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选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）选修4-4 坐标系与参数方程1、设直线l 经过点M （1,5）、倾斜角为3π，则直线l 的参数方程可为( )A ．11235x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ B ．31152x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ C ．11235x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D ．11235x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 【答案】C【解析】由于过点（a ，b ） 倾斜角为α 的直线的参数方程为x=a+ t ？cos α，y=b + t ？sin α (t 是参数)，而直线L 经过点M （1,5）、倾斜角为3π，则直线l 的参数方程可为112352x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩故选C.2、曲线 (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 （ ) A. B ．1 C. D. 【答案】A【解析】因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(因为直角三角形中，两直角边之和大于斜边)．故最大值必大于1，排除B ，C ，D.3、已知点P 的极坐标为（2，），那么过点P 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A ．ρsin θ=B ． ρsin θ=2C ． ρcos θ=D ． ρcos θ=2【答案】A4、参数方程为，为参数）t t y tx (3221⎩⎨⎧-=+=则普通方程为（）A ．3x+2y-7=0 B.3x-2y-7=0 C ．3x+2y+7=0 D ．-3x+2y-7=0 【答案】A5、在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.1,2π⎛⎫⎪⎝⎭ B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(1,0) D ．(1，π) 【答案】B【解析】将极坐标方程左右两边同时乘以ρ得θρρsin 22-=,化为直角坐标方程y y x 222-=+,圆心为(0,-1),极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故答案选B.6、曲线的参数方程是211(0)1x t t t y t⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩是参数，，它的普通方程是（ ） A ． 2(1)(1)1x y --=B ．2(2)(1)x x y x -=-C ．211(1)y x =--D ．211xy x =+-【答案】B 7、圆()θθρsin cos 2+=的圆心坐标为（）A ．（1，4π）B.（21，4π）C.（2，4π）D.（2，4π）【答案】A 8、已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 和原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是（ ）A.（3，4）B.1212(,)55--C.(-3，-4)D.1212(,)55【答案】D9、已知实数y x ,满足，则的最小值是（）A ．55-．45C 51-D ．55 【答案】A【解析】先由2246120x y x y +-++= 化为圆的参数方程23x cos y sin αα⎩+-⎧⎨＝＝，将()2225|55x y cos sin sin αααθ--=-+=++利用()5555αθ⎡++∈-+⎣，求解．∵实数x，y满足2246120x y x y+-++=,∴23x cosy sinαα⎩+-⎧⎨＝＝，所以()222|5|5x y cos sinαααθ--=-+=++，()5555αθ⎡++∈-⎣Q，，min22525[2x y x y∴--∈∴-=- A.考点：直线与圆的参数方程10、将极坐标（2，32π）化为直角坐标为（）A．（0,2）B．（0，－2）C．（2,0）D．（－2,0）【答案】B【解析】332cos0,2sin222x yππ====-，所以选B．考点：极坐标化为直角坐标11、在柱坐标系中,两点24,,04,,333M Nππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的距离为( ) A.3 B.4C.5D.8【答案】C【解析】法一:由柱坐标可知M在Oxy平面上,N在Oxy平面上的射影坐标为N |MN |4,24,,0MN 5.3.,C π'∴'===⎛⎫ ⎪⎝⎭再由勾股定理得故选法二:可将M ？N 化为直角坐标,N(MN 5..C =-∴=故选12、在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________. 【答案】213、在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________. 【答案】cos 3ρθ=14、在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________【答案】 15、已知曲线C的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________ 【答案】316、已知直线l的参数方程为()x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,若以直角坐标系xoy的原点O点为极点,以x轴正半轴为极轴,选取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2sin()4πρθ=+,若直线l与曲线C交于A、B两点.(I)求直线l的倾斜角及l与坐标轴所围成的三角形的面积; (II)求| AB|.【答案】17、已知曲线22:149x yC+=，直线2:22x tly t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【答案】（1）2cos,3sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），062=-+yx（2）最大值为，最小值为．试题分析：第一问根据椭圆的参数方程的形式，将参数方程写出，关于直线由参数方程向普通方程转化，消参即可，第二问根据线段的长度关系，将问题转化为曲线上的点到直线的距离来求解． 试题解析：（1）曲线C的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．直线l 的普通方程为062=-+y x ．（2）曲线C 上任意一点)sin 3,cos 2(θθP 到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则|5sin()6|sin30d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=．当sin()1θα+=-时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin()1θα+=时，|PA|取得最小值，最小值为．考点：椭圆的参数方程，直线的参数方程与普通方程的转换，距离的最值的求解．18、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为,3sin 3cos 2222=+θρθρ直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=t y tx 13t (为参数,)R t ∈.试在曲线C 上一点M ，使它到直线l 的距离最大.【答案】曲线C 的普通方程是1322=+y x ，直线l 的普通方程是033=-+y x设点M 的坐标是)sin ,cos 3(θθ,则点M到直线l 的距离是2|1)4sin(2|32|3sin 3cos 3|-+=-+=πθθθd当1)4sin(-=+πθ时,即Z k k ∈+=+,2324πππθ,Z k k ∈+=,452ππθd 取得最大值,此时22sin ,26cos 3-=-=θθ,综上, 点M 的坐标是)22,26(--时,M 到直线l 的距离最大19、已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点。
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)， 点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6， 此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2， 即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0， 解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12， 即12ρcos θ-32ρsin θ=12， 又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。
新《坐标系与参数方程》专题解析一、131．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．3．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
【详解】 曲线表示半圆：，所以.取，结合图象可得.故选：D 。
【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线 宀 化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入 将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾， 所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形 式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪 （0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线 化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切， ・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。
冲刺2020高考高三毕业班数学模拟试题选萃专题42 坐标系与参数方程1.（极坐标与数列交汇）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为()1cos28cos ρθθ-=，直线cos 1ρθ=与曲线C 相交于,M N 两点，直线l 过定点()2,0P 且倾斜角为α，l 交曲线C 于,A B 两点．（1）把曲线C 化成直角坐标方程，并求MN 的值；（2）若PA ，MN ，PB 成等比数列，求直线l 的倾斜角α． 【答案】(1) 答案见解析 (2) 4a π=或34π 【解析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ=8ρcosθ， ∴x 2+y 2-x 2+y 2=8x ，即y 2=4x ． 由ρcosθ=1得x =1，由124x y x =⎧=⎨⎩的M （1，2），N （1，-2），∴|MN |=4． （2）直线l 的参数方程为：{2x tcos y tsin αα=+=(t 为参数)，联立直线l 的参数方程与曲线C ：y 2=4x ， 得t 2sin 2α-4t cosα-8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2=24cos sin αα，t 1t 2=-28sin α， 因为|P A |，|MN |，|PB |成等比数列， ∴|P A ||PB |=|MN |2=16， ∴|t 1||t 2|=16，∴|t 1t 2|=16， ∴28sin α=16，∴sin 2α=12， ∵0≤α＜π，∴∴α=4π或α=34π．2．（参数方程与伸缩变换）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E .（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN ∆的面积．【答案】（1）2214x y +=（2）85.【解析】（1）依题意，E 的参数方程为2,,x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=.（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为,22,2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +，联立22,22,1,4x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>所以1225t t +=，即MN =，所以118sin 22425OMN S MN MO π∆=⋅⋅==.3.（极坐标、参数方程与面积）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）设曲线1l 的极坐标方程为(0)6πθρ=≥，曲线2l 的极坐标方程为(0)3πθρ=≥，求三条曲线C ，1l ，2l 所围成图形的面积.【答案】（1）4sin()3πρθ=+； （223π.【解析】（1）由条件得圆C 的直角坐标方程为(()2214x y -+-=，得2220x y y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2cos 2sin 0ρθρθ--=，即2sin ρθθ=+，则4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由条件知曲线1l 和2l 是过原点O 的两条射线，设1l 和2l 分别与圆C 交于异于点O 的点A 和B ， 将6πθ=代入圆C 的极坐标方程，得4,6A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以4OA =；将3πθ=代入圆C 的极坐标方程，得3B π⎛⎫⎪⎝⎭，所以OB =由（1）得圆C 的圆心为)C，其极坐标为2,6C π⎛⎫⎪⎝⎭，故射线1l 经过圆心C ，所以366COB πππ∠=-=，23ACB COB π∠=∠=.所以11sin sin 246COB S OC OB COB OA OB π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=扇形CAB 的面积为2122233CAB S ππ=⋅⋅=, 故三条曲线C ，1l ，2l所围成图形的面积为23COB CAB S S π∆+=. 4．（参数的意义）已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上. （1）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，求FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 【答案】（1）122FA FB t t ⋅==；（2）16．【解析】(1) 曲线C 的直角坐标系方程为: 221124x y +=∴()F -∴直线l的参数方程为x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将,22t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入221124x y +=得：2220t t --= 设A B 、两点所对应的参数为12,t t ，则122t t ⋅=-∴2FA FB ⋅= (2) 设P 为内接矩形在第一象限的顶点,(),2sin P θθ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则矩形的周长()42sin 16sin 3l πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴当6πθ=即()3,1P 时周长最大，最大值为16．5．（极径的意义）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(2,【解析】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅰ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数， 将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=， 得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 4πααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭. 当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(2,.6．（参数方程、极坐标与三角函数）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是cos 5sin x t y t αα⎧=⎨=+⎩（t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程是2cos 4πρθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）写出圆2C 的直角坐标方程；（Ⅰ）若曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，求sin cos sin cos αααα-+的值.【答案】（Ⅰ）22240x y x y +--=；（Ⅰ）3.【解析】（Ⅰ）sin cos 2cos 4sin 2cos 22ρθθθθθ=⋅+-=+⎭， 24sin 2cos ρρθρθ=+，∴2242x y y x +=+，∴圆2C 的直角坐标方程是22240x y x y +--=.（Ⅰ）因为曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线()tan 5tan 0y x αα=-⋅+<与圆2C 相切，2C 圆心为（1，2）=，解得tan 2α=-， 所以sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα--==++.7.（参数方程、极坐标与三角函数性质）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=,2213x y +=；（2）2.【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sinα），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 8．（参数方程、极坐标与参数范围）在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =acost y =2sint（t 为参数，a >0）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π4)=−2√2. （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =2√3时，求点P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 【答案】（1）4√2；（2）(0,2√3).【解析】（1）由ρcos (θ+π4)=−2√2，得√22(ρcosθ−ρsinθ)=−2√2,化成直角坐标方程得√22(x −y)=−2√2,∴直线l 的方程为x −y +4=0， 依题意，设P(2√3cost,2sint)， 则P 到直线l 的距离d =√3cost−2sint+4|√2=|4cos(t+π6)+4|√2=2√2+2√2cos(t +π6)，当t +π6=2kπ，即t =2kπ−π6，k ∈Z 时，d max =4√2， 故点P 到直线l 的距离的最大值为4√2.（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∀t ∈R ，acost −2sint +4>0恒成立，即√a 2+4cos(t +φ)+4>0（其中tanφ=2a ）恒成立， ∴√a 2+4<4，又a >0，解得0<a <2√3. 故a 取值范围(0,2√3).9.（参数方程、极坐标与定值）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin x y αααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅰ）直线l 与y 轴交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值. 【答案】（Ⅰ）曲线C ：224x y +=.l40y --=.（Ⅰ）见证明 【解析】（Ⅰ）由题意，可得()()2222cos sin 4x y αααα+=++=，化简得曲线C ：224x y +=.直线l的极坐标方程展开为1cos sin 222ρθρθ-=， 故l40y --=.（Ⅰ）显然P 的坐标为()0,4-，不妨设过点P 的直线方程为cos 4sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入C ：224x y +=得28sin 120t t α-+=， 所以1212PA PB t t ⋅==为定值.10．（参数方程、极坐标与取值范围）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于两点M ，N ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求2211PMPN+的取值范围．【答案】(1) 2220x y y +-= (2) (2,6]【解析】（1）由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 把ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ代入，可得x 2+y 2﹣2y ＝0． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y ＝0； （2）将直线l 的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程，得t 2+（2cos α﹣2sin α）t +1＝0．由△＝（2cos α﹣2sin α）2﹣4＞0，得sin2α＜0， 且t 1+t 2＝﹣2cos α+2sin α，t 1t 2＝1．∴2221212122222221212()211242||||t t t t t t sin PM PN t t t t α++-+===-． Q sin2α＜0∴242sin α-(2,6]∈即2211||||PM PN +的取值范围是（2，6]．。
2021年高考数学三轮冲刺大题练习07 《选修4-4：坐标系与参数方程》1.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．(1)求C 与l 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点作P 与l 垂直的直线，交l 于点A ，求│PA │的最大值．2.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝t(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ2=cos 2θ＋sin θ(ρ≥0)．(1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度；(2)若M ，N 是曲线C 上两点，且OM ⊥ON ，求线段MN 长度的最大值．3.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为，直线l 的极坐标方程为。
(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，直线l 上有两点A ，B ，始终满足|AB|=4，求△MAB 面积的最大值与最小值。
4.已知过点P(a,0)的直线l 的参数方程是（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A,B 两点，试问是否存在实数a ，使得？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.5.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(其中φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)=1(α是常数，0＜α＜π，且α≠π2)，点A ，B(A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB|的最大值及此时点B 的坐标．6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.7.已知直线l 的参数方程为（t 为参数），在直角坐标系中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为ρ2（1+sin 2θ）=1．（1）求曲线M 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值．8.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(-1,0)，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为ρ=2. （1）当3πα=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：|PA|·|PB|是与α无关的定值.答案解析1.解：2.解：(1)由题意知，直线l 的普通方程为y=33x ， 则其极坐标方程为θ=π6或θ=7π6，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，7π6， 把θ=π6代入ρ2=cos 2θ＋sin θ，得ρ21=⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12=54，所以|OA|=52；把θ=7π6代入ρ2=cos 2θ＋sin θ，得ρ22=⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－12=14，所以|OB|=12， 所以线段AB 的长度为52＋12=5＋12. (2)设M(ρ3，α)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ4，α＋π2， 则|OM|2=cos 2α＋sin α，|ON|2=cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2=sin 2α＋cos α，所以|MN|2=|OM|2＋|ON|2=cos 2α＋sin α＋sin 2α＋cos α=1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，故当α=π4时，|MN|取得最大值1＋ 2.3.解：4.解：5.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(其中φ为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2=1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为y=tan α·x －1.(2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos αy ＝－1＋tsin α(t 为参数)．设A(t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－1＋t 2sin α)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos αy ＝－1＋tsin α，代入x 24＋y 2=1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8tsin α=0，∴t 1=0，t 2=8sin α1＋3sin 2α， ∴|AB|=|t 1－t 2|=8|sin α|1＋3sin 2α=83|sin α|＋1|sin α| ≤823=433(当且仅当sin α=33时取等号)，当sin α=33时，∵0＜α＜π，且α≠π2，∴cos α=±63， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13， ∴|AB|的最大值为433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13.6.解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2=1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4=0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α). 因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值，d(α)=|3cos α＋sin α－4|2=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α=2k π＋π6(k ∈Z )时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 7.解：（1）曲线M 的方程为ρ2（1+sin 2θ）=1，∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，∴x 2+2y 2=1； （2）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），∴y=tan α（x ﹣），由，得：x 2+2，即（1+2tan2α）x2﹣2tan2αx+5tan2α﹣1=0，若直线l与曲线M只有一个公共点，则△=﹣4（1+2tan2α）（5tan2α﹣1）=0，解得：tanα=±，∴α=或．8.解：。
大题精做16 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ+=+⎧⎨⎩=（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． （1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()θαρ=∈R ，()22cos sin 10ρθθρ-++=；（2）(． 【解析】（1）由题意可得，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ． 曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=．（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=， 当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πΔα⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+， 根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径．从而()122cos sin π4OA OB ρρααα⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭．当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，πππ,442α⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y ==⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点)M，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值．2．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧⎪⎪⎨=+=-⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧==+⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON △，且满足π2MON ∠=，求MON △面积的最大值．1．【答案】（1）直线l 30y +-=，曲线C 的直角坐标方程()2224x y -+=；（2）3MA MB ⋅=．【解析】（1）直线l 的普通方程为33y x =-+，即330x y +-=，根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，cos x ρθ=，222x y ρ=+， 而4cos ρθ=，则24cos ρρθ=，即()2224x y -+=， 故直线l30y +-=，曲线C 的直角坐标方程()2224x y -+=．（2）点)M 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120︒，可设直线的参数方程为：12 x t y ⎧⎪⎪⎨=⎪⎪⎩=（t 为参数），代入到曲线C的方程得(2230t t ++-，122t t +，123t t =-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==，故3MA MB ⋅=．2．【答案】（1）40x y +-=，2C的参数方程为sin x y ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数）；（2）31,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧⎪⎪⎨=+=-⎪⎪⎩（t 为参数），消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+=，即2222sin 3ρρθ+=， 22223x y y ∴++=，即2213x y +=，2C ∴的参数方程为sin x y ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数）． （2）设曲线2C上动点为),sin Q ϕϕ，则点Q 到直线1C的距离：d = ∴当sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即π6ϕ=时，d，即PQ，3621s ππin 62x y ⎧==⎪⎪∴⎨⎪==⎪⎩，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭． 3．【答案】（1）π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）4． 【解析】（1）可知曲线C的普通方程为(()2214x y +-=， 所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，22π,N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>，12112π8sin s ππin 4sin 242232π33MON S OM ON ρρθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==+++=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△， 所以MON △面积的最大值为4．。
