线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

《线性代数》矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。

在许多实际问题的分析和求解中，特征值和特征向量扮演着重要的角色。

本文将从定义、性质和应用三个方面来详细介绍矩阵的特征值与特征向量。

一、定义给定一个n阶方阵A，若存在非零向量x和标量λ，使得满足以下等式：Ax=λx则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征向量是描述线性变换的方向，在变换过程中保持方向不变，特征值是对应于特征向量的缩放因子。

二、性质1.特征值与特征向量的存在性和唯一性对于n阶方阵A，它一定存在n个特征值，但不一定有n个线性无关的特征向量。

每个特征值对应的特征向量也不一定唯一2.特征值的性质（1）特征值的和等于方阵的迹，即λ1 + λ2 + ... + λn =tr(A)。

（2）特征值的积等于方阵的行列式，即λ1 * λ2 * ... * λn = det(A)。

3.特征向量的性质（1）对于同一个特征值λ，存在无穷多个线性无关的特征向量。

（2）特征向量的线性组合仍然是一个特征向量。

三、应用矩阵的特征值与特征向量在多个学科和领域中都有广泛的应用。

1.物理学在量子力学中，特征值与特征向量的概念被用来描述量子态和量子测量。

2.工程学在结构力学中，特征值与特征向量可以用来分析弹性体的振动频率和振动模态。

3.数据分析特征值与特征向量可以用于主成分分析（PCA），以降低数据的维度并提取最重要的特征。

4.图像处理特征值与特征向量可以用于图像压缩和图像恢复等领域。

5.机器学习在机器学习算法中，特征值与特征向量可以用于降维、分类和聚类等任务。

总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有很多实际应用。

通过特征值与特征向量，我们可以分析矩阵的性质、求解特征方程、降低数据维度等。

理解和掌握矩阵的特征值与特征向量对于深入理解线性代数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。

线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。

|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。

第五章 矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及方法 （一）矩阵的特征值与特征向量及其相关概念1.矩阵的特征值与特征向量的概念设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得)0(≠=αλααA 成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，特征向量为非零向量2.矩阵的特征多项式与特征方程的概念行列式A E f -=λλ)(称为矩阵A 的特征多项式；A E -λ=0称为矩阵A 的特征方程特征方程A E -λ=0是λ的n 次方程，它的n 个根就是矩阵A 的n 个特征值 若λ是A 的特征值，则A E -λ=0，A E -λ是不可逆矩阵 ★0=Ax 的基础解系就是λ=0的线性无关的特征向量★ 若1)(=A r ，则A 的n 个特征值是∑=iia1λ，0...1==n λλ（二）特征值与特征向量的性质1.如果21αα，都是特征值i λ所对应的特征向量，则21αα，的线性组合2211ααk k +（非零时）仍属于i λ的特征向量（i λ的特征向量不唯一，但一个特征向量只能属于一个特征值）2.属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当i λ时矩阵A 的k 重特征根时，矩阵A 属于i λ的线性无关的特征向量的个数不超过k 个；因A 只有n 个特征值，故A 的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多只有n 个，并且若21λλ，是矩阵A 的不同特征值，21αα，分别是21λλ，的特证向量，则21αα，的线性组合2211ααk k +不再是A 的特证向量★3.特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于A 行列式的值★∑∑===ni iin i i a11λ∏==ni iA 1λ★4. n 阶矩阵A 和它的转置矩阵TA 有相同的特征值★ 用特征方程的转置去证明 5. n 阶矩阵可逆的充要条件是它的任一特征值均不等于0★6.若λ是矩阵A 的特征值，则对任何正整数k ，kλ是kA 的特征值★（三）特征值与特征向量的求法1．对于抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值)0(≠=αλααA 2．对于具体的数字矩阵，应先有特征方程A E -λ=0，求出矩阵A 的全部特征值，其中有可能重根，然后对每个不同特征值i λ，分别解齐次方程()0=-x A E i λ。

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特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在很多实际问题中具有广泛的应用。

本文将从定义、性质、求解方法以及应用等几个方面介绍特征值和特征向量。

特征值（eigenvalue）是一个方阵在一些线性变换下的伸缩因子，而特征向量（eigenvector）则是特征值对应的非零向量。

对于一个给定的方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应的特征向量。

特征值和特征向量具有以下几个重要性质：
1.特征值是矩阵的本质性质，不依赖于矩阵的表示方式。

2.每个特征值都有对应的特征向量，但一个特征向量可能对应多个特征值。

3.特征值和特征向量可以是复数，不一定是实数。

要求解特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：
1. 求解矩阵的特征方程：det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。

2.解特征方程得到特征值。

3.将特征值代回到特征方程，解得对应的特征向量。

特征值和特征向量在很多应用中具有重要的意义，如以下几个方面：
1.特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化，简化复杂计算。

2.特征值和特征向量在数据降维中有广泛应用，如主成分分析（PCA）。

3.特征值和特征向量可用于解决线性方程组、求解线性变换等问题。

4.特征值和特征向量在机器学习算法中有很多应用，如图像处理、聚类算法等。

综上所述，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

掌握特征值和特征向量的求解方法和性质，有助于理解和应用线性代数的相关知识。

第五章-矩阵的特征值和特征向量特征值,特征向量: A是n阶⽅阵, 对于数λ, 若存在⾮零列向量α,使得Aα=λα, 此时λ就是特征值, α对应于λ的特征向量λEα - Aα = 0, (λE-A)α=0, 所以(λE-A)x=0 的⾮零解↔|λE-A|=0λE-A: 叫做特征矩阵|λE-A|: 叫做特征多项式|λE-A|: 叫做特征⽅程λ: 叫做特征值, 特征根λ是A的特征值, α是λ对应对的特征向量, cα也是λ的特征向量(c≠0)解带λ的⾏列式:完全展开|X|得⽅程组,(不推荐)把某⾏尽可能化为零, 按⾏展开提公因⼦(含λ)相反数, 相同数, ⾏和列相同特征值, 特征向量的基本性质:A和A T有相同的特征值(注:特征向量不⼀定相同)n个特征值λ1, λ2...λn,∑λi=Σa ii(i=1,...n)(特征值的和=矩阵对⾓线元素的和)λ1·λ2·...λn = |A|(所有特征值相乘=⾏列式的值)A可逆的充要条件是A≠0互不相同的特征值λ1,λ2,...λm对应的特征向量α1,α2,...αn线性⽆关Kλ是KA的特征值,λk是A k的特征值1/λ|A|是A*的特征值相似矩阵:, A,B是两个同阶⽅阵, 存在n阶可逆矩阵P, 使得P-1AP=B, 那么我们就说⽅阵A,B相似. A~B反⾝性: A~A, E-1AE=B对称性: A~B→B~A传递性: A~B, B~C→A~C, P-1AP=B, Q-1BQ=C, 所以Q-1P-1APQ=C (PQ)-1A(PQ)=CA~B, A,B具有相同的特征值, 矩阵A,B的⾏列式|A|=|B|, 矩阵的迹tr(A)=tr(B)(迹是指祝对⾓线元素相加)|λE-A|=|λE-B|, 因为:P-1AP=B,所以|λE-P-1AP|=|λP-1EP-P-1AP|=|P-1||λE-A||P| = |λE-A|如果A~B, A可逆↔B可逆, A-1~B-1如果A~B, 则A m~B m两个矩阵相似:tr(A)=tr(B)|A|=|B|均可逆或者不可逆A-1~B-1A m~B m特征值相同r(A)=r(B)定理: A相似余对⾓形↔A有n个线性⽆关的特征向量推论: A有n个异互的特征根, A~对⾓形定理: A~对⾓形↔对于r i重根, 基础解系有r i个解实对称矩阵的对⾓化含有n个线性⽆关向量的矩阵对⾓化内积:2个向量(同型)的对应元素乘积的和(本质实⼀个数)本⾝性, (α·α)=α12+α22+α32≥0 (α·α)=0↔α=0对称性, (α·β)=(β·α)齐次性, (kα·β)=k(α·β), (α·kβ)=k(α·β), (kα·kβ)=k2(α·β), (α+β, γ)=(α,γ)+(β,γ), (k1α1+k2α2,m1β1+m2β2)=k1m1(α1,α2)+k1m2(α1,β2)+k2m1(α2,β1)+k2m2(α2,β2)(α·β)=αT·β=α·βT向量的长度(范数, 模)向量⾃⾝内积开平⽅: ||α||=(α·α)1/2推⼴: (α·α)=||α||2当α=(-1, -1, 5), ||α||=[(-1)2+(-1)2+52]1/2点到原点的距离, 特别的: ||α||=1, 单位向量, eg:α=(1,0,0), 单位化(标准化)性质1: ||α||≥0, ||α||=0↔α=0性质2(齐次性): ||kα||=|k|||α||性质3: |(α,β)|≤||α||·||β||性质4(三⾓不等式):||α+β||≤||α||+||β||性质5(正交,垂直):(α,β)=0 α垂直β (0,α)=0性质6(正交向量组): α1, ...αs, 两两正交(不包含零向量)定理: α1,...αs正交向量组, α1,...αs线性⽆关施密特正交化给⼀组线性⽆关的向量组α1,...αs, 求与之等价的正交β1,...βsβ1=α1β2=α2-[(α2,β1)/(β1,β1)]β1β3=α3-[(α3,β1)/(β2,β1)]β1-[(α3,β2)/(β2,β2)]β2β4=α4-[(α4,β1)/(β1,β1)]β1-[(α4,β2)/(β2,β2)]β2-[(α4,β3)/(β3,β3)]β3正交矩阵:定义: 如果矩阵A是以个n阶⽅阵, 则AA T=E, 就说明A为正交矩阵性质1: 如果矩阵A实正交矩阵, 则|A|=1 or -1 ,, 证明: A T A=E, |A T A|=1, |A T||A|, |A|2=1性质2:矩阵A为正交矩阵, A-1=A T, 且A-1和A T均正交性质3:如果A,B实正交矩阵, 那么A·B也是正交矩阵(AB)T AB=B T A T AB=B T B=E性质4: A正交矩阵, α,β列, (Aα, Aβ)=(α,β)定理: 如果A是正交矩阵↔矩阵A的列(⾏)向量是标准正交向量组实对称矩阵的对⾓化定理: 是对称矩阵A的不同特征值的特征向量正交正交相似: A,B同阶,存在正交矩阵P,使得P-1AP=B, 那么A,B叫做正交相似。

第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。

则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。

第五章特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、 教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1)则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T)(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,, 1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==n i i A 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相 似 矩 阵定义5.3.1设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论 若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化. 定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时第二节特征值和特征向量的性质 2学时第三节相 似 矩 阵 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：特征根及特征向量的求法2、难点：什么时候可以将矩阵对角化四、教学内容的深化和拓宽：大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。