必修一 第二单元 第5讲

必 修 1 第 一 章 集 合 与 函 数 基 础 知 识 点 整 理第 1 讲§会合的含义与表示¤学习目标：经过实例，认识会合的含义，领会元素与会合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、会合语言 （列举法或描绘法）描绘不一样的详细问题，感觉会合语言的意义和作用；掌握会合的表示方法、常用数集及其记法、会合元素的三个特点 .¤知识重点：1. 把一些元素构成的整体叫作会合（ set ），其元素拥有三个特点，即确立性、互异性、无序性 .2. 会合的表示方法有两种：列举法，即把会合的元素一一列举出来，并用花括号“ {} ”括起来，基本形式为 { a 1 ,a 2 , a 3 , , a n } ，合用于有限集或元素间存在规律的无穷集 . 描绘法，即用会合所含元素的共同特点来表示，基本形式为 { xA | P( x)} ，既要关注代表元素 x ，也要掌握其属性 P(x) ，合用于无穷集 .3. 往常用大写拉丁字母 A,B, C, 表示会合 . 要记着一些常有数集的表示，如自然数集 N ，正整数集 N * 或N ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R.4. 元素与会合之间的关系是属于（belongto ）与不属于（ notbelongto ），分别用符号、表示，比如3 N ， 2 N .¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描绘法表示以下会合：（ 1）由方程 x( x 2 2x 3)0 的全部实数根构成的会合；（ 2）大于2且小于 7的整数 .解：（1）用描绘法表示为： { x22 x 3) 0} ；R | x(x 用列举法表示为 {0, 1,3} . （ 2）用描绘法表示为：{ xZ | 2 x 7} ；用列举法表示为 {3,4,5,6} .【例 2】用适合的符号填空：已知A{ x | x 3k 2, k Z} ， B{ x| x6m 1, mZ } ，则有：17A ；－ 5A ；17B . 解：由 3k 2 17 ，解得 k 5 Z ，所以 17 A ；由 3k257Z ，所以 5A ；，解得 k3由 6m 1 17 ，解得 m 3 Z ，所以 17 B . P 6 练习题 2，P 13A 组题【例 3】试选择适合的方法表示以下会合：（教材 4）（ 1）一次函数 y x 3 与 y 2 x 6 的图象的交点构成的会合；（ 2）二次函数 yx 2 4 的函数值构成的会合；（ 3）反比率函数 y2的自变量的值构成的会合 .x解：（ 1） {( x, y) |y x 3} {(1,4)} .y2 x6（ 2） { y | y x 2 4} { y | y 4} . （ 3） { x | y 2} { x | x 0} .x{ 1,4} ，也注意对照 （ 2）评论 ：以上代表元素， 分别是点、 函数值、 自变量 . 在解题中不可以把点的坐标混杂为 与（ 3）中的两个会合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不一样，剖析时必定要仔细.* 【例 4】已知会合A { a | x a} ，试用列举法表示会合．x 2 1有独一实数解A2解：化方程x a2x (a2)0 ．应分以下三种状况：x22为： x1⑴方程有等根且不是2 ：由△ =0，得 a9，此时的解为 x1，合．42⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是2 ：将 x2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合．⑶方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x2 代入得 a2 ，此时另一解为x2 1，合．综上可知， A{ 9 2, 2} ．,4. 注意分式方程易造成增根的评论：运用分类议论思想方法，研究出根的状况，进而列举法表示现象 .第 2 讲§会合间的基本关系¤学习目标：理解会合之间包括与相等的含义，能辨别给定会合的子集；在详细情境中，认识全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达会合间的关系 .¤知识重点：1. 一般地，对于两个会合 、 ，假如会合 A 中的随意一个元素都是会合B 中的元素，则说两个会合有 包括A B关系，此中会合A 是会合B 的子集（ subset ），记作 A B （或 BA ），读作“ A 含于B ”（或“ B 包括 A ”）.2. 假如会合 A 是会合 B 的子集（ AB ），且会合 B 是会合 A 的子集（ B A ），即会合 A 与会合 B 的元素是相同的，所以会合 A 与会合 B 相等，记作 A B .3. 假如会合 AB ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称会合 A 是会合 B 的真子集 （ propersubset ），记作 A B （或B A ） .4. 不含任何元素的会合叫作空集（emptyset ），记作，并规定空集是任何会合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ， B C ，则 A C ；若AI B A ，则 A B ；若 AUB A ，则 B A .¤例题精讲：【例 1】用适合的符号填空：（ 1） { 菱形 }{ 平行四边形 } ； { 等腰三角形 }{ 等边三角形 }.（ 2）{ x R | x 22 0} ； 0{0} ；{0} ；N{0}.解：（1） ， ；（ 2） =，∈， ， .【例 2】设会合A { x | xn Z} ,B { x | x n1Z} ，则以下图形能表示A 与B 关系的是（） ., n, n22A BBAAB两 个解：简单列举AB会合的一些元素，A ．3B ．C ．1D ．1 3} ， B{,3 113, } ，A { , 2 1,,0,,1, ,,2 , 2,2222 2 易知B，故答案选 A ．A另解：由B{ x | x2n1 Z} ，易知 BA ，故答案选 A ．2 , n【例 3】若会合 Mx | x 2 x 6 0 , N x | ax 10 ，且N M ，务实数 a 的值 .2x60 x2或 3 ，所以， M 2, 3 .解：由 x（ i ）若 a0时，得 N ，此时， N M ；（ ii ）若 a 0时，得 N { 1 }.若N M,知足12或13 ，解得 a1或 a1 .aa a 23故所务实数 a 的值为 0 或 1或1 .23”，因为 A评论 ：在观察“ AB ”这一关系时，不要忘掉“时存在 AB . 进而需要分状况议论 .题中议论的主线是依照待定的元素进行.2}. 若【例 4】已知会合 ={ , + , +2}， ={ ,,ax = ，务实数x 的值 .A a a b a bB a axA B解：若 a b ax a +ax 2-2 ax =0, 所以 a ( x -1) 2=0，即 a =0 或 x =1.a 2b ax 2当 a =0 时，会合 B 中的元素均为 0，故舍去； 当 x =1 时，会合 B 中的元素均相同，故舍去 .若 ab ax 2 2ax 2- ax - a =0.a2b ax2x +1)=0. 又 x ≠ 1，所以只有 x 1 因为 a ≠ 0，所以 2x - x -1=0, 即 ( x -1)(2.1 2经查验，此时 A =B 建立 . 综上所述 x.2. 融入方程组思想，联合元素的互异性确立会合.评论 ：抓住会合相等的定义，分状况进行议论 第 3 讲§会合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个会合的并集与交集的含义，会求两个简单会合的并集与交集；理解在给定会合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达会合的关系及运算，领会直观图示对理解抽象观点的作用 .¤知识重点： 会合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解观点，并掌握符号等，再联合解题的训练，而达 到掌握的层次 . 下边以表格的形式概括三种基本运算以下 .并集交集补集由全部属于会合 A 或属于集由属于会合 A 且属于会合 B 对于会合 A, 由全集 U 中不属于 观点合 B 的元素所构成的会合， 的元素所构成的会合，称为 会合 A 的全部元素构成的集 称为会合 A 与 B 的并集 会合 A 与 B 的交集合，称为会合 A 相对于全集 U（ unionset ）（ intersectionset ）的补集（ complementaryset ）记号 A U B （读作“ A 并 B ”）AI B （读作“ A 交 B ”）e U A （读作“ A 的补集”）符号图形表示U¤例题精讲：A【例 1】设会合 UR, A{ x | 1 x 5}, B { x | 3 x 9}, 求 A I B,e U ( A U B) .解：在数轴上表示出会合A 、B ，如右图所示：BA IB { x | 3 x 5} ，AC U ( A U B) { x | x1,或 x 9} ，-1359【例 2】设 A { x Z | | x |6}，B1,2,3 , C3,4,5,6 ，求：（ 1） A I (B I C) ；（ 2） A I e A (B U C) .解：Q A6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .（1）又QBI C 3，∴ AI (BI C)3 ；（2）又 QBUC 1,2,3,4,5,6 ，得C A (BUC)6, 5,4, 3, 2, 1,0 .∴ A I C A (B U C )6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .【例 3】已知会合 A { x | 2 x 4}， B{ x | x m} ，且 A I BA ，务实数 m 的取值范围 .解：由 AIB A ，可得 A B .在数轴上表示会合 A 与会合 B ，如右图所示：BA mx由图形可知， m 4 .4-24 mx评论 ：研究不等式所表示的会合问题，经常由会合之间的关系，获得各端点之间的关系，特别要注意能否含端点的问题 .【例 4】已知全集 U{ x | x 10,且x N *} ， A{2,4,5,8} ， B{1,3,5,8} ，求 C U ( A U B) ， C U ( A I ( C U A) I (C U B ) ， (C U A) U (C U B) ，并比较它们的关系 .解：由 A U B {1,2,3,4,5,8}，则 C U ( A U B) {6,7,9} .由 A I B {5,8} ，则 C U (AI B) {1,2,3,4,6,7,9} 由 C U A {1,3,6,7,9} ， C B {2,4,6,7,9} ，U则 ( C U A) I (C U B) {6,7,9}，(C U A) U (C U B) {1,2,3,4,6,7,9} .由计算结果能够知道， (C A)U (C B)C U (A I B) ，UU(C U A)I (C U B) C U (AUB).xB) ，另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形能够直接察看出来结果.评论 ：可用 Venn 图研究 (C U A) U (C U B) C U ( A I B) 与 (C U A) I (C U B) C U ( A U B) ，在理解的基础记着此结论，有助于此后快速解决一些会合问题.第 4 讲§会合的基本运算（二）¤学习目标：掌握会合、交集、并集、补集的有关性质，运转性质解决一些简单的问题；掌握会合运算中的一些数学思想方法 .¤知识重点：1. 含两个会合的 Venn 图有四个地区，分别对应着这两个会合运算的结果 . 我们需经过 Venn 图理解和掌握各地区的会合运算表示，解决一类可用列举法表示的会合运算 . 经过图形，我们还能够发现一些会合性质：C U (AI B)(C UA)U(C U B),C U(AUB)(C U A) I(CU B) .2. 会合元素个数公式：n( A U B)n( A)n( B)n( A IB) .3. 在研究会合问题时，经常用到分类议论思想、数形联合思想等. 也常由新的定义观察创新思想.¤例题精讲：【例 1】设会合 A4,2a 1,a 2 , B 9,a 5,1 a ，若 A I B 9 ，务实数 a 的值 . 解：因为 A4,2a1,a 2 , B9,a5,1 a ，且 A I B9 ，则有：当 2a 1＝9时，解得 a ＝5，此时 A={ －4, 9, 25} ， B={9, 0, －4} ，不合题意，故舍去；当a 2＝9 时，解得 a ＝3或－ 3 .a ＝3时，A={ －4,5,9} ，B ={9, －2,－ 2} ，不合题意，故舍去； a ＝－ 3，A={ －4, －7，9} ， B={9, －8, 4} ，合题意 .所以， a ＝－3 .3)( x a)0, aR}，B{ x | ( x 4)( x 1) 0}，求 AUB ,AI B .（教材 P B【例2】设会合 A { x | ( x14组题 2）解： B{1,4} .当 a 3时， A {3} ，则 AU B {1,3,4} ， A I B；当 a 1时， A {1,3} ，则 A U B{1,3,4} ， A I B {1} ；当 a 4时， A {3,4} ，则 AUB {1,3,4} ， A I B {4} ；当 a3 且 a 1且 a 4时， A {3, a} ，则 A U B { 1,3,4, a} ， A I B.评论 ：会合 A 含有参数 a ，需要对参数 a 进行分状况议论 . 排列参数 a 的各样状况时，需依照会合的性质和影响运算结果的可能而进行剖析，不多许多是分类的原则 .【例 3】设会合 A ={ x | 2 2 2a R } x 4 x 0 } ， B x | x 2( a 1)x a 1 0 ， ，若 A I B B ，务实数 a 的={= 值．解：先化简会合 A ={ 4,0} . 由 AI B =B ，则 B A ，可知会合 B 可为，或为 {0} ，或 { －4} ，或 { 4,0} .( i ) 若 =，则4(a24(a 21) 0 ，解得 a ＜ 1 ；B1)( ii ) 若 0 B ，代入得 a 21=0 a =1 或 a = 1，当 a =1时， = ，切合题意；当 = 1B AA ，也切合题意．a 时， B={0}( iii ) 若－ 4 B ，代入得 a 28a 7 0 a =7 或 a =1，当 a =1 时，已经议论，切合题意；当 a =7 时， B ={ － 12，－ 4} ，不切合题意．综上可得， a =1 或 a ≤ 1 ．评论 ：本题观察分类议论的思想，以及会合间的关系的应用. 经过深刻理解会合表示法的变换，及会合之 间的关系，能够把有关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题 时，特别简单出现的错误是遗漏了 = 和 = 的情况，进而造成错误．这需要在解题过程中要全方向、多角A B B度审察问题 .【例 4】对会合A 与 ，若定义 AB { x | x A,且 x B} ，当会合A *} ，会合B { x | x 8, x N B { x | x( x 2)( x 5)( x 6) 0} 时，有 A B =. （由教材 P 12 补集定义“会合 A 相对于全集 U 的补集为C U A { x | xU, 且 x A} ”而拓展）解：依据题意可知， A {1,2,3,4,5,6,7,8} ， B {0,2,5,6}由定义AB{ x | x A,且x B} ，则A B {1,3,4,7,8} .评论 ：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思想的训练，重点是理解定义的本质性内涵，这里新定义的含义是从 A 中清除 B 的元素 . 假如再给定全集 U ，则 A B 也相当于 A I (C U B) .第 5 讲§函数的观点¤学习目标：经过丰富实例，进一步领会函数是描绘变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学惯用会合与对应的语言来刻画函数，领会对应关系在刻画函数观点中的作用；认识构成函数的因素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识重点：1.设 、 是非空的数集，假如按某个确立的对应关系f ，使对于会合 A 中的随意一个数 x ，在会合 B 中A B都有独一确立的数y 和它对应，那么就称f ： A → B 为从会合 A 到会合 B 的一个函数（ function ），记作y = f (x) ， xA ．此中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的会合 { f ( x) | xA} 叫值域（ range ） .2. 设 a 、 b 是两个实数，且 a <b ，则： { x | a ≤ x ≤ b } ＝ [ a , b ] 叫闭区间； { x | a <x <b } ＝ ( a , b ) 叫开区间； { | ≤ < } ＝ [ a,b)， { | < ≤ } ＝ (a, b]，都叫半开半闭区间 .x a xbx a x b符号：“∞”读“无量大”；“－∞”读“负无量大”；“ +∞”读“正无量大” . 则{ x | x a} (a , ) ， { x | x a} [ a, ) ， { x | x b} (, b) ， { x| x b} (, b] ， R ( ,) .3. 决定函数的三个因素是定义域、值域和对应法例. 当且仅当函数定义域、对应法例分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲：【例 1】求以下函数的定义域：（1） y1 x3 .x2 ；（ 2） y113 x2解：（ 1）由 x 2 10 ，解得 x1且 x3 ，所以原函数定义域为 (, 3)U(3, 1)U( 1, ) .（ 2）由x3 0，解得 x3 且 x9 ，3x 1 2 0所以原函数定义域为[3,9) U (9,) .【例 2】求以下函数的定义域与值域： （ 1） y 3x2；（ 2） y x 2x2 .5 4 x解：（1）要使函数存心义，则5 4x 0 ，解得 x5. 所以原函数的定义域是{ x | x5} .44y3 x 2 1 12x 81 3(4x 5)23 3 233 0 3，所以值域为 { y | y3} .5 4 x 4 5 4 x 45 4x 4 5 4 x 444（ 2） yx2x 2(x1 )2 9 . 所以原函数的定义域是 R ，值域是 (,9] .244【例 3】已知函数1 x x . 求：（ 1） f (2)的值；（ 2） f (x) 的表达式f ()1 x解：（1）由1x 2 ，解得 x1 ，所以 f (2) 1 .1 x3 3（2）设1x t ，解得 x1 t ，所以 f (t ) 1 t ，即 f (x) 1 x .1 x1 t 1 t1 x评论 ：本题解法中突出了换元法的思想 . 这种问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，经常需要联合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数f (x) x 22 , x R .11x111（ 1）求 f ( x)f (f (1) f (2) f (3)f (4)) f ( ) 的值；（ 2）计算：f () f ( ) .x12 341x2x 21 1 x 2解：（ 1）由 f ( x)x 21 .f ( )1 1 x 21 x21 x2x1 x21x2（ 2）原式11117 f (1) ( f (2) f ( )) ( f (3) f ( )) ( f (4) f ())323422评论：对规律的发现，能使我们实行巧算. 正确探究出前一问的结论，是解答后一问的重点.第 6 讲§函数的表示法¤学习目标：在本质情境中，会依据不一样的需要选择适合的方法（图象法、列表法、分析法）表示函数；经过详细实例，认识简单的分段函数，并能简单应用；认识映照的观点.¤知识重点：1.函数有三种表示方法：分析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，长处：简洁，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，长处：直观形象，反响变化趋向）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，长处：不需计算便可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不一样范围的，对应法例不一样） .x3. 一般地，设A、B是两个非空的会合，假如按某一个确立的对应法例 f ，使对于会合 A 中的随意一个元素 x，在会合 B中都有独一确立的元素y 与之对应，那么就称对应 f : A B 为从会合 A 到会合 B 的一个映照（ mapping ）．记作“ f : A B ”.鉴别一个对应能否映照的重点： A 中随意， B中独一；对应法例 f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，而后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以 x 为自变量的函数式是_____ ，这个函数的定义域为 _______ ．解：盒子的高为x，长、宽为a－2x，所以体积为V＝ x(a－2 x)2.又由 a－2x0，解得x a.2a} .所以，体积V 以 x 为自变量的函数式是V x( a－2 x)2，定义域为 { x | 0 x233 2 x 2x(,1)【例2】已知f( x)=x33，求 f [ f (0)]的值. x(1,)x x解：∵0 (,1) ，∴ f (0)=3 2 .又∵32>1，∴ f (32)=(3 2 )3 +( 32 ) -3 =2+ 1=5，即f [ f (0)]= 5 .3】画出以下函数的图象：222【例（ 1）y | x2|；（教材26 练习题3）P（ 2）y | x 1| | 2 x 4 | .解：（ 1）由绝对值的观点，有y| x 2 |x2,x22x,x .2所以，函数y| x 2 | 的图象如右图所示.3x 3, x1（ 2）y | x 1| | 2 x 4 |x 5, 2 x1，3 x3,x2所以，函数y| x1|| 2x 4 | 的图象如右图所示.评论：含有绝对值的函数式，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，而后依据定义域的分段状况，选择相应的分析式作出函数图象.【例4】函数 f ( x)[ x] 的函数值表示不超出x 的最大整数，比如[ 3.5] 4 ， [2.1] 2 ，当 x( 2.5,3] 时，写出 f (x) 的分析式，并作出函数的图象 .3, 2.5 x 2 2, 2 x 1 1,1 x 0解： f ( x) 0, 0x 1. 函数图象如右： 1, 1 x 2 2, 2 x 3 3, x3评论 ：解题重点是理解符号m 的观点，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲§函数的单一性¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单一性及其几何意义；学会运用函数图像 .¤知识重点：1. 增函数：设函数y =f ( x ) 的定义域为 I ，假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的随意两个自变量 x 1， x 2，当 x 1<x 2 时，都有 f ( x 1)< f ( x 2) ，那么 就说 f ( x ) 在区间 D 上是增函数（ increasingfunction ）. 模仿增函数的定义可定义减函数 ..2. 假如函数 f ( x ) 在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说f ( x ) 在这一区间上拥有（严格的）单一性，区间D 叫 f(x ) 的单一区间 . 在单一区间上，增函数的图象是从左向右是上涨的（如右图 1），减函数的图象从左 向右是降落的（如右图 2） . 由此，能够直观察看函数图象上涨与降落的变化趋向，获得函数的单一区间及单 调性 .3. 判断单一性的步骤：设 x 1 、 x 2 ∈给定区间，且 x 1 <x 2 ；→计算 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：【例 1】试用函数单一性的定义判断函数f (x)2x在区间（ 0， 1）上的单一性 .x 1解：任取 x 1 , x 2 ∈ (0,1) ，且 x 1 x 2 . 则 f ( x 1)f (x 2 )2x 1 2 x 2 2( x 2 x 1).x 1 1 x 2 1 ( x 1 1)( x 2 1)因为 0 x 1 x 2 1 ， x 1 1 0 ， x 21 0 ， x2 x 1 0 ，故 f ( x 1 ) f ( x 2 )0 ，即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) .所以，函数f (x)2x 在（ 0， 1）上是减函数 .x 1 ax 2【例 2】求二次函数 f (x) bx c (a 0) 的单一区间及单一性 .解：设随意 x 1 , x 2R ，且 x 1 x 2 . 则f ( x 1 ) f (x 2 )(ax 12 bx 1 c) ( ax 2 2 bx 2 c) a( x 12 x 2 2 ) b( x 1 x 2 ) (x 1 x 2 )[ a( x 1 x 2 ) b] .若 a 0 ，当 x 1 x 2 b 时，有 x 1 x 2 0 ， x 1 x 2 b a( x 1 x 2 ) b 0 ，进而，即2a b a bf (x 1 ) f (x 2 ) 0，即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，所以 f ( x) 在 ( , ] 上单一递加 . 同理可得 f (x) 在 [ ) 上单一 2a ,递减 .2a【例 3】求以下函数的单一区间：（ 1） y | x 1| | 2 x4 | ；（ 2） yx 2 2 | x | 3 .3 x 3, x 1解：（ 1） y | x1| | 2 x 4 |x5, 2 x1 ，其图象如右 .3x 3, x2由图可知，函数在[ 2, ) 上是增函数，在 (, 2] 上是减函数 .2（ 2） yx 22| x | 3x 2x 3, x 0，其图象如右 .x 2 2 x 3, x 0由图可知，函数在 (, 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1,) 上是减函数 .评论 ：函数式中含有绝对值，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第 2小题也能够由偶函数的对称性，先作y 轴右边的图象，并把y 轴右边的图象对折到左边，获得f (| x |) 的图象 . 由图象研究单一性，重点在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x)3x1，指出 f ( x) 的单一区间 .x 2解：∵ f ( x)3(x 2) 535 ，x 2x2∴把 g ( x)5x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿y 轴向上平移 3 个单位， 的图象沿x获得 f ( x) 的图象，以下图 .由图象得 f (x) 在 (, 2) 单一递加，在 ( 2, ) 上单一递加 .评论 ：变形后联合平移知识，由平移变换获得一类分式函数的图象. 需知 f (x a) b 平移变换规律 .第 8 讲§函数最大（小）值¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单一性求函数的最大（小）值.¤知识重点：1. 定义最大值：设函数 y f ( x)的定义域为I ，假如存在实数知足：对于随意的x∈ ，都有f ( x)≤ ；MIM存在 x 0∈ I ，使得= . 那么，称 M 是函数 yf ( x)的最大值（ MaximumValue.模仿最大值定义，能够给f ( x ) M）出最小值（ MinimumValue ）的定义 .ax2b )2 4ac b 22. 配方法：研究二次函数y bx c (a0) 的最大（小）值，先配方成 y a ( x后，222a4a当 a0 时，函数取最小值为 4ac b ；当 a 0时，函数取最大值 4ac b .4a4a3. 单一法：一些函数的单一性，比较简单察看出来，或许能够先证明出函数的单一性，再利用函数的单一性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，而后察看图象获得函数的最大值或最小值 . ¤例题精讲：【例 1】求函数 y6的最大值 .x 2x1解：配方为 y6 ，由 (x 1 )2 33 ，得 06 8 .13 1( x 22 44( x23)4)42 2所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人假如将进货单价为8 元的商品按每件 10 元售出时，每日可售出 100 件 . 此刻他采纳提升售出价，减少进货量的方法增添收益，已知这种商品每件抬价1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定 为多少元时，才能使每日所赚得的收益最大？并求出最大收益 .解：设他将售出价定为 x 元，则提升了 ( x 10) 元，减少了 10g( x 10) 件，所赚得的收益为y(x 8)g[100 10g(x 10)] .即 y10x 2280x 160010( x 14) 2 360 . 当 x 14 时， y max360 .所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每日所赚得的收益最大 , 最大收益为360 元.【例 3】求函数 y 2 x x 1 的最小值 .解：此函数的定义域为 1,，且函数在定义域上是增函数，所以当 x1时， y min 2 1 12 ，函数的最小值为2.评论 ：形如 y ax bcxd 的函数最大值或最小值，能够用单一性法研究，也能够用换元法研究 .【另解】令x 1t ，则 t0 ， x 21 ，所以ty 2t 2t 2 2(t1 )2 15 ，在 t 0 时是增函数，当 t 0 时， y min2 ，故函数的最小值为 2. 4 8【例 4】求以下函数的最大值和最小值：2[5 , 3] ；（ 2） y | x 1| | x 2 | .（1）y 3 2x x , x22解：（ 1）二次函数 y 32xx 2 的对称轴为 xb ，即 x1.2a39画出函数的图象，由图可知，当x 1 时， y max.4 ；当 x时， y min5329 4所以函数 y 3 2x x 2 , x[ , ] 的最大值为4, 最小值为.2 243 ( x 2)（2）y | x 1| | x 2 |2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知，y [ 3,3] . 所以函数的最大值为 3, 最小值为 -3.评论 ：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常依据闭区间与对称轴的关系，联合图象进行剖析. 含绝对值的函数，常分零点议论去绝对值，转变为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲§函数的奇偶性¤学习目标：联合详细函数，认识奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质数、偶函数的几何意义，能娴熟鉴别函数的奇偶性.¤知识重点：1. 定义：一般地，对于函数f ( x) 定义域内的随意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，那么函数（ evenfunction ） . 假如对于函数定义域内的随意一个 x ，都有 f ( x)f ( x) ），那么函数（ oddfunction ）.2. 拥有奇偶性的函数其定义域对于原点对称，奇函数的图象对于原点中心对称，偶函数图象对于 对称 .3. 鉴别方法：先观察定义域能否对于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等鉴别 关系 .¤例题精讲：【例 1】鉴别以下函数的奇偶性：（ 1） f ( x)x 3 1 ；（ 2） f (x) | x 1| | x1| ；（ 3） f ( x) x 2 x 3 . x解：（1）原函数定义域为 { x | x 0} ，对于定义域的每一个 x ，都有f ( x) ( x)31( x 31)f ( x) ，所认为奇函数 .xx（ 2）原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个 x ，都有f ( x) | x1| | x 1| | x 1| | x 1| f ( x) ，所认为偶函数 .（ 3）因为 f (x) x 2x 3f ( x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，且 f (x)1 ，求 f ( x) 、 g ( x) .g ( x)x 1. 理解奇函f ( x) 叫偶函数f (x) 叫奇函数y 轴轴f ( x) 与 f (x) 的解：∵ f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，∴ f ( x) f (x) ， g ( x) g ( x) .f (x)g ( x)1f (x)g ( x)1x 1x 1则，即.1f ( x)g ( x)1f ( x)g (x)x1x1两式相减，解得f (x)x ；两式相加，解得 g (x)1 .x 2 1 x22x 21【例 3】已知 f ( x) 是偶函数， x 0 时， f ( x) 4 x ，求 x0 时 f (x) 的分析式 .解：作出函数y2 x 2 4 x2( x 1)2 2, x0 的图象，其极点为 (1,2) .∵ f ( x) 是偶函数，∴其图象对于 y 轴对称 .作出 x 0 时的图象，其极点为 ( 1,2) ，且与右边形状一致，∴ x 0 时， f ( x)2( x 1)222x 24 x .评论 ：本题中的函数本质就是y24 | x | . 注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 .2 x 此类问题，我们也能够直接由函数奇偶性的定义来求，过程以下 .【另解】当 x 0 时， x 0 ，又因为 f ( x) 是偶函数，则 f ( x) f ( x) ，所以，当 x0 时， f ( x)f (x)2( x)24( x)2 x 24 x .【例 4】设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 ( ,0) 上是减函数，实数a 知足不等式f (3a 2 a3) f (3a 2 2a) ，务实数 a 的取值范围 .解：∵ f ( x) 在区间 ( ,0) 上是减函数，∴ f ( x) 的图象在 y 轴左边递减 .又∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象对于原点中心对称，则在 y 轴右边相同递减 .又 f (0)f (0) ，解得 f (0)0 ，所以 f ( x) 的图象在 R 上递减 .∵ f (3a 2 a 3)f (3a 22a) ，2a 3 3a 22a ，解得 a 1 .∴3a评论 ：定义在 R 上的奇函数的图象必定经过原点. 由图象对称性能够获得，奇函数在对于原点对称区间上单一性一致，偶函数在对于原点对称区间上的单一性相反.会合与函数基础测试一、选择题 ( 共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个切合要求 )1．函数 y ＝＝ x 2－6x ＋10 在区间（ 2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递加函数C ．先递减再递加D ．选递加再递减．2．方程组{ A ． {( 1,1)}x y 2x y0 的解构成的会合是（）B ．{1,1}C ．（ 1，1）D ．{1}3．已知会合 A={ a ，b ，c}, 以下能够作为会合 A 的子集的是（）.{ a ，c}C.{ a ，e}D.{ a ， b ， c ， d} 4．以下图形中，表示 M N 的是（）5．以下表述正确的选项是（）{ 0}{ 0}{ 0}N { 0} 、设会合 A ＝{x|x 参加自由泳的运动员 } ，B ＝{x|x 参加蛙泳的MNMM N M N运动员 } ，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用会合运算表示为 () DA ∪B B C∩B7. 会合 A={x x 2k ,k Z },B={ x x 2k 1, k Z },C={ x x 4k 1, k Z } 又 a A, b B, 则有 （）A. （ a+b ） AB.(a+b) BC.(a+b) CD.(a+b) A 、 B 、 C 任一个）．函数 f （x ）＝－ x 2＋ （ a － ） x ＋ 2在（－∞， ）上是增函数，则 a 的范围是（ 8 a ≥ 2 1 4 ．a ≤－A ． 5．a ≥3．a ≤3 5B C D 9. 知足条件 {1,2,3} M {1,2,3,4,5,6} 的会合 M 的个数是（）10. 全集 U={1，2，3，4，5，6，7，8} ，A={3，4，5} ，B={1，3，6}，那么会合{2，7，8}是（）A B AB C U AC U B C U A C U B 以下函数中为偶函数的是（）A ． yx B ． y x C ． y x 2 D ． y x 31a 的值是（）12. 假如会合 A={ xax 2x ＋1=0} 中只有一个元素，则 |＋ 2A ．0B ．0 或 1C ．1D ．不可以确立二、填空题 ( 共 4 小题，每题 4 分，把答案填在题中横线上 )13．函数 f （x ）＝ × － ｜ x ｜的单一减区间是．2 2 3___________．函数 y ＝ 1的单一区间为___________． 14x ＋1{ a, b,1} ，又可表示成 { a 2, a b,0}15. 含有三个实数的会合既可表示成，则 a 2003 b 2004 .16. a1} ， C U N { x | 0 x 2} 那么会合 N已知会合 U { x | 3 x 3} ， M { x | 1 x ，M (C U N) ， M N .三、解答题 ( 共 4 小题，共 44 分）17. 已知会合 A { x x 2 4 0}，会合B{ x ax2 0} ，若 B A ，务实数 a 的取值会合．18. 设 f （ x ）是定义在 R 上的增函数， f （xy ）＝ f （ x ）＋ f （y ）， f （3）＝ 1，求解不等式 f （x ）＋ f （x －2）＞ 1．19. 已知函数 f （x ）是奇函数，且当 x ＞ 0 时， f （x ）＝ x 3＋ 2x 2— 1，求 f （x ）在 R 上的表达式．20. 已知二次函数 f (x)x 22(m 1)x2m m 2 的图象对于 y 轴对称，写出函数的分析表达式，并求出函数 f (x) 的单一递加区间 .必修 1 第一章会合测试会合测试参照答案：一、 1~5CABCB6~10ABACC11~12cB 二、 13［0， 3］，（－∞，－ 3 ）4414（－∞，－ 1），（－ 1，＋∞） 15-116 N { x | 3x 0 或 2 x 3} ；M(C U N ) { x | 0 x 1} ；MN { x | 3 x 1或 2 x 3} .三、17.{,1}；18.解：由条件可得 f （ x ）＋f （ x － ）＝ f ［ x （x － ）］， ＝f （ ）．2 2 1 3所以 f ［x （x － ）］＞ f （ ），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （ x － ）2 32＞3，可解得 x ＞3 或 x ＜－ 1．答案： x ＞3 或 x ＜－ 1．19. ．分析：本题主假如培育学生理解观点的能力．f （ x ）＝ x 3＋2x 2 －1．因 f （ x ）为奇函数，∴ f （0）＝ -1 ．当 x ＜0 时，－ x ＞0，f （－ x ）＝（－ x ）3＋ 2（－ x ）2－ 1＝－ x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝ x 3－2x 2＋1．20. 二次函数 f (x)x 2 2( m 1)x 2m m 2 的图象对于 y 轴对称， ∴ m 1，则 f ( x)x 2 1，函数 f ( x) 的单一递加区间为,0 .．。

人教高中英语必修一unit2教案Module 1 Unit 2 English around the world●单元规划本单元主要围绕English around the world这一主题介绍了英语的使用情况、开展情况及各地不同的方言。

第二单元English around the world的设计可分为五局部。

第一局部learn something about words and expressions；第二局部warming up and reading；第三局部the structure which expresses commands and requests；第四局部using language；第五局部 writing and speaking; ●课时安排本单元教学可分为6个课时。

第一课时vocabulary;第二课时为reading；第三课时为language points；第四课时为grammar；第五课时为using language；第六课时为writing and speaking；第七课时为revisionThe First Period Words and expressionsTeaching aims :1. Know the key words and expressions in the whole unit:elevator, petrol, official, voyage, actually, base, identity, command, request, recognize, straight, because of, come up, at present, such as, play a part (in)…… 2. Enable the students to get familiar with the pronunciation of the important words. 3. Prepare for the learning process of the whole unit. Teaching important points :1.Get familiar with the words in the text part.2.Master the important expressions such as：because of, come up, at present, such as, play a part (in)……Teaching methods: Task-based teaching and learning;cooperative-learning; group discussionTeaching procedures :Step 1、Self-directed learning学习方法指导：第一步：写出所给单词的音标；第二步：大声朗读三遍，注意画线字母的发音；第三步：依次写出画线字母的音标。

高中政治必修一第二单元知识点政治是以经济为基础的上层建筑，是经济的集中表现，是以国家权力为核心展开的各种社会活动和社会关系的总和。

这次小编给大家整理了高中政治必修一第二单元知识点，供大家阅读参考。

高中政治必修一第二单元知识点第二单元、生产、劳动与经营第四课生产与经济制度一.发展生产满足消费(一)生产与消费的关系1.生产决定消费(人的消费不是由主观愿望决定的，而是由客观的物质生产状况决定)①生产决定消费对象;②生产决定消费方式;③生产决定消费的质量和水平;④生产为消费创造动力物质资料的生产是人类社会赖以生存和发展的基础。

从一定意义上说人类的历史就是生产发展的历史。

2.消费对生产起着重要的反作用，消费的发展促进生产的发展。

①消费是生产的目的;②消费所形成的新的需要，对生产的调整和升级起着导向作用;③消费是生产的动力。

一个新的消费热点的出现，往往能带动一个产业的出现和成长;④消费为生产创造出新的劳动力，并提高劳动力的质量，提高劳动者的生产积极性。

3.社会再生产①社会再生产概念：社会生产过程的不断重复和更新②社会再生产过程的四个环节：生产、分配、交换、消费③关系：直接生产过程是起决定作用的环节;分配和交换是连结生产与消费的纽带，对生产和消费有重要的影响;消费是物质资料生产过程的最终目的与动力。

(二)大力发展生产力1.为什么要大力发展生产力理论原因①生产决定消费，物质资料的生产是人类社会赖以存在和发展的基础现实原因：②我国目前处在社会主义初级阶段人民日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾是社会的主要矛盾。

为解决这一矛盾必须大力发展生产力。

意义③只有大力发展生产力，才能充分显示社会主义的优越性;才能不断增强综合国力，提高我国的国际地位④发展对于全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化具有决定性意义2.大力发展生产力的途径：①坚持以经济建设为中心，聚精会神搞建设，一心一意谋发展。

②大力发展生产力，必须尊重劳动，尊重知识，尊重人才，全面提高劳动者素质。

专题1 物质的分类及计量物质的量摩尔质量本节教材位于专题一《物质的分类及计量》的第二单元的第一课时，本节教材是在学习了“物质的量”的基础上引入的新的表示物质组成的物理量，通过本节的探究既懂得了“物质的量”这个新物理量的应用，，又在初中化学的基础上扩充对物质组成表示方法的认识，提高化学计算能力，同时为电解质溶液，中和滴定的学习奠定基础。

本节内容的学习为学生高中的化学计算奠定了基础。

所以本节内容的学习起到了一个承上启下的作用。

教学目标：1、掌握物质的量及阿伏加德罗常数的定义；2、掌握物质的量、阿伏加德罗常数与粒子数存在的关系：3、掌握摩尔质量的定义；4、掌握物质的量、摩尔质量与质量存在的关系。

核心素养：通过本节的学习，培养学生语言表达能力和对知识的抽象概括能力；培养学生演绎推理、归纳推理、逻辑推理和运用化学知识进行计算的能力；通过举例分析和总结，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，提高学生的核心素养；通过对概念的透彻理解，培养学生严谨、认真的学习态度，使学生掌握科学的学习方法。

1、掌握物质的量、阿伏加德罗常数与粒子数存在的关系：2、掌握物质的量、摩尔质量与质量存在的关系。

学生复习上节课已学的内容，并预习本课内容；教师准备本节需要的多媒体课件。

【引入】比一比，谁更厉害！我一口气能喝下6000万亿亿个水分子，有多厉害！我一口气能喝36克水，我才厉害！如何比较质量这个宏观量与微粒数目这个微观量呢？我们可以利用物质的量将两者联系起来，在对其进行比较。

【过渡】你学过哪些物理量？它们是用于衡量什么的？单位是什么？“物质的量”是什么？怎么用？【展示】国际单位制（SI）的7个基本单位【讲解】我们可以看出：物质的量是国际单位制七个基本物理量之一。

摩尔是国际单位制七个基本单位之一。

【讲解】物质的量1.“物质的量”是一个基础物理量，是一个专用名词，符号：n2.单位：摩尔，简称：摩，符号：mol3.物理意义：是用来描述一定数目微观粒子的集合体的物理量。

高中英语必修一知识点内容整理考点讲解2024
高中英语必修一主要涵盖了英语基础知识、读写能力、听力与口语能力、文化、语法
等方面的内容。

以下是对每章节重点内容及其考点的整理和讲解。

第一单元读书与高效学习
本单元主要是培养学生的阅读和学习能力，帮助学生掌握阅读技巧和学习方法，并培
养学生的阅读兴趣。

考点包括：阅读理解、词汇与短语、写作技巧、语法。

第二单元人与动物
本单元围绕人与动物的关系展开，涉及动物的分类、特征和习性以及人类与动物之间
的互动和保护。

考点包括：阅读理解、词汇与短语、写作技巧、语法。

第三单元人与自然
本单元主要介绍了自然界的各种自然现象和自然灾害，以及人类与自然的关系。

考点
包括：阅读理解、词汇与短语、写作技巧、语法。

第四单元人物语篇
本单元介绍了两位伟大的科学家爱因斯坦和居里夫人的故事，培养学生的科学素养和
科学探究能力。

考点包括：阅读理解、词汇与短语、写作技巧、语法。

第五单元人与社会
本单元主要介绍了人与社会的关系，涉及社会问题、社会责任和人际关系。

考点包括：阅读理解、词汇与短语、写作技巧、语法。

第六单元人与健康
本单元围绕健康生活展开，涉及饮食、运动、休息等方面的内容，培养学生的健康意识和生活习惯。

考点包括：阅读理解、词汇与短语、写作技巧、语法。

以上是高中英语必修一的主要内容和考点，希望对你的学习有所帮助。

Unit 5WORKING THE LAND重点句式1.Indeed,his slim but strong body is just like that of millions of Chinese farmers,to whom he has devoted his life.确实,他瘦削但结实的身躯看起来和他为之奉献了一生的千千万万的中国农民一样。

2.Yuan was convinced that the answer could be found in the creation of hybrid rice.袁确信,在杂交水稻的研制中可以找到答案。

3.One characteristic of hybrids is that they usually attain a higher yield than conventional crops.杂交水稻的一个特点是它们通常比传统作物获得更高的产量。

4.Through intense effort,Yuan overcame enormous technical difficulties to develop the first hybrid rice that could be used for farming in 1974.通过努力,袁隆平克服了巨大的技术困难,在1974年研制出第一种可用于农业的杂交水稻。

5.Through intense effort,Yuan overcame enormous technical difficulties to develop the first hybrid rice that could be used for farming in 1974.通过努力,袁隆平克服了巨大的技术困难,在1974年研制出第一种可用于农业的杂交水稻。

6.This hybrid enabled farmers to expand their output greatly.这种杂交水稻使农民大大增加了产量。