线性代数第四章特征值与特征向量第2节

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所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 ：
k1 1(k1 0, k1 R)
3
对于2= 3=3时，解方程(3I－A)X=0，由
1 3 2 1 0 1 3I A 1 1 2 0 1 1
1 3 2 0 0 0
1
得基础解系：2 1
1
所以属于特征值2= 3=3
例5 设是方阵A的特征值，证明: (1) 2是A2的特征值，一般地， m是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则一定不等于零，且 1是A1的特征
值，| A | 是A*的特征值.
证 明 ：(1) 是 方 阵A的 特 征 值 ， 非 零 向 量 , 使 得A ,
所 以 ，1是A1的 特 征 值 。
其次在A 两边同乘A*，A* A A*可得 A* | A |
4 1 1 0 0 0
0 1
得 基 础 解 系 ：2 1 ,3 0
1
4
所以k22 k33(k2 , k3不全为零)是对应于
特征值2 3 2的全部特征向量。
4 6 0
例
设矩阵
A
3
5
0 ,可作为A的特征向量的是
3 6 1
A (2, 2, 0)T B (1, 2,1)T C (2,1, 0)T D (0, 0, 2)T E (3, 0,1)T
二、特征值与特征向量的计算
设 i为方阵A的一个特征值，则由方程 (i I A)x 0
可求得非零解x i , 那么i就是A的对应于 特征值i的特征向量。 （若i为实数，则 i可取为实向量；若i为 复数，则 i为复向量.）
注 : 若i是A的对应于特征值i的特征向量, 则ki (k 0)也是A的特征向量.

得基础解系：p1=(1,4,0)T, p2=(1,0,4)T，故关于2的 全部特征向量为： x=k1(1,4,0)T +k2 (1,0,4)T = (k1+k2,4k1,4k2)T，k1, k2不全为零。
例 4 证明：若是方阵A的特征值，则 (1) n 为方阵An 的特征值 (n为正整数)； (2) 当方阵A可逆时，1为方阵A1 的特征值。 证：(1) 设x为A关于特征值的特征向量，则Ax=x； A2x=A(Ax)= A(x)=Ax=2x 设An1 x =n1x，则 Anx=A(An1 x)=A(n1x)=n1Ax=nx 故n 是矩阵An 的特征值。
关于1的特征向量为：x=(k,0,k)T ， k 0 。 当=2时，
2 1 1 4 1 1 4 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 1 3
记 a1 c1 j x1 j， a 2 c2 j x2 j
j 1 j 1
m1
m2
则
a1 a 2 0
下说明a1=a2=0，假设存在某个ai 0，不妨设a10, 则a20，由命题1知，ai是i 对应的特征向量， 又由定理4.2知，a1, a2 线性无关。
与 a1 a 2 0 矛盾 , 故a1=a2=0，即
由于A=2I，故对任意xR3, x 0, 都有Ax=2Ix=2x， 由定义4.1知：2是A的特征值，任一3维非零向量都 是A关于特征值2的特征向量。
由定义4.1，若为n阶方阵A的特征值，则存在 n维非零向量a，使得Aa=a，即(IA)a =0，a满 足(IA)x=0，即a为齐次线性方程组(IA)x=0的解 向量，从而齐次线性方程组(IA)x=0有非零解； 反之，若齐次线性方程组(IA)x=0有非零解a，则 Aa=a，故为方阵A的特征值。 故为n阶方阵A的特征值的充要条件是齐次线性方 程组(IA)x=0有非零解。 而(IA)x=0有非零解的充要条件为：r(IA)<n， 即|IA|=0。

证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
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性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）

练习
3. 已知 A的特征值 为
(1)求AT、aA（a为任意实数A（ ） k k为 、正整数）的特 (2设 ) A可逆，A求 1的特征值。
4.试证 A有特征值零的充分 条必 件要 是 A0.
§4.2 相似矩阵与矩阵 可对角化的条件
1. 相似矩阵概念 2. 相似矩阵基本性质 3. 方阵的对角化含义 4. 矩阵可对角化的条件
特征值和特征向量
§4.1 矩阵的特征值 和特征向量
1. 特征值与特征向量定义 2. 相关概念 3.两个有用公式
(特征方程根与系数的关系) 4.特征值与特征向量求法 5.特征值与特征向量的性质
1. 特征值与特征向量定义
定义4.1
设A为n阶方阵, 若存在常数
及非零向量
,使A成立 ,则称 为方A的 阵特征 , 值
而
A2, 故x=0,y=1.
课堂练习
设矩A阵 12
2 x
24与B5
y
4 2 1
4
相似 ,求x,y.
3.方阵的对角化含义
所谓方阵
A 可以对角化,
是指 A与对角阵
Λ相似.
即存在可逆矩阵
P , 使 P1AP成立.
4.
矩阵可对角化的条件
定理(充要条件)
n阶方阵
个线性无关的特征向量.
可对角化
A
A 有 n
A A O (EA)O
推论1、2（P159） 若α1，α2是A属于λ0的特征向量，则c1α1+ c2α2也是A属于λ0的特征向量。
3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系)
设 n阶方 A 的 阵 特征 1,2,值 ,n为 ,
则 (1 1 )2 na1 1a2 2 an;n