一类三角问题的几何解法
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镪 濑
解题 技巧 与方 法 麝
＃ ７１ ｉ
，
碡
窦 曩
◎ 商 艳 菊 刘 继英 （河 北 大 学卫 生职 业 技 术 学院
【摘 要 】 本 文 利 用 公 式 ｓｉｎ２０＋ ＣＯＳ２０＝ １及 ｔａｎ ＝
将 （ＣＯＳ ，ｓｉｎ ０）看 成 曲 线 （直 线 ）上 点 的 坐标 ，将 三
公 式 ＝ 二址 及 ｔａｎ０＝ 可 以认为 ｔａｎ０是 圆 Ｘ２＋ ＝ｌ
２ 一 １
ＣＯＳ
上 的点 （ＣＯＳ０，ｓｉｎ ０）与原 点 （０，０）连 线 的斜 率 ，当然 ，圆 上 （０，
±１）点 除 外 ．因 为 三角 部 分 恒 等 式 繁 多 。一 些 题 目按 传 统 解
法 不 难 得 到 答 案 ．但 这 种 打 破 常 规 的 逆 向 思 维 方 法 ．对 于
开 拓 学 生 思 路 ，提 高 学 生 分 析 问 题 、解 决 问题 的 能 力 是 很
有 帮 助 的 ，下 面 举 几 例 ，希 望 能 起 到 抛 砖 引 玉 的 作 用 ．
例 １ 已知 ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ０＝１．求 Ｃ０Ｓ２０＋Ｃ０Ｓ６０的 值．
解 ．’ｓｉｎ ＋ｓｉｎＯ＝１．
，
ＣＯＳ
角 题 目 的求 解 转 换成 代 数 几 何 问题 来 解 决． 【关 键 词 】三 角 代 换 ；直 线 ；斜 率
在 初 等 数 学 解 题 方 法 中 ，三 角代 换 法 已被 广 大 师 生 所 熟 悉 并 得 到 广 泛 应 用 ．事 实 上 ．一 些 三 角 问题 也 可 以 转 化 成 代 数 、几何 问 题 来 解 决 ．如 ：由公 式 ｓｉｎ ＋Ｃ０Ｓ２０＝１我 们 可 以将 ＣＯＳ ０，ｓｉｎ ０看成 是 圆 。＋ ＝１上 点 的坐 标 ．由 斜 率
ｓｉｎ２０＋ＣＯＳ２０＝１知 点 （ＣＯＳ ０，ｓｉｎ ０）既 在 单 位 圆 上 又 在 所 构 造 的 曲线 上．这 种 利 用 “点 在 曲 线 上 ”的 几 何 方 法 解 答 三 角 题 简 洁 、直 观 ，又 能 避 开 繁 琐 的 ｊ 角 公 式 的运 用 ，堪 称 为 一 种 巧 妙 的 解 题 方 法 ．
上 面 两 式 表 明 ＰＩ（ＣＯＳ ０，ｓｉｎ ）和 （ＣＯＳ ，ｓｉｎ ）均 在
直 线 似 ＋ｂｙ—ｃ＝０上．
由两 点 式 可 得 过 ＰＩ与 两 点 的直 线 方 程 为 ：
． 化 简得
ｃ。ｓ
ｎ
Ｏ
－ ｃｏｓ
ｑ￣一
ｏ
２
ＰＩ与 ·
．．
所 确 定 的 直 线 与 直 线
· ．．
那 么
一 （一 ） ３ ９ ： ＿１ 一，
５ ｓｉｎ ＋ ８ ５ ＣＯＳ 一 ９ ４来自５ 一一一
一
一
—
—
５
ｆ、一—８５— ） ２
一
一一＿３
５
例 ３ 设 ０和 ‘Ｄ是 方 程 ａ ＣＯＳＸ＋ｂ ｓｉｎ ＝Ｃ的 两 个 根
且 ０± ≠ ｋ（ｋ ＥＺ）．
数 学 学 习 与 研 究 ２００９ １０
（舍 ）．
·一 ２０ ： Ｘ２： 二
．
，
· ｃ。ｓ ＋ ｃ。ｓ６０ ： —－１＋ ￣ ３ ＋（－１＋Ｘ／５ ）
— ．．
：
．
又 ‘．’ ５ｓｉｎ ｘ ＋ ８
， ８
Ｓ ｌｎ 一
、 ５
ｃ。ｓ 一 ９
Ｃ ｏ Ｓ
９
所求 值 为 尸与 点 （ ９ ８ 连 线 的斜 率
粤一 ｛了宝 求证 堡 ＝ 查 ＝
旦
ｓｉｎ Ｏ￣
ｃ。ｓ
２
ｃ。ｓ
证 明 ．‘ 和 是 方 程 ａ ＣＯＳＸ＋ｂ ｓｉｎｘ＝Ｃ的 两个 根 ，将 和 代 人方 程得 ：
ａ ｃｏｓ ０＋ ｂ ｓｉｎ ０一 Ｃ＝ ０．
ｆ１１
ａ ＣＯＳ ＋ｂ ｓｉｎｑ￣一Ｃ＝０．
（２）
与 原 点 连 线斜 率 为一 ３ 由此 可 得 尸点 坐 标 为 （一 ３ ）或
．
，
（÷，～ ）．
ｃｏｓ 卫 ｓｉｎ旦去卫 ｃｏｓ 卫
Ｚ
通 过 以 上 几 例 ，我 们 不 难 发 现 规 律 ：凡 是 题 设 条 件 中 同时 含 有 ＣＯＳ ０和 ｓｉｎ ０的式 子 。我 们 都 可 以将 三 角 问题 转 化 成 代 数 、几 何 问题 ，即 根 据 条 件 构 造 曲 线 方 程 ，再 由公 式
＋ｂｙ—Ｃ：０重 合
由两 直 线 重 合 的 充 要条 件得 ：
二 ±
２
‘
求喜 例 ２ 已知 ：ｔａｎ ＝一 ４ ，
的值．
解 ’．。ｓｉｎＥｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝ １
’ ．．
设
Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）为
圆
＋Ｙ ＝１上 的点 ．
又 ‘．‘ｔａｎｘ＝ 里 ！ 则 圆 ＋ ＝１上 的点 （ ≠ ０，Ｙ≠ ０） ， ＣＯ Ｓ
‘ ．．
ｓｉｎＯ＝
１一 ｓｉｎ２０
Ｃ０Ｓ２０．
． ’ ． Ｐ（ｃｏｓ ０，ｓｉｎ ）在 抛 物 线 ＝ｙ（ｘ≠ ０，Ｙ≠ ０）上 ．
又 ‘．’ｓｉｎ２０＋ＣＯＳ ０＝ １．
’
．
．
点 Ｐ又 在 圆
＋
＝１（ ≠ ０，Ｙ≠ ０）上．
Ｉｘ ｚ ＝ｙ ＇
得
ｌ ＋ ： １．
Ｘ２＝
或 二
解题 技巧 与方 法 麝
＃ ７１ ｉ
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碡
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◎ 商 艳 菊 刘 继英 （河 北 大 学卫 生职 业 技 术 学院
【摘 要 】 本 文 利 用 公 式 ｓｉｎ２０＋ ＣＯＳ２０＝ １及 ｔａｎ ＝
将 （ＣＯＳ ，ｓｉｎ ０）看 成 曲 线 （直 线 ）上 点 的 坐标 ，将 三
公 式 ＝ 二址 及 ｔａｎ０＝ 可 以认为 ｔａｎ０是 圆 Ｘ２＋ ＝ｌ
２ 一 １
ＣＯＳ
上 的点 （ＣＯＳ０，ｓｉｎ ０）与原 点 （０，０）连 线 的斜 率 ，当然 ，圆 上 （０，
±１）点 除 外 ．因 为 三角 部 分 恒 等 式 繁 多 。一 些 题 目按 传 统 解
法 不 难 得 到 答 案 ．但 这 种 打 破 常 规 的 逆 向 思 维 方 法 ．对 于
开 拓 学 生 思 路 ，提 高 学 生 分 析 问 题 、解 决 问题 的 能 力 是 很
有 帮 助 的 ，下 面 举 几 例 ，希 望 能 起 到 抛 砖 引 玉 的 作 用 ．
例 １ 已知 ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ０＝１．求 Ｃ０Ｓ２０＋Ｃ０Ｓ６０的 值．
解 ．’ｓｉｎ ＋ｓｉｎＯ＝１．
，
ＣＯＳ
角 题 目 的求 解 转 换成 代 数 几 何 问题 来 解 决． 【关 键 词 】三 角 代 换 ；直 线 ；斜 率
在 初 等 数 学 解 题 方 法 中 ，三 角代 换 法 已被 广 大 师 生 所 熟 悉 并 得 到 广 泛 应 用 ．事 实 上 ．一 些 三 角 问题 也 可 以 转 化 成 代 数 、几何 问 题 来 解 决 ．如 ：由公 式 ｓｉｎ ＋Ｃ０Ｓ２０＝１我 们 可 以将 ＣＯＳ ０，ｓｉｎ ０看成 是 圆 。＋ ＝１上 点 的坐 标 ．由 斜 率
ｓｉｎ２０＋ＣＯＳ２０＝１知 点 （ＣＯＳ ０，ｓｉｎ ０）既 在 单 位 圆 上 又 在 所 构 造 的 曲线 上．这 种 利 用 “点 在 曲 线 上 ”的 几 何 方 法 解 答 三 角 题 简 洁 、直 观 ，又 能 避 开 繁 琐 的 ｊ 角 公 式 的运 用 ，堪 称 为 一 种 巧 妙 的 解 题 方 法 ．
上 面 两 式 表 明 ＰＩ（ＣＯＳ ０，ｓｉｎ ）和 （ＣＯＳ ，ｓｉｎ ）均 在
直 线 似 ＋ｂｙ—ｃ＝０上．
由两 点 式 可 得 过 ＰＩ与 两 点 的直 线 方 程 为 ：
． 化 简得
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ＰＩ与 ·
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所 确 定 的 直 线 与 直 线
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５ ｓｉｎ ＋ ８ ５ ＣＯＳ 一 ９ ４来自５ 一一一
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５
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一一＿３
５
例 ３ 设 ０和 ‘Ｄ是 方 程 ａ ＣＯＳＸ＋ｂ ｓｉｎ ＝Ｃ的 两 个 根
且 ０± ≠ ｋ（ｋ ＥＺ）．
数 学 学 习 与 研 究 ２００９ １０
（舍 ）．
·一 ２０ ： Ｘ２： 二
．
，
· ｃ。ｓ ＋ ｃ。ｓ６０ ： —－１＋ ￣ ３ ＋（－１＋Ｘ／５ ）
— ．．
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．
又 ‘．’ ５ｓｉｎ ｘ ＋ ８
， ８
Ｓ ｌｎ 一
、 ５
ｃ。ｓ 一 ９
Ｃ ｏ Ｓ
９
所求 值 为 尸与 点 （ ９ ８ 连 线 的斜 率
粤一 ｛了宝 求证 堡 ＝ 查 ＝
旦
ｓｉｎ Ｏ￣
ｃ。ｓ
２
ｃ。ｓ
证 明 ．‘ 和 是 方 程 ａ ＣＯＳＸ＋ｂ ｓｉｎｘ＝Ｃ的 两个 根 ，将 和 代 人方 程得 ：
ａ ｃｏｓ ０＋ ｂ ｓｉｎ ０一 Ｃ＝ ０．
ｆ１１
ａ ＣＯＳ ＋ｂ ｓｉｎｑ￣一Ｃ＝０．
（２）
与 原 点 连 线斜 率 为一 ３ 由此 可 得 尸点 坐 标 为 （一 ３ ）或
．
，
（÷，～ ）．
ｃｏｓ 卫 ｓｉｎ旦去卫 ｃｏｓ 卫
Ｚ
通 过 以 上 几 例 ，我 们 不 难 发 现 规 律 ：凡 是 题 设 条 件 中 同时 含 有 ＣＯＳ ０和 ｓｉｎ ０的式 子 。我 们 都 可 以将 三 角 问题 转 化 成 代 数 、几 何 问题 ，即 根 据 条 件 构 造 曲 线 方 程 ，再 由公 式
＋ｂｙ—Ｃ：０重 合
由两 直 线 重 合 的 充 要条 件得 ：
二 ±
２
‘
求喜 例 ２ 已知 ：ｔａｎ ＝一 ４ ，
的值．
解 ’．。ｓｉｎＥｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝ １
’ ．．
设
Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）为
圆
＋Ｙ ＝１上 的点 ．
又 ‘．‘ｔａｎｘ＝ 里 ！ 则 圆 ＋ ＝１上 的点 （ ≠ ０，Ｙ≠ ０） ， ＣＯ Ｓ
‘ ．．
ｓｉｎＯ＝
１一 ｓｉｎ２０
Ｃ０Ｓ２０．
． ’ ． Ｐ（ｃｏｓ ０，ｓｉｎ ）在 抛 物 线 ＝ｙ（ｘ≠ ０，Ｙ≠ ０）上 ．
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得
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