2020高考理数专题训练---坐标系与参数方程

2020年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）
1.（2020·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin k k x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4cos 16sin 30ρθθ-+=.
（Ⅰ）当1k =时，1C 是什么曲线？
（Ⅱ）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标.
2.（2020·全国卷Ⅱ）已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ
⎧=⎨=⎩（θ为参数），2C ：
11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）. （Ⅰ）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且过极点和P 的圆的极坐标方程.
3.（2020·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2
2223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且1t ≠）.C 与坐标轴交于A ，B 两点. （Ⅰ）求AB ；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.。

坐标系与参数方程[题型分析·高考展望] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．常考题型精析题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长．点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．变式训练1 (2014·广东改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 (2015·福建)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R )． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．点评 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围．变式训练2 (2014·福建)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 题型三 极坐标、参数方程及其应用例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值．点评 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．变式训练3 (2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．高考题型精练1．(2015·江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．2．(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．3．(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．4．(2015·湖南)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA ·MB 的值．5．(2014·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋kt(t 为参数)，以O 为原点，Ox 轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 和曲线C 相切，求实数k 的值．7．(2014·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2]．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB .答案精析第42练 坐标系与参数方程常考题型精析例1 解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18y ＝12， 所以A (2，－4)，B (18,12)， 所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2.即线段AB 的长为16 2.变式训练1 解 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的普通方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的普通方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．例2 解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ， 得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.变式训练2 解 (1)直线l 的普通方程为 2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.例3 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4. 变式训练3 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)． 高考题型精练1．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为6.2．解 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 3．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为12. 4．解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧ x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，MA ·MB ＝|t 1t 2|＝18.5．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋(y 2)2＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.6．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋kt， 得直线l 的普通方程为y ＝kx ＋1，由ρsin 2θ＝4cos θ得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，y 2＝4x ，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)把y ＝kx ＋1代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当直线l 与曲线C 相切时，由Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，得k ＝1.经检验k ＝1适合题意，∴所求实数k ＝1.7．解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)， 即(32，32)． 8．解 方法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.方法二 (1)同方法一．(2)因为圆C 的圆心为点(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故P A ＋PB ＝8＋2＝3 2.。

2020年高考数学二轮复习同步练习：专题10 选考内容 第2讲一、选择题1．(2020·安徽理，5)在极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3[答案] D[解析] 极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为2cos π3，2sin π3，即(1，3)，圆的极坐标方程ρ＝2cos θ可化为ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式d ＝1－12＋3－02＝3，故选D.2．(2020·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π)[答案] B[解析] 由ρ＝－2sin θ得：ρ2＝－2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆心直角坐标为(0，－1)，极坐标为(1，－π2)，选B.3．(2020·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t y ＝2＋3t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线[答案] A[解析] 将题中两个方程分别化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝x,3x ＋y ＋1＝0，它们分别表示圆和直线．4．(2020·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线[答案] C[解析] 由(ρ－1)(θ－π)＝0得ρ＝1或者θ＝π，又ρ≥0，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线． 二、填空题5．(2020·上海理，5)在极坐标系中，直线ρ(2cos θ＋sin θ)＝2与直线ρcos θ＝1的夹角大小为________．(结果用反三角函数值表示)[答案] arctan 12[解析] 极坐标方程化普通方程时要注意等价性．∵ρ(2cos θ＋sin θ)＝2，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得一般方程为2x ＋y ＝2.ρcos θ＝1的一般方程为x ＝1.直线2x ＋y ＝2的倾斜角的补角为arctan2，设两直线夹角为α，则tan α＝tan(π2－arctan2)＝cot(arctan2)＝1tanarctan2＝12，∴α＝arctan 12.6．(2020·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．[答案] 3[解析] C 1为圆(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2为圆x 2＋y 2＝1.∴|AB |min ＝32＋42－1－1＝3.7．(2020·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，(t 为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案]2[解析] 根据抛物线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t ，得出y 2＝8x ，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y ＝x －2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r ＝22＝ 2.8．(2020·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1，255[解析] ⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ≤π) 化为普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t化为普通方程为x ＝54y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝10≤y ≤1x ＝54y2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝255，即交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.三、解答题9．(2020·福建理，21)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． [解析] (1)把极坐标系的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)，因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线 l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为 (3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.10．(2020·新课标理，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.[解析] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2.由于M 点在C 1上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.11．已知参数C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．[解析] (1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 2与C 1只有一个公共点． (2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t 为参数)．化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式△＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点个数相同．12．(2020·辽宁理，23)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[解析] (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t ，(t 为参数)．。

课时规范练63 坐标系与参数方程基础巩固组1. 已知曲线C: =1,直线l:（t 为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；⑵过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线,交I于点A求|PA|的最大值与最小值2. （2019届广东珠海9月摸底，22）在直角坐标系xOy中,直线I过定点P（1,-）且与直线0P垂直.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p sin 2B -2COS 0 =0.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线I的参数方程；⑵设直线l与曲线C交于A B两点，求的值.3. （2018河南一模,22）在直角坐标系xOy中，已知直线I 1:（t为参数）,12：（t为参数）,其中a€ 0,, 以原点0为极点,x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p - 4cos 0 =0.（1）写出I 1, I 2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；⑵设I 1, I 2分别与曲线C交于点A B点A, B都不是坐标原点，求|AB|的值.4. （2018江西师大附中三模，22）在直角坐标系xOy中，曲线C:（0为参数）,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l : p sin（a - 0 ）=2s in a .其中a为直线l的倾斜角（a丰0）（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；⑵直线I与x轴的交点为M与曲线C的交点分别为AB,求|MA| • |MB|的值.5. （2018湖北5月冲刺,22）在直角坐标系xOy中，直线I经过点R,0）,倾斜角为，以坐标原点O为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为p =2sin 0 .（1）求直线l 的参数方程；⑵若A点在直线l上,B点在曲线C上,求|AB|的最小值.6. (2018河南郑州摸底)以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1, - 5)，点M的极坐标为4,,若直线I过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心,4 为半径.(1) 求直线I的参数方程和圆C的极坐标方程；(2) 试判定直线I圆C的位置关系.综合提升组7. (2018广西钦州第三次质检,22)在平面直角坐标系xOy中，直线I经过点P(-3,0),其倾斜角为a , 以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为p 2-2p cos 0 -3=0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角a的取值范围；⑵设M x, y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围.& （2018重庆西南大学附中模拟）已知平面直角坐标系xOy中，过点只-1,-2）的直线I的参数方程为（t为参数）,I与y轴交于点A以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系•曲线C的极坐标方程为p sin 2B =ncos 0 （m：0）,直线I与曲线C交于M N两点.（1）求曲线C的直角坐标方程和点A的一个极坐标；⑵若=3,求实数m的值.创新应用组9. （2018河北衡水中学押题一）已知直线I的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p =4cos 0 ,直线l与圆C交于A B两点.(1) 求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；(2) 动点P在圆C上(不与A, B重合)，试求△ ABP勺面积的最大值10. (2018湖南长沙模拟二)在直角坐标系xOy中,直线I的方程是x=2,曲线C的参数方程为(a为参数),以O 为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线I和曲线C的极坐标方程；⑵射线OM 0 =B其中0<3 w与曲线C交于QP两点，与直线I交于点M求的取值范围.参考答案课时规范练63 坐标系与参数方程1. 解(1)曲线C的参数方程为(0为参数).直线I的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos 0 ,3sin 0 )到直线I的距离为d=|4cos 0 +3sin 0 -6| ,则|PA|==| 5sin( 0 +a )-6|,其中a 为锐角,且tan a =.当sin( 0 +a )=-1 时, | PA| 取得最大值, 最大值为.当sin( 0 +a )=1 时, |PA| 取得最小值, 最小值为.2. 解(1)曲线C的直角坐标方程为y2=2x,直线I 的参数方程为(t 为参数).(2)设点A B对应的参数分别为t1、t2,将直线I与曲线C的方程联立得t2-8t+4=0,( *)可知t 1, t2是(*)式的两根，则故t 1、t2同正.+=+===23. 解(1) l i, l 2 的极坐标方程为0 1= a ( p € R), 0 2= a + ( p € R).曲线C的极坐标方程为p -4cos 0 =0,即为p 2-4 p cos 0 =0,利用p 2=x2+y2,x=p cos 0 ,得曲线C的直角坐标方程为(x- 2) 2+y2=4.(2) 因为p 1=4cos a , p 2=4cos a +,2 2 2所以|AB| =+-2 p 1 p 2COS=16COS a +cos a +-cos a COS a +22 =16cos a +(cos a -sin a ) -cos a (cos a -sin a )=8,所以|AB| 的值为2.4. 解(1)曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=4,直线l 的直角坐标方程为x sin a -y cos a =2sin a .(2)直线l与x轴的交点为M2,0),直线l的参数方程可设为(t为参数),将直线l的参数方程代入圆C的方程(x-1) 2+y2 =4,得t 2+2t cos a -3=0, 故|MA| • |MB|=|t 1 气2|=3.5. 解(1) 直线l 的参数方程为(t 为参数), 即(t 为参数).(2)由(t为参数), 得x-y- 3=0.由p =2sin 0得p 2=2p sin 0 , 即x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1.所以曲线C是以点Q0,1)为圆心,1为半径的圆.又点Q到直线l: x-y- 3=0的距离为d==2.故|AB|的最小值为2-1=1.6. 解(1) 直线l 的参数方程为(t 为参数),则(t为参数),M点的直角坐标为(0,4), 圆C 的方程为x2+(y-4) 2=16, 且代入得圆C极坐标方程为p =8sin0 .(2) 直线l 的普通方程为x-y- 5-=0,圆心M到直线l的距离为d==>4,•••直线l与圆C相离.7. 解(1)将曲线C的极坐标方程p 2-2p cos 0 -3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x- 3=0,直线I的参数方程为( t 为参数),将参数方程代入x2+y2- 2x- 3=0, 整理得t2-8t cos a +12=0.•••直线l与曲线C有公共点，2=64cos a -48》0,• cos a > ,或cos a < -.T a € [0, n ),••• a的取值范围是0, U , n .(2)曲线C 的方程x2+y2- 2x- 3=0 可化为(x-1)2+y2=4,其参数方程为(0为参数), T M( x,y) 为曲线上任意一点,•x+y=1+2cos 0 +2sin 0 =1+2sin 0 +,二x+y的取值范围是[1 -2,1 +2 ].8. 解(1) ■/ p sin 20 =ncos 0 , • p 2sin 20 =m p cos 0 ,2•y2=nx(n>0),A点坐标为(0, -1),其一个极坐标为A1, n .(2)将(t 为参数)，代入y2=mx得t2- (4+m)t+m+4=0.T =3,•t 1=3t 2.•• m=.9. 解(1) 由p =4cos0 得p 2=4p cos 0 ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4.将直线I的参数方程代入圆C( x-2)2+y2=4,并整理得12+2t= 0,解得t 1=0, t 2=-2.所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t 1-t 2|= 2.(2) 直线I 的普通方程为x-y- 4=0.圆C的参数方程为( 0 为参数),可设圆C上的动点P(2 +2cos 0 ,2sin 0 ),则点P到直线l的距离d==2cos0 +-.当cos 0 +=-1时，d取最大值,且d的最大值为2+.所以S\ABP< X 2X(2+)=2+2.即厶ABP的面积的最大值为2+2.10. 解(1) T•直线l 的极坐标方程是p cos 0 =2,由消参数得x2+( y-2) 2=4,•曲线C 的极坐标方程是p =4sin 0 .(2)将0 =3 分别代入p =4sin 0 , p cos 0 =2,得|OP|=4sin 3 , |OM|=, •=sin 2 3 .•/ 0< 3 0<2 3<,•0<sin 2 3 2•的取值范围是0, .。