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《线性代数及其应用》第五章 特征值与特征向量

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线性代数第五、六章 特征值与特征向量

线性代数第五、六章 特征值与特征向量

特征值即为其主对角线元素。
2 1 1
【例
2】求
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
2 1 1 【解】 f ( ) A E 0 2 0
4 1 3 (2 ) 2 1 (1 )(2 )2，
4 3 令 f ( ) 0，解得 A的特征值为
1 1, 2 3 2
1 0
0 4
0 1
0 1
x2 x3
0 0
,得非零解为
x
k2
0 4
k3
11,
即为 A的属于特征值2 3 2的所有特征向量,其中k2 , k3
为不全为零的常数。
1 1 0
【例
3】求
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
【简解】⑴ A的特征值为1 2,2 3 1。
0
⑵对于1 =2,
⑴ 特征多项式 f ( ) | A E |； ⑵ 求特征方程 f ( ) | A E | 0的解1,2 , ,n， 则1,2 , ,n为 A的特征值（也称特征根）； ⑶ 对于每个i (i 1,2, , n)，求齐次线性方程组
（A i E）x 0 的（所有）非零解 x，即得 A的属于特征值i的（所有）
【定理 5.7】 设 A为n阶实对称阵，则必有正交阵 P ，使得
1
P 1 AP
，其中
1
,
n
,n为 A的特征值。
（一定要记住定理 5.7 的结论）
定理 5.7 表明n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量。
求正交阵P的方法与步骤（一定要掌握）
①求出A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量。
②如果特征值是单根,对应线性无关的特征向量只有 一个，将它单位化;

线性代数第5章 特征值及特征向量

线性代数第5章 特征值及特征向量

k1 p1 ( k1 0 常数)是对应于1 2 的全部特征向量.
18
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
④
23
二、填空题
１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则
|A|＝（
－６
），
Ａ－１的特征值为（ ＡＴ的特征值为（
１，-1/2, 1/3
１，－２，３．
）， ）， ）．
Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（
4, 1, 16 0
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（
）．
当
齐次线性方程组为 ( A 2E ) X O 2 3 2 时，
4 1 1 4 1 1 A 2E 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 得基础解系 P2 1 , P3 0 . 1 4
( ) a0 a1 a22 am m
是
( A) a0 E a1 A a2 A2 am Am
的特征值。如果 A 可逆，则
( ) a k k a11 a0 a1 am m
是
( A) a k A k a1 A1 a0 E a1 A am Am
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
1
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，

【学习】线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

【学习】线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

【关键字】学习第五章矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵；2）特征向量X 是非零列向量；3）方阵与特征值对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1）计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；（2）求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3）设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。

对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.3．特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。

性质2（1）（2）性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得Ｂ＝P―1ＡP则称A与B相似。

记作A∽B. 并称P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1°反身性：A∽A.2°对称性：若A∽Ｂ，则Ｂ∽A.3°传递性：若A∽Ｂ，B∽Ｃ则A∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若A∽B，则（1） ； （2） ；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，∽；（5）设f （x ）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ； 6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

线性代数 特征值与特征向量

线性代数 特征值与特征向量
第五章 特征值与特征向量
在数学和工程技术的许多领域，如微分方 程、运动稳定性、振动、自动控制、多体系统动 力学、航空、航天等等，常常遇到矩阵的相似对 角化问题。而解决这一问题的重要工具就是特征 值与特征向量。为此，本章从介绍特征值与特征 向量的概念和计算开始，进而讨论矩阵与对角形 矩阵相似的条件，最后介绍相关的应用问题。
求A的特征值与特征向量．
0 0 2
解
2 1 1
| I A | 4 3 1
0 0 2
( 1) 22 ,
令( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当 1 1 时解方程组（-I-A)X=0
1 1 1 1 1 0 I A 4 4 1 0 0 1
0 0 3 0 0 0
c0n c1n1 cn1 cn
考虑上式左端行列式的展开式，它除了
a11 a22 ann (5.1.6)
这一项含有 n个形如 aii 的因式外，其余
各项最多含有 n 2 个这样的因式。于是 n , n1
只能由 （5.1.6) 产生。比较（5.1.5)两端的系数， 得
不一定非零。
下面讨论特征值和特征向量的解法：
式 子 I AX 0
可写成以下线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
.......... ......... an1x an2 x
ann xn
0
如果 X 0 是方程组的非零解，则有 是 I A 的根。
反之，如果有 是 I A 的根，方程组有
非零解。
X x1, x2 , xn T
是 A的特征值 的特征向量， 是 A的
特征根。
定义5.1.2 设A为n阶方阵，称I A 为矩 阵A的特征矩阵，I A 为矩阵A的特征多项式，

第五章 特征值与特征向量(0808)

第五章 特征值与特征向量(0808)
T
2019/3/31
10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
2019/3/31 21
三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
2019/3/31
15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
2019/3/31
18
证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,

线性代数 第5章 特征值

线性代数 第5章 特征值

n , 则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .

i 1 i 1
n
2
n a11 a22 ann aii
i 1
n
tr ( A)称为A的迹.
4
3 1 . 例1 求A 的特征值和特征向量 1 3 解 A的特征多项式为 3 1 2 (3 ) 1 1 3 8 6 2 (4 )( 2 )
k 2 p2 k 3 p3
( k 2 , k 3 不同时为 ). 0
12
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则 (1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
证明
1 Ax x A 2 x 2 x A Ax Ax Ax x
(1) 由 A E 2 2
m 2 次，就得 Am x m x 再继续施行上述步骤
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
13
2 当A可逆时, 0,
1
由Ax x可得 A 1 x 1 x
Ax A1 x A1 x A
的特征向量.
3. 对于特征值 i , 求齐次方程组
A i E x 0
的非零解, 就是对应于 i的特征向量.
18
5.2 方阵的相似变换 一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .

第5章 特征值与特征向量ppt课件

第5章 特征值与特征向量ppt课件
a 1 (a 1 1 a 2 2 a n n ),
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.

完整版线性代数第五章特征值与特征向量自考经管类精品

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完整版线性代数第五章特征值与特征向量自考经管类精
品
特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在很多实际问题中具有广泛的应用。

本文将从定义、性质、求解方法以及应用等几个方面介绍特征值和特征向量。

特征值（eigenvalue）是一个方阵在一些线性变换下的伸缩因子，而特征向量（eigenvector）则是特征值对应的非零向量。

对于一个给定的方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应的特征向量。

特征值和特征向量具有以下几个重要性质：
1.特征值是矩阵的本质性质，不依赖于矩阵的表示方式。

2.每个特征值都有对应的特征向量，但一个特征向量可能对应多个特征值。

3.特征值和特征向量可以是复数，不一定是实数。

要求解特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：
1. 求解矩阵的特征方程：det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。

2.解特征方程得到特征值。

3.将特征值代回到特征方程，解得对应的特征向量。

特征值和特征向量在很多应用中具有重要的意义，如以下几个方面：
1.特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化，简化复杂计算。

2.特征值和特征向量在数据降维中有广泛应用，如主成分分析（PCA）。

3.特征值和特征向量可用于解决线性方程组、求解线性变换等问题。

4.特征值和特征向量在机器学习算法中有很多应用，如图像处理、聚类算法等。

综上所述，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

掌握特征值和特征向量的求解方法和性质，有助于理解和应用线性代数的相关知识。

第五章特征值和特征向量PPT课件

第五章特征值和特征向量PPT课件
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出

线性代数第5章特征值与特征向量

线性代数第5章特征值与特征向量

有 n 个根(重根按重数计算), 记为1, 2 , n ,
则特征方程可分解为 fA () ( 1)( 2 ) ( n ) 0.
因此，n 阶方阵在复数域上恰有 n 个特征值.
-9-
例1
求矩阵
0
A
1
1 0
的特征值与特征向量.
解： 求特征多项式
f () E A
1 2 1
1
解特征方程
4 1 3
解 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出A E 0 2 0 (2 ) 4 3
4 1 3
( 2)2 ( 1) 特征值为 1 1, 2 3 2.
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组
A E x 0, 求非零解。
当 2 3 2 时，齐次线性方程组为 ( A 2E) X O
A
2
E
4 1
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
x1 x2
0 0
0
令 x3 1得基础解系:
p1
0 1
k1 p1(k1 0 常数)是对应于 1 2 的全部特征向量。
当 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E x 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
-34-
定理5.3 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无 关的特征向量。
证： 先证必要性. 设A可对角化，即存在可逆矩阵P使得
P1AP diag(1,2 , , n )
记 P [1,2, ,n ] ， 则 A[1,2 , ,n ] [1,2,
,n
]
1
2
n
于是
Ai ii (i 1, , n)

大学线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量

大学线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量
通过找到一个矩阵的特征值和特征向量，我们可以了解该矩阵所代表的线性变换的性质，例如对称性、 旋转、缩放等。
在解决实际问题时，特征值和特征向量可以帮助我们理解数据的变化趋势和模式，例如在图像处理、信 号处理等领域有广泛应用。
在矩阵分解中的应用
01
矩阵分解是将一个复杂的矩阵 分解为几个简单的、易于处理 的矩阵，例如三角矩阵、对角 矩阵等。
矩阵的分解，如三角分解、 QR分解等，都涉及到特征值 和特征向量的应用，它们是构 造这些分解的基础。
02
矩阵的特征值与特征向量的定义
特征值的概念
特征值是指一个矩阵在某个非零常数倍下的不变性，即当矩阵A 乘以一个非零向量x得到0时，称该非零向量x为矩阵A的对应于 特征值λ的特征向量。
特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到，即|λE-A|=0。
密切的关系。
02
特征值和特征向量的关系可以通过矩阵的行列式、转
置、共轭等运算得到进一步的理解。
03
特征值和特征向量的关系性质在解决实际问题中具有
广泛的应用，如信号处理、控制系统等领域。
05ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵特征值与特征向量的应用
在线性变换中的应用
矩阵特征值与特征向量是线性变换的一个重要工具，它们可以描述一个线性变换对一个向量空间的影 响。
特征值和特征向量在解决线性方程组、矩阵的相似变换、矩阵的 分解等领域有广泛应用。
矩阵特征值与特征向量的重要性
在解决线性方程组时，特征值 和特征向量可以提供一种有效 的解法，特别是对于一些特殊 类型的线性方程组。
在矩阵的相似变换中，特征值 和特征向量是确定相似变换的 关键，有助于理解矩阵的性质 和行为。
大学线性代数第五章第一节矩 阵的特征值与特征向量

线性代数教案-第五章 特征值和特征向量

线性代数教案-第五章 特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、 教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1)则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T)(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,, 1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==n i i A 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相 似 矩 阵定义5.3.1设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论 若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化. 定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时第二节特征值和特征向量的性质 2学时第三节相 似 矩 阵 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：特征根及特征向量的求法2、难点：什么时候可以将矩阵对角化四、教学内容的深化和拓宽：大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。

线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量 PPT精品课件

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性质6 设 λ1,λ2 ,L,λs为矩阵A的互异特征值 , 对应的
第 五
特征向量分别为 ξ1,ξ2 ,L,ξ s , 则ξ1,ξ2 ,L,ξ s线性无关.
证:⑴ s=1时结论成立；
章
矩
⑵假设s=r-1时成立，则s=r时：
阵 的
设 k1ξ1 + k2ξ2 + L + kr−1ξr−1 + krξ r = 0, (∗)
的
n
特 征 值 与
其中 trA = ∑ aii 为A的迹。 i =1 性质2 设相似矩阵有相同的特征多项式，从而特征
对 角
值也相同。
化
证:设A与B相似, 则存在可逆阵P,使得 B = P −1AP
fB (λ ) = λI − B = λI − P −1AP = P −1(λI − A)P
= P−1 λI − A P = λI − A = fA(λ )
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ1 = ⎜ 1 ⎟;
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ2 =⎜ 0⎟;
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ3 =⎜ −1⎟ .
⎜⎝ − 1 ⎟⎠
-6-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
第
例3 设λ0 为A的特征值,则
五
章
⑴ λm0 为Am的特征值；
矩 阵 的 特
⑵
若A可逆,
则
1
λ0
为A−1的特征值；
征 值 与 对
⑶
若A可逆,
则
1
λ0
A 为A∗的特征值.
角
化
-7-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质：
特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次

(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)

(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)

Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .

特征值与特征向量

特征值与特征向量

第五章特征值与特征向量在本章中，我们将应用在第四章中建立的线性方程组的解的理论和求解方法，给出方阵的特征值和特征向量求法，研讨方阵化成对角矩阵的问题，并具体应用到实对称矩阵的对角化问题上。

5.1特征值与特征向量5.1.1特征值与特征向量的定义设A为n阶方阵，p是某个n维非零列向量。

一般来说，n维列向量Ap未必与p线性相关，也就是说向量Ap未必正好是向量p的倍数，如果对于给定的n阶方阵A，存在某个n维非零列向量p，使得Ap正好是p的倍数，即存在某个数λ使得Ap=λp，那么，我们对于具有这种特性的n维非零列向量p和对应的数λ特别感兴趣，因为它们在实际问题中有广泛的应用。

下面给出方阵的特征值和特征向量的定义定义5.1.1设A（a ij）为n阶实方阵。

如果存在某个数λ和某个n维非零列向量p满足Ap=λp，则称λ是A的一个特征值，称p是A的属于这个特征值λ的个特征向量。

例1.验算是否是的特征向量。

解:①②∴p是A的特征向量，且这时特征值λ=5为了给出具体求特征值和特征向量的方法，我们把Ap=λp（Ap=λE n p）改写成（λE n-A）=0。

再把λ看成待定参数，那么p就是齐次线性方程组（λE n-A）x=0的任意一个非零解。

显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：|λE n-A|=0。

定义5.1.2 带参数的λ的n阶方阵λE n －A称为A的特征方阵，它的行列式|λE n －A|称为A的特征多项式，称|λE n －A|＝0为A的特征方程。

根据行列的定义可知有A的特征多项式为（5.1）所以n阶方阵A的特征多项式一定是λ的n次多项式。

因此有（1）A的特征方程|λE－A|=0，即，它的n 个根λ1, λ2,…λn就是A的特征值（根）（2）对应于每一个特征值λi的齐次方程组（λi E－A）x=0,即的非0解向量就是方阵A关于特征值λi的特征向量。

例2.任意取定A的一个特征值λ0。

如果p1和p2都是A的属于特征值λ0的特征向量，则对任何k1p1+ k2p2≠0的实数k1和k2，p= k1p1+k2p2必是A的属于特征值λ0的特征向量。

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式符号一次。数乘一行 ，行列式值等于此数乘原来的行 列式值。
5 2 6 1
例 3：求 A 0
3
8
0
的特征方程。
0 0 5 4
0 0 0 1
解：
5 2 6 1
det( A I ) det
0
3
8
0
0 0 5 4 0 Nhomakorabea0
0 1
(5 )(3 )(5 )(1 )
特征方程
(5 )2 (3 )(1 ) 0，
求得方程的根
1.92 0.08 1或0.92。
2
对应=1的特征向量是方程( A I )x 0的非平凡解。
0.05 0.03 0.05 0.03 0 (2)(1) 0.05 0.03 0
A I 0.05 0.03 ， 0.05 0.03 0 : 0
0 0
从而特征向量v1
3 5
定理 1： 三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。
3 6 8 4 0 0
例 5：设 A 0 0
6
,
B
2
1
0，A的特征值为 3，0，2。
0 0 2 5 3 4
B 的特征值是 4 和 1。
注：
矩阵 A 有零特征值 Ax 0有非平凡解
A 是不可逆的
定理 1 证明： 为简单起见，考虑3 3的情形。
。
对应=0.92的特征向量是方程( A 0.92I )x 0的非平凡解。
A
I
0.03 0.05
0.03 0.03 0.05， 0.05
0.03 0.05
0 0.03 (2)5/3(1) 0 : 0
0.03 0
0 0
从而特征向量v2
1 1
。
第二步：把 x0表示为v1和v2的线性组合，即
x0 c1v1 c2v2 v1
注 1： A相似于 B，记Q P1，则Q1BQ A，即 B也相似于 A。 故我们简单地说 A和B是相似的。
注 2：相似变换：变换 A a P1AP。
注 3：相似性与行等价不是一回事
定理 4：若n n矩阵 A和B是相似的，那么它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值（和重数）。
定理 4 的证明： 由 A和B相似，有 P1AP B，
从而有
xk c1v1 c2 (0.92)k v2 , k 0,1, 2,L
0.125
3 5
0.225(0.92)k
1 1
(k
0,1, 2,L
)
当k 时， xk
0.375 0.625
0.125v1
。
注：结果与 4.9 节定理 18 比较。
作业：1、3、9、13、15、19、23、27
习题：
特征向量。
例
2：设
A
1 5
6 2
,
u
6 5
,
v
3 2
，u
和v
是否是
A的特征向量？
解：
Au
1 5
6 2
6 5
24 20
4
6 5
4u
Av
1 5
6 2
3 2
9 11
3 2
因此u是特征值-4 对应的特征向量，而v不是特征向量。
证明 7 是例 2 中矩阵 A的特征值，并求其对应的特征向量。
数 7 是矩阵 A的特征值当且仅当方程 Ax 7x
19．设 A是n n矩阵，并假设 A有n个实特征值1,L ,n，特征
值按其重数重复，因此
det(A I ) (1 )(2 )L (n )。
特别的有
det( A) 12 L n。
24. 证明，若 A和B相似，则det A det B。
5.3 对角化
目标：计算 Ak 。
例
1：若
D
5 0
例 4：某6 6矩阵的特征多项式是6 45 12 4 ，求特征值 及重数。
解：把多项式分解因式
6 45 124 4 (2 4 12) 4 ( 6)( 2)
特征值是 0（重数 4），6（重数 1），-2（重数 1）。或说特征值是 0,0,0,0,6,-2。
相似性：（特征多项式用途及特征值近似计算） 定义：A和B是n n矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P1AP B或 A PBP1，则说 A相似于 B。
线性变换 x a Ax可使向量往各个方向移动，但对某些特殊向量，A 对它们的作用是很简单的。
例
1：设 A
3 1
2 0
,
u
1 1
,
v
2 1
，则 Av 2v
（A 仅仅是
“拉伸”了 v）。
定义：A为n n 矩阵，x为非零向量，若存在数 使得
Ax x 成立，则称 为 A的特征值， x称为对应于 的
03 ，则
D2
5 0
0 5 3 0
0 3
52
0
0
32
D3
DD2
5 0
0 52
3
0
0 53
32
0
0 33
，
一般有，
对k
1, Dk
5k
0
0 3k
。
注：对角矩阵 A， Ak 的计算较简单
例
2：设
A
7 4
2 1
，给定
A
PDP 1 ，其中
P
1 1
1 2
,
D
5 0
0 3
，计算
A
k
。
解：根据矩阵乘法：
的解的构造。
特征向量与差分方程
xk1 Axk , (k 0,1,L )
取 A的一个特征向量 x0和它对应的特征值 ，则 xk k x0 (k 1, 2,L )
是方程的解。 上式的线性组合也是方程的解，见习题 33。
作业： 1、3、5、7、13、15、17、19、25、29.
5.2 特征方程
征值。
注：( A I )x 0所有解的集合就是矩阵 A I 的零空间，故而 是Rn 的子空间，称为 A的对应于特征值 的特征空间。特征空间由 零向量和所有对应于 的特征向量组成。
图 5.3 显示特征空间及 x a Ax对每个特征空间的几何意义。
4 1 6 例 4： 设 A 2 1 6 ，A的一个特征值是 2，求对应的特征空间
从而 A 的特征值是 3 和-7
特征方程：
数值方程det( A I ) 0称为 A的特征方程。
数 是n n矩阵 A的特征值 数 是特征方程det( A I ) 0的根
回顾： 定理 3：（行列式的性质） A和B是n n矩阵 a. A可逆的充要条件是det A 0。 b. det AB (det A)(det B)。 c. det AT det A。 d. 若 A是三角形矩阵，那么det A是 A主对角线元素的乘积。 e. 对 A做行替换不改变行列式值。做一次行交换改变行列
sk 1
0.18
0
0
sk
ak1 0 0.71 0.94 ak
或 xk1 Axk
这种方程被称为动力系统（或离散线性动力系统），描述系统
随时间推移发生的变化。
目的：剖析线性变换 x a Ax 的作用，把它分解为容易理
解的元素。研究 xk Ak x0 在k 时的情况
§1 特征向量与特征值
c1v1 L c p vp vp1
(1)
两边乘 A，则有
c11v1 L cppvp p1vp1
(2)
2 p11
c1 (1
p1 )v1
L
cp (p p1)vp 0
因为 v1,L ,vp 线性无关，1 p1,L ,p p1 0，因此只有
ci 0,i 1,L , p，由（1）得vp1 0，矛盾。
展开多项式，得 4 143 68 2 130 75 0。
注 1： 若 A是n n矩阵，则det( A I )是 n 次多项式，称为 A的特 征多项式。
注 2：特征值 的（代数）重数： 作为特征方程根的重数。
如例 3 中特征值 5 有重数 2。
注 3： n n矩阵的特征方程是 n 次多项式，算上重根，方程 恰好有 n 个根，可以有复特征值。
1
x3
0
,
x2 , x3任意数，
x3 0 1
1 3
从而 2 是特征值，对应特征空间是¡
3
的
2
维子空间，其一个基为：
2 0
,
0 1
。
注：已知特征值，手工计算特征向量方法如例 4。但数值 计算中的舍入误差有时会使简化阶梯形矩阵出现错误的主 元素。
可准确求出特征值的几种特例：
v2
c1 c2
，
c1 c2
v1
v2 1
x0
3 5
1 1 0.6 1 0.4
1 8
1 5
1 3
0.6 0.4
0.125 0.225
从而由 Av1 v1, Av2 0.92v2，容易算出 x1 Ax0 c1Av1 c2 Av2 c1v1 c2 (0.92)v2
x2 Ax1 c1Av1 c2 (0.92) Av2 c1v1 c2 (0.92)2 v2
A2 (PDP1)(PDP1)
PD({ P1P)DP1
I
PDDP1 PD2P1
A3 (PDP1) A2 PD { P1P D2P1 PD3P1
I
一般对k 1， Ak PDk P1
由 P1
2 1
11 ，可得
Ak
PDk P1
1 1
1 5k
2
0
0 2 1
3k
1
1
2 5k 3k 5k 3k
例
1：求
A
2 3