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中考数学高频考点解读《圆》中常见辅助线(共27张PPT)

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人教版九年级数学上册课件：第24章圆2 圆中常用的作辅助线的八种方法(共30张PPT)

人教版九年级数学上册课件：第24章圆2 圆中常用的作辅助线的八种方法(共30张PPT)
又∵OC为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切．
返回
方法
5 遇弦加弦心距或半径
5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条 弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( ) C
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
返回
6．(中考·贵港)如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于
点H，点P是优弧上一点，若AB＝ ，OH＝1，
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
方法
2 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等
2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线CD
与圆交于点D，DP⊥AC，垂足是 点P，DH⊥BM，垂足是点H. 求证：AP＝BH.
则∠APB的度数是________． 2 3
60°
返回
方法
6 遇直径巧加直径所对的圆周角
7．如⊙图O分，别在交△BACB，C中AC，于A点B＝D，BCE＝，2，以AB为直径的 且点D是BC的中点．
(Байду номын сангаас)求证：△ABC为等边三角形；
证明：如图，连接AD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵点D是BC的中点， ∴AD是线段BC的垂直平分线． ∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC为等边三角形．
∴AD2＋BC2＝4R2.
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根
(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
解：过点O作OF⊥AD于点F. ∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两根(AD>BC)， ∴AD＝5，BC＝1. 由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，

2018中考数学专题复习 圆中常见的辅助线 课件 (共18张PPT)

2018中考数学专题复习 圆中常见的辅助线 课件 (共18张PPT)

22.50
M
B组：
（2）当BD是⊙O的直径时， （1）证明：连接AO， 延长AO交⊙O于点E， ∴∠BAD=90°， 则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：∴∠ABC+∠ADB=90°. ∵∠ABC:∠ACB:∠ADC=1:2:3， ∵∠ABC:∠ACB:∠ADC=1:2:3， ∠ADB=∠ACD+∠CAD， ∴4∠ABC=90°， ∴∠CAD=∠ABC. ∴∠ABC=22.5°. ∵AE为⊙O的直径， 由（1）知，∠ABC=∠DAC， ∴∠ADE=90°， ∴∠CAD=22.5°. ∴∠EAD+∠DEA=90°. ∵∠ABC=∠AED，∠CAD=∠ABC， ∴∠CAD=∠AED， ∴∠EAD+∠CAD=90°， 即∠CAE=90°， ∴EA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线；
连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补, 则弦BC的长为( ) B 3D.6 A.3 3 B.4 3 C.5
3
B组： 2. 如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3，
⊙O是△ABD的外接圆. （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数.
a°
D
D
a°
a°
a°
方法提炼：3做直径构造直角三角形
1、已知直径构造直角三角形
2、做直径构造直角三角形 做直径构造直角三角形
3、做弦心距构造直角三角形
2011（烟台）.已知：AB是O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直 线AB上一动点(不与点A. B. G重合)，直线DE交O于点F，直 线CF交直线AB于点P.设O的半径为r. (1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明：OE⋅OP=r2； (2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例, 请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立? 请说明理由。

九年级数学上册第二十四章圆专题复习小专题八圆中常作的辅助线课件新版新人教版113

九年级数学上册第二十四章圆专题复习小专题八圆中常作的辅助线课件新版新人教版113
AE=EC.
∵DE=10,∴AC=2DE=20.
在 Rt△ADC 中,DC= 202 -162 =12,
设 BD=x,在 Rt△BDC 中,BC2=x2+122,
在 Rt△ABC 中,BC2=( x+16 )2-202,
∴x2+122=( x+16 )2-202,解得 x=9,∴BC= 122 + 92 =15.
3.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,且AE=BF,AC与BD相等
吗?为什么?
解:AC 与 BD 相等.理由如下:
连接 OC,OD,如图.
∵OA=OB,AE=BF,∴OE=OF.
∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠OEC=∠OFD=90°,
在 Rt△OEC 和 Rt△OFD 中,OE=OF,OC=OD,
接 DE,AD=BD,∠ADE=120°.
( 1
( 2
)试判断△ABC 的形状并说明理由;
)若 AC=2,求图中阴影部分的面积.
解:( 1 )△ABC 是等边三角形,连接 CD.
∵AC 为☉O 的直径,∴CD⊥AB.
∵AD=BD,∴AC=BC.
∵∠ADE=120°,∴∠ACE=60°,∴△ABC 是等边三角形.
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠DAE=∠OEA,∴OE∥AC.
∵ED⊥AC,∴OE⊥ED,∴DE 是☉O 的切线.
( 2 )过点 O 作 OF⊥AC 于点 F.
1
1
∵ED⊥AC,∴OF∥ED,AF=2AC=2×6=3.
∵OE∥AC,∴四边形 OEDF 是矩形,∴OF=DE.
1
1
∵OA=2AB=2×10=5,

【名师推荐】九年级数学上册圆专题-辅助线

【名师推荐】九年级数学上册圆专题-辅助线

OC BA圆专题一辅助线1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ，求证：PM •PN=2PO 2.分析：要证明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC=PO 2，过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理NC=PC ，只需证明PM •PC=PO 2，要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明:过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC=21PN ∵PO ⊥AB,OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴PO PC PM PO =即∴PO 2=PM •PC.∴PO 2=PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那么OP 的长的取值范围是_________．【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是________.2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

例如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ． （1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。

专题课教学课件圆的辅助线

专题课教学课件圆的辅助线
切线
第18页，共31页。
圆的辅助线
六，圆切线判定方法
①已知△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB切于点D，试猜想:
AC与⊙O的位置关系. A
相切
过圆心作该直线的垂线
在△ADO和△AEO中
D
E
90° 90°
全等三角形 角平分线
B
C
等三腰线中合三O点一角形
∠BAO=∠CAO ∠B∠AAOD=O∠=C∠AAOEO=90°
点A的坐标为，
(0,1)点C的坐标为，(21
,
3) 2
第11页，共31页。
圆的辅助线
四，90圆° 周角
D
圆周角
C
B
O
① 连接两条弦没 有公共点的另外两 个端点，得到直径
A
②构造出一个 直角三角形
第12页，共31页。
圆的辅助线
五，作连心线。
A
B
第13页，共31页。
圆的辅助线
五，作连心线 如图，⊙A和⊙B外切于P点，⊙A的半径为r，⊙B的半径为3r，CD为⊙A、 ⊙B的外公切线，C、D为切 线，C、D为切点，求（1）CD的长；（2）CD于弧PC所围成的阴影部分的面积.
C
EF
A
DG B
第3页，共31页。
圆的辅助线
一，作弦心距
AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PC与AB相交于点D，求证2：PO 2 = PC ·PD
P
E A
DO
弦心距
B
∠EPO=∠OPD ∠PEO=∠POD=90°
Rt△PEO∽Rt△POD
C 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦.
PE = PO PO PD
要想证明是切线，半径垂线仔细辩：有点连圆心，无点作垂线.

九年级数学下册第27章圆专题九圆中常见的辅助线作业课件华东师大版.pptx

九年级数学下册第27章圆专题九圆中常见的辅助线作业课件华东师大版.pptx
(2)连结 AF，∵AB 是直径，∴∠AFB＝90°.∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠AFC，∴△CAF∽△
CBA，∴CA2＝CF·CB＝36，∴CA＝6，AB＝ BC2－AC2＝3 5，AF＝ AB2－BF2＝2 5.∵D︵F＝B︵D，
∴∠EAF＝∠EAH.∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH.∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF＝ AH＝2 5，设 EF＝EH＝x，在 Rt△EHB 中，(5－x)2＝x2＋( 5)2，∴x＝2，∴EH＝2.
(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求 ∠OCD的大小．
解：(1)证明：连结 OC，∵AC 平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2 ＝∠3，∴OC∥AD，∵ED 切⊙O 于点 C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED. (2)设 OC 交 BF 于 H，∵AB 为直径，∴∠AFB＝90°，易得四边形 CDFH 为矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥ BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8，在 Rt△ABF 中，AB＝ AF2＋BF2＝ 22＋82＝2 17，∴⊙O 的半 径为 17.
A．6
B．8
C．5 2 D．5 3
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB
和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.
证明：连结 AC.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝∠ACE＝90°.∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠D＋∠ABC＝180°.又∵∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝∠D.∵点 C 是弧 BD 的中点， ∴∠EAC＝∠CAD，∴∠EAC＋∠E＝∠CAD＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，∴∠EBC＝∠E，∴BC ＝EC.

圆中常用辅助线的作法ppt(精选文档)

B
.
O
A
C
有关直径问题,常作直径所对圆周角,利 用定理：“直径所对圆周角是直角”.
C
AOΒιβλιοθήκη B涉及弦长、半径、弦心距的问题，常作
弦心距（或圆心到弦的垂线段）,为应用垂 圆上若有一切线，切点圆心半径连；
∠C＝40°，则∠ABD＝ ° 溆浦卢峰镇中学 宋定军 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
径定理、勾股定理创造条件。 2、如图，△ABC内接于⊙O，
AD是⊙O的切线吗？为什么？ 实践应用：如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水涨到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米, 即PN=4米时是否要采取紧急 措施? 是直径，成半圆，想成直角径连弦； 115 ° D. 想一想，根据图形能否求出∠ABD的度数？ 想一想，根据图形能否求出∠ABD的度数？ ∠C＝40°，则∠ABD＝ ° （三）、切线的性质与判别
A
D
BE C
实践应用：如图,有一座拱桥是圆
弧形,它的跨度为60米,拱高18米,
当洪水涨到跨度只有30米时,要采
取紧急措施,若拱顶离水面只有4
米,即PN=4米时是否要采取紧急
措施?
P
A/
B/
N
A
B
例4、如图，AE平分∠CAB,点O在射线AE上，以O 为圆心画圆于AC相切于D点。判断AB与⊙O的位置 关系，并说明理由。
2、如图，△ABC内接于⊙O， AD⊥BC于D,AC=5，DC=3，
AB4 2 。求 ⊙O的直径。
2、如图， ⊙O 的半径是5，点P是弦 AB的延长线上的点，连接OP， 若OP=8，∠APO=30°，则弦 AB= 。
3、已知：如图， AB、AC与⊙O相切于
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模型解读： 连等弧所对的弦得到等弦，连等弧所对圆心角或圆周角，得到等 角，还可构造平行线.如图， AB CD ，若连接AB，CD，则有 AB=CD；若连接OA,OB,OC,OD，则有∠AOB=∠COD， △OAB≌△OCD；若连接BC，AD，则弦BC∥AD.
O
A
D
BC
例3.如图，∠AOB=90°，C，D是AB 的三等分点，连接 AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE=BF=CD．
中考数学高频考点解读 《圆》中常见辅助线
一、连半径 1.在圆中要求一个圆周角的度数，可以用 同弧所对的圆周角或圆心角进行等量代换 ； 2.求阴影部分的面积一般需将其转化为几 个规则图形的面积之和（或差）.
模型解读： 如图所示，连接OA，OB可得等腰三角形OAB，可利用等腰 三角形的性质证题；同时可利用同圆半径相等，进行等量代换 .
ON为△ABF的中位线.
F
C
N
A
O EB
D
例5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC上一点O为圆 心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N. (1)求证：BA⋅BM=BC⋅BN； (2)如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时， 求AB的值． 解析： （1）连接MN，根据三角形相似的判定 方法，判断出△ABC∽△NBM，即可判 断出BA•BM=BC•BN；
O
A
B
例1. （2018•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32° ，则∠OBA的度数是（ ） A．64° B．58° C．32° D．26°
例1.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分 别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则 弦AB的长为（ ） A．6 B．8 C．5 D．5 解析：延长AO交⊙O于点E，连接BE， 由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知 ∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6， 在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
五.与直径有关的辅助线 1.作直径所对的圆周角； 2.作和直径垂直的弦或把和直径垂直的线 段补成弦，利用垂径定理； 3.取另一弦的中点，构造中位线.
模型解读：
如图，AB为⊙O的直径，则∠AFB=90°；若AB⊥CD于E，则有
CE=DE,CE2=AE·BE，AC=AD ，BC=BD ；若N为弦BF的中点，则
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB=
=
=8，弦长求圆周角（或圆心角） 的度数，或求弦长时，常作弦心距，由弦心距 、半径、弦的一半构造直角三角形，应用勾股 定理或三角函数求解; 2.若证明的两条等线段恰好是圆的两条弦，可 向这两条弦作垂线，结合垂径定理进行证明.
解析：分两种情况进行讨论： ①弦AB和CD在圆心同侧； ②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股
定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
例2. （2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是 ⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦 AB和CD之间的距离是 cm．
六.圆上有四点时，常构造圆内接四 边形，再利用圆内接四边形的性质 证题.
例6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 AC 上任意一点，AG，DC的延长线交于F.求证： ∠FGC=∠AGD.
例6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 AC
上任意一点，AG，DC的延长线交于F.求证： ∠FGC=∠AGD. 解析:连接AD ∵AB是直径,AB⊥BC ∴弧AD=弧AC ∴∠AGD=∠ADC ∵四边形ADCG是圆内接四边形 ∴∠FGC=∠ADC ∴∠FGC=∠AGD
模型解读：
如图，AB=CD，若连接OA,OB,OC,OD，则∠AOB=∠COD；
若OE⊥AB,OF⊥CD，则有OE=OF；若连接AC，BD，则弦
AC∥BD.
A EB
O C
F D
例4.如图，在⊙O中，弦AB=CD，点M，N分别是AB和CD 的中点，连接MN.求证：∠AMN=∠CNM. 证明：连接OM、ON ∵AB＝DC∴ON＝OM ∴∠OMN＝∠ONM ∵AB是圆O的弦∴∠AMO＝90° 同理∠CNO＝90° ∴∠AMO＝∠CNO ∴∠AMN＝∠CNM.
例3.如图，∠AOB=90°，C，D是AB 的三等分点，连接 AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE=BF=CD．
例3.如图，∠AOB=90°，C，D是AB 的三等分点，连接 AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE=BF=CD．
解：连接AC、BD. 不难求得AE=BF=CD．
四.有等弦时常作的辅助线 1.连等弦所对的圆心角或圆周角，作弦心距 ，还可构造平行线; 2.看到弦的中点时，联想到垂径定理，想到 辅助线—连接圆心与弦的中点得弦心距.
例5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC上一点O为圆 心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N. (1)求证：BA⋅BM=BC⋅BN； (2)如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时， 求AB的值． 解析：（2）连接MO、MN，根据直角 三角形的性质得到MC=MB，得到 ∠MCB=∠B，根据弦切角定理证明 ∠NMC=∠B，得到∠MNO=60°， 根据等边三角形的性质得到答案．
解： ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm． ∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
三.有等弧时常作的辅助线 1.在圆中有相等的弧时常作它们所对 的弦，利用在同圆或等圆中相等的弧 所对的弦相等以及圆心角、弦、弦心 距之间的关系证题.
模型解读： 如图，若OE⊥AB，OF⊥CD，OE=OF，则AB=CD.
D FC
O
E
A
B
例2. （2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是 ⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦 AB和CD之间的距离是 cm．
例2. （2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是 ⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦 AB和CD之间的距离是 cm．
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF﹣OE=2cm；
例2. （2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是 ⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦 AB和CD之间的距离是 cm．
例1.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分
别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则
弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，