绝密★启用前
2014-2015学年度???学校8月月考卷
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）
1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥??
≥??+≤?
，则z ＝4x ＋y 的最大值为( )
A 、10
B 、8
C 、2
D 、0 【答案】B 【解析】
试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8
考点：线性规划.
2．若不等式组0
220x y x y y x y a
-≥??+≤?
?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是
（ ） A.43a ≥
B.01a <≤
C.4
13
a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D
【解析】根据0220x y x y y -≥??+≤?
?≥???
画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，
纵截距为a ，
自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0220x y x y y x y a -≥??+≤?
?≥??+≤?表示的平面区域
是一个三角形区域（如图2所示）；当41
3
a <<时，0220
x y x y y x y a -≥??+≤?
?≥??+≤?表示的平面区域是一
个四边形区域（如图3所示），当43a ≥时，0
220x y x y y x y a
-≥??+≤?
?≥??+≤?表示的平面区域是一个三角形
区域（如图1所示），故选D.
图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划.
3．已知变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤,
??
≥,??+-≤,
?
则y x 的取值范围是( )
A ．9[6]5,
B ．9(][6)5
-∞,?,+∞ C ．(3][6)-∞,?,+∞ D ．(3,6]
【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域，y
x
可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可
行域的边界交点为临界点（59
,
22
），（1,6）则可知k＝
y
x的范围是
9[6]
5
,.
考点：线性规划，斜率.
4．（5分）（2011?广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D 由不等式组
给定．若M（x，y）为D 上的动点，点A 的坐标为，则z=?的最大
值为（）
A.3
B.4
C.3
D.4
【答案】B
【解析】
试题分析：首先做出可行域，将z=?的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，
此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z 有最大值．
解：首先做出可行域，如图所示：
z=?=，即y=﹣x+z
做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．
因为B（，2），所以z的最大值为4
故选B
点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．
5．已知不等式组
20
20
20
x y
x
ax y
+-
?
?
-
?
?-+
?
≥
≤
≥
表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（）
﹙A ﹚1- （B ）52 ﹙C ﹚2 （D ）1
2
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要1a >-，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积1
(22)232
S
a =?+?=，解得12a =，故选D.
考点：1.线性规划求参数的取值.
6．设x ，y 满足约束条件，若z=的最小值为，则a 的值为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 ∵=1+
而
表示点(x ，y)与点(－1，－1)连线的斜率．
由图知a>0，否则无可行域，且点(－1，－1)与点(3a ，0)的连线斜率最小，
即==a=1
7．已知实数x，y满足条件
22
(3)(2)1
10
x y
x y
?-+-≤
?
--≥
?
，则
2
y
z
x
=
-
的最小值为（）A．32
+ B．22
+ C．
3
4
D．
4
3
【答案】C
【解析】
试题分析：如下图
可行区域为上图中的靠近x轴一侧的半圆，目标函数
22
y y
z
x x
-
==
--
，所表示在可行
区域取一点到点（2,0）连线的斜率的最小值，可知过点（2,0）作半圆的切线，切线的
斜率
2
y
z
x
=
-
的最小值，设切线方程为y=k（x-2），则A到切线的距离为1，故2
23
1
4
1
k
k
k
-
=?=
+
.
考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.
8．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于
1
2
的概率是( )（A）
9
16
（B）
3
4
（C）
15
16
（D）
15
32
【答案】C 【解析】
试题分析：设这两个数为：,x y，则
02
02
x
y
≤≤
?
?
≤≤
?
.若两数中较大的数大于
1
2
，则还应满
足：
1
2
x>或
1
2
y>（只需排除
1
2
1
2
x
y
?
≤
??
?
?≤
??
），作出以上不等式组表示的区域，由几何概型
的概率公式得
1
15
4
1
416
p=-=.选C.
考点：1、几何概型；2、不等式组表示的区域.
第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题（题型注释）
9．若实数x，y满足线性约束条件
3
1
2
2
x y
x y x
+≤
?
?
?
≤≤
??
，则z=2x y
+的最大值为________．
【答案】5.
【解析】
试题分析：作出不等式组
3
1
2
2
x y
x y x
+≤
?
?
?
≤≤
??
表示的平面区域，即可行域，则可知直线0
3=
-
+y
x与直线x
y
2
1
=的交点)1,2(
M，作直线l：0
2=
+y
x，平移直线l，可知当2
=
x，1
=
y时，5
1
2
2
max
=
+
?
=
z.
考点：线性规划.
10．已知变量,x y满足约束条件
23110,
480,
20,
x y
x y
x y
+-≤
?
?
+-≥
?
?-+≥
?
若目标函数()0
z x ay a
=->的最大
值
为1，则a= .
【答案】3
【解析】
试题分析：约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（4,1）点是取得最大值，所以141
a
=-?，所以3
a=.
考点：线性规划.
11．设z=kx+y，其中实数x，y满足
20
240
240
x y
x y
x y
+-≥
?
?
-+≥
?
?--≤
?
若z的最大值为12，则实数
k= ．
【答案】2
【解析】
作出可行域(如图)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)
过原点作出直线kx+y=0
k=0时，y=0，目标函数z=y 在点A 处取得最大值4，与题意不符 ②102k <-≤
即1
02
k -≤<时，直线kx+y=0即y=－kx 经过一、三象限，平移直线y=－kx 可知，目标函数z=kx+y 在点A 处取得最大值，即
，此时k=2与
1
02
k -≤<不符; ③－k>12即k<－1
2
时，直线kx+y=0即y=－kx 经过一、三象限，平移直线y=－kx 可知，
目标函数z=kx+y 在点B 处取得最大值，即max 022z =+=，此式不成立
④－k<0即k>0时，直线kx+y=0即y=－kx 经过二、四象限，平移直线y=－kx 可知，目标函数z=kx+y 在点A 处取得最大值，即max 4412z k =+=，此时k=2与k>0相符，所以k=2
12．点(,)M x y 是不等式组03
33x y x y ?≤≤?
≤??
≤?表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式
20x y m -+≥总成立，则m 的取值范围是________________.
【答案】3m ≥ 【解析】
试题分析：将不等式化为2m y x ≥-，只需求出2y x -的最大值即可，令2z y x =-，
就是满足不等式0333x y x ?≤≤?
≤??
≤?的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在()0,3处z
取最大值3，则m 取值范围是3m ≥.
考点：简单的线性规划和转化思想.
13．设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x x y -=??
?
??-≥≤+≥则的最大值为.
【答案】8 【解析】
试题分析：
这是如图可行域，
目标函数22
3
?-=
y x z ,表示可行域内的点到直线03=-y x 的距离的2倍，很显然
点A 到直线的距离最大，点()22，
-A ,将其代入点到直线的距离公式得到822
2
32max =??--=
z 考点：1.线性规划；2.点到直线的距离公式.
14．已知实数x ，y 满足6003x y x y x ≥??
≥??≤?
－＋，＋，，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，
则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[－1，1]
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
15．设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤??
≤-??≥?
向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数
m 的最大值为 ．
【答案】6； 【解析】
试题分析：因为//a b ，所以202x y m m y x -+=?=-,故根据线性规划的知识画出可行域如图,则目标函数在点（1，8）处取得最大值6. 考点：向量平行 线性规划
16．已知点(3,3)A ，O 为坐标原点，
点(,)P x y 满足303200
x y x y y ?-≤??
-+≥??≥??
,则||OA OP Z OA ?=的最大值是 【答案】3 【解析】
试题分析：作出可行域如图，则
||||
OA OP
OP cos AOP OA ?∠＝,
又AOP ∠是,OA OP 的夹角, ∴目标函数||
OA OP
Z OA ?=表示OP 在OA 上的投
影，
过P 作OA 的垂线PH ，垂足为H ， 当P 在可行域内移动到直线30x y -＝和直线320x +＝的交点3)
B ，时，
OP 在OA 上的投影OH 最大，此时||||26
OP OB AOP AOB π
∠=∠=
＝＝，，
∴||
OA OP
Z OA ?=
的最大值
为|236|cos AO O c B B os π∠＝＝,故答案为3．
考点：简单线性规划的应用，平面向量的数量积，平面向量的投影. 17．若实数x 、y 满足()222x y x y +=+,则x y +的最大值是_________. 【答案】4
【解析】
试题分析：将()222x y x y +=+变形为2
2
(1)(1)2x y -+-=，表示圆心为(1,1)，半
径为2的圆。令z x y =+，即0x y z +-=。由图像分析可知圆心到直线0x y z +-=距离2
2
11222
11
z z d +--=
=
≤+，解得04z ≤≤，所以x y +的最大值是4。
考点：1线性规划、数形结合思想；2点到线的距离；
18．已知O 为坐标原点，2(A ，)1，x P (，)y 满足??
?
??≥-≤+≤+-0125530
34x y x y x ，则AOP
OP ∠?cos 的最大值等于 .
【答案】
5
5
12 【解析】
试题分析：5
2cos y x OA
OA OP AOP OP +=
=
∠?，设y x z +=2,如图：做出可行域
当目标函数平移到C 点取得最大值，??
?=-+=+-02553034y x y x 解得???==2
5
y x ,()25，
C ,代入目标函数12252max =+?=z
，AOP OP ∠
?cos 的最大值为5
5
12. 考点：1.向量的数量积的坐标表示；2.线性规划.
19．已知实数x ，y 满足222242(1)(1),(0)
y x x y y x y r r ≤??≤?
?≥??>?，＋，－，
＋＋－＝
则r 的最小值为________． 【答案】2
【解析】作出约束条件242y x x y y ≤??
≤??≥?
，
＋，－，表示的可行域，如图中的三角形，
三角形内(包括边)到圆心的最短距离即为r 的值，所以r 的最小值为圆心到直线y ＝x 的距离，所以r 的最小值为2. 20．已知P (x ，y )满足01
02
x x y ≤≤??
≤+≤?则点Q (x ＋y ，y )构成的图形的面积为_____．
【答案】2
【解析】令x ＋y ＝u ，y ＝v ，则点Q (u ，v )满足01
02u v u ≤-≤??≤≤?
，在uOv 平面内画出点Q (u ，
v )所构成的平面区域如图，易得其面积为2.
21．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +??
???
≥≤≤，
，，则225z x y =--的最大值为 ．
【答案】
12
试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形
,((0,3),(3,0),(3,3))ABC A B C 及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，
本题中22
x y +可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求22
x y +的
最小值，即坐标原点到直线3x y +=的距离的平方，为21
5()22
-
=.
考点：线性规划求最值 22．曲线y ＝
sin x
x
在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部与边界）．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋4y 的最大值为 ． 【答案】4 【解析】
试题分析：
sin x y x =
，2cos sin x x x y x -'∴= ，2
cos sin 1
|x y ππππππ=-'==- ， 所以曲线sin x y x =在点(),0M π处的切线方程为：()1
y x ππ
=--，即：
0x y ππ+-= ，它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示：
令4z x y =+，将其变形为144z y x =-+ ，当z 变化时，它表示一组斜率为1
4
-，在y 轴上的截距为
4
z
的平行直线，并且该截距越在，z 就越大，由图可知，当直线经过()
0,1A 时，截距最大，
所以max z ＝0414+?=，故答案为：4.
考点：1、导数的几何意义；2、求导公式；3、线必规划.
23．已知实数x ，y 满足302500x y x y y +-+-?????
≥≤≥，则()2
21z x y =-+的最小值
是 .
【解析】
试题分析：线性不等式组表示的可行域如图：
300(3,0)x y y A +-==????，250(5,0)0x y B y +-=???=?，30
250
(1,2)x y x y C +-=+-=???
?。 ()2
2
1z x y =-+表示点(1,0)M 与可行域内的点间的距离的平方。2,1MA MC ==，
点(1,0)M 到直线30x y +-=的距离为2
2
103211
d +-==+d MC MA <<，
所以2
min 2z d ==。 考点：线性规划。
24．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +??
???
≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ．
【答案】
12
【解析】
试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形
,((0,3),(3,0),(3,3))ABC A B C 及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，
本题中22
x y +可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求22
x y +的
最小值，即坐标原点到直线3x y +=的距离的平方，为21
5()22
-=.
考点：线性规划求最值
25．在平面直角坐标系中，不等式组?
??≤-≤x y a x 2,
表示的平面区域的面积为4，则实数a
的值是 .
【答案】2 【解析】
试题分析：2y x -≤等价于2x y x -≤-≤，即直线20x y -+=的下方和直线
20x y +-=的上方，而与直线x a =围成三角形区域，当2a =时，不等式组
??
?≤-≤x
y a x 2,
表示的平面区域的面积为4. 考点：不等式中的线性规划问题.
26．已知实数,x y 满足0
200,0
y x x y x y -≥??
++≥??≤≤?
则11()()42x y z =的最大值为_________.
x+y+2=0
x-y=0
B
A
O
x
y
【答案】16 【解析】
试题分析：如图实数,x y 满足0200,0y x x y x y -≥??
++≥??≤≤?
满足的可行域是三角形OAB 的阴影部分.
由11()()4
2
x
y
z =可化为21()
2
x y
z +=.所以求z 的最大值即求出2m x y =+的最小值.目
标函数2m x y =+，如图所示.过点B 即为m 所求的最小值.因为B （-2,0）所以m=-4.
所以4
max 1()
162
z -==.故填16.
考点：1.线性规划问题.2.指数函数的运算.
三、解答题（题型注释）
27．已知x ，
y 满足约束条件4335251x y x y x ≤??
≤??≥?
－－＋，试求解下列问题．
(1)z 的最大值和最小值；
(2)z
＝
2
y
x +的最大值和最小值； (3)z ＝|3x ＋4y ＋3|的最大值和最小值． 【答案】（1）z max ＝5，z min ＝12.（2）z max ＝1，z min ＝1
4
（3）z max ＝14，z min ＝5. 【解析】(1)z ＝
22x y +表示的几何意义是区域中的点(x ，y)到原点(0，0)的距离，则z max ＝5，z min ＝1
2
. (2)z ＝
2y x +表示区域中的点(x ，y)与点(－2，0)连线的斜率，则z max ＝1，z min ＝14
. (3)z ＝|3x ＋4y ＋3|＝5·|343|5x y ＋＋，而|343|
5
x y ＋＋表示区域中的点(x ，y)到直线
3x ＋4y ＋3＝0的距离，则z max ＝14，z min ＝5
28．设x,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤??
-+≥??≥≥?
,
（1）画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积； （2）若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为4,求b
a 32
1+的最小值. 【答案】（1）10；（2）4 【解析】 试题分析：（1）如图
先在直角坐标系中画出各直线方程，再用特殊点代入法判断各不等式表示的平面区域，其公共部分即为不等式组表示的平面区域，用分割法即可求出其面积。（2）画出目标函数线，平移使其经过可行域当目标函数线的纵截距最大时，z 取得最大值，求出满足条
件的此点坐标代入目标函数。用基本不等式求
b
a 32
1+的最小值。 试题解析：解：（1）不等式表示的平面区域如图所示阴影部分. 3分
联立?
??=--=+-06302y x y x 得点C 坐标为(4,6)
平面区域的面积11
26241022
S =
??+??=. 6分 （2）当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点C(4,6)时,
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值4,即4a+6b=4, 即3
12
a b +
=. 9分
所以
43223223321321≥++=??? ??+??? ??+=+b
a a
b b a b a a a 等号成立当且仅当3
1
,21==b a 时取到. 故
b
a 32
1+的最小值为4. 12分 考点：1线性规划；2基本不等式。
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绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是 （ ） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413 a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D
【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截距为a， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当 4 1 3 a <<时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当 4 3 a≥时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? 则 y x的取值范围是( ) A． 9[6] 5 ,B．9 (][6) 5 -∞,?,+∞C．(3][6) -∞,?,+∞D．(3,6]
线性规划题型总结 1. “截距”型考题 在线性约束条件下，求形如(,) =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转 z ax by a b R 化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行 域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1．（2017天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3 答案：D 解：变量x，y满足约束条件的可行域如图： 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3． 2．（2017新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则 z=3x﹣4y的最小值为． 答案：﹣1． 解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣， 经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 3．（2017浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞） 答案：D． 解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图： 目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值， 由解得C（2，1）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 4．（2016河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（） A．10 B．8 C．6 D．3 答案：C． 解：作出不等式组，对应的平面区域如图： （阴影部分） 由z=|x+2y|， 平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大 值，
线性规划常见题型大全 Revised by BETTY on December 25,2020
绝密★启用前 2014-2015学年度?学校8月月考卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（ ） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D
【解析】根据0220x y x y y -≥??+≤? ?≥??? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截 距为a ， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个 三角形区域（如图2所示）；当413a <<时，0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥? ?+≤ ?表示的平面区域是一个四边形区域 （如图3所示），当43a ≥时，0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所 示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤, ?? ≥,??+-≤, ? 则y x 的取值范围是( ) A ．9[6]5, B ．9(][6)5-∞,?,+∞ C ．(3][6)-∞,?,+∞ D ．(3,6] 【答案】A 【解析】 试题分析：画出可行域， y x 可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（59,22），（1,6）则可知k ＝y x 的范围是9[6]5,. 考点：线性规划，斜率. 4．（5分）（2011?广东）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组 给定．若M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为 ，则 z=的最大值为（ ）
线性规划 基础知识： 一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0 2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0 3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不． 包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律： 1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）， 当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）; 2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下） 当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。 四、线性规划的有关概念： ①线性约束条件： ②线性目标函数： ③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解： 典型例题一--------画区域 1. 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域． 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解：直线AB 的斜率为：1) 3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ． 可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ． ABC ?的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）． 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组?? ???<+->++>+-022, 062,03y x y x y x 表示． 说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 解：原不等式等价于???≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求??? ??? ?≤->∈∈>>.3, 32, ,,0,0y x y z y z x y x ．
. 绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是 （ ） B.01a <≤ C. D.01a <≤或【答案】D
试卷第2页，总17页 【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a += 斜率为1 -，纵截距为a， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+ ≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示） 时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示）时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? ( ) A．(3][6) -∞,?,+∞ D．(3,6] 【答案】A
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ? ? -+≥ ? ?--≤ ? ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13，4 5 D 、 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方， 即为4 5 ，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- ? ? -< ? ,故0＜m＜3，选 C
线性规划问题中目标函数常见类型梳理 山东 张吉林 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥??-+≥??≤? ，则24z x y =+的最小值为（ ） A ．5 B ．-6 C ．10 D ．-10 分析：将目标函数变形可得124 z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示： 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-，答案选B 。 点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。 二 直线的斜率型 例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ?+≤?≥? ,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22 4x y +=的右半圆(含边界)，
31 y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1) z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434 a b a b ?+=?--=?解 得65a b ?=???--?=?? 因 此min z =。综上可知函数的值域 为???? 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ，则22448w x y x y =+--+的最值为___________. 解析：目标函数2222 448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：
绝密★启用前 2014-2015学年度学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组 0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围 是（ ） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413a ≤≤ D.01a <≤或4 3 a ≥
【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1 -，纵截距为a， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当 4 1 3 a <<时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当 4 3 a≥时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? 则 y x的取值范围是( ) A． 9[6] 5 , B．9 (][6) 5 -∞,?,+∞ C．(3][6) -∞,?,+∞ D．(3,6]
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致． 归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用． 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型． 【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( ) A ．[7，23] B ．[8，23] C ．[7，8] D ．[7，25] 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求 直线的截距z b 的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3， 表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2 3 x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组 ????? x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得????? x ＝2， y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组????? x －y ＝－1，2x －y ＝3，得????? x ＝4，y ＝5， 所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23． 【答案】A
【母题二】变量x ，y 满足???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， (1)设z ＝y 2x －1，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围； (3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0 ??? ? x －12表示点(x ，y )和????12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方． 【解析】(1)由约束条件???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， 作出(x ，y )的可行域如图所示． 由 ????? x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ????1，22 5． 由????? x ＝1， x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由? ???? x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝ y 2x －1 ＝y －0x －12 ×12 ∴z 的值即是可行域中的点与????12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－ 12×12＝29 ． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29． (3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
2010年高考线性规划归类解析 线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-112 2y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1, 10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条 件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件00 24x y y x s y x ≥??≥?? +≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数 32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数 32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即 max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数 32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0 003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x = 围 图 2 图1 C
线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知10,220x y x y ?? -+≤??--≤?则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表 示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满 足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。 图2 x y 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最 小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13， 4 5 D 、13，255 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2 =13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离 的平方，即为4 5，选C 练习2、已知x ，y 满足?? ? ??≥-+≥≥≤-+0320,10 52y x y x y x ，则 x y 的最大值为___________，最小值为 ____________． 2，0 三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例3、在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表 示的平面 区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 2x + y - 2= 0 x – 2y + 4 = 3x – y – 3 = 0 O y
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1
线性规划常见题型及解法 温故 1．不在3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0） 2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24 C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤24 3．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最大值和最小值分别是（） A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1 4．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（） 5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A． 2 3260 y x y x ≥- ? ? -+> ? ?< ? B． 2 3260 y x y x >- ? ? -+≥ ? ?≤ ? C． 2 3260 y x y x >- ? ? -+> ? ?≤ ? D． 2 3260 y x y x >- ? ? -+< ? ?< ?
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值
. . 2．若不等式组 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? ，表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围是（） A. 4 3 a≥ B.01 a <≤ C. 4 1 3 a ≤≤ D.01 a <≤或 4 3 a≥ 【答案】D 【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截距为a， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当 4 1 3 a <<时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当 4 3 a≥时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 【解析】 试题分析：画出可行域， y x 可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（ 59 , 22 ），（1,6）则可知k＝ y x的范围是 9[6] 5 ,. 考点：线性规划，斜率. 4．平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，
试卷第2页，总13页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 则z=?的最大值为（ ） A.3 B.4 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 试题分析：首先做出可行域，将z=?的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z ，此方程表示斜率是﹣ 的直 线，当直线与可行域有公共点且在y 轴上截距最大时，z 有最大值． 解：首先做出可行域，如图所示： z= ? = ，即y=﹣ x+z 做出l 0：y=﹣x ，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线在y 轴上截距最大时，z 有最大值． 因为B （，2），所以z 的最大值为4 故选B 点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题． 【解析】 试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要1a >-，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积 1(22)232S a = ?+?=，解得1 2 a =，故选D. 考点：1.线性规划求参数的取值.
简单的线性规划常见题型 第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z ax by =+截距型) 例1.设x,y 满足约束条件?? ???≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求52z x y =+的最值 解：可行域是如图所示中ABC ?的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,5 22) 作出直线L 0：5x+10y=0，再将直线L 0平移, 当L 经过点B 时，y 轴截距最小，即z 达到最小值，得min 7z =. 当L 经过点A 时，y 轴截距最大，即z 达到最大值，得max 29z =,所以最大值是29，最小值是7 小试牛刀:1、若x y ，满足约束条件03003x y x y x ?+?-+??? ，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 2、设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-??+≥??-≤?则目标函数4z x y =+的最大值 3、设变量x 、y 满足约束条件?? ???-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为 4、设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥??-≥??-≤? 则z x y =+的最值为________ 第Ⅱ类 求可行域的面积 关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形 例2.不等式组?? ???≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 ( ) 2 (B)4 2 (D)2 解：可行域是A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4 小试牛刀:1、不等式组236, -0, 0x y x y y +≤??≥??≥? .表示的平面区域的面积为 。
线性规划常见题型及解法 一．基础知识： (一)二元一次不等式表示的区域 二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线. 由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0）。 （二）线性规划 (1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. (3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行 (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z =0，画出直线l 0. 3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数. 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解. 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 二、求可行域的面积 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A