线性代数第5章特征值与特征向量(自考经管类)

第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

第五章 矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设()ijn nA a ⨯=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上的非零n 维列向量X ，使得X AX λ=则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量 注意：1）()ijn nA a ⨯=是方阵；2）特征向量 X 是非零列向量；3）方阵 ()ijn nA a ⨯= 与特征值λ 对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜；（2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。

对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量.3． 特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特征向量；（2）若12,,,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量；（3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则λ1是A —1的一个特征值，λ||A 是A *的一个特征值；（4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。

性质2（1） nn n a a a +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121λλλ（2） || 21A n =⋅⋅⋅λλλ性质3 n 阶矩阵A 和它的转置矩阵T A 有相同的特征值 性质4 n 阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得Ｂ＝P ―1ＡP则称A 与B 相似。

《线性代数（经管类）》第五章 特征值与特征向量考点44 特征值与特征向量的定义（★三级考点，选择、填空）1.特征值与特征向量 设A （aij ）为n 阶实方阵，如果存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 满足Ap=λp，则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于这个特征值λ的个特征向量。

2.特征方阵、行列式、方程 带参数的λ的n 阶方阵λEn －A 称为A 的特征方阵，它的行列式|λEn －A|称为A 的特征多项式，称|λEn －A|＝0为A 的特征方程。

考点45 关于特征值和特征向量的若干结论（★★二级考点，选择、填空、计算）1.定理5.1.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵AT 必有相同的特征值。

2.定理 5.1.2 设n λλλ,...,,21是n 阶方阵()n n ij a A ⨯=的全体特征值，则必有AA tr ai ni ni iin i i =∏=====∑∑λλ111),(。

这里，tr （A ）为()nn ij a A ⨯=中的n 个对角元之和，称为A 的迹。

|A|为A 的行列式。

3.定理5.1.3 设A 为n 阶方阵，f （x ）=amxm+ am-1xm-1+…+a1x+a0为m 次多项式，f （A ）=amAm+ am-1Am-1+…a1A+a0En 为对应的A 的方阵多项式。

如果Ap=λp，则必有f （A ）p=f （λ）p,这说明f （λ）必是f （A ）的特征值。

特别，当f （A ）=0时，必有f （λ）=0，即当f （A ）=0时A 的特征值必然是对应的m 次多项式f （x ）的根。

考点46 关于求特征值和特征向量的一般方法（★★★一级考点，选择、填空、计算）1.求法（1）先求出A 的特征方程|λEn －A|=0； （2）解特征方程求出A 的特征值；（3）对每个特征值λi，求相应齐次线性方程组(λiEn －A ）x=0的基础解系； （4）基础解系的非零线性组合，即为征值λi 的全部特征向量。

线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。

|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。

线性代数中的特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、经济、计算机科学等领域。

本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及其在矩阵对角化和特征分解中的应用。

一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个 n×n 的矩阵 A，我们称零向量v≠0 是矩阵A 的特征向量，如果存在一个实数λ，使得Av=λv。

特征值λ 是使得上述等式成立的实数。

特征向量与特征值是成对出现的，每个特征向量都有一个对应的特征值。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的数目相等对于一个 n×n 的矩阵 A，它最多能有 n 个线性无关的特征向量。

而特征值也最多有n 个。

一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量。

2. 特征向量的积性质如果 v 是 A 的特征向量，那么对于任意实数 c，cv 也是 A 的特征向量，且特征值保持不变。

3. 特征向量的加性质如果 v1 和 v2 是 A 的特征向量，对应相同的特征值λ，那么 v1+v2也是 A 的特征向量，对应特征值λ。

三、特征值与特征向量的计算要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们需要求解方程Av=λv。

1. 寻找特征值对于一个 n×n 的矩阵 A，我们需要求解行列式 |A-λI|=0 的根，其中I 是 n 阶单位矩阵。

这样可以得到 A 的特征值。

2. 寻找特征向量对于每个特征值λ，我们需要求解方程组 (A-λI)v=0，其中 v 是特征向量。

解这个齐次方程组可以得到 A 的特征向量。

四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化如果一个 n×n 的矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，那么可以找到对角矩阵 D 和可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP=D。

对角矩阵 D 中的对角元素就是特征值，P 中的列向量就是对应的特征向量。

2. 特征分解对于一个对称矩阵 A（A=A^T），可以进行特征分解，表示为A=QΛQ^T，其中 Q 是由 A 的特征向量组成的正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角元素是 A 的特征值。

完整版线性代数第五章特征值与特征向量自考经管类精
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特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在很多实际问题中具有广泛的应用。

本文将从定义、性质、求解方法以及应用等几个方面介绍特征值和特征向量。

特征值（eigenvalue）是一个方阵在一些线性变换下的伸缩因子，而特征向量（eigenvector）则是特征值对应的非零向量。

对于一个给定的方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应的特征向量。

特征值和特征向量具有以下几个重要性质：
1.特征值是矩阵的本质性质，不依赖于矩阵的表示方式。

2.每个特征值都有对应的特征向量，但一个特征向量可能对应多个特征值。

3.特征值和特征向量可以是复数，不一定是实数。

要求解特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：
1. 求解矩阵的特征方程：det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。

2.解特征方程得到特征值。

3.将特征值代回到特征方程，解得对应的特征向量。

特征值和特征向量在很多应用中具有重要的意义，如以下几个方面：
1.特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化，简化复杂计算。

2.特征值和特征向量在数据降维中有广泛应用，如主成分分析（PCA）。

3.特征值和特征向量可用于解决线性方程组、求解线性变换等问题。

4.特征值和特征向量在机器学习算法中有很多应用，如图像处理、聚类算法等。

综上所述，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

掌握特征值和特征向量的求解方法和性质，有助于理解和应用线性代数的相关知识。

第一章行列式1。

1 行列式的定义1.2 行列式行（列）展开1。

3 行列式的性质与计算1。

3 克拉默法则第二章矩阵2.1 线性方程组与矩阵的定义2.2 矩阵运算2。

3 分阵的逆矩阵2.4 分块矩阵2。

5 矩阵的初等变换与初等方阵2。

6 矩阵的秩2。

7 矩阵与线性方程组第三章向量空间3。

1 n维向量概念及其线性运算3。

2 线性相关与线性无关3。

3 向量组的秩3.4 向量空间第四章线性方程组4。

1 齐次线性方程组4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量5。

1 特征值与特征向量5。

2 方阵的相似变换5.3 向量内积和正交矩阵5。

4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型6。

1 实二次型及其标准形6。

2 正这二次型和正定矩阵… … （中间部分略）完整版15页请-—QQ：1273114568 索取第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例.从考试大纲来看。

虽然只占13％左右.但在其他章.的试题中都有必须用到行列式计算的内容.故这部分试题在试卷中所占比例远大于13％。

1。

1 行列式的定义1.1。

1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1。

求二元一次方程组的解。

解:应用消元法得当时.得同理得定义称为二阶行列式。

称为二阶行列式的值。

记为。

于是由此可知。

若。

则二元一次方程组的解可表示为：例2二阶行列式的结果是一个数。

我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。

使得当后将消去。

得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出.在(6），(7)的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组.定义1。

1。

1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为；类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

例3 计算例4 （1）（2)例5 当x取何值时，？为将此结果推广到n元一次方程组。

需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1。

2 阶行列式的定义定义1。