2014年考研数学二----多元函数微积分

xy , x2 + y2 ≠ 0 . x2 + y2 f ( x, y) = 0 , x2 + y2 = 0 .
当点P(x， 沿 轴趋于点(0， 时函数的极限为零 时函数的极限为零， 当点 ，y)沿 x 轴、y 轴趋于点 ，0)时函数的极限为零， 当点P(x， 沿直线 沿直线y=k x 趋于点 ，0)时 趋于点(0， 时 当点 ，y)沿直线
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点P(x， ∈ 的一切点 ，y)∈D ， 都有 |f (x，y)−A|<ε 成立， ， − 成立， 则称常数A为函数 ， 当 时的极限， 则称常数 为函数f (x，y)当x →x0，y →y0时的极限， 为函数 记为 这里ρ=|P P0|． ． 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
解
∂z = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y, ∂x
∂ 2z = 6 xy 2 , ∂x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂z = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; ∂y
∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; ∂y∂x
∂ 2z = 6 x 2 − 9 y 2 − 1, ∂x∂y
∂ 2z = 2 x 3 − 18 xy; ∂y 2
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3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数： 二阶偏导数： 设函数z=f(x，y)在区域 内具有偏导数 设函数 = ， 在区域D内具有偏导数 在区域
∂f ∂f = f x ( x , y ), = f y ( x , y ). ∂x ∂y 那么在D 都是x， 的函数． 那么在 内fx(x，y)、fy(x，y)都是 ，y 的函数．如果这两个函数 ， 、 ， 都是

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【定位】此题考查曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解 1】如果对曲线在区间 [ a, b] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断。如果对区间上任意两 点 x1 , x 2 及常数 0 1 ，恒有 f (1 ) x1 x 2 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ，则曲线是凹的． （点评： 很多同学对上述结论感觉陌生，事实上就是同济版课后习题 P183 的 19 题。 ） 显然此题中 x1 0, x 2 1, x ，则 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f (0)(1 x) f (1) x g ( x) ，而
3．设函数 f ( x ) 具有二阶导数， g ( x ) f ( 0)(1 x ) f (1) x ，则在 [0,1] 上（ （A）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （C）当 f ( x) 0 时， f ( x ) g ( x )
）
（B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （D）当 f ( x) 0 时， f ( x) g ( x)
．
【详解】设 F ( x, y, z ) e 当x y
2 yz
x y2 z
1 z 时， z 0 ， 2 x
1 1 ( , ) 2 2
7 2 yz 2 y, F ' z 2 ye 2 yz 1 。 ， F ' x 1, F ' y 2 ze 4 F'y F' 1 z 1 x ， ， F 'z ( 1,1 ) 2 y ( 1 , 1 ) F 'z ( 1,1 ) 2

考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编2(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.(2010年)设函数z＝z(χ，y)由方程0确定，其中F为可微函数，且F′2≠0，则（分数：2.00）A.χ．B.z．C.－χ．D.－z．3.(2010年 2.00）4.(2011年)设函数f(χ)，g(χ)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)＝g′(0)＝0，则函数z＝f(χ)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是【】（分数：2.00）A.f〞(0)＜0，g〞(0)＞0．B.f〞(0)＜0，g〞(0)＜0．C.f〞(0)＞0，g〞(0)＞0．D.f〞(0)＞0，g〞(0)＜0．5.(2012年)设函数f(χ，y)可微，且对任意χ，y都有型 2.00）A.χ1＞χ2，y 1＜y 2B.χ1＞χ2，y 1＞y 2C.χ1＜χ2，y 1＜y 2D.χ1＜χ2，y 1＞y 26.(2012年)设区域D由曲线y＝sinχ＝±y＝1围成，则 2.00）A.πB.2C.－2D.－π7.(2013年)设zχy)，其中函数f 2.00）A.2yf′(χy)．B.－2yf′(χy)．C.f(χy)D.8.(2013年)设D k是圆域D＝{(χ，y)｜χ2＋y 2≤1)在第k象限的部分，记I K＝ 2.00）A.I 1＞0．B.I 2＞0．C.I 3＞0．D.I 4＞0．9.(2014年)设函数u(χ，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有202.00）A.u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B.u(χ，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C.u(χ，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得D.u(χ，y)的最小值在D的内部取得，最大值都在D的边界上取得10.(2015年)设函数f(u，v)满足f(χ＋y，χ2－y 2，则 2.00）A.，B.0C.D.011.(2015年)设D是第一象限中由曲线2χy＝1，4χy＝1与直线y＝χ，y围成的平面区域，函数f(χ，y)在D 2.00）二、填空题(总题数：3，分数：6.00)12.(2014年)设z＝z(χ，y)是由方程e 2yz＋χ＋y 2＋z＝ 2.00）填空项1:__________________13.(2015年)若函数z＝z(χ，y)由方程e χ＋2y＋3z＋χyz＝1确定，则dz｜(0，0)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________14.(2011年)设平面区域D由直线y＝χ，圆χ2＋y 2＝2y及y轴所围成，则二重积分2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：12，分数：24.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（多元函数微分学）-试卷6(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.0解析：解析：当取y=kx k有关，故极限不存在．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将x视为常数，属基本计算．（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.存在且不等于0解析：解析：取5.设u=f(r)，而f(r)具有二阶连续导数，则=( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0 )处连续②f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数连续③f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在若P 推出性质Q ，则有 ( )（分数：2.00） A.②→③→① √ B.③→②→① C.③→④→① D.③→①→④解析：解析：本题考查图1．4—17.设函数u=u(x ，y)满足 及(x ，2x)=x ，u 1 "(x ，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则u 11"(x ，2x)=( )（分数：2.00） A. B. √ C. D.解析：解析：等式u(x ，2x)=x 两边对x 求导得u 1 "+2u 2 "=1，两边再对x 求导得 u 11 "+2u 12 "+2u 21 "+4u22"=0， ① 等式u 1 "(x ，2x)=x 2两边对x 求导得 u 11 "+2u 12 "=2x ， ② 将②式及u 12 "=u 21 "，u 11 "=u 21"代入①式中得u 11 "(x ，．8.利用变量替换u=x ，y=，可将方程化成新方程（分数：2.00） A. √ B. C. D.解析：解析：由复合函数微分法于是9.若函数u=．其中f ，y)u ，则函数G(x ，y)= ( )（分数：2.00） A.x+y B.x —y √ C.x 2一y 2D.(x+y) 2解析：解析：则u=xyf(t)，于是—y)u ，即G(x ，y)=x 一y ．10.已知du(x ，y)=[axy 3+cos(x+2y)]dx+[3x 2y 2+bcos(x+2y)]dy ，则 ( )（分数：2.00） A.a=2，b=一2 B.a=3，b=2 C.a=2，b=2 √ D.a=一2，b=2解析：解析：由du(x，y)=[axy 3 +cos(x+2y)-]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy可知，以上两式分别对y，x求偏导得3axy 2一2sin(x+2y)=6xy 2一bsin(x+2y)．故得a=2，b=2．11.设u(x，y)在平面有界闭区域D u(x，y)的 ( )（分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D的内部B.最大值点和最小值点必定都在D的边界上√C.最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D.最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上解析：解析：令 B 2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．12.设函数z=(1+e y )cos x—ye y，则函数z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点√D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度．事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．得驻点为(kπ,coskπ-1),k=0,±1，±2，…，又z xx "=一(1+e y )cos x，z xy "=一e y sin x，z yy "=e y (cos x一2一y)． (1)当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而 A=z2一AC=一2＜0，而A=一2＜0，xx "(kπ，0)=一2，B=z xy "(kπ，0)=0，C=z yy "(kπ，0)=一1，于是B即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，一2)，此时 A=z xx "(kπ，一2)=1+e -2，B=z xy "(kπ一2)=0，C=z yy "(kπ，一2)=一e -2，于是B 2一AC=(1+e -2 ).e -2＞0，即驻点(kπ，一2)为非极值点．综上所述，故选(C)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f可微，则由方程f(cx一az，cy—bz)=0确定的函数z=z(z，y)满足az x "+bz y "= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：c）解析：解析：方程两边求全微分，得f 1 ".(cdx—adx)+f 2 ".(fdy—bdz)=0，即14.设函数z=z(x，y)由方程sin x+2y-z=e z所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：方程两端对x15.函数f(x，y，z)=一2x 2在x 2一y 2一2z 2 =2条件下的极大值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一4）解析：解析：由拉格朗日乘数法可得．16.函数 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）17.设z=e sinxy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e sinxy cos xy(ydx+xdy)）解析：解析：z x "=e sinxy cos xy.y，z y "=e sinxy cos xy.x，则dz=e sinxy cos xy(ydx+xdy)．三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。