人教版高中数学必修四学案 任意角的三角函数(1)

§ 1.2.1 任意角三角函数（1）..…学习目标1. 掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2. 掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.学习过程一、课前准备（预习教材Pn~ P15，找出疑惑之处）在初中，我们利用直角三角形来定义锐角三角函数，你能说出锐角三角函数的定义吗？探探索新知问题1:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？问题2:改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么?问题3:怎样将锐角三角函数推广到任意角?问题4:锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关, 与直角三角形的大小无关，任意角的三角函数大小有无类似性质？问题5:随着角的确定，三个比值是否唯一确定？依据函数定义，可以构成一个函数吗？问题6:对于任意角的三角函数思考下列问题：①定义域；②函数值的符号规律③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？④终边相同的角相差2的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系?例1已知角的终边经过点P (2,-3), 求2sin cos tanA. (2k ,(2k 1) ) , k ZB. [2k -,(2k 1) ] , k Z2C [k 2,(k 1) ]，k Z变式训练⑴：已知角的终边经过点P (2a, -3a ) (a 0),求2sin cos tan 的值.变式训练⑵：角的终边经过点P (-X , -6 )且cos5，求X的值.13例2:确定下列三角函数值的符号7(1) cos 12 (2)s in (-465 o) (3)tan11变式训练⑴:若cos >0且tan <0，试问角为第几象限角变式训练⑵:使sin cos<0成立的角的集合为( )A.k k,k Z12B2k2k,k Z12C.2k 32k 2 ,k Z 2D.2k2k Z122动手试试1、函数、• sin x cosx的定义域是(D. [2k ,(2k 1) ] , k Z2、若B 是第三象限角，且 COS —0,则一是() 2 2 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D •第四象限角3、已知点P ( tan ,cos )在第三象限，则角在 () A 第一象限B •第二象限 C.第三象限D •第四象限三角函数的定义及性质， 特殊角的三角函数值， 三角函数的符号问题 符号规律可概括为：“一正二正弦，三切四余弦” .丄 学习评价探 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：1、若角a 终边上有一点 P(a,|a|)(a R 且a 0)，则Sin 的值为J2 &2 A 、二 B 、一二 22— C 土上2D 、以上都不对2 2、下列各式中不成立的一个是() A cos260 0 B 、tan( 1032 ) 06 17C sin 0D 、tan 1^ 0 5 3 3、已知a 终边经过 P( 5,12)，则sin .4、若a 是第二象限角，则点 A(sin ,cos )是第 几 ____________ 象限的点4、已知 sin tan> 0,则的取值集合为 各象限的三角函数的5、已知角0的终边在直线y = x 上，3贝H sin 0 = _______ ; tan = ___________ .7、(1)已知角 的终边经过点P(4, — 3)，求2sin +cos 的值; (2)已知角 的终边经过点 P(4a, — 3a)(a 丰0)，求2sin +cos(3)已知角 终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3 ： 4 (且均不为零)， 求2sin +cos 的值. 尹课后作业6、设角x 的终边不在坐标轴上，求函数 sin x cosx tanx |sinx| | cosx| |tanx| 的值域• 的值;。

1.2.1 任意角的三角函数(一)自主探究1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ；③y x 叫做α的正切，记作y x ，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .解 以α＝2π为例，其余略．设P (x ，y )为α＝32π上一点，易知点P (x ，y )在y 轴负半轴上．∴x ＝0，y <0，r ＝x 2＋y 2＝－y >0.∴sin 32π＝y r ＝－1；cos 32π＝x r ＝0；tan 32π＝yx ，无意义．名师点拨1．对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．(4)符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．2．诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．典例剖析一、利用定义求任意角的三角函数值例1 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值． 解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a .∴r ＝－15a 2＋a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.点拨 已知角终边一点求三角函数值，关键在确定该点的坐标，根据三角函数定义求解，同时应注意一些字母符号．二、判断三角函数值的符号例2 若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ答案 C解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0. 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角，∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0， 从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．点拨 根据三角函数值的符号判断角所在的象限时，可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．三、诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值．(1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π3 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 点拨 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．变式训练1．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．解 sin α＝y3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得：y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，cos α＝－34，tan α＝73. 2．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 答案 C解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 3．求下列各式的值．(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.一、选择题1．sin 210°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 答案 D2．若cos θ>0且sin 2θ<0，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D3．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33答案 B4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3 D．5 答案 A解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.二、填空题5．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________． 答案 负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0， ∵π<4<32π，∴tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.6．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.7．设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是________．答案 ±15解析 当t >0时，r ＝10|t |＝10t .sin α＝－45，cos α＝－35，sin α－cos α＝－15.当t <0时，r ＝10|t |＝－10t .sin α＝45，cos α＝35，sin α－cos α＝15.8．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 三、解答题9．已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 ∵r ＝x 2＋9，cos θ＝x r，∴1010x ＝xx 2＋9. ∵x ≠0，∴x ＝±1.∵y ＝3>0，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.10．已知α是第三象限角，试判定sin(cos α)·cos(sin α)的符号． 解 α是第三象限角，则有：cos α<0且－1<cos α<0，sin α<0且－1<sin α<0，进而有cos α是第四象限角，所以sin(cos α)<0，sin α是第四象限角，所以cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0.。

2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。

1-21《任意角的三角函数》导学案【学习目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角u的正眩、余眩、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示岀來；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.［重点难点】重点:''任金角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点：任意角的正弦、余眩、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.【学法指导】1.了解三角函数的两种定义方法；2.知道三角函数线的基木做法.【知识链接】：根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.三、提出疑惑【学习过程】（一）复习：1、初中锐角的三角函数 ______ - ___________________________ ____________________________2、在RtAABC中，设A对边为a, B对边为b, C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为（二）新课：1.三角函数定义在直角坐标系屮，设a是一个任意角，a终边上任意一点P （除了原点）的坐标为（X, y）,它与原点的距离为心=+ 〉0）,那么（1）________ 比值 ________________________ 叫做U的正眩，记作,即（2）________ 比值叫做a的余弦，记作,即（3）________ 比值叫做a的正切，记作，即;2.三角函数的定义域、值域3.三角函数的符号由三角函数的定义，以及各彖限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值上对于第一、二象限为 ________ (y>0“>0),对于第三、四象限为—r(y < 0, r > 0 ):x②余弦值一对于第一、四象限为 ________ (x>0,r>0 ),对于第二、三象限为—r(x v 0,厂> 0 )；③正切值上对于第一、三象限为 __________ 同号)，对于第二、四象限为__________________ (兀y异号).4.诱导公式由三角函数的定义，就可知道：_________________________________即有：•__________________5.当角的终边上一点P(x.y)的坐标满足 _______________________ 时，有三和函数止弦.余弦、止切值的几何表示一一三角函数线。

1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时三角函数的定义1.知识与技能(1)掌握任意角的三角函数的定义.(2)已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.(3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一.2.过程与方法(1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义,最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义,培养学生发现数学规律的思维方法和能力.(2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.(3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式.(2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神.重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式.公式一是本小节的另一个重点.难点:利用角的终边上点的坐标刻画三角函数,三角函数的符号.三角函数符号的由来sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦,他是十五世纪西欧数学界的领导人物,他于1464年完成的著作《论各种三角形》,1533年开始发行,这是一本纯三角学的书,使三角学脱离天文学,独立成为一门数学分科.cosine(余弦)及cotangent(余切)为英国人根日尔首先使用,最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现.secant(正割)及tangent(正切)为丹麦数学家托马斯·芬克首创,最早见于他的《圆几何学》一书中.cosecant(余割)一词为锐梯卡斯所创,最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书.1626年,阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin ”“tan ”“sec”.1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:“cos ”“cot”“csc”.但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来.1949年至今,我国数学书籍中“cot”改为“ctg”;“tan ”改为“tg”,其余四个符号均未变.这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan ”而无“tg”按键的缘故.。

河北省抚宁县第六中学高中数学必修4教案：任意角的三角函数1教学目标 知识与技术 理解并掌握任意角三角函数的概念；理解三角函数是以实数为自变量的函数；理解并掌握各类三角函数在各象限内的符号；进程与方式 强化数形结合的数学思想.情感态度价值观重 点 任意角三角函数的概念；各类三角函数在各象限内的符号.难 点 任意角三角函数的概念及按照概念求任意角的三角函数值.关 键 任意角三角函数的概念教学方式及课前预备 教学与探讨相结合教学流程 多媒体辅助教学内容一、问题情境1．情境引入：作PMO Rt ∆，回顾初中三角函数的概念.2．提出问题：POM 的三角函数有哪些？别离如何概念的？二、学生活动问题1：将POM 放到直角坐标系中，点P 的坐标别离表示什么？问题2：当点P 在终边OP 上移动时，POM 的三角函数值是不是发生转变？三、建构数学问题3：现在POM 的各三角函数值是不是能够由点P 的坐标),(y x P 和点P 到原点的距离r （220rx y ）来表示？ 正弦siny r , 余弦cosx r , 正切tan y x .问题4：如此将锐角三角函数推行到任意角？四、数学理论1.任意角的三角函数：一般地，对任意角α，咱们规定： 比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即 sin α=y r； 比值x r 叫做α的正弦，记作cos α，即 ),(y x P α M O x y r y x ),(y x P α O r y x。

sin α=x r ； 比值y x（x>0）做α的切tan α，即 tan y x。

2.回顾反思：（1）以后咱们在平面直角坐标系内研究角的问题，其极点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.（2）书写及读法名称，α为自变量，αsin ，αcos ，αtan 别离叫做α的正弦函数，余弦函数，正切函数，以上三种都称为三角函数，三角函数是以“比值”为函数值的函数.（3）对αsin 的理解，符号是不可分的，不能以为是sin . （4）αtan 中规定0x 的理解，即,2k k Z .（5）一些特殊角的三角函数值，P16练习3.α 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270360 弧度 αsinαcosαtan3.三角函数在各象限内的符号α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限αsinαcosαtan总结规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数的概念域三角函数 概念域αsin Rαcos Rαtan {|,}2k k Z五、数学运用1.例题例1．讲义P15例1（变题：(2,3),0P t t t ）例2．讲义P15例2例3．肯定下列条件的角α是第几象限角. + —+ ++++ —————αsin αcos α（1）sin0,cos0（2）sin0,tan0（3）cos0,tan0课堂同步练习：２．练习：能够讨论讲义P15练习1，2，4，5，6；课堂要求学生掌握的内容：任意角三角函数的概念及求任意角的三角函数值，各类三角函数在各象限内的符号.板书设计课后作业课后反思与反馈。

问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.图1如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =ab . 讨论结果:①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =ab . 提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =ab . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.图2如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;(3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书.按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图3中的括号内.三角函数定义域sinαcosαtanα图3教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论.对于正弦函数sinα=y,因为y 恒有意义,即α取任意实数,y 恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tanα=x y ,因为x=0时,xy 无意义,即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,x y 恒有意义,即tanα恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠2+kπ(k ∈Z ).(由学生填写下表) 三角函数 定义域sinαR cosαR tanα {α|α≠2π+kπ,k ∈Z } 三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.讨论结果:①定义域、值域、单调性等.②y=sinα与y=cosα的定义域都是全体实数R ,值域都是[-1,1].y=tanα的定义域是{α｜α≠2π +kπ(k ∈Z )},值域是R . 应用示例例1 已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,更容易看清对应关系.教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意α角的任意性.如图4,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P 与原点的距离r=22y x +>0,那么:图4①r y 叫做α的正弦,即sinα=ry ; ②r x 叫做α的余弦,即cosα=r x ;③x y 叫做α的正切,即tanα=xy (x≠0). 这样定义三角函数,突出了点P 的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P 在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点.解:由已知,可得OP 0=22)4()3(-+-=5.图5如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0,则|M 0P 0|=4,|MP|=-y,|OM 0|=3，|OM|=-x,△OMP ∽△OM 0P 0,于是sinα=y=1y =||||OP MP -=||||000OP P M -=54-; cosα=x=1x =||||OP OM -=||||00OP OM -=53-; tanα=x y =a cos sin =34. 点评:本例是已知角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.变式训练求35π的正弦、余弦和正切值.图6解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=35π,如图6.。

凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

第一课时：1.2.1 任意角的三角函数（一）教学要求：掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值. 教学重点：熟练求值.教学难点：理解定义.教学过程：一、复习准备：1. 用弧度制写出终边在下列位置的角的集合：坐标轴上； 第二、四象限2. 锐角的三角函数如何定义？3. 讨论：以上定义适应任意角的三角函数吗？如何定义？二、讲授新课：1. 教学任意角的三角函数的定义：① 讨论：锐角α的终边交单位圆于点P (x ,y )的坐标与α三角函数有何关系？→ 推广：任意角② 定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x , y ),则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. ② 讨论：与点P 的位置是否有关？α与2k π＋α的三角函数值有何关系？当α的终边落在x 轴、y 轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是有三角函数值？三个三角函数的定义域情况是怎样的？2. 教学例题：① 出示例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值3π、 －2π、 32π、 －72π 讨论求法→试求（学生板演）→订正→小结：画终边与单位圆，求交点，求值.② 思考：已知角终边上任一点P (x , y )，如何求它的三角函数值呢?结论：先求r =sin y r α=、cos x r α=、tan y xα=. ③ 出示例2：已知角α的终边过点P(-2,-4)，求α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法：先求r ，再按定义求. ）④ 讨论：正弦、余弦、正切值在各个象限的符号情况？⑤ 讨论：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？结论： sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈． 作用：把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题.⑥ 练习：求下列各角的正弦、余弦和正切值：73π、－94π. 3. 小结：单位圆定义任意角的三角函数；由终边上任一点求任意角的三角函数；各象限的符号情况；诱导公式（一）.三、巩固练习：1. 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求α的正弦、余弦和正切值.2. 口答下列各特殊角的正弦、余弦、正切值：0°、90°、180°、270°、360°.3. 已知点(3,4)P a a -(0)a ≠，在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值4. 作业：书P17 1、2、3题.。

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图 1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

第1课时 三角函数的定义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 11～P 15的内容，回答下列问题．如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P (a ，b )，它与原点的距离r ＝a 2＋b 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .(1)根据初中学过的三角函数定义，你能表示出sin α，cos α，tan α的值吗？提示：sin_α＝MP OP ＝b r ，cos_α＝OM OP ＝a r ，tan_α＝MP OM ＝ba.(2)根据相似三角形的知识，对于确定的角α，请问(1)的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗？提示：不会随P 点在终边上的位置的改变而改变．(3)若将点P 取在使线段OP 的长r ＝1的特殊位置上，如图所示，则sin α，cos α，tanα各为何值？提示：sin_α＝b ，cos_α＝a ，tan_α＝ba.(4)以上3个问题中的角α为锐角，若α是一个任意角，上述结论还成立吗？ 提示：上述结论仍然成立．(5)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y)，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin_α＝y r ，cos_α＝x r ，tan_α＝yx .2．归纳总结，核心必记 (1)任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )定义 正弦 y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； 余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；正切y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0)．三角 函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标 或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α{α|α≠π2＋k π，k ∈Z } (3)规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (4)公式一①终边相同的角的同一三角函数的值相等． ②公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .[问题思考](1)三角函数值的大小与点P 在终边的位置是否有关？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．(2)若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cosβ，tan α与tan β之间有什么关系？提示：sin_α＝sin_β，cos_α＝cos_β，tan_α＝tan_β.(3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点P 的坐标有怎样的关系？提示：由三角函数的定义知sin_α＝y r ，cos_α＝x r ，tan_α＝yx ，三角函数在各象限的符号由角α终边上的任一点P 的横坐标、纵坐标的正负确定．(4)对于角α，若sin α<0，cos α>0，则α为第几象限角？ 提示：第四象限角．[课前反思](1)任意角的三角函数的定义： ；(2)三角函数的定义域： ；(3)三角函数值的符号： ；(4)公式一的内容： ．[思考1] 任意角α的正弦值sin α、余弦值cos α，正切值tan α都有意义吗？ 名师指津：当α的终边在y 轴上时，tan_α不存在．[思考2] 若α的终边与单位圆交于点(x 0，y 0)，且x 0≠0，则如何求sin α，cos α，tanα的值？名师指津：sin_α＝y 0，cos_α＝x 0，tan_α＝y 0x 0.[思考3] 若已知α终边上一点P (x 0，y 0)，且x 0≠0，如何求sin α，cos α，tan α的值？名师指津：先求r ＝x 20＋y 20，然后求sin_α＝y 0r ，cos_α＝x 0r ，tan_α＝y 0x 0. [思考4] 若已知α终边所在的直线方程为y ＝kx ，则如何求sin α，cos α，tan α的值？名师指津：可在直线y ＝kx 上任取一点(x 0，y 0)，x 0≠0，然后利用sin_α＝y 0x 20＋y 20，cos_α＝x 0x 20＋y 20，tan_α＝y 0x 0求解．讲一讲1．(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [尝试解答] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋（－12）2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125.(2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝（－1）2＋（3）2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋（－3）2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.答案：(1)－1213 513 －125求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx(x ≠0)求值．在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用． 练一练1．(1)已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( ) A.12 B.32 C.22 D ．－22(2)已知角α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________. (3)已知角α的终边上一点坐标为(－3，a )，且α为第二象限角，cos α＝－35，则sin α＝________.解析：(1)∵α的终边经过点P (1，－1)， ∴sin α＝－112＋（－1）2＝－22. (2)∵α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y ， ∴⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34.又∵y <0，∴y ＝－32.∴sin α＝－32，cos α＝－12，tan α＝3， sin αtan α＝－32×3＝－32. (3)∵(－3，a )为α终边上的一点，cos α＝－35，∴－3（－3）2＋a 2＝－35，∴a 2＝16.又∵α为第二象限角，∴a ＞0，即a ＝4.∴sin α＝45.答案：(1)D (2)－32 (3)45讲一讲2．(1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (2)判断下列各式的符号：①tan 120°·sin 269°；②cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.[尝试解答] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角． 综上可知，α为第三象限角． (2)①∵120°是第二象限角， ∴tan 120°＜0.∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. ∴tan 120°·sin 269°＞0.②∵π＜4＜3π2，∴4弧度是第三象限角，∴cos 4＜0.∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＞0.∴cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＜0.答案：(1)C判断给定角的三角函数值正负的步骤(1)确定α的终边所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断． 练一练2．(1)若sin 2α＞0，且cos α＜0，则α终边在第________象限． (2)判断下列各式的符号： ①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.解析：(1)因为sin 2α＞0，所以2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，所以k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．所以α是第一或第三象限角．又因为cos α＜0，所以α为第三象限角．(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. 于是sin 105°·cos 230°＜0.②∵π2＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＞0，∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＜0.答案：(1)三讲一讲3．求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－(a －b )2tan 765°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 25π3tan ⎝⎛⎭⎫－15π4.[尝试解答] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－(a －b )2tan(2×360°＋45°)－2ab ·cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－(a －b )2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－(a －b )2－2ab ＝0.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π6＋cos π3tan π4＝12＋12×1＝1.公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0，2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．练一练3．求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4；(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.解：(1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos ()360°＋60°＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及公式一的应用，难点是三角函数的定义及应用．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用，见讲1； (2)三角函数值符号的判断，见讲2； (3)公式一的应用，见讲3.3．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误，如讲1的第(2)题．课下能力提升(三) [学业水平达标练]题组1 三角函数的定义及应用 1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12解析：选B sin α＝－121＝－12.2．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33解析：选C ∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)， ∴角α终边上一点的坐标为(1，－3)，故sin α＝－312＋（－3）2＝－32.3．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝________．解析：由题意r ＝|OP |＝m 2＋（－6）2＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8.答案：－84．已知点P (－4a ，3a )(a ≠0)是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值． 解：由题意得r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝5|a |.当a ＞0时，r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝yx ＝3a－4a＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.题组2 三角函数值的符号5．已知cos θ·tan θ＞0，那么角θ是( ) A ．第一、二象限角 B ．第二、三象限角 C ．第三、四象限角 D ．第一、四象限角解析：选A 由cos θ·tan θ＞0可知cos θ，tan θ同号，从而θ为第一、二象限角，选A.6．已知角α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角，又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0.∴α2是第三象限角． 7．若α是第一象限角，则sin 2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．解析：由α是第一象限角，得2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π＜α2＜π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2＞0，cos α2的正负不确定；4k π＜2α＜π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin 2α＞0.故一定为正值的个数为2.答案：2题组3 公式一的应用 8．sin ⎝⎛⎭⎫－19π6的值等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24π－5π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋5π6＝sin 5π6＝12.故选A.9．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________．解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－ sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：3210．化简下列各式：(1)a cos180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sinπ2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2. 解：(1)因为cos 180°＝－1，sin 90°＝1，tan 0°＝0，所以原式＝－a ＋b ； (2)因为cos 360°＝cos 0°＝1，sin 450°＝sin(360°＋90°)＝sin 90°＝1，cos 0°＝1， 所以原式＝p 2＋q 2－2pq ＝(p －q )2；(3)因为sin π2＝1，cos π＝－1，sin 2π＝sin 0＝0，cos 3π2＝0，原式＝a 2＋b 2.[能力提升综合练]1．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)＞0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＞0；∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2＜0. 2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B ∵点P 在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴α为第二象限角． 3．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C 则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan A D ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.4．若tan x ＜0，且sin x －cos x ＜0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D ∵tan x ＜0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x ＜0， ∴角x 的终边在第四象限．5．sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝⎛⎭⎫－23π4的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4＝sin π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0.答案：06．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________．解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：07．求下列各三角函数值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－11π6；(2)tan 9π4；(3)sin 1 140°.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝cos π6＝32；(2)tan 9π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝tan π4＝1；(3)sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝32. 8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，所以角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝yr＝m |OM |＝－451＝－45. 第2课时 三角函数及其应用1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P15～P17的内容，回答下列问题．(1)观察教材P16的图1.2-7，有向线段MP，OM，AT的方向是如何规定的？提示：当方向与x轴或y轴的方向一致时，则有向线段MP，OM，AT的方向为正；当方向与x轴或y轴的方向相反时，则有向线段MP，OM，AT的方向为负．(2)观察教材P16的图1.2-7，你认为sin α，cos α，tan α与有向线段MP，OM，AT 有什么关系？提示：|sin_α|＝|MP|，|cos_α|＝|OM|，|tan_α|＝|AT|．2．归纳总结，核心必记(1)有向线段带有方向的线段，叫做有向线段．(2)三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线续表余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A(1，0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线(1)三角函数线的长度等于三角函数的值吗？提示：不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．(2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？提示：能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x 轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的．(1)有向线段的概念：；(2)三角函数线的概念及作法：．讲一讲1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.[尝试解答]如图．其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．练一练1．作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .讲一讲2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.[尝试解答] (1)如图①所示，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)如图②所示，作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．练一练2．利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)sin α＜－12；(2)cos α＞32.解：(1)如图①，过点⎝⎛⎭⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6，故α的范围是⎩⎨⎧α|7π6＋2k π＜α＜⎭⎬⎫11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6，故α的范围是⎩⎨⎧α|－π6＋2k π＜α＜π6＋ }2k π，k ∈Z .讲一讲3．(1)下列关系式中正确的是( ) A ．sin 10°＜cos 10°＜sin 160° B ．sin 160°＜sin 10°＜cos 10° C ．sin 10°＜sin 160°＜cos 10° D ．sin 160°＜cos 10°＜sin 10°(2)设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小顺序排列为________．[尝试解答] (1)由三角函数线知，sin 160°＝sin 20°＞sin 10°，而cos 10°＞sin 20°，所以选C.(2)由如图的三角函数线知：M 1P 1＝MP ＜AT ， 因为2π7＞2π8＝π4，所以MP ＞OM ，所以cos 2π7＜sin 2π7＜tan 2π7，所以b ＜a ＜c .答案：(1)C (2)b ＜a ＜c(1)利用三角函数线比较大小的步骤 ①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点： ①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． 练一练3．设π4＜α＜π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2＜α＜3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4＜α＜π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT ＞MP ＞OM ；当π2＜α＜3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′＞M ′P ′＞OM ′.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题 (1)三角函数线的画法，见讲1；(2)利用三角函数线解简单不等式，见讲2； (3)利用三角函数线比较大小，见讲3. 3．理解三角函数线应注意以下四点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．课下能力提升(四) [学业水平达标练]题组1 作已知角的三角函数线 1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、四象限的角平分线上D ．第一、三象限的角平分线上解析：选C 由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上． 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1. 答案：1题组2 利用三角函数线解简单不等式4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．利用单位圆，可得满足sin α＜22，且α∈(0，π)的α的集合为________． 解析：如图所示，终边落在阴影内的角α满足sin α＜22.答案：⎝⎛⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π6．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．解：由题意，得自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x ＞22. 则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π＋π3≤x ＜2k π＋3π4，k ∈Z .题组3 利用三角函数线比较大小7．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α＞1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α＜1 D ．不能确定解析：选A 如图，角α的终边与单位圆交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴于M 点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α＞1.8．若－3π4＜α＜－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．tan α＜sin α＜cos αC ．cos α＜sin α＜tan αD ．sin α＜cos α＜tan α解析：选D 如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．由图知，|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得sin α＜cos α＜tan α. 9．sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5B ．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2C ．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1D ．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5解析：选C 如图，易知0＜1＜1.2＜1.5＜π2，|MA |＜|NB |＜|QC |，且同向，∴sin 1＜sin 1.2＜sin 1.5.10．试利用单位圆中的三角函数线证明当0＜α＜π2时，sin α＜α＜tan α.证明：如图，单位圆与α的终边OP 相交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，连接AP ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作AT ⊥ x 轴交OP 于T ，则sin α＝MP ，α＝AP ︵l ，tan α＝AT ，由S扇形OAP ＜S △OAT，即12OA ·AP ︵l ＜12OA ·AT ，所以AP ︵l ＜AT .又MP ＜PA ＜AP ︵l ，因此MP ＜AP ︵l ＜AT .即sin α＜α＜tan α.[能力提升综合练]1．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：选D 如图所示，正弦线为MP ，余弦线为OM ，结合图象，可知：MP ＞0，OM ＜0，故OM ＜0＜MP .2．已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边()A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y＝x上D．在直线y＝x，或y＝－x上解析：选D由题意可知，如图，|AT|＝1，∴AT＝±1.则tan α＝±1，角α的终边在直线y＝±x上，故选D.3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有()A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b解析：选C如图作出角α＝－1 rad的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.4．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称解析：选A利用单位圆中的余弦线解题易知A正确．5．若0＜α＜2π，且sin α＜32，cosα＞12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB的区域内，所以α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π.答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π6．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．解析：由图可知sin 3π4＝22，sin 3π2＝－1，－1＜sin θ＜22，即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22.答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 7．利用三角函数线写出满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ＞－12，且cos x ＞12；(2)tan x ≥－1.解：(1)由图①知，当sin x ＞－12，且cos x ＞12时，角x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π6＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z .(2)由图②知，当tan x ≥－1时，角x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π－π4≤x ＜2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧x |2k π＋3π4≤x ＜⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋3π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |k π－π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.证明：如图所示 ，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox 、PN ⊥Oy ，M 、N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α，S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ， ∴12sin α＋12cos α＜π4， 即sin α＋cos α＜π2，∴1＜sin α＋cos α＜π2.第3课时 同角三角函数的基本关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 18～P 20的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 19图1.2－8，图中α的正弦线、余弦线各是什么？ 提示：正弦线是MP ，余弦线为OM ．(2)若P 点坐标为(x ，y )，则sin α，cos α各为何值？sin α与cos α有什么关系？ 提示：sin_α＝y ，cos_α＝x ，sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝1．(3)若α≠π2＋k π，k ∈Z ，能否用sin α和cos α来表示tan α？如果能，试写出它们的关系式．提示：能．tan_α＝sin αcos α．2．归纳总结，核心必记 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝⎛⎭⎫其中α≠k π＋π2（k ∈Z ）.[问题思考](1)对任意α，都有sin 2α＋cos 2α＝1成立吗？ 提示：是．(2)对任意α，都有tan α＝sin αcos α成立吗？提示：只有当α≠π2＋k π，k ∈Z 时，tan_α＝sin αcos α才成立．(3)对任意的角α，sin 22α＋cos 22α＝1是否成立？ 提示：成立．(4)当2α≠π2＋k π，k ∈Z 时，tan 2α＝sin 2αcos 2α是否成立？提示：成立．[课前反思](1)同角三角函数的平方关系： ；(2)同角三角函数的商数关系： ；(3)同角三角函数的基本关系式成立的条件： .讲一讲1．(1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝3，求下列各式的值． ①4sin α－cos α3sin α＋5cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；③34sin 2a ＋12cos 2α. [尝试解答] (1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45＜0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)①原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114；②原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223； ③原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(4)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．练一练1．(1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.(2)已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．(3)已知tan α＝2，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值． 解：(1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α＜0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.(2)由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，故cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.(3)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.讲一讲2．已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值． [尝试解答] (1)由sin α＋cos α＝－13，得(sin α＋cos α)2＝19，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，sin αcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0. sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝173.(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号． 练一练2．(1)若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝________．(2)已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α＝________．解析：(1)由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， 所以sin θcos θ＝－12.所以tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2.(2)(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.因为π4＜α＜π2，所以cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－32. 答案：(1)－2 (2)－32讲一讲3．化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.[尝试解答] 原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·（1－cos α）21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1.(1)利用同角三角函数关系化简的常用方法 ①化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值号表示，然后考虑正负；③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简． (2)简单的三角恒等式的证明思路 ①从一边开始，证明它等于另一边； ②证明左、右两边等于同一个式子；③逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简． 练一练3．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.证明：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．2．要掌握sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的转换 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用 (1)利用同角三角函数的基本关系求值，见讲1； (2)sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用，见讲2； (3)三角函数式的化简与证明的方法，见讲3.4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α、cos α漏解或多解的错误，如讲1的第(1)题．课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1 利用同角三角函数的基本关系求值1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513 D.213解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＜0，故cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 2．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos α＝( )A ．±45 B.45 C ．－45 D.35解析：选C 由tan α＝34，即sin αcos α＝34，所以sin α＝34cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，代入得⎝⎛⎭⎫34cos α2＋cos 2α＝1，整理得cos 2α＝1625，解得cos α＝±45.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＜0，故cos α＝－45.3．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________．解析：由sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝925. 已知α是第三象限角，则sin α＜0，于是sin α＝－35.从而tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－54＝34. 答案：－35 344．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.解：(1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α，则2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0. 解得tan α＝－14或tan α＝1.∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角，∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝－2×14－3－4×14－9＝720.题组2 sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 6．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 解析：选B 由已知可得(cos α＋2sin α)2＝5， 即4sin 2α＋4sin αcos α＋cos 2α＝5(sin 2α＋cos 2α)， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，故tan α＝2.7．已知0＜θ＜π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．解：∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125.解得sin θcos θ＝1225.∵0＜θ＜π，且sin θ·cos θ＝1225＞0，∴sin θ＞0，cos θ＞0.∴sin θ＋cos θ＝（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2425＝75.由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.题组3 三角函数式的化简与证明 8．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130° .解：原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.9．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2a sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α（1－cos α）＝sin 2αsin α（1－cos α）＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立．[能力提升综合练]1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35解析：选B ∵sin α＝55，∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－15＝45.sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋ cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝⎝⎛⎭⎫552－45＝15－45＝－35.故选B.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3.⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x sin 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x解析：选A ⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x sin 2x ＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x sin 2x ＝1sin x cos x ·sin 2x ＝sin xcos x＝tan x .4．当α≠k π2(k ∈Z )时，⎝⎛⎭⎫cos α＋1tan α(sin α＋tan α)的值( )A ．恒为正B ．恒为负C ．恒非负D ．可正可负解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋1tan α(sin α＋tan α)＝sin αcos α＋cos α·sin αcos α＋ sin α·cos αsin α＋1＝sin α＋cos α＋1＋sin αcos α＝(1＋sin α)(1＋cos α)．∵α≠k π2，k ∈Z ，∴1＋sin α＞0，1＋cos α＞0，故选A.5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5(m ≠0)，则m ＝______，tan θ＝________．解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴（m －3）2（m ＋5）2＋（4－2m ）2（m ＋5）2＝1. 得m ＝0(舍)，或m ＝8.∴sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ＝sin θcos θ＝－512.答案：8 －5126．若sin x ＋cos x ＝2，那么sin 4x ＋cos 4x 的值为________． 解析：由sin x ＋cos x ＝2，得2sin x cos x ＝1. 由sin 2x ＋cos 2x ＝1，得sin 4x ＋cos 4x ＋2sin 2x cos 2x ＝1. 所以sin 4x ＋cos 4x ＝1－12(2sin x cos x )2＝1－12×1＝12.答案：127．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. 证明：法一：∵tan 2α＝2tan 2β＋1， ∴tan 2β＝tan 2α－12.①∵tan 2β＝sin 2βcos 2β， ∴tan 2β＝sin 2β1－sin 2β，∴sin 2β＝sin 2βsin 2β＋cos 2β＝sin 2βcos 2βsin 2βcos 2β＋cos 2βcos 2β＝tan 2β1＋tan 2β .② 由①②，得sin 2β＝tan 2α－121＋tan 2α－12＝tan 2α－1tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α－1sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－1. 法二：∵tan 2α＝2tan 2β＋1，∴tan 2α＋1＝2(tan 2β＋1)． ∴sin 2α＋cos 2αcos 2α＝2·sin 2β＋cos 2βcos 2β.∴1cos 2α＝2cos 2β. ∴cos 2β＝2cos 2α.∴1－sin 2β＝2(1－sin 2α)． ∴sin 2β＝2sin 2α－1.8．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值． 解：因为已知方程有两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θcos θ＝m 2， ②Δ＝4＋23－8m ≥0. ③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 由②，得m 2＝34，所以m ＝32.由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32.(3)因为m ＝32， 所以原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0.解得x 1＝32，x 2＝12， 所以⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧cos θ＝32，sin θ＝12.又因为x ∈(0，2π)， 所以θ＝π3或θ＝π6.。

1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；（4）比值x y叫做α的余切，记作cot α，即cot xy α=；（5）比值r x叫做α的正割，记作sec α，即sec rx α=；（6）比值r y叫做α的余割，记作csc α，即csc ry α=．说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec r x α=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy yα=与csc ryα=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。

某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案新人教A版必修4【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义。

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。

【重点难点】1. 熟练求值。

2. 理解任意角的三角函数的定义。

【预习指导】1．阅读教材第11～13页。

2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？点的位置对这三个比值有影响吗？4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。

【合作探究】1. 例题研讨：例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4π、3π、53π(讨论求法→试求（学生板演）→订正)ABC→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法）2. 任意角的三角函数的定义：①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是都有三角函数值？为什么？【达标测评】(参考《全优》P7)1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-45,则m等于( )A．－114 B.114C．-4 D．43.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－35，则y的值是________．【归纳小结】单位圆定义任意角的三角函数；2.由终边上任一点求任意角的三角函数；【巩固练习】（各班可按实际情况安排）1．练习：教材P15：1，3；2．作业：教材P15：2.第二课时：任意角的三角函数（二）【学习目标】1. 掌握各象限的三角函数值的符号。