高考数学压轴专题长春备战高考《坐标系与参数方程》知识点训练含答案

数学《坐标系与参数方程》知识点一、131．已知点()30A -,，()0,3B ，若点P 在曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．92B．C．62+ D．62-【答案】D 【解析】 【分析】化简曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩成直角坐标,再将面积最小值转换到圆上的点到直线AB 的距离最小值求解即可. 【详解】由曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）知曲线是以()1,0为圆心,1为半径的圆.故直角坐标方程为：()2211x y -+=.又点()30A -,,()0,3B 故直线AB 的方程为30x y -+=. 故当P 到直线AB 的距离最小时有PAB △面积取最小值. 又圆心()1,0到直线AB 的距离为d ==故P 到直线AB 的距离最小值为1h =.故PAB △面积的最小值为()1116222S AB d =⋅=⨯=-. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了参数方程化直角坐标的方法与根据直线与圆的位置关系求最值的问题.属于中等题型.2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】B 【解析】 【分析】将223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为22xy + 的最大值。

【详解】223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得22332y x x =-，则()2222211919369(3)22222x y x x x x x +=-+=--++=--+.由223302y x x =-…，可得02x 剟，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4． 故选B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。

3．曲线2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到原点的距离的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离求最值. 【详解】曲线2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到原点的距离为：2=，当且仅当cos 1θ=±时取得等号 故选C. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用.4．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=5．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4 D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=，∴椭圆的焦距为=A ．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．6．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【答案】D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫-⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02骣琪琪桫为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A．2BC ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】设曲线C上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪=， 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<…，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 【答案】D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。

【详解】 如图：由直线参数方程的参数t 的几何意义可知，1PB t =，2PC t =，因为M 是BC 的中点，所以122t t PM +=. 选D. 【点睛】本题考查直线参数方程的参数t 的几何意义。

9．设曲线C 的参数方程为35cos ()15sin x y θθθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩为参数，直线l 310x y -+=，则曲线C 上到直线l 的距离为52的点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与52的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】化曲线C 的参数方程为普通方程：(()223125x y ++=，圆心)3,1-310x y -+=的距离3115522d ++==<， 所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．10．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=︒，点P 在弧BC 上运动，AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v，则3m n-的最大值是（）A ．1B ．3C ．2D ．23【答案】C 【解析】 【分析】以A 为原点可建立坐标系，设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ；根据AP mAB nAC=+u u u v u u u v u u u v可求得cos 3sin 2sin m n θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，从而得到()32sin 60m n θ-=+o，利用三角函数值域求解方法可求得结果. 【详解】以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤oo，则()0,0A ，()10B ,，312C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，3122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u vAP mAB nAC=+u u u v u u u v u u u v Q 3cos 1sin 2m n nθθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o 0150θ≤≤ooQ 6060210θ∴≤+≤o o o ()1sin 6012θ∴-≤+≤o 132m n ∴-≤-≤3m n -的最大值为2本题正确选项：C【点睛】本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.11．椭圆221164x y+=上的点到直线20x y+-=的最大距离是（）A．3 BC．D【答案】D 【解析】【分析】设椭圆221164x y+=上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y+=的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆221164x y+=上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线20x y+=的距离=，maxd==，故选D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．12．设x、y满足223412,x y+=则2x y+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】由223412x y+=得出22143x y+=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求2x y+的最大值.【详解】由题可得：22143x y +=则2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），有22cos x y θθ+=+142con θθ⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭4sin 6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为1sin 16πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 则： 44sin 46πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.13．已知M 点的极坐标为(2,)6π--，则M 点关于直线2πθ=的对称点坐标为（ ）A ．(2,)6πB ．(2,)6π-C ．(2,)6π-D ．11(2,)6π- 【答案】A 【解析】M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即为5(2,)6π∴ M 点关于直线2πθ=的对称点坐标为(2,)6π,选A.点睛:(,)(,),ρθρθπ=-+(,)ρθ关于2πθ=对称点为(,)ρπθ-,关于0θ=对称点为(,)ρθ-.14．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ=+，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--【答案】B 【解析】 【分析】将曲线C 的方程22312sin ρθ=+化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ=+，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y +=设x α=，sin y α=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.15．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y =++，圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.16．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ=B ．cos ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=【答案】C 【解析】由题意知圆的极坐标方程为221rcos cos ρθθ==⨯⨯，即2cos ρθ=．故选C ．17．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（ ）A B ．2C ．1D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)Aαα,，联立1C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，因此得到A 的极坐标为)αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以sin 2sin 3=AB πααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为2．故选：B ．【点睛】本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 【答案】C【解析】【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解.【详解】 解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 可得：223412x y +=，即22143x y +=， 曲线C经过伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=， ∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C ．【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x x y=⎧=''⎪为解题关键.19．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是( ) AB ．3C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离求解．【详解】 在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，1）， 直线ρsin （θ﹣6π）＝1化为直角坐标方程为x+2＝0，1）到x+2＝0的距离1=，即点（2，6π）到直线ρsin （θ﹣6π）＝1的距离为1， 故选C ．【点睛】 本题考查直角坐标和极坐标的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.20．已知二次函数()()21211y a a x a x =+-++，当1,2,3,,,a n =L L 时，其抛物线在x 轴上截得线段长依次为12,,,,n d d d L L ，则()12lim n n d d d →+∞+++K 的值是 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】当a n =时，()()21211y n n x n x =+-++，运用韦达定理得()1211111n d x x n n n n =-====-++，运用裂项相消求和可得12.n d d d ++⋯+由此能求出()12lim n n d d d →+∞+++K 【详解】当a n =时，()()21211y n n x n x =+-++，由()()212110n n x n x +-++=，可得()12211n x x n n ++=+，()1211x x n n =+，由()1211111n d x x n n n n =-====-++， 1211111111112233411n d d d n n n ∴++⋯+=-+-+-+⋯+-=-++．∴()121lim lim 111n n n d d d n →+∞→+∞⎛⎫+++=-= ⎪+⎝⎭K 故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数的极限的运算，裂项相消求和，根与系数的关系，属于中档题．。