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选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）选修4-4 坐标系与参数方程1、设直线l 经过点M （1,5）、倾斜角为3π，则直线l 的参数方程可为( )A ．11235x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ B ．31152x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ C ．11235x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D ．11235x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 【答案】C【解析】由于过点（a ，b ） 倾斜角为α 的直线的参数方程为x=a+ t ？cos α，y=b + t ？sin α (t 是参数)，而直线L 经过点M （1,5）、倾斜角为3π，则直线l 的参数方程可为112352x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩故选C.2、曲线 (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 （ ) A. B ．1 C. D. 【答案】A【解析】因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(因为直角三角形中，两直角边之和大于斜边)．故最大值必大于1，排除B ，C ，D.3、已知点P 的极坐标为（2，），那么过点P 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A ．ρsin θ=B ． ρsin θ=2C ． ρcos θ=D ． ρcos θ=2【答案】A4、参数方程为，为参数）t t y tx (3221⎩⎨⎧-=+=则普通方程为（）A ．3x+2y-7=0 B.3x-2y-7=0 C ．3x+2y+7=0 D ．-3x+2y-7=0 【答案】A5、在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.1,2π⎛⎫⎪⎝⎭ B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(1,0) D ．(1，π) 【答案】B【解析】将极坐标方程左右两边同时乘以ρ得θρρsin 22-=,化为直角坐标方程y y x 222-=+,圆心为(0,-1),极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故答案选B.6、曲线的参数方程是211(0)1x t t t y t⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩是参数，，它的普通方程是（ ） A ． 2(1)(1)1x y --=B ．2(2)(1)x x y x -=-C ．211(1)y x =--D ．211xy x =+-【答案】B 7、圆()θθρsin cos 2+=的圆心坐标为（）A ．（1，4π）B.（21，4π）C.（2，4π）D.（2，4π）【答案】A 8、已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 和原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是（ ）A.（3，4）B.1212(,)55--C.(-3，-4)D.1212(,)55【答案】D9、已知实数y x ,满足，则的最小值是（）A ．55-．45C 51-D ．55 【答案】A【解析】先由2246120x y x y +-++= 化为圆的参数方程23x cos y sin αα⎩+-⎧⎨＝＝，将()2225|55x y cos sin sin αααθ--=-+=++利用()5555αθ⎡++∈-+⎣，求解．∵实数x，y满足2246120x y x y+-++=,∴23x cosy sinαα⎩+-⎧⎨＝＝，所以()222|5|5x y cos sinαααθ--=-+=++，()5555αθ⎡++∈-⎣Q，，min22525[2x y x y∴--∈∴-=- A.考点：直线与圆的参数方程10、将极坐标（2，32π）化为直角坐标为（）A．（0,2）B．（0，－2）C．（2,0）D．（－2,0）【答案】B【解析】332cos0,2sin222x yππ====-，所以选B．考点：极坐标化为直角坐标11、在柱坐标系中,两点24,,04,,333M Nππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的距离为( ) A.3 B.4C.5D.8【答案】C【解析】法一:由柱坐标可知M在Oxy平面上,N在Oxy平面上的射影坐标为N |MN |4,24,,0MN 5.3.,C π'∴'===⎛⎫ ⎪⎝⎭再由勾股定理得故选法二:可将M ？N 化为直角坐标,N(MN 5..C =-∴=故选12、在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________. 【答案】213、在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________. 【答案】cos 3ρθ=14、在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________【答案】 15、已知曲线C的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________ 【答案】316、已知直线l的参数方程为()x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,若以直角坐标系xoy的原点O点为极点,以x轴正半轴为极轴,选取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2sin()4πρθ=+,若直线l与曲线C交于A、B两点.(I)求直线l的倾斜角及l与坐标轴所围成的三角形的面积; (II)求| AB|.【答案】17、已知曲线22:149x yC+=，直线2:22x tly t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【答案】（1）2cos,3sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），062=-+yx（2）最大值为，最小值为．试题分析：第一问根据椭圆的参数方程的形式，将参数方程写出，关于直线由参数方程向普通方程转化，消参即可，第二问根据线段的长度关系，将问题转化为曲线上的点到直线的距离来求解． 试题解析：（1）曲线C的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．直线l 的普通方程为062=-+y x ．（2）曲线C 上任意一点)sin 3,cos 2(θθP 到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则|5sin()6|sin30d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=．当sin()1θα+=-时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin()1θα+=时，|PA|取得最小值，最小值为．考点：椭圆的参数方程，直线的参数方程与普通方程的转换，距离的最值的求解．18、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为,3sin 3cos 2222=+θρθρ直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=t y tx 13t (为参数,)R t ∈.试在曲线C 上一点M ，使它到直线l 的距离最大.【答案】曲线C 的普通方程是1322=+y x ，直线l 的普通方程是033=-+y x设点M 的坐标是)sin ,cos 3(θθ,则点M到直线l 的距离是2|1)4sin(2|32|3sin 3cos 3|-+=-+=πθθθd当1)4sin(-=+πθ时,即Z k k ∈+=+,2324πππθ,Z k k ∈+=,452ππθd 取得最大值,此时22sin ,26cos 3-=-=θθ,综上, 点M 的坐标是)22,26(--时,M 到直线l 的距离最大19、已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点。
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)， 点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6， 此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2， 即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0， 解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12， 即12ρcos θ-32ρsin θ=12， 又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。
新《坐标系与参数方程》专题解析一、131．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．3．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
【详解】 曲线表示半圆：，所以.取，结合图象可得.故选：D 。
【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线 宀 化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入 将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾， 所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形 式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪 （0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线 化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切， ・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。
冲刺2020高考高三毕业班数学模拟试题选萃专题42 坐标系与参数方程1.（极坐标与数列交汇）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为()1cos28cos ρθθ-=，直线cos 1ρθ=与曲线C 相交于,M N 两点，直线l 过定点()2,0P 且倾斜角为α，l 交曲线C 于,A B 两点．（1）把曲线C 化成直角坐标方程，并求MN 的值；（2）若PA ，MN ，PB 成等比数列，求直线l 的倾斜角α． 【答案】(1) 答案见解析 (2) 4a π=或34π 【解析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ=8ρcosθ， ∴x 2+y 2-x 2+y 2=8x ，即y 2=4x ． 由ρcosθ=1得x =1，由124x y x =⎧=⎨⎩的M （1，2），N （1，-2），∴|MN |=4． （2）直线l 的参数方程为：{2x tcos y tsin αα=+=(t 为参数)，联立直线l 的参数方程与曲线C ：y 2=4x ， 得t 2sin 2α-4t cosα-8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2=24cos sin αα，t 1t 2=-28sin α， 因为|P A |，|MN |，|PB |成等比数列， ∴|P A ||PB |=|MN |2=16， ∴|t 1||t 2|=16，∴|t 1t 2|=16， ∴28sin α=16，∴sin 2α=12， ∵0≤α＜π，∴∴α=4π或α=34π．2．（参数方程与伸缩变换）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E .（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN ∆的面积．【答案】（1）2214x y +=（2）85.【解析】（1）依题意，E 的参数方程为2,,x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=.（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为,22,2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +，联立22,22,1,4x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>所以1225t t +=，即MN =，所以118sin 22425OMN S MN MO π∆=⋅⋅==.3.（极坐标、参数方程与面积）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）设曲线1l 的极坐标方程为(0)6πθρ=≥，曲线2l 的极坐标方程为(0)3πθρ=≥，求三条曲线C ，1l ，2l 所围成图形的面积.【答案】（1）4sin()3πρθ=+； （223π.【解析】（1）由条件得圆C 的直角坐标方程为(()2214x y -+-=，得2220x y y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2cos 2sin 0ρθρθ--=，即2sin ρθθ=+，则4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由条件知曲线1l 和2l 是过原点O 的两条射线，设1l 和2l 分别与圆C 交于异于点O 的点A 和B ， 将6πθ=代入圆C 的极坐标方程，得4,6A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以4OA =；将3πθ=代入圆C 的极坐标方程，得3B π⎛⎫⎪⎝⎭，所以OB =由（1）得圆C 的圆心为)C，其极坐标为2,6C π⎛⎫⎪⎝⎭，故射线1l 经过圆心C ，所以366COB πππ∠=-=，23ACB COB π∠=∠=.所以11sin sin 246COB S OC OB COB OA OB π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=扇形CAB 的面积为2122233CAB S ππ=⋅⋅=, 故三条曲线C ，1l ，2l所围成图形的面积为23COB CAB S S π∆+=. 4．（参数的意义）已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上. （1）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，求FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 【答案】（1）122FA FB t t ⋅==；（2）16．【解析】(1) 曲线C 的直角坐标系方程为: 221124x y +=∴()F -∴直线l的参数方程为x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将,22t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入221124x y +=得：2220t t --= 设A B 、两点所对应的参数为12,t t ，则122t t ⋅=-∴2FA FB ⋅= (2) 设P 为内接矩形在第一象限的顶点,(),2sin P θθ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则矩形的周长()42sin 16sin 3l πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴当6πθ=即()3,1P 时周长最大，最大值为16．5．（极径的意义）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(2,【解析】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅰ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数， 将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=， 得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 4πααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭. 当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(2,.6．（参数方程、极坐标与三角函数）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是cos 5sin x t y t αα⎧=⎨=+⎩（t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程是2cos 4πρθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）写出圆2C 的直角坐标方程；（Ⅰ）若曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，求sin cos sin cos αααα-+的值.【答案】（Ⅰ）22240x y x y +--=；（Ⅰ）3.【解析】（Ⅰ）sin cos 2cos 4sin 2cos 22ρθθθθθ=⋅+-=+⎭， 24sin 2cos ρρθρθ=+，∴2242x y y x +=+，∴圆2C 的直角坐标方程是22240x y x y +--=.（Ⅰ）因为曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线()tan 5tan 0y x αα=-⋅+<与圆2C 相切，2C 圆心为（1，2）=，解得tan 2α=-， 所以sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα--==++.7.（参数方程、极坐标与三角函数性质）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=,2213x y +=；（2）2.【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sinα），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 8．（参数方程、极坐标与参数范围）在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =acost y =2sint（t 为参数，a >0）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π4)=−2√2. （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =2√3时，求点P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 【答案】（1）4√2；（2）(0,2√3).【解析】（1）由ρcos (θ+π4)=−2√2，得√22(ρcosθ−ρsinθ)=−2√2,化成直角坐标方程得√22(x −y)=−2√2,∴直线l 的方程为x −y +4=0， 依题意，设P(2√3cost,2sint)， 则P 到直线l 的距离d =√3cost−2sint+4|√2=|4cos(t+π6)+4|√2=2√2+2√2cos(t +π6)，当t +π6=2kπ，即t =2kπ−π6，k ∈Z 时，d max =4√2， 故点P 到直线l 的距离的最大值为4√2.（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∀t ∈R ，acost −2sint +4>0恒成立，即√a 2+4cos(t +φ)+4>0（其中tanφ=2a ）恒成立， ∴√a 2+4<4，又a >0，解得0<a <2√3. 故a 取值范围(0,2√3).9.（参数方程、极坐标与定值）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin x y αααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅰ）直线l 与y 轴交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值. 【答案】（Ⅰ）曲线C ：224x y +=.l40y --=.（Ⅰ）见证明 【解析】（Ⅰ）由题意，可得()()2222cos sin 4x y αααα+=++=，化简得曲线C ：224x y +=.直线l的极坐标方程展开为1cos sin 222ρθρθ-=， 故l40y --=.（Ⅰ）显然P 的坐标为()0,4-，不妨设过点P 的直线方程为cos 4sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入C ：224x y +=得28sin 120t t α-+=， 所以1212PA PB t t ⋅==为定值.10．（参数方程、极坐标与取值范围）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于两点M ，N ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求2211PMPN+的取值范围．【答案】(1) 2220x y y +-= (2) (2,6]【解析】（1）由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 把ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ代入，可得x 2+y 2﹣2y ＝0． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y ＝0； （2）将直线l 的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程，得t 2+（2cos α﹣2sin α）t +1＝0．由△＝（2cos α﹣2sin α）2﹣4＞0，得sin2α＜0， 且t 1+t 2＝﹣2cos α+2sin α，t 1t 2＝1．∴2221212122222221212()211242||||t t t t t t sin PM PN t t t t α++-+===-． Q sin2α＜0∴242sin α-(2,6]∈即2211||||PM PN +的取值范围是（2，6]．。
2021年高考数学三轮冲刺大题练习07 《选修4-4：坐标系与参数方程》1.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．(1)求C 与l 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点作P 与l 垂直的直线，交l 于点A ，求│PA │的最大值．2.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝t(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ2=cos 2θ＋sin θ(ρ≥0)．(1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度；(2)若M ，N 是曲线C 上两点，且OM ⊥ON ，求线段MN 长度的最大值．3.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为，直线l 的极坐标方程为。
(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，直线l 上有两点A ，B ，始终满足|AB|=4，求△MAB 面积的最大值与最小值。
4.已知过点P(a,0)的直线l 的参数方程是（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A,B 两点，试问是否存在实数a ，使得？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.5.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(其中φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)=1(α是常数，0＜α＜π，且α≠π2)，点A ，B(A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB|的最大值及此时点B 的坐标．6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.7.已知直线l 的参数方程为（t 为参数），在直角坐标系中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为ρ2（1+sin 2θ）=1．（1）求曲线M 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值．8.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(-1,0)，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为ρ=2. （1）当3πα=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：|PA|·|PB|是与α无关的定值.答案解析1.解：2.解：(1)由题意知，直线l 的普通方程为y=33x ， 则其极坐标方程为θ=π6或θ=7π6，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，7π6， 把θ=π6代入ρ2=cos 2θ＋sin θ，得ρ21=⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12=54，所以|OA|=52；把θ=7π6代入ρ2=cos 2θ＋sin θ，得ρ22=⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－12=14，所以|OB|=12， 所以线段AB 的长度为52＋12=5＋12. (2)设M(ρ3，α)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ4，α＋π2， 则|OM|2=cos 2α＋sin α，|ON|2=cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2=sin 2α＋cos α，所以|MN|2=|OM|2＋|ON|2=cos 2α＋sin α＋sin 2α＋cos α=1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，故当α=π4时，|MN|取得最大值1＋ 2.3.解：4.解：5.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(其中φ为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2=1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为y=tan α·x －1.(2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos αy ＝－1＋tsin α(t 为参数)．设A(t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－1＋t 2sin α)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos αy ＝－1＋tsin α，代入x 24＋y 2=1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8tsin α=0，∴t 1=0，t 2=8sin α1＋3sin 2α， ∴|AB|=|t 1－t 2|=8|sin α|1＋3sin 2α=83|sin α|＋1|sin α| ≤823=433(当且仅当sin α=33时取等号)，当sin α=33时，∵0＜α＜π，且α≠π2，∴cos α=±63， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13， ∴|AB|的最大值为433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13.6.解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2=1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4=0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α). 因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值，d(α)=|3cos α＋sin α－4|2=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α=2k π＋π6(k ∈Z )时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 7.解：（1）曲线M 的方程为ρ2（1+sin 2θ）=1，∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，∴x 2+2y 2=1； （2）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），∴y=tan α（x ﹣），由，得：x 2+2，即（1+2tan2α）x2﹣2tan2αx+5tan2α﹣1=0，若直线l与曲线M只有一个公共点，则△=﹣4（1+2tan2α）（5tan2α﹣1）=0，解得：tanα=±，∴α=或．8.解：。
大题精做16 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ+=+⎧⎨⎩=（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． （1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()θαρ=∈R ，()22cos sin 10ρθθρ-++=；（2）(． 【解析】（1）由题意可得，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ． 曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=．（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=， 当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πΔα⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+， 根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径．从而()122cos sin π4OA OB ρρααα⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭．当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，πππ,442α⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y ==⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点)M，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值．2．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧⎪⎪⎨=+=-⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧==+⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON △，且满足π2MON ∠=，求MON △面积的最大值．1．【答案】（1）直线l 30y +-=，曲线C 的直角坐标方程()2224x y -+=；（2）3MA MB ⋅=．【解析】（1）直线l 的普通方程为33y x =-+，即330x y +-=，根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，cos x ρθ=，222x y ρ=+， 而4cos ρθ=，则24cos ρρθ=，即()2224x y -+=， 故直线l30y +-=，曲线C 的直角坐标方程()2224x y -+=．（2）点)M 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120︒，可设直线的参数方程为：12 x t y ⎧⎪⎪⎨=⎪⎪⎩=（t 为参数），代入到曲线C的方程得(2230t t ++-，122t t +，123t t =-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==，故3MA MB ⋅=．2．【答案】（1）40x y +-=，2C的参数方程为sin x y ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数）；（2）31,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧⎪⎪⎨=+=-⎪⎪⎩（t 为参数），消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+=，即2222sin 3ρρθ+=， 22223x y y ∴++=，即2213x y +=，2C ∴的参数方程为sin x y ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数）． （2）设曲线2C上动点为),sin Q ϕϕ，则点Q 到直线1C的距离：d = ∴当sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即π6ϕ=时，d，即PQ，3621s ππin 62x y ⎧==⎪⎪∴⎨⎪==⎪⎩，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭． 3．【答案】（1）π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）4． 【解析】（1）可知曲线C的普通方程为(()2214x y +-=， 所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，22π,N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>，12112π8sin s ππin 4sin 242232π33MON S OM ON ρρθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==+++=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△， 所以MON △面积的最大值为4．。
【高中数学】数学高考《坐标系与参数方程》复习资料一、131．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ剟）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ）A ．(3,4)B ．2⎛ ⎝C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ剟， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.2．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.3．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD【答案】C 【解析】分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：2214y x +=，与直线l的参数方程12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立可得：21613t =，则121313t t ==-，结合弦长公式可知：12AB t t =-=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ） A ．2 B ．4CD．【答案】D 【解析】 【分析】把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离d r =+求得答案。
选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ).一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ), 极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程 圆心为极点,半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0),半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2,半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 过极点,倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′,y ′), 由上述可知,将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1,得x ′29－4y ′264＝1,化简得x ′29－y ′216＝1,即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程,可见仍是双曲线,则焦点(－5,0),(5,0)为所求．[解题技法] 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ,整理之后得到y ′＝h (x ′),即为所求变换之后的方程．[提醒] 应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的坐标(x ′,y ′)．[题组训练]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6,求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意,把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ,μ>0),求λ,μ的值．解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1,把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ,μ>0)代入上式得：λ2x 225＋μ2y 216＝1即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1,与x 2＋y 2＝1, 比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.考点二 极坐标与直角坐标的互化[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2,曲线C 的方程为ρ＝4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ,化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4, 所以曲线C 是圆心为(2,0),直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2, 化成直角坐标方程为y ＝33(x －4), 则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ,则∠OAB ＝π6.如图,连接OB .因为OA 为直径,从而∠OBA ＝π2,所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时,应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时,θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时,tan θ没有意义,这时可分三种情况处理：当x ＝0,y ＝0时,θ可取任何值；当x ＝0,y >0时,可取θ＝π2；当x ＝0,y <0时,可取θ＝3π2.[题组训练]1．(2019·郑州质检)在极坐标系下,已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ,即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ, 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0, 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22,即ρsin θ－ρcos θ＝1, 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1), 将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)求圆O 1和圆O 2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4,所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2,所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2, 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1, 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三 曲线的极坐标方程的应用[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ＞0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16,得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB ＞0),由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32. 即当α＝－π12时,S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. [解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M (ρ,θ)为曲线上任意一点,由已知条件,构造出三角形,利用三角函数及正、余弦定理求解|OM |与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的变换公式,把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒] 在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性．[题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)．以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2,射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P ,与直线l 的交点为Q ,求线段P Q 的长．解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1,又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP ＝1,把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得ρQ ＝2,所以|P Q |＝|ρP －ρQ |＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ,以极点为平面直角坐标系的原点O ,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ,B 为曲线C 上两点,若OA ⊥OB ,求1|OA |2＋1|OB |2的值． 解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9, 将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ,所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ, 由OA ⊥OB ,设A (ρ1,α),则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2, 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.[课时跟踪检测]1．在极坐标系中,求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2, 即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y , 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y , 得4x 2－83x ＋12＝0, 即(x －3)2＝0, 所以x ＝3,y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3,1),化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 2．在极坐标系中,已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4,圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中,令θ＝0,得ρ＝1, 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4, 所以圆C 的半径|PC |＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1,于是圆C 过极点,所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线OP ：θ＝π6(ρ∈R )与圆C 交于点M ,N ,求线段MN 的长．解：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0, 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0,得ρ2－2ρ－5＝0, 所以ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝－5,所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.4．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1,M ,N 分别为C 与x 轴,y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1,即x ＋3y ＝2.当θ＝0时,ρ＝2,所以M (2,0)． 当θ＝π2时,ρ＝233,所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33,则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6, 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4,直线C 2的方程为y ＝33x ,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ,Q 两点,求|OP |·|O Q |的值． 解：(1)∵曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4, 即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0,∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x , ∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)设P (ρ1,θ1),Q (ρ2,θ2),将θ＝π6(ρ∈R )代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0,得ρ2－5ρ＋3＝0,∴ρ1ρ2＝3,∴|OP |·|O Q |＝ρ1ρ2＝3.6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6,l 2：θ＝π3,若l 1,l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ,B 两点,求△AOB 的面积．解：(1)∵曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25, 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6,B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ,得ρ1＝4＋33,∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ,得ρ2＝3＋43,∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.7．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,t ≠0),其中0≤α＜π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0, 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(23cos α,α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4.8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中,曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0,曲线C 2的方程为y 2＝x ,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标,其中ρ≥0,0≤θ<2π.解：(1)依题意,将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝x ,得ρsin 2θ＝cos θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0,曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ. (2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0,得x 2＋3x －4＝0,解得x ＝1,x ＝－4(舍去),当x ＝1时,y ＝±1,所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,1),(1,－1),记A (1,1),B (1,－1),所以ρA ＝1＋1＝2,ρB ＝1＋1＝2,tan θA ＝1,tan θB ＝－1, 因为ρ≥0,0≤θ<2π,点A 在第一象限,点B 在第四象限,所以θA ＝π4,θB ＝7π4,故曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4,⎝⎛⎭⎫2，7π4.第二节 参数方程一、基础知识1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).3．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t 1,t 2,则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t ＝t 1＋t 22,中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．考点一 参数方程与普通方程的互化[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0, 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4,解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25,2 5 ]． [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．[提醒] 将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,防止增解． [题组训练]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)． 解：(1)由参数方程得e t ＝x ＋y ,e －t ＝x －y , 所以(x ＋y )(x －y )＝1,即x 2－y 2＝1.(2)因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数),①②由y ＝2tan θ,得tan θ＝y2,代入①得y 2＝2x .2.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12,记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0,连接CP , 则∠PCx ＝2θ,故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ,y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ.所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．考点二 参数方程的应用[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,且|P A |·|PB |＝2,求实数m 的值． [解] (1)消去参数t ,可得直线l 的普通方程为x ＝3y ＋m ,即x －3y －m ＝0. 因为ρ＝2cos θ,所以ρ2＝2ρcos θ.可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ,即x 2－2x ＋y 2＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t代入x 2－2x ＋y 2＝0,得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0.由Δ>0,得－1<m <3.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1·t 2＝m 2－2m . 因为|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝2,所以m 2－2m ＝±2, 解得m ＝1±3.因为－1<m <3,所以m ＝1±3. [解题技法]1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解,掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．[题组训练]1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点,求点P 到C 2的距离的最大值,并求此时点P 的坐标． 解：(1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1,由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2,得ρsin θ＋ρcos θ＝2,得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)设点P 的坐标为(3cos α,sin α),则点P 到C 2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－22,当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1,即α＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z),α＝－5π6＋2k π(k ∈Z)时,所求距离最大,最大值为22,此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－12. 2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时,直线l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α, 当cos α＝0时,直线l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内, 所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α,故2cos α＋sin α＝0,于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点P 是圆C 上任一点,求A ,B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．[解] (1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ,得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2,所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1,得ρcos θ－ρsin θ＝－2, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. (2)直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A (－2,0),B (0,2),则点A ,B 的极坐标分别为(2,π＋2k π)(k ∈Z),⎝⎛⎭⎫2，π2＋2k π(k ∈Z)． 设点P 的坐标为(－5＋2cos α,3＋2sin α),则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42,当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1,即α＋π4＝2k π(k ∈Z),α＝－π4＋2k π(k ∈Z)时,点P 到直线l 的距离取得最小值,所以d min ＝42＝22,又|AB |＝22, 所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4.[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程,然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题．[题组训练]1．在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0,θ∈[0,2π],曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ,θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值． 解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0,得x 2＋y 2－4x ＋3＝0, 所以(x －2)2＋y 2＝1. 令x －2＝cos α,y ＝sin α,所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．(2)因为C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3, 所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3,即2x －23y －3＝0,因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ,B 两点, 所以圆心到直线的距离为d ＝|4－0－3|22＋(－23)2＝14,所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.2．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3,以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3,半径为2,直线l 与圆C 交于M ,N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时,求弦长|MN |的取值范围．解：(1)由已知,得圆心C 的直角坐标为(1,3),圆的半径为2, ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4, 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0,∵x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0, 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.(2)由(1)知,圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0, 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得,(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0, 整理得,t 2＋2t cos φ－3＝0,设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1＋t 2＝－2cos φ,t 1·t 2＝－3,∴|MN |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12. ∵φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3,∴cos φ∈⎣⎡⎦⎤12，1,∴|MN |∈[13,4]． 故弦长|MN |的取值范围为[13,4]．[课时跟踪检测]1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切,求直线的倾斜角α.解：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)的普通方程为y ＝x tan α.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4. 由于直线与圆相切,则|4tan α|1＋tan 2α＝2,即tan 2α＝13,解得tan α＝±33,由于α∈[0,π),故α＝π6或5π6.2．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数),设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,22s ),从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45,当s ＝2时,d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 解：(1)由已知,点M 的极角为π3,且点M 的极径等于π3,故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3.(2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6,A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P 的直角坐标为(1,2),点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2,若直线l 过点P ,且倾斜角为π6,圆C 以点C 为圆心,3为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,求|P A |·|PB |.解：(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数),圆C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9,把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋(y －3)2＝9,得t 2＋(3－1)t －7＝0,设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,∴t 1t 2＝－7, 又|P A |＝|t 1|,|PB |＝|t 2|,∴|P A |·|PB |＝7.5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1,l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R ),θ2＝2π3(ρ2∈R ),设直线l 1,l 2与曲线C 的交点分别为O ,M 和O ,N ,求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4,把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4,得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ,M ,得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ,N ,得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2,所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时,l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时,记tan α＝k ,则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2<1, 解得k <－1或k >1,即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上,α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P , 则t P ＝t A ＋t B2,且t A ,t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α,t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数,m ∈R ),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点,若点P 到曲线C 1的最小距离为22,求m 的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ,可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3,θ∈[0,π], ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α,sin α),α∈[0,π],则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0,π],∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32,2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2, 3 ], 当m ＋3＜0时,m ＋3＝－4,即m ＝－4－ 3. 当m －2＞0时,m －2＝4,即m ＝6.当m ＋3≥0,m －2≤0,即－3≤m ≤2时,d min ＝0,不合题意,舍去． 综上,m ＝－4－3或m ＝6.8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数),且直线l 交曲线C 于A ,B 两点． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程,并求θ＝π3时,|AB |的值；(2)已知点P (1,0),求当直线l 的倾斜角θ变化时,|P A |·|PB |的取值范围． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1.当θ＝π3时,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t y ＝32t(t 为参数),将l 的参数方程代入x 23＋y 2＝1,得5t 2＋2t －4＝0,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1＋t 2＝－25,t 1t 2＝－45,所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2215.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ代入x 23＋y 2＝1,得(1＋2sin 2θ)t 2＋2t cos θ－2＝0,设A ,B 对应的参数分别为t 3,t 4,则t 3t 4＝－21＋2sin 2θ,则|P A |·|PB |＝－t 3t 4＝21＋2sin 2θ.又0≤sin 2θ≤1,所以23≤|P A |·|PB |≤2,所以|P A |·|PB |的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，2.[70分] 解答题标准练(一)1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d ＝10，解得d ＝3,所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·a 6, 根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1＝32n2－12n＋13(4n－1).2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O′O中,平面ABB′A′过上、下底面的圆心O′,O,点C,D分别在半圆弧AB,A′B′上,且»¼. AC B'D(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值.(1)证明如图,取»AB的中点M,∵OO′⊥平面ABC,∴OA,OM,OO′两两垂直,以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O－xyz,连接OC,设OA ＝1,AA ′＝t ,∠AOC ＝θ(0<θ<π),则A (1,0,0),B (－1,0,0),C (cos θ,sin θ,0),D (－cos θ,sin θ,t ),于是CD →＝(－2cos θ,0,t ),而平面ABB ′A ′的一个法向量为OM →＝(0,1,0), 由于CD →·OM →＝0,CD ⊄平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.(2)解 设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,则C ⎝⎛⎭⎫12，32，0,D ⎝⎛⎭⎫－12，32，2,CD →＝(－1,0,2),AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,BD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，2,设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎨⎧CD→·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，AC →·n 1＝－12x 1＋32y 1＝0，不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎨⎧BD →·n 2＝12x 2＋32y 2＋2z 2＝0，BA→·n 2＝2x 2＝0，不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝519, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为519.3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2, ∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t2＝2,∴m 2＝4(1＋t 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3, 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2,即t 2＝14时等号成立.此时|m |＝5,|AB |max ＝3,又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |≤3,∴当|m|＝5,|t|＝12时,△AOB的面积最大,最大值为3.4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x分钟).(1)写出m,n的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X,以上述统计数据为参考,求X的分布列和期望；(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d).解(1)m＝4,n＝2,该读书协会中人均每周的课外阅读时长为45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×220＝93(分钟),由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.(2)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.且P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫125＝132,P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫125＝532, P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫125＝532,P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132, 所以X 的分布列如下：E (X )＝5×12＝2.5.(3)2×2列联表如下：k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围；(3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1), f ′(x )＝ln x ＋1x,设g (x )＝ln x ＋1x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 无单调递减区间.(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1),则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1),∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴∃x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2].(3)由(2)可知,取a ＝2,当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0, 即12ln x >x －1x ＋1, 当0<x <1时,1x >1,∴12ln 1x >1x －11x ＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1, 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1,∴当0<θ<π4时,0<tan θ<1,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,tan θ＝1,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当π4<θ<π2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上,当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y ,。
高中数学《坐标系与参数方程》期末考知识点一、131．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()6πρθ+=M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．13【答案】C 【解析】分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=，设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.详解：∵曲线C 的方程为22162x y +=，即2236x y +=，∴曲线C 的极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，联立()221+2sin 6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=， 根据极坐标的几何意义可得22222212cos 111112sin 663OA OBπθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+1+1cos 21cos 23sin 23666ππθθθ⎛⎫⎛⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为23，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．2．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22(4)16x y +-=，直线():4l R πθρ=∈化为直角坐标方程，可得y x =，由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +-=，解得0x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩，所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为， 则圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=，即22440x y x y +--=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，故选A ． 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设曲线C 的参数方程为5cos ()15sin x y θθθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩为参数，直线l 10y -+=，则曲线C 上到直线l 的距离为52的点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与52的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】化曲线C的参数方程为普通方程：(()22125x y ++=，圆心)1-10y -+=的距离3115522d ++==<， 所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．4．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D 【解析】 【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x ''，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为22(2))143x ''+=，即22()()1x y ''+=.∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．5．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【答案】D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02骣琪琪桫为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．6．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
【最新】数学复习题《坐标系与参数方程》专题解析(1)一、131．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ）A ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩B ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩【答案】A 【解析】 【分析】设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，代入直线1x y -=的方程，变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解． 【详解】由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩代入直线1x y -=的方程，可得111x y a b''-=， 要使得直线111x y a b''-=和直线326x y -=的方程一致， 则112a =且113b =，解得2,3a b ==， 所以伸缩变换的公式为23x xy y ''=⎧⎨=⎩，故选A ．【点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A．4BC．2D．5【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=4．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．2202x y y +==或B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．5．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
【高中数学】《坐标系与参数方程》考试知识点一、131．能化为普通方程210x y +-=的参数方程为（ ）A ．2sin ,cos x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）B ．2tan ,1tan x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数） C．x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）D ．2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 【答案】B 【解析】A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 21,y x x =-∈R ;C:21,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:21,[1,1]y x x =-∈-，所以选B.点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围.2．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD【答案】C 【解析】分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：2214y x +=，与直线l的参数方程212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立可得：21613t =，则121313t t ==-，结合弦长公式可知：1213AB t t =-=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） A．3B．3-CD．3±【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
