巩固所学知识。
222 针对学生练习中出现的问题进行讲解和纠正。
23 讨论法231 组织学生讨论三角函数在实际问题中的应用，激发学生的思维。
232 鼓励学生分享自己的思考和见解，促进学生之间的交流与合作。
3、教学资源31 教材311 选择适合学生水平的教材，作为教学的主要参考资料。
312 引导学生合理利用教材中的例题和习题进行学习。
32 多媒体课件321 制作生动形象的多媒体课件，展示图形、动画等，帮助学生理解抽象概念。
322 课件内容包括教学重点、难点的讲解和例题的演示。
33 练习册331 选择配套的练习册，提供丰富的练习题，帮助学生巩固知识和提高解题能力。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案一、教学目标1、了解任意角的概念及其特点。
2、掌握任意角的三角函数的定义及其性质。
3、能够运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题。
二、教学重点与难点1、任意角的概念及其特点。
2、任意角的三角函数的定义及其性质。
三、教学准备1、教材：《数学教材》2、教具：黑板、粉笔等。
四、教学过程（一）任意角的概念及其特点（10分钟）1、引入：同学们，我们之前学过的三角函数是在直角三角形中定义的，那么在直角以外的三角形中，是否可以定义三角函数呢？请看下面的图形。
2、呈现：通过黑板上画出一般三角形，告诉同学们这样的三角形中可以定义任意角。
3、引导：我们称这样的角为任意角，那么任意角有什么特点呢？4、总结：任意角的特点是：角度大小可以是任意的，不限于某个固定角度。
（二）任意角的三角函数的定义及其性质（20分钟）1、引入：同学们，我们知道在直角三角形中，三角函数是通过三角比来定义的。
那么在任意角中，我们应该如何定义三角函数呢？2、定义：通过黑板上画出一个一般的任意角，引导同学们回忆起直角三角形中的正弦、余弦、正切三角比的定义，告诉同学们这些三角比的定义可以推广到任意角中。
3、总结：定义任意角的三角函数如下：正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。
4、性质：通过黑板上列举一些性质，告诉同学们这些性质与直角三角形中的三角函数性质相似，但是要根据勾股定理和正负分区来进行判断。
5、示例：通过黑板上画出一些示例题，引导同学们运用任意角的三角函数定义和性质进行计算。
（三）运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题（40分钟）1、引入：同学们，任意角的三角函数不仅可以用来计算角度大小，还可以用来解决与实际问题相关的应用题。
请看下面的例子。
2、示例：通过黑板上列举一些实际问题相关的计算和应用题，引导同学们运用任意角的三角函数来解决这些问题。
3、练习：同学们进行课堂练习，通过黑板上列举一些练习题，让同学们在课堂上进行解答。
《任意角的三角函数》教案
《任意角三角函数》教案教学目标：知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，求出三角函数值；3、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、 探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到 一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。
教学难点：三角函数值在各象限的符号；已知三角函数值来判断角的象限. 教具准备：直尺、多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练习法教学过程一、情景设置:问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，仅与角α有关.问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值xyr x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的OA Pα OA P αxy O A P α xyM N函数.问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案【教学目标】1.理解任意角正弦、余弦、正切的定义；2.能够计算任意角的三角函数值；3.掌握任意角的三角函数的性质；4.能够应用任意角的三角函数解决实际问题。
【教学重难点】1.理解任意角的定义；2.计算任意角的三角函数值。
【教学准备】黑板、白板、教材、练习题。
【教学过程】一、引入通过复习直角三角函数的概念，引出任意角的概念。
提问学生：直角三角形中的角度有哪几种？它们的值域是多少？二、任意角的定义1.说明概念：任意角是指不限于直角三角形中的角，可以是任何角度大小的角。
2.将单位圆引入：根据单位圆的定义，任意角可以与单位圆上的点相对应，点的轨迹为一条射线。
3.建立起角、终角概念，并表示成弧度制。
三、任意角的三角函数的定义1.正弦函数：在单位圆上，角对应的射线与x轴的正方向的交点的纵坐标与半径1的比值。
2.余弦函数：在单位圆上，角对应的射线与x轴的正方向的交点的横坐标与半径1的比值。
3.正切函数：在单位圆上，角对应的射线在y轴上的投影与角对应的射线在x轴上的投影的比值。
四、计算任意角的三角函数值1.计算正弦函数值：根据定义，根据单位圆上的点对应的纵坐标与半径的比值即可。
2.计算余弦函数值：根据定义，根据单位圆上的点对应的横坐标与半径的比值即可。
3.计算正切函数值：根据定义，根据单位圆上的点对应的纵坐标与横坐标的比值即可。
五、任意角的三角函数性质1.周期性：正弦函数的周期是2π，余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
2.对称性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
3.正弦函数和余弦函数的和差化积：根据角度和有理倍数关系，可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的乘积。
4. 余弦函数和正切函数的关系：根据定义式：cosθ=1/sinθ，可以得到余弦函数与正切函数的关系。
六、实际问题的应用通过例题及练习题，让学生熟悉如何利用任意角的三角函数解决实际问题，如距离、高度、速度等问题。
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任意角得三角函数（第一课时）教学目标1、掌握任意角得正弦、余弦、正切函数得定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角得余切、正割、余割函数得定义、2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义得推广过程,体验三角函数概念得产生、发展过程、领悟直角坐标系得工具功能,丰富数形结合得经验、3、培养学生通过现象瞧本质得唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化得辩证唯物主义世界观、4、培养学生求真务实、实事求就就是得科学态度、一、重点、难点、关键重点:任意角得正弦、余弦、正切函数得定义、定义域、(正负）符号判断法、难点：把三角函数理解为以实数为自变量得函数、关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值得确定性( α确定,比值也随之确定）与依赖性(比值随着α得变化而变化）、二、教学过程［执教线索:回想再认：函数得概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系）——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石：建立直角坐标系(为何？)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间得关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远：三角函数得要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业］(一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制与弧度制,这节课该研究什么呢？探索任意角得三角函数（板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景１)什么叫函数？或者说函数就就是怎样定义得？让学生回想后再点名回答,投影显示规范得定义，教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x得每一个值，ｙ都有唯一确定得值与它对应，那么就说y就就是ｘ得函数,ｘ叫做自变量,自变量x得取值范围叫做函数得定义域、现代定义：设A、B就就是非空得数集，如果按某个确定得对应关系f,使对于集合Ａ中得任意一个数,在集合B中都有唯一确定得数f(x）与它对应，那么就称映射ƒ:A→Ｂ为从集合A到集合B得一个函数，记作:ｙ=f(x)，x∈A,其中x 叫自变量,自变量x得取值范围A叫做函数得定义域、(情景2)我们在初中通过锐角三角形得边角关系,学习了锐角得正弦、余弦、正切等三个三角函数、请回想:这三个三角函数分别就就是怎样规定得？sinα=,conα=,tanα=,锐角得三角函数概念也能推广到,也可以互相讨论！(图1)留时间让学生独立思考或自由讨论,教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导、能推广吗?怎样推广?针对刚才得问题点名让学生回答、 用角得对边、临边、斜边比值得说法显然就就是受到阻碍了,由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了,学生一般会想到（否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角得三角函数、教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！把锐角α安装（如何安装?角得顶点与原点重合,角得始边与x 轴非负半轴重合）在直角坐标系中,在角α终边上任取一点Ｐ,作ＰＭ⊥ｘ轴于Ｍ,构造一个Rt ΔO ＭP,则∠ MOP=α(锐角），设Ｐ（ｘ,y)(ｘ>０、y ＞0）,α得临边ＯM ＝x 、对边MP=y,斜边长|O Ｐ∣=ｒ、根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α得正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：?,比值会改变吗?,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说绕原点O 旋转即α在锐角范围内变化,六个比值随之变化得直观形象。
结论就就是:比值随α得变化而变化、引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现:对于锐角α得每一个确定值,确定得,不会随P 在终边上得移动而变化、得出结论(强调）：当α为锐角时，六个比值随α得变化而变化；但对于锐角α得每一个确定值，六个比值都就就是确定得,不会随P 在终边上得移动而变化、 所以,六个比值分别就就是以角α为自变量、以比值为函数值得函数、 (三）分析归纳、自主定义(情境5)能将锐角得比值情形推广到任意角α吗?水到渠成,师生共同进行探索与推广:对于一个任意角α，它得终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析):终边分别在四个象限得情形: 终边分别在四个半轴上得情形：表明角具有任意性)?研究它得六个比值： α终边上除原点外任意取一点P(x,y),P 与原sin α==,con α==,tan α== ?= ?= ?= P(x,y) y x O· P(x,y) y x O · yxO P(x,y) y x O·点Ｏ之间得距离记作r(r=＞0),列出六个比值:α=ｋπ+π/２时,ｘ=0,比值 ｙ/x 、ｒ/ｘ 无意义;α＝ k π时,ｙ=0,比值x ／ｙ、r ／y 无意义、追问:α大小发生变化时,比值会改变吗?先让学生想象思考,作出主观判断，再用几何画板动画演示,同时作好解释说明:使r 保持不变，Ｐ绕原点O 逆时针、顺时针旋转即角α变化,六个比值随之改变得直观形象。
结论就就是:各比值随α得变化而变化、再引导学生利用相似三角形知识,探索发现: 对于任意角α得每一个确定值,六个比值都就就是确定得，不会随P 在终边上得移动而变化、综上得到(强调)：当角α变化时，六个比值随之变化;对于确定得角α, 六个比值(如果存在得话)都不会随P 在角α终边上得改变而改变,六个比值就就是确定得(对应得多值性即诱导公式一留到下节课分析)、因此,六个比值分别就就是以角α为自变量、以比值为函数值得函数、根据历史上得规定，对比值进行命名,指出英文记法与读法,记作(承前作复合板书):=s ｉn α(正弦) =cos α(余弦) =tan α(正切)=csc α(余割) =sec (正弦） =co ｔα(余切）教师强调:ｓin α表示ｓin 与α得乘积吗？不就就是,ｓi ｎα就就是函数记号,就就是一个整体,相当于函数记号f(x)、 其它几个三角函数也如此投影显示图六,指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵:,)、 ,,角函数值、 因此,(板书)三角函数可以瞧成就就是以实数为自变量得函数,这将为以后得应用带来很多方便、（四）探索定义域(情景6)(1)函数概念得三要素就就是什么?函数三要素：对应法则、定义域、值域、正弦函数s ｉn α得对应法则就就是什么?正弦函数s ｉn α得对应法则,实质上就就就是ｓin α得定义：对α得每一个确定得值,有唯一确定得比值ｙ／r 与之对应,即α→ ｙ/r= ｓin α、(2）布置任务情景：什么就就是三角函数得定义域?请求出六个三角函数得如果没有特别说明,那么使解析式有意义得自变量得取值范围叫做函数得定义域,三角函数得定义域自然就就是指：使比值有意义得角α得取值范围、关于si ｎα=y/r 、cos α=x/r,对于任意角α(弧度数),r>0,y/r 、x/ｒ恒有意义，定义域都就就是实数集R 、对于ｔa ｎα=y/x,α= ｋπ＋π／2 时x=0,y/x 无意义，tan α得定义域就就是:{α|α∈R,且α≠ｋπ+π/2 ｝、 … … …教师指出: ｓin α、cos α、t ａｎα得定义域必须紧扣三角函数定义在理解得基础上记熟,c ｏｔα、cs ｃα、sec α得定义域不要求记忆、(关于值域,到后面再学习)、(五)符号判断、形象识记(情景7）能判断三角函数值得正、负吗?试试瞧!引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析,r>０,三角函数值得符号决定于x 、ｙ值得正负，根据终边所在位置总结出形象得识记口诀:（同好得正、异号得负) sin α＝ y/ｒ:上正下负横为0 cos α=x ／r:左负右正纵为0 ｔａn α=y/x:交叉正负 练习巩固、理解记忆1、自学 例1:已知角α得终边经过点P(2,-3),求α得六个三角函数值、 要求:读完题目,思考:计算什么?需要准备什么？闭目心算,对照解答,模仿书面表达格式,巩固定义、课堂练习:p19题1:已知角α得终边经过点P(－３,-１),求α得六个三角函数值、 － y － ＋ ＋ x － y ＋ － ＋ x ＋ y－ － ＋ x要求心算,并提问中下学生检验,---- －---点评：角α终边上有无穷多个点,根据三角函数得定义，只要知道α终边上任意一个点得坐标,就可以计算这个角得三角函数值(或判断其无意义)、补充例题:已知角α得终边经过点P(x,-3）,coｓα=4/5,求α得其它五个三角函数值、师生探索：已知y=－3,要求其它五个三角函数值，须知r=?,x=？、根据定义得＝（方程思想), x>0,解得x＝4,从而--－- ----、解答略、2、自学例２：求下列各角得六个三角函数值:(１）0;(2)π/2；(3）3π/2、提问,据反馈信息作点评、修正、师生探索:紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。
终边在哪儿呢?取定哪一点呢？任意点、还就就是特殊点？要灵活,只要能够算出三角函数值,都可以。
取特殊点能使计算更简明。
处理:要求取点用定义求解,针对计算过程提问、点评，理解巩固定义、强调:终边在坐标轴上得角叫轴线角，如0、π／2、π、３π/2等,今后经常用到轴线角得三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值、（六）回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记,提问检查并强调:1、您就就是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角得?或者说任意角三角函数具体就就是怎样定义得？(建立直角坐标系，使角得顶点与坐标原点重合，－--，在终边上任意取定一点P,－--)2、您如何判断与记忆正弦、余弦、正切函数得定义域?（根据定义,－-－－--)3、您如何记忆正弦、余弦、正切函数值得符号?（根据定义,想象坐标位置，－--－－)（七)布置课外作业1、书面作业:习题４、３第3、4、5题、2、认真阅读ｐ22“阅读材料:三角函数与欧拉”,了解欧拉得生平与贡献,。