任意角的三角函数导学案1

1.2.1任意角的三角函数＜第一课时＞学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义理解正弦、余弦、正切函数的定义域。

2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值相关的一些简单问题重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义。

教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号教学过程(一)提出问题问题1:在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗问题2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗如图，设锐角a的顶点与原点0重合,始边与X轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限•在a 的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r= a2 b2＞0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段0M的长度为a线段MP的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义，我们有MP b OM a MP bsin a= =—，cos a= =—，tan a= =—OP r OP r OP a问题3:如果改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？问题4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化(二)新课导学1、单位圆的概念:.在直角坐标系中，我们称以__________ 为圆心,以 ___________ 为半径的圆为单位圆2、三角函数的概念我们能够利用单位圆定义任意角的三角函数.如图2所示，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：(1)y叫做a的正弦，记作sin即sin a =y;(2)X叫做a的余弦，记作cos a即cos a =X；(3)—叫做a的正切，记作tan o即卩tan a= (x工0).X X所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数注意：(1)正弦、余弦、正切、都是以角为自变量 ，以比值为函数值的函数•(2)由相似三角形的知识，对于确定的角 a 这三个比值不会随点 P 在a 的终边上的 位置的改变而改变•3、例1 求 5的正弦、余弦和正切值•思考：若把角5、探究三角函数值在各象限的符号三角函数 定义域sincostan探究三角函数的定义域 4、 练习1:已知角B 的终边经过点 P( 12,5)，求角B 正弦、余弦和正切值。

4-04 §1.2.1 任意角的三角函数（1）姓名 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2. 理解任意角的三角函数不同形式的定义方法；α的各三角函数值.一学案（一） 课前准备1预习：教材P 11～ P 13，找出疑惑之处。

2复习（1）：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.① 坐标轴上；②第二、四象限.复习（2）：锐角的三角函数的定义如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点的距离0r >. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==； cos α= = ； tan MPOMα== . （二） 新课导学1任意角的三角函数的定义问题1： 将点(,)P x y 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sin MP OP α== ；cos OMOP α== ；tan MPOMα== .问题2：由上可知，锐角α的三角函数值可以用α终边上一点的坐标表示. 那么角的概念推广以后，任意角的三角函数能不能用其终边上一点的坐标来表示呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点(,)P x y ，使这个点到原点的距离为(0)r r >，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?单位圆定义任意角的三角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1） 叫做α的正弦(sine)，记做sin α； （2） 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；（3）yx叫做α的正切(tangent)，记做tan α. 即：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠.试一试：角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3sin 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= .反思： ①当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于 ，所以 无意义.② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ，则：sin yrα=；cos α= ； tan α= . 2例题选讲 例1 求53π的正弦、余弦和正切值.例2已知角α的终边经过点P (2，－3)(如图)，的正弦、余弦和正切值.二练习案1. tan()4π-=（ ）.A. 1B. 1-C.D. 2. 7sin6π=（ ）.A. 12B. 12-3. 如果角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴重合，终边在函数5(0)y x x =<的图象上，那么tan α的值为（ ）. A. 5 B. －5 C. 15D. 15-4. cos(30)-︒= .5. 已知点(3,4)P a a -(0)a ≠在角α的终边上，则tan α= .6.角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3s i n 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= .7. 求下列各角的正弦、余弦和正切值.（1）0 ； （2）π ；. （3）32π； （4）2π8.求56π的正弦、余弦和正切值. 1. 求下列各角的正弦、余弦和正切值： （1）32π； (2) 56π;（3）73π； （4）－94π.9. 已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.10.已知角α的终边经过P(4,-3)，求2sinα+cosα的值.11. 已知角α的终边在直线y＝2x上，求α的正弦、余弦和正切值.1. 单位圆定义任意角的三角函数；.知识拓展α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为r（1）xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；（2）rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；（3）ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差。

注重数形结合的“任意角的三角函数的定义”导学案【关键词】数形结合法三角函数定义导学案新课堂模式下，导学案的编写是非常重要的，它是学生学习新知识，形成独立思维的导航图，是课堂顺利、有效进行的方向标。

下面笔者结合具体案例，谈谈导学案的设计。

【导学目标】从数与形上理解任意角的三角函数概念，会利用定义及图形求三角函数值的问题。

【导学过程】问题引入：现实世界中有很多周期性的现象（比如钟表的指针），所形成的角不一定是锐角，那么我们又该怎样计算它们的三角函数值呢？如求sin180°=？一、独学1.初中锐角三角函数是如何定义的？请画图说明。

2.根据你所画的图形填空：sinα=________,cosα=________，tanα=________.二、群学活动1：初中学过锐角三角函数，是以为自变量，以为函数值的函数。

能否在直角坐标系中用角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数？我们把锐角α的顶点与原点O重合，始边与轴非负半轴重合，那么角α的终边在第一象限，在α终边上任取一点P（x，y）；tanα=________=________.【小组展示1】让点P在a角的终边上移动，与点O及点P不重合，得到P’（如图2），对于确定的角a，这三个比值不会随点P在α终边上位置的改变而改变。

活动2：根据小组展示1，取OP=1，即在单位圆中（如图3），可以用直角坐标系下角α终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数，sinα=________=________；cosα=________=________；tanα=________=________.活动3：锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示，画出钝角，同时，另外再画任意一个角，找出角的终边与单位圆的交点，能否用单位圆上点的坐标表示？你发现了什么规律？【小组展示2】角可以推广到实数表示的任意角，那么任意角是否也能像锐角一样定义三角函数，应如何设法定义？（如图4）把任意放在直角坐标系中，那么角α的终边与单位圆交于点P（x，y），那么siα=________=________；cosα=________=________；tanα=________=________.活动4：（1）让α角的终边旋转，当a=2k?仔+?仔（k∈Z）时，a的终边横坐标x=0，所以tana无意义，除此之外对任意角a，正弦、余弦、正切都是以角为，以单位圆上点坐标或坐标比值为的函数。

课题： 任意角的三角函数【学习目标】1. 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.；2. 借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号；3. 通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．第一环节：导入学习（激情导入）（约3分钟）问题一：回忆学过的锐角三角函数的定义问题二：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗； 问题三：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟） （一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）[预习导引]1．任意角的三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x .2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用） 要点一 三角函数定义的应用例1 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10kk ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值为sin α＝ba 2＋b 2，cos α＝a a 2＋b 2，tan α＝ba .要点二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.(2)∵θ是第二象限角，∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.规律方法 由三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx(r >0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P (x ，y )的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．要点三 诱导公式一的应用 例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 规律方法 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．第三环节：互助学习（约7分钟）1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45 答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 答案 A解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3， ∴r ＝2，∴cos α＝12.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y2＝35，∴32＋y 2＝5， ∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ . 答案32解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 5．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．3．要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值．第四环节：展示学习（约7分钟）第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟）1. 角的定义；2. 终边相同的角；3. 象限角。

§1.2.1任意角的三角函数（课前预习案）
班级：___ 姓名：________ 编写：
一、新知导学
1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）
的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r ，那么（1）比值
y r
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（2）比值x r 叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（
3）比值y x
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（4）比值x y
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（5）
比值r x
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿； （6）比值r y 叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿. 2.三角函数在各象限的符号
①正弦值sin y r α=
对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负；②余弦值cos x r
α=对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负；③正切值tan y x α=对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负．
3．三角函数的定义域。

二、课前自测 1、设sinθ<0且cosθ>0，确定θ是第 象限角。

2、tan()4x π+
的定义域为（ ） A 、x≠kπ B 、2x k π
π≠+ C 、4x k π
π≠+ D 、4x k π
π≠-
3、已知点P （tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在 象限。

250；672)；。

山西省原平市第一中学2012-2013学年高一数学任意角的三角函数导学案一、学习目标：1、理解任意角三角函数的定义；2、了解三角函数的定义域2、会求特殊角的三角函数值；3、体会类比，数形结合的思想二、文本研读（一）阅读教材P11——P12例1上方的内容回答下列问题1、锐角三角函数在直角坐标系下是如何定义的？2、OP的长度r=1的思想你知道吗？3、锐角三角函数是用什么表示的？并写出结果4、任意角的三角函数定义的思想是什么？并写出结果5、你能说出三角函数的定义域吗？并写出结果（二）阅读教材探究你会确定三角函数值的符号吗？写出并熟记三、知识应用1、阅读例1你有不懂得地方吗？你认为计算任意角的三角函数值应知道什么？2、用例1的方法计算下列各角的正弦、余弦、正切值（1）0 （2）π （3）2π3、阅读例2你知道方法吗？完成下题 已知角α的终边在直线y=x 上，求角α的正弦、余弦、正切值4、阅读例3学会解题完成教材P21第95、阅读P14公式（一）及例4知道道理吗？完成教材P15第56、阅读例5完成教材P15第7四、实战演练一、选择题1、在∆ABC 中，下列函数值中可以是负值的是（ ） A.sinA B.tan 2A C.cos 2C B + D.tanA 2、已知tan α·cos α>0,ααsin tan 1<0,则α是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 x 的集合为（A 、{-6π，π611} B 、{π65，π67} C 、{π67，π611} D 、{π65，π611} 4、下列各式中为正号的是（ ）A.cos2-sin2B.cos2·sin2C.tan3·2cos 1 D.sin2·tan2 二、填空1.已知角α终边上一点P(-4,3),则cos α·sin α=2．在∆ABC 中，若tanA ·tanB ·tanC 〈0，那么这个三角形的形状是 三、解答题1．确定下列三角函数值的符号（1）sin156。

课题：3.2.1 任意角的三角函数（第一课时）一 教学目标1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.二 教学重难点：重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。

难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.三 复习回顾：复习1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上； （2）第二、四象限.复习2：锐角的三角函数如何定义？在初中，我们如果要求一个锐角的三角函数值，经常把这个角放到一个直角三角形 中求其比值，从而得到锐角三角函数的值。

那么， 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便的去求一个锐角的三角函数值吗？我们可以采用以下方法：如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的 非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点的距离220r a b =+>. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .可得：sin MP b OP r α==；cos α= = ，tan MPOM α== . 四、新课学习：知识点1：三角函数的定义认真阅读教材P 11-P 12，领会下面的内容：由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变，因此我们可以将点P 取在使线段OP 的长为r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示的锐角三角函数的值为：sin MP OP α==_____；cos OM OP α==_____；tan MPOMα==___问题：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何得到任意角的三角函数呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值.注：单位圆：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 上述的点P 就是α的终边与单位圆的交点，这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐标表示。