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线性规划常见题型大全样本

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绝密★启用前-???学校8月月考卷试卷副标题考试范畴：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己姓名、班级、考号等信息 2．请将答案对的填写在答题卡上第I 卷（选取题）请点击修改第I 卷文字阐明 一、选取题（题型注释）1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z ＝4x ＋y 最大值为()A 、10B 、8C 、2D 、0 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，依照图形可知，当目的函数通过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 获得最大值为8考点：线性规划.2．若不等式组22x yx yyx y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表达平面区域是一种三角形区域，则a取值范畴是（）A.43 a≥B.01a<≤ C.413a≤≤ D.01a<≤或43a≥【答案】D【解析】依照22x yx yy-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a+=斜率为1-，纵截距为a，自直线x y a+=通过原点起，向上平移，当01a<≤时，22x yx yyx y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表达平面区域是一种三角形区域（如图2所示）；当413a<<时，22x yx yyx y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表达平面区域是一种四边形区域（如图3所示），当43a≥时，22x yx yyx y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表达平面区域是一种三角形区域（如图1所示），故选D.图1 图2 图3 考点：平面区域与简朴线性规划.3．已知变量x,y满足约束条件20170x yxx y-+≤,⎧⎪≥,⎨⎪+-≤,⎩则yx取值范畴是( )A．9[6]5,B．9(][6)5-∞,⋃,+∞C．(3][6)-∞,⋃,+∞D．(3,6]【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域，yx可理解为可行域中一点到原点直线斜率,可知可行域边界交点为临界点（59,22），（1,6）则可知k＝yx范畴是9[6]5,.考点：线性规划，斜率.4．（5分）（•广东）已知平面直角坐标系xOy上区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上动点，点A坐标为，则z=•最大值为（）A.3 B.4 C.3 D.4【答案】B【解析】试题分析：一方面做出可行域，将z=•坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表达斜率是﹣直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．解：一方面做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l 0：y=﹣x ，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z 通过点B 时，直线在y 轴上截距最大时，z 有最大值． 由于B （，2），因此z 最大值为4故选B点评：本题考查线性规划、向量坐标表达，考查数形结合思想解题．5．已知不等式组202020x y x ax y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 表达平面区域面积等于3，则a 值为（ ）﹙A ﹚1- （B ）52 ﹙C ﹚2 （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要使不等式组表达平面区域存在，需要1a >-，不等式组表达区域如下图中阴影某些，面积1(22)232Sa =⋅+⋅=，解得12a =，故选D.考点：1.线性规划求参数取值.6．设x，y满足约束条件，若z=最小值为，则a值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵=1+而表达点(x，y)与点(－1，－1)连线斜率．由图知a>0，否则无可行域，且点(－1，－1)与点(3a，0)连线斜率最小，即==a=17．已知实数x ，y 满足条件22(3)(2)110x y x y ⎧-+-≤⎨--≥⎩，则2yz x =-最小值为（ ）A ．32+B ．22+C ．34D ．43【答案】C 【解析】 试题分析：如下图可行区域为上图中接近x 轴一侧半圆，目的函数022y y z x x -==--，所示在可行区域取一点到点（2,0）连线斜率最小值，可知过点（2,0）作半圆切线，切线斜率2y z x =-最小值，设切线方程为y=k （x-2），则A 到切线距离为1，故223141k k k -=⇒=+.考点：1.线性规划；2.直线与圆位置关系.8．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大数不不大于12概率是( ) （A ）916 （B ）34 （C ）1516 （D ）1532【答案】C 【解析】试题分析：设这两个数为：,x y ，则0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩.若两数中较大数不不大于12，则还应满足：12x>或12y>（只需排除1212xy⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩），作出以上不等式组表达区域，由几何概型概率公式得11541416p=-=.选C.考点：1、几何概型；2、不等式组表达区域.第II卷（非选取题）请点击修改第II卷文字阐明评卷人得分二、填空题（题型注释）9．若实数x，y满足线性约束条件3122x yx y x+≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，则z=2x y+最大值为________．【答案】5.【解析】试题分析：作出不等式组3122x yx y x+≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表达平面区域，即可行域，则可知直线03=-+yx与直线xy21=交点)1,2(M，作直线l：02=+yx，平移直线l，可知当2=x，1=y时，5122max=+⋅=z.考点：线性规划.10．已知变量,x y满足约束条件23110,480,20,x yx yx y+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若目的函数()0z x ay a=->最大值为1，则a= .【答案】3【解析】试题分析：约束条件所满足区域如图所示，目的函数过B（4,1）点是获得最大值，因此141a=-⨯，因此3a=.考点：线性规划.11．设z=kx+y，其中实数x，y满足20240240x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z最大值为12，则实数k= ．【答案】2【解析】作出可行域(如图)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)过原点作出直线kx+y=0k=0时，y=0，目的函数z=y在点A处获得最大值4，与题意不符②12k<-≤即12k-≤<时，直线kx+y=0即y=－kx通过一、三象限，平移直线y=－kx可知，目的函数z=kx+y在点A处获得最大值，即，此时k=2与12k-≤<不符;③－k>12即k<－12时，直线kx+y=0即y=－kx通过一、三象限，平移直线y=－kx可知，目的函数z=kx+y在点B处获得最大值，即max022z=+=，此式不成立④－k<0即k>0时，直线kx+y=0即y=－kx通过二、四象限，平移直线y=－kx可知，目的函数z=kx+y在点A处获得最大值，即max4412z k=+=，此时k=2与k>0相符，因此k=212．点(,)M x y是不等式组0333xyx⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表达平面区域Ω内一动点，且不等式20x y m-+≥总成立，则m取值范畴是________________.【答案】3m≥【解析】试题分析：将不等式化为2m y x ≥-，只需求出2y x -最大值即可，令2z y x =-，就是满足不等式0333x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩最大值，由简朴线性规划问题解法，可知在()0,3处z 取最大值3，则m 取值范畴是3m ≥. 考点：简朴线性规划和转化思想.13．设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x x y -=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥则最大值为.【答案】8 【解析】 试题分析： 这是如图可行域，目的函数223⨯-=y x z ,表达可行域内点到直线03=-y x 距离2倍，很显然点A 到直线距离最大，点()22，-A ,将其代入点到直线距离公式得到822232max =⨯⨯--=z 考点：1.线性规划；2.点到直线距离公式.14．已知实数x ，y 满足6003x y x y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋，＋，，若z ＝ax ＋y 最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 取值范畴为__________． 【答案】[－1，1]【解析】作出可行域如图中阴影某些所示，则z 在点A 处获得最大值，在点C 处获得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.15．设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m最大值为 ．【答案】6； 【解析】试题分析：由于//a b ，因此202x y m m y x -+=⇒=-,故依照线性规划知识画出可行域如图,则目的函数在点（1，8）处获得最大值6. 考点：向量平行 线性规划16．已知点3)A ，O 为坐标原点，点(,)P x y 满足303200x y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩,则||OA OP Z OA ⋅=最大值是 3试题分析：作出可行域如图，则||||OA OPOP cos AOPOA⋅∠＝,又AOP∠是,OA OP夹角，∴目的函数||OA OPZOA⋅=表达OP在OA上投影，过P作OA垂线PH，垂足为H，当在可行域内移动到直线30x y-＝和直线320x -+＝交点3)B，时，OP在OA上投影OH最大，此时||||26OP OB AOP AOBπ∠=∠=＝＝，，∴||OA OPZOA⋅=最大值为|236cos AOO cB B osπ∠＝＝,故答案为3．考点：简朴线性规划应用，平面向量数量积，平面向量投影.17．若实数x、y满足()222x y x y+=+,则x y+最大值是_________.【答案】4【解析】试题分析：将()222x y x y+=+变形为22(1)(1)2x y-+-=，表达圆心为(1,1)，半2圆。

令z x y=+，即0x y z+-=。

由图像分析可知圆心到直线0x y z+-=距离221122211z zd+--==≤+04z≤≤，因此x y+最大值是4。

考点：1线性规划、数形结合思想；2点到线距离；18．已知O为坐标原点，2(A，)1，xP(，)y满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-1255334xyxyxAOPOP∠⋅cos最大值等于.【答案】5512试题分析：52cos y x OAOA OP AOP OP +==∠⋅，设y x z +=2,如图：做出可行域当目的函数平移到C 点获得最大值，⎩⎨⎧=-+=+-02553034y x y x 解得⎩⎨⎧==25y x ,()25，C ,代入目的函数12252max =+⨯=z AOP OP ∠⋅cos 最大值为5512. 考点：1.向量数量积坐标表达；2.线性规划.19．已知实数x ，y 满足222242(1)(1),(0)y x x y y x y r r ≤⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪>⎩，＋，－，＋＋－＝则r 最小值为________． 2【解析】作出约束条件242y x x y y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，＋，－，表达可行域，如图中三角形，三角形内(涉及边)到圆心最短距离即为r 值，因此r 最小值为圆心到直线y ＝x 距离，因此r最小值为2. 20．已知P (x ，y )满足0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则点Q (x ＋y ，y )构成图形面积为_____．【答案】2【解析】令x ＋y ＝u ，y ＝v ，则点Q (u ，v )满足0102u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uOv 平面内画出点Q (u ，v )所构成平面区域如图，易得其面积为2.21．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--最大值为 ．【答案】12【解析】试题分析：解线性规划问题，不但要对的拟定可行域，本题是直角三角形,((0,3),(3,0),(3,3))ABC A B C 及其内部,并且要挖出目的函数几何意义，本题中22x y +可理解为坐标原点到可行域中点距离平方.规定目的函数最大值，就是求22x y +最小值，即坐标原点到直线3x y +=距离平方，为215)22-=.考点：线性规划求最值 22．曲线y ＝sin xx在点M(π，0)处切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包括三角形内部与边界）．若点P(x ，y)是区域D 内任意一点，则x ＋4y 最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：sin x yx=，2cos sinx x xyx-'∴=，2cos sin1|xyππππππ=-'==-，因此曲线sin xyx=在点(),0Mπ处切线方程为：()1y xππ=--，即：0x yππ+-=，它与两坐标轴所围成三角形区域如下图所示：令4z x y=+，将其变形为144zy x=-+，当z变化时，它表达一组斜率为14-，在y轴上截距为4z平行直线，并且该截距越在，z就越大，由图可知，当直线通过()0,1A时，截距最大，因此maxz＝0414+⨯=，故答案为：4.考点：1、导数几何意义；2、求导公式；3、线必规划.23．已知实数x，y满足30250x yx yy+-+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，则()221z x y=-+最小值是 . 【答案】2【解析】试题分析：线性不等式组表达可行域如图：300(3,0)x y y A +-==⎧⇒⎨⎩，250(5,0)0x y B y +-=⎧⇒⎨=⎩，30250(1,2)x y x y C +-=+-=⎧⇒⎨⎩。

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线性规划五类经典题型-精选.pdf

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线性规划五类经典题型
类型一：一般线性规划题 类型二：构造 类型三：待定系数法 类型四：整点问题
类型五：含参数线性规划问题
类型一：一般线性规划题
4 已知实数 x， y 满足线性约束条件
2x－ y≥ 0， x＋y－ 4≥ 0， x≤3，
（ 1） z＝2x－3y 的最大值和最小值；
（2） z＝x2＋y2－ 10y＋25 的最小值；
17
b
zx 过点 C 2， 2 时， zmax＝ 7，故 a∈ [e,7] ．
2 已知函数 f ( x) 1 x3 1 ax2 bx c 在 x1处取得极 大值，在 x2 处取得极小值，满足
32
x1
( 1,0), x2
a (0,1) ，则
2b
4 的取值范围是 ________．
a2
3、 已知
ABC 的三边长 a, b,c 满足 b
所以，不等式组
x－ y＋5≥0， x＋ y≥0， x≤３
表示的平面区域如图所示．
5 结合图中可行域得 x∈ －2， 3 ，y∈ [ － 3,8] ．
(2) 由图形及不等式组知
－ x≤ y≤x＋ 5， 5
－ 2≤ x≤3，且 x∈Z，
当 x＝3 时，－ 3≤ y≤8，有 12 个整点；
当 x＝2 时，－ 2≤ y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－ 1≤ y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时， 0≤ y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－ 1 时， 1≤ y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－ 2 时， 2≤ y≤3，有 2 个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋ 4＋ 6＋ 8＋ 10＋12＝ 42( 个 ) ．
1（ 2012 江苏高考 ) 已知正数 a， b， c 满足： 5c－ 3a≤ b≤４c－ a，cln b≥ a＋ cln c，则 a的 取值范围是 ________．
八种 经典线性规划例题(超实用)

八种 经典线性规划例题(超实用)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划的常见题型

线性规划的常见题型

线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。

八种经典线性规划例题(超实用)

八种经典线性规划例题(超实用)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。