1.2.1任意角的三角函数学案(一)

甘肃省永昌县第一中学高一数学：§1.2.1 任意角三角函数（1）1.掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2.掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.任意角的正弦，余弦，正切的定义.三角函数的值在各象限的符号.二、自主学习复习：初中锐角三角函数如何定义？预习课本第11到第14页，并完成导学预案自主预习内容三、合作探究探究一：任意角的三角函数的定义新知：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y，那么：（1）叫做α的正弦，记做sinα，即。

（2）叫做α的余弦，记做cosα，即。

（3）叫做α的正切，记做tanα，即。

探究二：三角函数符号问题：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第、象限为正（0,0y r>>），对于第、象限为负（0,0y r<>）。

②余弦值xr对于第、象限为正（0,0x r>>），对于第、象限为负（0,0x r<>）。

③正切值yx对于第、象限为正（,x y同号），对于第、象限为负（,x y异号）。

记忆法则：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。

探究三：诱导公式问题：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？新知：诱导公式一sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ， 其中k Z ∈。

其作用是把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

四、精讲点拨例1、求56π的正弦、余弦和正切值。

例2、已知角α的终边经过点P(2，－3)，求角α的正弦、余弦和正切值。

知识拓展：α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则：sin α= ；cos α= ； tan α= 。

五、达标检测1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（ ）A ．－55B ．－ 5C ．552D ．25 2、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．tan 1α 4、已知角θ的终边在直线y = 33 x 上，则sin θ= ；θtan = 。

4-04 §1.2.1 任意角的三角函数（1）姓名 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2. 理解任意角的三角函数不同形式的定义方法；α的各三角函数值.一学案（一） 课前准备1预习：教材P 11～ P 13，找出疑惑之处。

2复习（1）：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.① 坐标轴上；②第二、四象限.复习（2）：锐角的三角函数的定义如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点的距离0r >. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==； cos α= = ； tan MPOMα== . （二） 新课导学1任意角的三角函数的定义问题1： 将点(,)P x y 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sin MP OP α== ；cos OMOP α== ；tan MPOMα== .问题2：由上可知，锐角α的三角函数值可以用α终边上一点的坐标表示. 那么角的概念推广以后，任意角的三角函数能不能用其终边上一点的坐标来表示呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点(,)P x y ，使这个点到原点的距离为(0)r r >，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?单位圆定义任意角的三角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1） 叫做α的正弦(sine)，记做sin α； （2） 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；（3）yx叫做α的正切(tangent)，记做tan α. 即：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠.试一试：角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3sin 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= .反思： ①当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于 ，所以 无意义.② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ，则：sin yrα=；cos α= ； tan α= . 2例题选讲 例1 求53π的正弦、余弦和正切值.例2已知角α的终边经过点P (2，－3)(如图)，的正弦、余弦和正切值.二练习案1. tan()4π-=（ ）.A. 1B. 1-C.D. 2. 7sin6π=（ ）.A. 12B. 12-3. 如果角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴重合，终边在函数5(0)y x x =<的图象上，那么tan α的值为（ ）. A. 5 B. －5 C. 15D. 15-4. cos(30)-︒= .5. 已知点(3,4)P a a -(0)a ≠在角α的终边上，则tan α= .6.角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3s i n 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= .7. 求下列各角的正弦、余弦和正切值.（1）0 ； （2）π ；. （3）32π； （4）2π8.求56π的正弦、余弦和正切值. 1. 求下列各角的正弦、余弦和正切值： （1）32π； (2) 56π;（3）73π； （4）－94π.9. 已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.10.已知角α的终边经过P(4,-3)，求2sinα+cosα的值.11. 已知角α的终边在直线y＝2x上，求α的正弦、余弦和正切值.1. 单位圆定义任意角的三角函数；.知识拓展α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为r（1）xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；（2）rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；（3）ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差。

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;根据任意角的三角函数的定义认识其定义域,能够判断三角函数值的符号.
2、过程与方法:
学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义,体验三角函数概念的形成、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,渗透函数思想和数形结合的思想方法.
3、情感态度价值观:
通过学生积极参与知识的“再创造”过程,从中感悟数学概念的严谨性与科学性.
2学情分析
对于学习任意角三角函数而言,学生的认知困难主要体现在用终边上点的坐标表示三角函数,把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
3重点难点
1、教学重点
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
2、教学难点
用角终边上点的坐标定义任意角的三角函数.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、设置情境引入新课
情景1.感受生活中周期性现象:周二的七天一循环、一岁一枯荣的小草、摩天轮等。

1．2．1 任意角的三角函数（1）【学习目标】1.能举例说明任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；能记住三角函数的定义域、值域和各种函数值在各象限的符号；2.通过对三角函数定义的探究，使同学们认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角 度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式，明白三角函数又是以实数为自变量的函数；3.通过探究，明白方程与函数的思想、数形结合的思想、转化的思想在三角函数的运用；提高同学们分析、探究、解决问题的能力，培养同学们严谨治学、一丝不苟的科学精神.【学习重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义及函数的定义域、函数值在各象限的符号【难点提示】对用角的终边上的点的坐标（比值）来刻画三角函数的理解.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1118P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备在前面我们学习了函数的概念、性质，一些特殊函数（包括初中的锐角三角函数、三角形、圆等知识）的概念、性质，任意角的概念等，请同学们回顾后完成下列填空：（1）函数的概念是 ； （2）在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则sinA= 、CosA= ；tanA= ；（3）任意角指的是 ；象限角指的是 ； （4）与α同终边的角的集合S 为 ； （5）两个三角形相似如何判定、有哪些性质与结论？（6）圆的概念怎样？圆的圆心可为原点吗？圆的半径可以取一个单位吗？在（2）中显然是锐角的三角函数的定义，怎样将锐角的三角函数推广到任意角呢？这就是我们本节课要研究的问题！二、学习探究 （一）三角函数定义思考猜想 我们对上面（2）中的锐角三角函数的定义作深入的思考，这个函数的定义域是什么？值域是什么？对应法则是什么？其中最为核心的什么？那么在平面坐标系中确定一个任意角α的大小与什么联系的最为紧密？是不是这个角的终边？终边又是什么构成的呢？是不是点？点是不是用坐标表示？请同学们大胆猜想，能不能用任意角α上任意一点P 的坐标来定义α的三角函数！ 归纳概括 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(),x y ，P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，过点P作X 轴的垂线，设垂足为M ，构造出Rt POM ∆.那么，我们类比锐角三角函数，可得：（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=（3）比值(0)y x x ≠叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=（请同学们用函数的概念判定上面三个式子能不能构成角α的函数呢？链接1）任意角三角函数定义：对于确定的值α，在α终边上取任意一点P （除了原点）的坐标为(),x y ，设P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，则比值yr、x r 、y x 分别角α的正弦、余弦、正切，即：sin y r α=、cos x r α=、tan yx α=分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为三角函数.阅读对比 请同学们仔细阅读教材，比较教材上的定义与上面的定义有哪些区别与联系？教材中取得点是一个定点，上面的定义中取的什么点？结果一样嘛？为什么？（链接2）2.已知角α的终边经过点)4,3(--P ，求α的正弦、余弦、正切值. 解：解后反思 你能从这快乐体验中两道题的解答感悟到什么吗？如：各用什么方法求解的？用到什么数学思想？在第2题中满足4sin 5α=-的有多少角？这些角有何关系？ 挖掘拓展 （1）三角函数定义中的比值的大小与P 点在终边上的位置无关； （2）三角函数的定义域：sin y α=的定义域 、cos y α=的定义域 ； tan y α=的定义域 ；（为什么？） （3）三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号可得：①正弦sin yr α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负； ②余弦cos xr α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；③正切tan yxα=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；记忆法则： 一全正，二正弦，三切，四余弦，其余均为负.（4）终边相同角的三角函数的关系（诱导公式一）（链接3）；sin(2)____cos(2)____k k απαπ+=+=；；tan(2)____k απ+=∈（其中k Z ） （5）另三个三角函数， cot x y α=、sec rxα=、csc r y α=分别叫角α的的余切、正割、余割函数（类比上面（2）（3）（4），对这三个函数有怎样的结论？链接4）. 三、典例赏析例1（教材P13的例3.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：解后反思 你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？变式练习 教材P15练习第6题. 解：例2 （教材P14的例4、例5.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：解后反思 你的解法与教材解法相同吗？有哪些区别？你的解法是最简洁的方法吗？ 求解的过程中用到了哪些数学知识与思想方法？（链接5）变式练习 已知sin 0α<且tan 0α>，试判断tan ,sincos222ααα的符号．解：例3.已知点P (3,-4)r r (0)r ≠在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值． 解：解后反思 求解该题的关键在哪儿？易错点在哪儿？变式练习 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=， 求cos ,sin αα,αtan 的值． 解： 四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：任意角三角函数的概念理解了吗？各函数的定义域知道了吗？三角函数值在各象限的符号如何记忆？ 公式一掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价 1．已知角α的终边过点（6,-8），则αtan =（ ）．43.A 43.-B C ．34- D ． 342.有下列命题：（1）在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． （2）若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上的一点，则22cos yx x +-=α（3）若αsin >0，则α是第一,第二象限的角.其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 3.若在则ααα,0cos sin <⋅ 象限．4.已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，求a 的取值范围. 解：5.求函数|cos ||tan |cos tan x x y x x=+的值域 解：6.若角θ的终边过点()8，a P ，且53cos -=θ，求a 的值． 解：【学习链接】链接1.对于任意给定的值α，都分别有一个唯一确定的比值（实数）y r 、x r、yx 与之对应，所以sin y rα=、cos x r α=、tan yx α=均分别能构成角α的函数.链接2.教材上的定义与学案的定义本质是一样（由三角形相似成比例），教材上的定义是取点P 为角α的终边与单位圆的交点P （x ，y ），此时1OP r ==，从而有sin ,cos ,tan y y x xααα===. 链接3. （1）公式一的文字语言表述为：终边相同的角的同一三角函数的值相等； （2）公式一的作用：利用它可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到π2（或00~0360）链接5.用到了三角函数的概念、公式一；运用了公式法；借助计算器求解.。

1.2.1 任意角的三角函数(一)自主探究1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ；③y x 叫做α的正切，记作y x ，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .解 以α＝2π为例，其余略．设P (x ，y )为α＝32π上一点，易知点P (x ，y )在y 轴负半轴上．∴x ＝0，y <0，r ＝x 2＋y 2＝－y >0.∴sin 32π＝y r ＝－1；cos 32π＝x r ＝0；tan 32π＝yx ，无意义．名师点拨1．对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．(4)符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．2．诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．典例剖析一、利用定义求任意角的三角函数值例1 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值． 解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a .∴r ＝－15a 2＋a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.点拨 已知角终边一点求三角函数值，关键在确定该点的坐标，根据三角函数定义求解，同时应注意一些字母符号．二、判断三角函数值的符号例2 若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ答案 C解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0. 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角，∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0， 从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．点拨 根据三角函数值的符号判断角所在的象限时，可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．三、诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值．(1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π3 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 点拨 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．变式训练1．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．解 sin α＝y3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得：y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，cos α＝－34，tan α＝73. 2．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 答案 C解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 3．求下列各式的值．(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.一、选择题1．sin 210°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 答案 D2．若cos θ>0且sin 2θ<0，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D3．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33答案 B4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3 D．5 答案 A解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.二、填空题5．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________． 答案 负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0， ∵π<4<32π，∴tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.6．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.7．设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是________．答案 ±15解析 当t >0时，r ＝10|t |＝10t .sin α＝－45，cos α＝－35，sin α－cos α＝－15.当t <0时，r ＝10|t |＝－10t .sin α＝45，cos α＝35，sin α－cos α＝15.8．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 三、解答题9．已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 ∵r ＝x 2＋9，cos θ＝x r，∴1010x ＝xx 2＋9. ∵x ≠0，∴x ＝±1.∵y ＝3>0，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.10．已知α是第三象限角，试判定sin(cos α)·cos(sin α)的符号． 解 α是第三象限角，则有：cos α<0且－1<cos α<0，sin α<0且－1<sin α<0，进而有cos α是第四象限角，所以sin(cos α)<0，sin α是第四象限角，所以cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0.。

《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。

2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。

在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。

《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。

所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。

如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

1.2.1 任意角的三角函数（1）教学目标：1、借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

2、目标在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力3、在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

教学重、难点：根据定义求三角函数值。

教学过程：一、复习回顾：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则 ,,a b a sinA cosA tanA c c b === ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、新课讲解：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么 特别地：当1=r 时有（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y rα=； y =αsin （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； x =αcos （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； xy =αtan （)0≠x 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y xα=无意义； ④除上述情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上三个函数统称为三角函数。

鸡西市第十九中学学案
问题2 如图，锐角任取一点P (a ，b OP r ==；= = ；OM
== .
问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于tan α＝ .
【单位圆定义任意角三角】么： 叫做α的正弦，记作α，即cos α＝ ；y
x
叫做
【终边定义定义任意角的三角函数】
试一试：
角34π与单位圆的交点坐标为角2π与单位圆的交点坐标为小结：根据三角函数的定义可知，三角函数是一个和点P (x ，y )离原点的距离无关
三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．
判断下列各式的符号：
cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan
若sin αcos α<0，则α是第________象限角．
代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．。