2018届二轮(理)专题十八坐标系与参数方程专题卷(全国通用)

坐标系与参数方程、不等式选讲高考频度：★★★★★难易程度：★★★☆☆（2017新课标III理）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,x ty kt=⎧⎨=⎩（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk=-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin20lρθθ+-=，M为l3与C的交点，求M的极径.【参考答案】（1）()2240x y y-=≠；（2）5.（2）C的极坐标方程为()()222cos sin402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin4,cos sin20ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin2cos sinθθθθ-=+.故1tan3θ=-，从而2291cos,sin1010θθ==.代入()222cos sin4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M5【解题必备】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.1．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线l 过定点(1,0)P -，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 与曲线C ：22111cos 2θρ=-相交于A 、B 两点． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若32||2AB =，求直线l 的方程. 2．选修4-5：不等式选讲已知不等式|9||34|20x x +--+>的解集为7{|}2b x x a -<<. （1）求,a b 的值；（2）若2||||3a x ax cb ++≥恒成立，求c 的取值范围.1．【答案】（1）2212x y +=；（2）210x -+=或210x ++=. 【解析】（1）由2222222211111cos cos 11222x y x θρρθρ=-⇒-=⇒+-=， 得2212x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）①， 将参数方程①代入椭圆的方程2212x y +=中，得22(1sin )2cos 10t t αα+--=， ∴224cos 4(1sin )0∆αα=++>，∴方程有两相异实数根1t 、2t （∵122101sin t t α=-<+），又1222cos 1sin t t αα+=+，12211sin t t α=-+. ∴21222222cos 1832||||()41sin 1sin (1sin )2AB t t αααα-=-=-⨯==+++， 解得21sin 3α=，即32sin tan 32αα=±⇒=±， 从而求出直线l 的方程为210x y -+=或210x y ++=．（2）由2||||3a x ax cb ++≥恒成立，得4|||4|10x xc ++≥恒成立， 又4|||4||4||4||44|||x x c x x c x x c c ++=-++≥-++=.所以若4|||4|10x x c ++≥恒成立，则||1010c c ≥⇒≥或10c ≤-， 故c 的取值范围为[10,)(,10]+∞-∞-.。

参数方程与极坐标1．设点P 在曲线2sin =θρ上,点Q 在曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上,求|PQ |的最小值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：首先把两曲线化为直角坐标方程：222,(1)1y x y =-+=，数形结合知过x=1的直线与圆相交的较近的两点间的距离就是PQ的最小值．考点：直线与圆的位置关系．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()4x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数.曲线C 的参数方程为2()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，则直线l 和曲线C 的公共点有（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无数个【答案】B 【解析】试题分析：()4x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数即y=x+4，2()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数 即22(2)(2)8x y -+-=，=l 和曲线C 的公共点有1个，选B 。

考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系。

点评：小综合题，将参数方程化为普通方程，实现了“化生为熟”，研究直线与圆的位置关系，两种思路，一是“代数法”，二是“几何法”。

3．坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（ ） A ．)2,1(πB ．)2,1(π- C ．)0,1( D ．(1,)π【答案】B 【解析】试题分析：圆θρsin 2-=即为圆22s i n ρρθ=-化成直角坐标方程为2220x y y ++=，所以圆心的直角坐标为()0,1-，极坐标是)2,1(π-.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化.4．将点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛310π，化成直角坐标是（ ）(A)(5， (B)()5 (C)()5，5 (D)()5-，-5 【答案】A【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛310π，，知10,3πρθ== 极坐标与直角坐标的关系为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以⎪⎭⎫⎝⎛310π，的直角坐标为10cos 5,10sin 33x y ππ====即(5， 故正确答案为A5．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（Ⅰ）ρ=2cosθ，（Ⅱ）2【解析】试题分析：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y 2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程． （II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q ．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．视频6．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【答案】2a = 【解析】试题分析： 由将cos ,sin x y ρθρθ==极坐标方程2cos sin ρθθ=及πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程2x y =，2x y +=，联立方程组解得交点坐标()1,1A ，()2,4B -，根据两点间距离公式求线段AB 的长．试题解析：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；…………………………………4分πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭同样可化为2x y +=，…………………………8分联立方程组，解得()1,1A ，()2,4B -， 所以AB ==所以3222a a -=（0a >），解得2a =（负值已舍）．………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程7．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．（1）写出直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值.【答案】曲线C:02222=+-+y x y x （2）62． 【解析】 试题分析：先将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线l 的参数方程化为普通方程， 根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题.试题解析：（1曲线C:02222=+-+y x y x 4分 （2）因为圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2-=，所以θρθρρs i n 2c o s 22-=，所以圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，圆心为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22,半径为1, 6分因为直线l的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以直线l上的点P+⎝向圆C引切线长是所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是62． 10分考点：参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.8．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线2:sin2cosC aρθθ=(0)a>，过点()2,4P--的直线l的参数方程为（t为参数）。

参数方程与极坐标1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,(1x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数，t R ∈），圆C 的参数方程为cos 1,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，[)0,2θπ∈），则圆心C 到直线l 的距离为（ ）A ．0B ．2C ．2【答案】C【解析】试题分析：直线l 的普通方程为10x y -+=，圆的直角坐标方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，所以圆心C 到直线l 的距离为d == C. 考点：直线的参数方程与圆的极坐标方程. 2．⊙O 1极坐标方程为θρcos 4=，⊙O 2参数方程为θθθ(sin 22cos 2⎩⎨⎧+-==y x 为参数)，则⊙O 1与⊙O 2公共弦的长度为( )A ．2B ．12+C ．22D ．1 【答案】C【解析】因为⊙O 1的普通方程为2240x y x +-=,⊙O 2的普通方程为22(2)4x y ++=,所以两圆作差可得0x y +=,所以圆O 1到直线x+y=0所以公共弦的长度为l ==3．已知点(1,0),M -直线:1l y x =+与曲线2c o s :(sin x C y ααα=⎧⎨=⎩为参数）两点相交于21,P P ，2121)2(;)1(P P MP MP 求求【答案】（1）1.2（2【解析】试题分析：解（1）曲线C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x 的一般方程为：1422=+y x 直线l ：1+=x y 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22221把直线方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22221代入曲线C ：1422=+y x ，得：062252=--t t 设21,t t 是方程的两根,则21MP MP =5621=t t 6分 21)2(P P =528564)522(4)(22122121=⨯+=-+=-t t t t t t . 12分 考点：直线与圆的位置关系点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

第7讲 坐标系与参数方程[明考情]坐标系与参数方程是高考必考题，以选做题形式出现，基础性知识考查为主，中低档难度. [知考向]1.极坐标与直角坐标的互化.2.参数方程与普通方程的互化.3.极坐标与参数方程的综合应用.考点一 极坐标与直角坐标的互化要点重组 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).1.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径. 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求CP 的长. 解 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 即x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴圆心C (2，0)，又由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3， 可得点P 的直角坐标为(2，23)， ∴CP ＝(2－2)2＋(23－0)2＝2 3.3.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值.解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22. 4.在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A ，B ，求线段AB 的长.解 ∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32， ∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.考点二 参数方程与普通方程的互化 要点重组 常见曲线的参数方程(1)过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).(2)圆心在P (x 0，y 0)，半径等于r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).方法技巧 参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制.5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1，2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值. 解 (1)圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝16.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝16， t 2＋(3＋2)t －11＝0.所以t 1t 2＝－11，即|P A |·|PB |＝11.6.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.7.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837.故AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.8.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.考点三 极坐标与参数方程的综合应用方法技巧 解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.9.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2).设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.10.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]. (1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，求C 1与C 2的公共点的极坐标.解 (1)把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入曲线C 1的极坐标方程ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，故C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)由曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，可知此直线经过原点，倾斜角为π6，因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6(ρ＞0).将θ＝π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2－23ρ＋3＝0，解得ρ＝3；将θ＝7π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2＋23ρ＋3＝0，解得ρ＝－3，舍去.故C 1与C 2的公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6. 11.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值.解 (1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2.所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.12.(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离d ＝ |3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.例 (10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ.(1)求直线l 与椭圆C 的直角坐标方程；(2)若Q 是椭圆C 上的动点，求点Q 到直线l 距离的最大值. 审题路线图利用极坐标和直角坐标互化公式―→得直线和椭圆的直角坐标方程――――→引入参数α得椭圆的参数方程―――→代入距离公式用α的三角函数表示Q 到l 的距离――――→利用辅助角公式转化 Q 到l 距离的最大值 规范解答·评分标准解 (1)由cos θ＋2sin θ＝0⇒ρcos θ＋2ρsin θ＝0⇒x ＋2y ＝0， 即直线l 的直角坐标方程为x ＋2y ＝0.由ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ⇒ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4⇒x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.即椭圆C 的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………4分(2)因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，………………6分可设Q (2cos α，sin α)，因此点Q 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离d ＝|2cos α＋2sin α|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π45，……8分所以当α＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.故点Q 到直线l 的距离的最大值为2105.……………………………………………10分构建答题模板[第一步] 互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化. [第二步] 引参：引进参数，建立椭圆的参数方程. [第三步] 列式：利用距离公式求出距离表达式. [第四步] 求最值：利用三角函数求出距离的最值.1.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 2.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值. 解 (1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)易知C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0. 由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心的圆， 且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32， 所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10， ①曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝322，所以直线被曲线C 截得的弦长为210－92＝22.4.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值. 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α＝|sin 2α－3cos 2α－3| ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3， 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.5.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，曲线C 2：ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0. (1)将曲线C 1化成普通方程，将曲线C 2化成参数方程；(2)判断曲线C 1和曲线C 2的位置关系.解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，∴t ＝x －4， 代入y ＝5＋2t ，得y ＝5＋2(x －4)，即y ＝2x －3，∴曲线C 1的普通方程是y ＝2x －3.将ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线C 2的方程ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0，得x 2＋y 2－6x －10y ＋9＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝25.设x －3＝5cos α，y －5＝5sin α得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝5＋5sin α(α为参数). (2)由(1)知，曲线C 1是经过点P (4，5)的直线，曲线C 2是以O ′(3，5)为圆心，5为半径的圆. ∵|PO ′|＝1＜5，∴点P (4，5)在曲线C 2内，∴曲线C 1和曲线C 2相交.。

限时规范训练 坐标系与参数方程限时30分钟，实际用时分值40分，实际得分解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)1．(2017·河南六市联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程．(2)若射线θ＝π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝7. 因为曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，所以把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝1， 得到曲线C 2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1， 化简得ρ＝2cos θ.(2)依题意设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 因为曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0， 将θ＝π6(ρ＞0)代入曲线C 1的极坐标方程，得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3，同理，将θ＝π6(ρ＞0)代入曲线C 2的极坐标方程．得ρ2＝3，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝3－ 3.2．(2017·武昌区调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α| ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.3．(2017·广东普宁模拟)在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程． (2)求点M 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝4cos θ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 所以y 2＝4x ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ， 因为点M 的直角坐标为(0,1)，直线l 的倾斜角为3π4，故直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)代入曲线C 的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22t ， 即t 2＋62t ＋2＝0， Δ＝(62)2－4×2＝64，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2，又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积|MA |·|MB |＝|t 1||t 2|＝|t 1·t 2|＝2.4．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求C 1的极坐标方程，C 2的直角坐标方程．(2)求C 1与C 2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t，消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，变为ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋y 2－2y ＝0.(2)因为C 1的普通方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.。

2018高考数学(理)二轮复习极坐标与参数方程配套试题
5 精品题库试题
理数
1(x化为极坐标方程为ρcs θ+ρsin θ=1,即ρ= ∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤ 故选A
2(4=0,
cρ=4cs θρ2=4ρcs θ,∴cx2+2=4x,
即(x-2)2+2=4,∴c(2,0),r=2
∴点c到直线l的距离d= = ,
∴所求弦长=2 =2 故选D
3(1上 D在直线=x+1上
[答案] 3B
[解析] 3曲线 (θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线=-2x上,故选B
4 (2)2+(-1)2=1,由直线l与曲线c相交所得的弦长|AB|=2知,AB 为圆的直径,故直线l过圆心(2,1),注意到直线的倾斜角为 ,即斜率为1,从而直线l的普通方程为=x-1,从而其极坐标方程为ρsin θ=ρcs θ-1,即ρcs =1
9( +1=0,
又点的直角坐标为( ,1),
∴点到直线的距离d= =1
10(4坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，设线段的中点为，则点的直角坐标为．[答案] 21
[解析] 21 消去参数t可得曲线c1的普通方程为，曲线，根。

坐标系与参数方程高考解答题专题1、（2018江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．2、（2018全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．3、（2018全国新课标Ⅲ文、理）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4、(2017江苏) 在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.5、（2017全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．6、（2017全国新课标Ⅱ文、理） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.7、（2017全国新课标Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+-=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．8、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.9、（2016全国Ⅰ文、理）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（1）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．10、（2016全国Ⅱ文、理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率．11、（2016全国Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.12、(2015湖南理)已知直线52:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值.13、(2015江苏)已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径.14、(2015全国新课标Ⅰ卷文理)在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.15、(2015全国新课标Ⅱ卷文、理)在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23.C C ρθρθ== （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.。

全国高考理科数学试题分类汇编18：坐标系与参数方程
一、选择题
1 （安徽数学（理）试题）在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为
（ ）
A ．=0()cos=2R θρρ∈和
B ．=()cos=22R πθρρ∈和
C ．=
()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和*B
二、填空题 2 （天津数学（理）试题）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
, 则|CP | = ______.
*
3 （高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为
__________
4 （高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,
6π)到直线ρsin θ=2的距离等于________*1
5 （重庆数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于,A B 两点,则______AB =*16
6 （广东省数学（理）卷）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C
的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪
⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则
l 的极坐标方程为_____________.
*
sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 7 （高考陕西卷（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则
圆220y x x +-=的参数方程为______ .。

2018年全国高考理科数学分类汇编——参数方程极坐标1.（江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．2.（全国1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．3. （全国2卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．4.（全国3卷）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．5.（天津）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．。

参数方程与极坐标1．曲线的参数方程为()2232{051x t t y t =+≤≤=-，则曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线 【答案】A【解析】由21t y =+代入232x t =+消去参数t 得()312350x y x y =++--=即 又05277,124t x y ≤≤∴≤≤-≤≤所以表示线段。

故选A2．直线34x t y t =-⎧⎨=+⎩，（t 为参数)上与点(3,4)P）A ．)3,4(B ．)5,4(-或)1,0(C ．)5,2(D ．)3,4(或)5,2( 【答案】D【解析】试题分析： 设直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩ ，（t 为参数)上与点(3,4)P是(3,4)t t -+，则有=即211t t =⇒=±，所以所求点的坐标为)3,4(或)5,2(．故选D ．考点：两点间的距离公式及直线的参数方程． 3．若直线的参数方程为()12{23x tt y t=+=-为参数，则直线的斜率为（ ）． A.23 B. 23- C. 32 D. 32- 【答案】D【解析】将直线消去参数化为普通方程为3270x y +-=，因此斜率为32-，故选D. 4．在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''23.A y y x x ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 23.B ''⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 213.C '' ⎪⎩⎪⎨⎧==''213.D y y x x 【答案】C【解析】试题分析：曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =需将横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标缩小为原来的12因此''312x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 考点：图像伸缩变化5．A 在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2{2x cos y sin αα=+=+,(α为参数),直线2C的方程为,y =以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11.OA OB+ B 已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n .（1）求,m n 的值；（2）若0,0,0x y nx y m >>++=，求证： 16.x y xy +≥【答案】A （1）见解析；（2B （1）1,9m n =-=;（2）证明见解析. 【解析】试题分析：A （1）先消参转化为普通方程，再利用普通方程与极坐标的转化公式转化为极坐标；（2）根据极坐标中ρ的几何意义， 12=OA OB ρρ=，证明即可.B （1）分区间去绝对值号解不等式即可；（2）利用均值不等式证明.试题解析： A （1）曲线1C 的普通方程为()()22221x y -+-=,则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=,由于直线2C 过原点,且倾斜角为3π,故其极坐标为()3R πθρ=∈ (或tan θ=（2）由24470{3c o s s i n ρρθρθπθ--+==,得()2270ρρ-+=,故12121212112,7,OA OB OA OB OA OB ρρρρρρρρ+++==∴+===⋅B （1）由36x x x +-<+,得3{36x x x x ≥+-<+或0{36x x x x ≤-+-<+,解得19,1,9x m n -<<∴=-=（2）由（1）知0,0,91,x y x y >>+=()1199101016,y x x y x y x y ⎛⎫∴++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =即11,124x y ==时取等号, 1116x y∴+≥,即16.x y xy +≥ 6．若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1，0)、B(1，0)的距离差的绝对值为定值2a,求点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.【答案】当a=1时两射线，当0<a<1时双曲线112222=--a y a x 【解析】略7．求过点A(3,)且和极轴成角的直线.【答案】ρ(sin θ+cos θ)=+【解析】设M(ρ,θ)为直线上一点,B 为直线与极轴的交点,A(3,),OA=3,∠AOB=, 由已知∠MBx=, 所以∠OAB=-=, 所以∠OAM=π-=. 又∠OMA=∠MBx-θ=-θ, 在△MOA 中,根据正弦定理得=.又sin =sin(+)=,将sin(-θ)展开化简可得ρ(sin θ+cos θ)=+,所以过A(3,)且和极轴成角的直线为:ρ(sin θ+cos θ)=+.8．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x=22ty=22t+42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】(1))22,22(--；(2)62． 【解析】 试题分析：(1))4cos(2πθρ+=⇒ρθθ=⇒2cos sin ρθθ=⇒圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ⇒圆心C 的直角坐标为)22,22(--； (2)法一： 由直线l 上的点向圆C 引切线长为=-+++-1)242222()2222(22t t 6224)4(2≥++t ； 法二：直线l 的普通方程为024=+-y x ⇒圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++⇒直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-．试题解析：解： (1) )4cos(2πθρ+=∴ϑθρsin 2cos 2-=,∴ϑρθρρsin 2cos 22-= ∴圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ∴圆心C 的直角坐标为)22,22(--(2)法一： 由直线l上的点向圆C引切线长为1)242222()2222(22-+++-t t6224)4(40822≥++=++=t t t∴直线l 上的点向圆C 引切线长的最小值为62法二：直线l 的普通方程为024=+-y x ,圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-考点：1、极坐标；2、直线与圆的位置关系.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．9．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为： 1,{2,x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数，0a π≤<），以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点()1,2P ，设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求11PA PB+最小值. 【答案】（1）()2239x y +-=;（2【解析】试题分析：（1）曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=，两边同乘以ρ ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得结果；（2）直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数的几何意义及三角函数的有界性，求11PA PB+最小值.试题解析：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=.（2）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--=，因为()24cos sin 470αα∆=-+⨯>故可设12,t t 是方程的两根， 所以()121227t t cos sin t t αα⎧+=--⎨=-⎩.又直线l 过点()1,2P ，结合t 的几何意义得：1212PA PB t t t t +=+=-==≥=.∴11PA PB PA PB PA PB ++==≥⋅10．已知曲线C 的方程22332y x x =-，设y tx =，t 为参数，求曲线C 的参数方程． 【答案】233232t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 【解析】解：将y tx =代入22332y x x =-， 得222332t x x x =-，即32223x t x =-()． 当 x =0时，y =0；当0x ≠时， 232t x -=． 从而332t t y -=．∵原点(0,0)也满足233232t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,， ∴曲线C 的参数方程为233232t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,（t 为参数）．11．极坐标系中,B A ,分别是直线07sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是 【答案】1 【解析】试题分析：把极坐标方程化为直角坐标方程得，直线的方程为3470x y -+=，圆方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1r =，圆心C 到已知直线的距离为2d ==在，所以AB 的最小值为211d r -=-=.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离.12．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，点A 的极坐标是(2,)6π，点B 是曲线32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）上的任意点，则线段AB 长度的最小值是 ．1 【解析】试题分析：点A 的直角坐标为,1)，曲线32c o s 12s i n x y αα=+⎧⎨=+⎩的普通方程为22(3)(1)4x y -+-=，故曲线是一个以(3,1)为圆心，2为半径的圆，∴A 到圆心的距离为32=<，故点A 在圆内，∴线段AB 长度的最小值是2(31-．考点：参数方程与普通方程的互换、两点间距离公式．13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 在曲线2sin()4πρθ=+上，点B 在直线cos 1ρθ=-上，则||AB 的最小值是 ** ．【解析】略14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数和截圆22cos 30ρρθ+-=的弦长等于_______________.４ 【答案】4【解析】直角坐标系中，直线21x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的方程为10x y ++=，圆22cos 30ρρθ+-=方程为22230x y x ++-=即22(1)4x y ++=，则圆心(1,0)-在直线10x y ++=上，所以从而可知直线10x y ++=截圆22(1)4x y ++=的弦长为圆直径长4。

高三一轮复习理科数学专题卷 专题十八 坐标系与参数方程考点58：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点59：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ）A.1B.3C.21π+ D.29π+2．【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）考点58 中难 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.（A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=-3．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷） 考点58 中难 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ）A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤4．【来源】2017届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3πθ=对称C 、曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D 、曲线C 关于极点()0,0对称 5．【来源】2017届安徽省淮南一中等四校高三5月联考 考点58 中难 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=若直线l 与圆C 相切，则实数a 的取值个数为（ ）A .0 B.1 C.2 D.3 6．【来源】2017届重庆市巴蜀中学高三10月月考 考点58 难在极坐标系中，设曲线12sin C ρθ=：与22cos C ρθ=：的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为（ ）A ．1sin cos ρθθ=+B ．1sin cos ρθθ=-C ．()4R πθρ=∈ D ．3()4R πθρ=∈7．【来源】2016届天津市蓟县马伸桥中学高三5月月考 考点59 易直线2x t y at a =⎧⎨=+⎩(t 为参数)与曲线ρ=1的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定 8．【来源】2017届四川省成都市高三模拟 考点59 易若曲线02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ （t为参数）与曲线ρ=B ,C 两点，则||BC 的值为（ ）．A ．72 BC ．27D ．30 9．【来源】2017-2018学年河北省黄骅中学高二下期中 考点59 中难参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x （t 为参数）所表示的曲线是 （ ）A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线10．【来源】2013届中国人民大学附属中学高考冲刺十 考点59 中难若直线l 的参数方程为13()24x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．4511．【来源】2014届江西师大附中高三三模 考点59 中难直线l 的参数方程是2242x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），圆C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）A ．2 Ｂ．2 C ．3 D ．2612．【来源】2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考 考点59 难 已知实数满足，则的最大值为（ ）A. 6B. 12C. 13D. 14第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018届高考数学（文）仿真押题 专题18 坐标系与参数方程1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ－π6)＝12，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α. (1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝－4＋2sin α(α为参数)．(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C 上任意一点M(x ，y)，求△ABM 面积的最大值．解：(1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝－4＋2sin α(α为参数)，所以其普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.(2)点M(x ，y)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|2cos α－2sin α＋9|2，故△ABM 的面积S ＝12³|AB|³d＝|2cos α－2sin α＋9|＝|2 2sin (π4－α)＋9|，所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)将直线l 的参数方程化为极坐标方程；(2)求直线l 和曲线C 交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．4．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；(2)若直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝3 2，求直线l 的斜率． 解：(1)∵ρ＝2cos θ－4sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ－4ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x －4y ， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.∵直线l 过点(1，－1)，且该点与圆心间的距离为（1－1）2＋（－1＋2）2<5，∴直线l 与曲线C 相交． (2)方法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l 过圆心(1，－2)，|AB|＝2 5≠3 2， 则直线l 的斜率必存在，设其方程为y ＋1＝k(x －1)，即kx －y －k －1＝0， 圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝1k 2＋1＝（5）2－（3 22）2＝22，解得k ＝±1，∴直线l 的斜率为±1.方法二：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－1＋t sin α代入(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，得(t cos α)2＋(1＋t sin α)2＝5， 整理得t 2＋2sin α²t－4＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2sin α，t 1t 2＝－4， 则|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋16＝3 2， ∵α为直线l 的倾斜角，∴sin α＝22(舍去负值)，则α＝π4或3π4，∴直线l 的斜率为±1. 5．已知点P 的直角坐标是(x ，y)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q 的直角坐标是(m ，n)． (1)用x ，y ，θ0表示m ，n ；(2)若m ，n 满足mn ＝1，且θ0＝π4，求点P 的直角坐标(x ，y)满足的方程．6．已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M 的直角坐标为(－1，0)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ1－cos 2θ.(1)求点M 的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点M 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，若MA →＝2MB →，求直线l 的参数方程． 解：(1)点M 的极坐标为(1，π)．由ρ＝8cos θ1－cos 2θ，得ρ(1－cos 2θ)＝8cos θ，即ρ²2sin 2θ＝8cos θ，即ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即y 2＝4x ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线l 的倾斜角，显然α≠π2)．代入曲线C 的直角坐标方程得sin 2α²t 2－4cos α²t＋4＝0，其判别式Δ＝16cos 2α－16sin 2α. 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α①，t 1t 2＝4sin 2α②. 又MA →＝2MB →，则t 1＝2t 2③.从①②③中消掉t 1，t 2，得sin 2α＝89cos 2α，所以cos α＝±31717，sin α＝23417，此时Δ＝169cos 2α>0.所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1±31717t ，y ＝23417t(t 为参数)．7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．8、在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M ，N ，求|PM|＋|PN|的取值范围．解：(1)∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2则有⎩⎪⎨⎪⎧t 1²t 2＝4，t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α），Δ＝16（sin α＋cos α）2－16>0，∴sin α²cos α>0，又α∈[0，π)，所以α∈(0，π2)，所以t 1<0，t 2<0，而|PM|＋|PN|＝|t 1|＋|t 2|＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝4 2sin (α＋π4)．∵α∈(0，π2)，∴α＋π4∈(π4，34π)，∴22<sin (α＋π4)≤1，∴|PM|＋|PN|的取值范围为(4，4 2]．9、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin (θ－π6)．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P(x ，y)是直线l 与圆面ρ≤4sin (θ－π6)的公共点，求3x ＋y 的取值范围．又直线l 过C(－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t≤2， 所以－2≤－t≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．方法二：直线l 的参数方程化成普通方程为x ＋3y ＝2.由⎩⎨⎧x ＋3y ＝2，（x ＋1）2＋（y －3）2＝4，解得P 1(－1－3，3＋1)，P 2(－1＋3，3－1)． ∵P(x ，y)是直线l 与圆面ρ≤4sin (θ－π6)的公共点，∴点P 在线段P 1P 2上，∴3x ＋y 的最大值是3³(－1＋3)＋(3－1)＝2， 最小值是3³(－1－3)＋(3＋1)＝－2， ∴3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)将C 1的方程化为普通方程；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3，求曲线C 1与C 2的交点的极坐标．11．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |的值．解 (1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2，1)、半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点、焦点在x 轴上、长轴长是8、短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4，0)，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s (s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4. 所以|AB |＝|s 1－s 2|2＝（s 1＋s 2）2－4s 1s 2＝ 2.12．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．13．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解析：(1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)，B (2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))， C (2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))， D (2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．14．在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 1的方程是ρ＝1，将C 1向上平移1个单位得到曲线C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 1的切线交曲线C 2于不同两点M ，N ，切点为T .求|TM |²|TN |的取值范围．15．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|－|BD|.16．已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q 的直角坐标是(m ，n )．(1)用x ，y ，θ0表示m ，n ；(2)若m ，n 满足mn ＝1，且θ0＝π4，求点P 的直角坐标(x ，y )满足的方程．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos θ＋θ0 ，n ＝ρsin θ＋θ0 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos θcos θ0－ρsin θ sin θ0，n ＝ρsin θcos θ0＋ρcos θsin θ0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x cos θ0－y sin θ0，n ＝x sin θ0＋y cos θ0.(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＝22x －22y ，n ＝22x ＋22y ，又mn ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫22x －22y ⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋22y ＝1.整理得x 22－y 22＝1. ∴x 22－y 22＝1即为所求方程．17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程．(2)若射线θ＝π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0. 联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 19．在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程．(2)求点M 到A ，B 两点的距离之积．Δ＝(62)2－4³2＝64，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎨⎧ t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2，又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积|MA |²|MB |＝|t 1||t 2|＝|t 1²t 2|＝2.20．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求C 1的极坐标方程，C 2的直角坐标方程．(2)求C 1与C 2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ＜2π)．。

专题18 坐标系与参数方程1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l 的直角坐标方程为23110x y ++=；（2）7．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l 的直角坐标方程为23110x y ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到l 的距离为π4cos 11|2cos 23sin 11|377ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）023ρ=，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 233ρπ==． 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos 3θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin 3θ=，解得π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos 3θ-=，解得5π6θ=． 综上，P 的极坐标为π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为s i n 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（1）5；（2）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π）， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【答案】（1）2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．；（2）1C 的方程为4||23y x =-+． 【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以2|2|21k k -+=+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，所以2|2|21k k +=+，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=，l 的直角坐标方程为1x =；（2）l 的斜率为2-． 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）α的取值范围是(,)44π3π．；（2）点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当22||11k<+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l 的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=． 于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,2sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为23． 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2， 所以π4cos236AB ==． 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-． 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=．当4a ≥-时，d 的最大值为917a +． 由题设得91717a +=，所以8a =； 当4a <-时，d 的最大值为117a -+． 由题设得11717a -+=，所以16a =-． 综上，8a =或16a =-．【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）23+．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>， 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=． 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>． 因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠． （2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>，由题设知2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积S =13sin 4cos |sin()|2|sin(2)|2 3.2332B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+当12απ=-时，S 取得最大值23+，所以OAB △面积的最大值为23+． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

重组十八 选修4－4测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共15小题，每小题10分，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2016·石家庄教学质检]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． 解 (1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0，(2分) ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(5分) (2)将直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得t 2＋22t －3＝0，t 1t 2＝－3，(8分) 故|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3.(10分)2．[2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.(5分)于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.(7分) |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.(8分)由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.(10分)3．[2017·东北三省四市调研]在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos φ1，y ＝3sin φ1(φ1是参数)，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ2，y ＝1＋sin φ2(φ2是参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 1，圆C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝α(0≤α<2π)同时与圆C 1交于O ，M 两点，与圆C 2交于O ，N 两点，求|OM |＋|ON |的最大值．解 (1)圆C 1：(x －3)2＋y 2＝3，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，(2分) 故圆C 1：ρ ＝23cos θ，圆C 2：ρ＝2sin θ.(4分)(2)当θ＝α时，M 的极坐标为(23cos α，α)，N 的极坐标为(2sin α，α)， ∴|OM |＋|ON |＝23cos α＋2sin α，(6分) ∴|OM |＋|ON |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.(8分)∵π3≤α＋π3<7π3， ∴当α＋π3＝π2，即α＝π6时，|OM |＋|ON |取得最大值4.(10分)4．[2016·云南师大附中月考]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，直线l 与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的方程得t2＋4t －10＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－4，t 1t 2＝－10，(3分)所以|AB |＝|t 1－t 2|＝214.(5分)(2)由极坐标与直角坐标互化公式，得点P 的直角坐标为(－2,2)，所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为t 1＋t 22＝－2.(7分)由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离|PM |＝2.(10分)5．[2017·辽宁抚顺一模]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝at(t 为参数)，曲线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 2相交于B ，C 两点，若|BC |≥23，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知，曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝12.(2分)设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －6，y ′＝2y ，代入x 2＋y 2－4y ＝12中，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.(4分) (2)直线l 的普通方程为y ＝ax ， 由题意可得|3a －1|a 2＋1≤22－32，(8分)解得0≤a ≤34，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.(10分) 6．[2017·江西新余模拟]已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，且C 1与C 2相交于A 、B 两点．(1)当tan α＝1时，判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，并说明理由； (2)当α变化时，求弦AB 的中点P 的普通方程，并说明它是什么曲线． 解 (1)当tan α＝1时，将直线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝x ＋1， 曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，则圆C 2的圆心C 2(1,0)，半径r ＝1，(3分)则圆心C 2到直线C 1的距离d ＝2>1，则直线C 1与曲线C 2的位置关系为相离．(5分)(2)由直线C 1的方程可知，直线恒过定点Q (1,2)，弦AB 的中点P 满足C 2P ⊥QP ，故点P 到C 2Q 的中点D (1,1)的距离为定值1，(7分)当直线C 1与圆C 2相切时，切点分别记为E ，F ，则点P 的普通方程为C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y <12，表示的是一段圆弧．(10分)7．[2017·江西南昌调研]将圆x 2＋y 2＝4每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，(2分)依题意得：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，(3分)所以C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝sin t(t 为参数)．(5分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＋2y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.(6分)所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所求直线的斜率k ＝2，于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y ＝3，(8分)化为极坐标方程得4ρcos θ－2ρsin θ＝3，即ρ＝34cos θ－2sin θ.(10分)8．[2016·贵阳一中月考]在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.(1)求曲线C 的直角坐标方程和点A 的直角坐标；(2)设B 为曲线C 上一动点，以AB 为对角线的矩形BEAF 的一边平行于极轴，求矩形BEAF 周长的最小值及此时点B 的直角坐标．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，(3分)点A 的直角坐标为(3，3)．(5分) (2)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈[0,2π))，∴设B (3cos α，sin α)，依题意可得|BE |＝3－3cos α，|BF |＝3－sin α，矩形BEAF 的周长＝2|BE |＋2|BF |＝6＋23－23cos α－2sin α＝6＋23－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3，(8分) 当α＝π6时，周长的最小值为2＋23，此时，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.(10分) 9．[2017·昆明检测]已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点P (2,0)．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设点Q 和点G 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2，(2，π)，若直线l 经过点Q ，且与曲线C相交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．解 (1)曲线C 可化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0， 其直角坐标方程为y 2＝8x ，(2分)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(4分)(2)将点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2的极坐标化为直角坐标，得(0，－2)，易知直线l 的倾斜角α＝π4，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫2＋22t ，整理得t 2－82t －32＝0，Δ＝(82)2＋4×32＝256>0.(6分) 设t 1，t 2为方程t 2－82t －32＝0的两个根， 则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－32. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1·t 2＝256＝16.(8分)由极坐标与直角坐标互化公式，得点G 的直角坐标为(－2，0)，易求点G 到直线l 的距离d ＝|PG |·sin45°＝4×22＝22， 所以S △GAB ＝12×d ×|AB |＝12×16×22＝16 2.(10分)10．[2016·重庆一中月考]在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 1的方程是ρ＝1，将C 1向上平移1个单位得到曲线C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 1的切线交曲线C 2于不同两点M ，N ，切点为T .求|TM |·|TN |的取值范围．解 (1)依题，因ρ2＝x 2＋y 2，所以曲线C 1的直角坐标下的方程为x 2＋y 2＝1，所以曲线C 2的直角坐标下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，(2分) 又y ＝ρsin θ，所以ρ2－2ρsin θ＝0， 即曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(5分)(2)由题令T (x 0，y 0)，y 0∈(0,1]，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)．联立C 2的直角坐标方程得，t 2＋2(x 0cos θ＋y 0sin θ－sin θ)t ＋1－2y 0＝0，(8分)由直线参数方程中t 的几何意义可知，|TM |·|TN |＝|1－2y 0|，因为1－2y 0∈[－1,1)，所以|TM |·|TN |∈[0,1]．(10分) 11．[2016·吉林调研]在平面直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)若A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值． 解 (1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1；(3分)设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的极坐标方程为ρ＝2R cos θ，将点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4代入，得R ＝1，所以圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2代入，得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，(8分) 所以1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ16＋sin 2θ4＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ16＋cos 2θ4＝116＋14＝516.(10分)12．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．(3分)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(5分)(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.(7分)若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.(9分)a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.(10分)13．[2016·太原模拟]在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的直角坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解 (1)曲线C 的普通方程是x 24＋y 2＝1.(2分)当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设曲线C 上的点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1213，－313.(5分)(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，解得tan 2α＝516， 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54， 所以直线l 的斜率为54.(10分) 14．[2017·河南开封调研]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y ＝8，圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0<a <π2与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：θ＝α＋π2与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求|OP ||OM |·|OQ ||ON |的最大值．解 (1)直线l 的极坐标方程是ρsin θ＝8.(2分) 圆C 的普通方程是x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(5分) (2)依题意得，点P ，M 的极坐标分别为⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin α，θ＝α和⎩⎪⎨⎪⎧ρsin α＝8，θ＝α.所以|OP |＝4sin α，|OM |＝8sin α， 从而|OP ||OM |＝4sin α8sin α＝sin 2α2.(7分)同理，|OQ ||ON |＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π22.(8分)所以|OP ||OM |·|OQ ||ON |＝sin 2α2·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝sin 2α16，故当α＝π4时，|OP ||OM |·|OQ ||ON |的值最大，该最大值是116.(10分)15．[2016·山西名校联考]在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρ＝2cos θ，过点P (－1,0)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－223t ，y ＝13t (t 为参数)，且直线l 与曲线C 分别交于点A ，B .(1)求|AB |；(2)若点Q 是曲线C 上任意一点，R 是线段PQ 的中点，过点R 作x 轴的垂线段RH ，H 为垂足，点G 在射线HR 上，且满足|HG |＝3|HR |，求点G 的轨迹C ′的参数方程并说明它表示什么曲线．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且曲线C ：ρ＝2cos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 曲线C 是圆心为(1,0)，半径为r ＝1的圆．(2分) ∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－223t ，y ＝13t(t 为参数)，∴直线l 的普通方程为x ＋22y ＋1＝0，(4分) ∴圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|1＋8＝23，∴|AB |＝2r 2－d 2＝2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝253.(5分) (2)由题，可得圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数，φ∈[0,2π))，设圆C 上的任意一点Q (1＋cos φ，sin φ)，则线段PQ 的中点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ，12sin φ.(6分)∵RH ⊥x 轴，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ，0. ∵点G 在射线HR 上，且满足|HG |＝3|HR |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x G＝x R＝12cos φ，y G＝3y R＝32sin φ，∴点G 的轨迹C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos φ，y ＝32sin φ(其中φ为参数，φ∈[0,2π))，(9分)轨迹C ′是焦点在y 轴，长轴长为3，短轴长为1的椭圆．(10分)。