2014学年上海市长宁区高三第一学期数学一模试卷(理)

上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题2024.11一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分)1.已知集合，则______________2.设复数，则______________3.函数的最小正周期为______________4.角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______________5.若实数x 、y 满足，则的最小值为______________6.已知，则在方向上的投影为______________7.方程的解集为______________8.若函数在区间[0，a ]上是严格减函数，则实数的最大值为______________9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间[a ，b ]上是连续不断的；②在区间（a ，b ）上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点A 、B 在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______________11.如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设，若，则数列的通项公式______________(0,4),[2,5]A B ==A B ⋂=(1i)2i z -=||z =π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭αx (3,4)-sin(π)α+=1xy =223x y +(2,3),(1,0)a b =-= a b|21||22|3x x ++-=cos sin y x x =-a ()y f x =(,)a b t ()()()()f b f a f t b a '-=-t sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =O M O O MA MB ⋅12n A A A 、、、、12n B B B 、、、、O n n A B 11n n n n A B B A ++n n OA a =121,2a a =={}n a n a =12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.已知，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.若函数在处的导数等于，则的值为（ ）A.0B.C. D.2a15.已知函数，实数，下列选项中正确的是（ ）A.若，函数关于直线对称B.若，函数在上是增函数C.若函数在上最大值为1，则D.若，则函数的最小正周期是16.已知，集合，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（ ）()y f x =0x ≥()2221()232f x x a x a a =-+--x ∈R (1)()f x f x -≤a x ∈R 1x >21x >()y f x =0x x =a ()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆12a aπ(),()2sin 6y f x f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭0ω>2ω=()y f x =5π12x =12ω=()y f x =[0,π]()y f x =[π,0]-43ω≤1ω=|()|y f x =2π()sin f x x =ππ,,{(,)2()()0,,}22D x y f x f y x y D ⎡⎤=-Γ=+=∈⎢⎥⎣⎦∣{(,)2()()0,,}x y f x f y x y D Ω=+≥∈∣ΓΩ25π12A.①真命题，②假命题B.①假命题，②真命题C.①真命题，②真命题D.①假命题，②假命题三、解答题（本大题满分76分）17.已知，且.（1）求向量与的夹角大小；（2）求.18.设常数.（1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为若，求的面积.19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足为数列的前项和，求.20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.（1）已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；（2）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（3）求同时满足条件①、②的参数的取值范围.21.已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，数列满足.求证：当时，.||1,||2a b == ()(2)6a b a b +⋅-=-a b|2|a b +2,()cos cos ,k f x k x x x x ∈=+∈R R ()f x k 1.k ABC = A B C 、、a b c 、、，()1,f A a ==3b =ABCS {}n a 11a =124a a a 、、{}n a n a {}n b 2(1),n a n n n n b a T =+-{}n b n 2n T ()f x x x 50%()44x bf x x=-+b 12b =b ()ln 1f x a x ax =---0a =()y f x =(1,1)P ()y f x =12x x 、()()120f x f x +>1,()()a g x f x x ==+{}n a ()11(0,1),n n a a g a +∈=2n ≥212n n n a a a +++>2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第题每题5分.满分54分）1.3.4. 5.6. 7. 8.9. 10.[2，3]12.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.A14.D15.C16.A三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）；（218.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）；（2）.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）由题可知，且，即，可得（2）.20.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题8分.解（1）（2）因为当时，，所以当时不满足条件②.（3）由条件①可知，在[3，6]上单调递增，在恒成立，在恒成立，所以1~67~12[2,4)π245(2,0)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3π42arccos π⎡⎢⎣2π30k =S =10,1d a >=2142a a a ⋅=()()21113a a d a d ⋅+=+2*111,1,(1),n a d d a d a a n d n n N ===∴=+-⋅=∈()12222(1),222[1234(21)2]nnnn n b n T n n =+-=++++-+-+---+ ()2212122212n n n n +-=+=+--(4)54bf =-12b =33(3)42f =<12b =()44x bf x x=-+22214()044b x b f x x x '+⇒=+=≥[3,6]x ∈24x b ⇒≥-[3,6]x ∈94b ≥-由条件②可知，，即不等式在[3，6]上恒成立，等价于，当时，取最小值，所以综上，参数的取值范围是.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为…………………………………………4分（2）由，令，则原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根所以，解得………………………………………………………3分所以因为，所以，所以 (6)分（3）由题意，，所以当时，，所以函数在区间上严格减，当时，，所以函数在区间上严格增，………………3分因为，所以，以此类推，当时，，………………………………………………4分()2x f x ≥44x bx+≤22114(8)1644b x x x ≤-+=--+3x =21(8)164y x =--+394394b ≤b 939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a =()(1)1f x f ''==()y f x =(1,1)P y x =()0f x '=0aa x--=t=0t >20at t a -+=12t t ==214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩102a <<()()()()1212122ln ln 2f x f x a x x a x x +=+-+-+-()()()222212121212ln 222t t a t t a t t a a=+--+-=+-102a <<12220a a+->->()()120f x f x +>()ln 1g x x =--()g x '=(0,1)x ∈()0g x '<()y g x =(0,1)(1,)x ∈+∞()0g x '>()y g x =(1,)+∞101a <<()()2132(1)1,(1)1a g a g a g a g =>==>=2n ≥()1(1)1n n a g a g +=>=又，所以函数在区间上严格减，当时，，所以，.....................................7分所以，即，故. (8)分2131124()2102f x x x'⎫---⎪⎝⎭=⨯--=<()y f x =(0,)+∞2n ≥()()(1)0n n n f a g a a f =-<=1n n a a +<()()1n n f a f a +>211n n n n a a a a +++->-212n n n a a a +++>。

上海市长宁区中考数学一模试卷一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项的代号填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，∠C=90°，则cosA等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．解答：解：如图，cosA=．故选D．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，是基础题，作出图形更形象直观．2．（4分）（•长宁区一模）如图，在平行四边形ABCD中，如果，，那么等于（）A．B．C．D．考点：*平面向量．专题：压轴题．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，则可得，然后由三角形法则，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵，∴，∵，∴=+=．故选B．点此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形评：法则的应用，注意数形结合思想的应用．3．（4分）（•长宁区一模）如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB一定是（）A．正方形B．长方形C．菱形D．梯形考点：垂径定理；菱形的判定．专题：探究型．分析：先根据垂径定理得出AD=BD，AC=BC，再根据全等三角形的判定定理得出△AOD≌△BCD，故可得出OA=BC，即OA=OB=BC=AC，由此即可得出结论．解答：解：∵弦AB垂直平分半径OC，∴AD=BD，AC=BC，OD=CD，∵在△AOD与△BCD中，，∴△AOD≌△BCD，∴OA=BC，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形．故选C．点评：本题考查的是垂径定理及菱形的判定定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．4．（4分）（•长宁区一模）对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）考点：二次函数的性质．分析：二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．抛物线的开口方向有a的符号确定，当a ＞0时开口向上，当a＜0时开口向下．解答：解：∵抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．故选A．点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标，开口方向的考查，是中考中经常出现的问题．5．（4分）（•茂名）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．解答：解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴，∴S△AFG：S△ABC=4：9S△AEH：S△ABC=1：9∴S阴影部分的面积=S△ABC﹣S△ABC=S△ABC 故选C．点评：本题的关键是利用三等分点求得各相似三角形的相似比．从而求出面积比计算阴影部分的面积．6．（4分）（•长宁区一模）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的析：确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．解答：解：当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，对称轴x=＜0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选D．点评：主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（•长宁区一模）已知实数x、y满足，则=2．考点：比例的性质．分析：先用y表示出x，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：姐：∵ =，∴x=y，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查了比例的性质，根据两內项之积等于两外项之积用y表示出x是解题的关键．8．（4分）（•长宁区一模）已知，两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，若△ABC的周长是27，则△DEF的周长为9．考点：相似三角形的性质．分析：由两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，得出相似比为3：1，即可得其周长为3：1，又由△ABC的周长为27，即可求得△DEF的周长．解答：解：∵两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，∴周长比为3：1，∵△ABC的周长为27，∴=3，∴△DEF的周长为9．故答案为：9．点评：此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形周长的比等于相似比．9．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则=．考点：三角形的重心．分析：设△ABC边AB上的高为h，根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得△ABG边AB上的高线为h，再根据三角形的面积公式计算即可得解．解答：解：设△ABC边AB上的高为h，∵G是△ABC的重心，∴△ABG边AB上的高为h，∴==．故答案为：．点评：本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．10．（4分）（•长宁区一模）在直角坐标平面内，抛物线y=﹣x2+2x+2沿y轴方向向下平移3个单位后，得到新的抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣1．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据“上加下减”的原则进行解答即可．解答：解：根据“上加下减”的原则可知，把抛物线y=﹣x2+2x+2沿y轴方向向下平移3个单位后所得到的抛物线解析式y=﹣x2+2x+2﹣3=﹣x2+2x﹣1．故答案为：y=﹣x2+2x﹣1．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．11．（4分）（•长宁区一模）在直角坐标平面内，抛物线y=﹣x2+c在y轴左侧图象上升（填“左”或“右”）．考点：二次函数的性质．分析：由于a=﹣1＜0，且抛物线的对称轴为y轴，根据二次函数的性质得到抛物线y=﹣x2+c的开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大．解答：解：∵a=﹣1＜0，∴抛物线y=﹣x2+c的开口向下，且抛物线的对称轴为y轴，∴抛物线y=﹣x2+c在对称轴轴左侧图象上升，y随x的增大而增大．故答案为左．点评：本题考查了二次函数的图象的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴有侧，y 随x的增大而增大；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．12．（4分）（•长宁区一模）正八边形绕其中心至少要旋转45度能与原图形重合．考点：旋转对称图形．专题：常规题型．分析：根据正八边形的性质，求出每一条边所对的中心角，就是所要旋转的度数．解答：解：360°÷8=45°．故答案为：45．点评：本题考查了旋转变换图形，求出每一条边所对的中心角即可，比较简单．13．（4分）（•长宁区一模）已知圆⊙O的直径为10，弦AB的长度为8，M是弦AB上一动点，设线段OM=d，则d的取值范围是3≤d≤5．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：首先过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理的即可求得AC的长，又由⊙O的直径为10，求得⊙O的半径OA的长，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理即可求得OC的长，继而求得线段OM长度的取值范围．解答：解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，∴AC=AB=×8=4，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，在Rt△OAC中，OC===3，∴当M与A或B重合时，OM最长为5，当M与C重合时，OM最短为3，∴线段OP长度的取值范围是：3≤d≤5．故答案为：3≤d≤5．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．14．（4分）（•长宁区一模）如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是5：12．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：首先根据勾股定理求得滑行的水平距离，然后根据坡比的定义即可求解．解答：解：滑行的水平距离是：=120（米），故坡道的坡比是：50：120=5：12．故答案是：5：12．点评：本题考查了勾股定理，以及坡比的定义，正确求得滑行的水平距离是关键．15．（4分）（•长宁区一模）两圆相切，圆心距为2cm，一圆半径为6cm，则另一圆的半径为4或8cm．考点：圆与圆的位置关系．分析：分两圆外切和两圆内切情况讨论，很明显根据圆心距为2cm与一圆的半径为6cm不可能外切；而内切时，要分6cm为较长半径和较短半径两种情况考虑．解答：解：设另一圆的半径为r，∵两圆相切，∴两圆可能外切，也有可能内切，∴当两圆外切时，2=6+r，则r=﹣4（舍去）；当两圆内切时，2=6﹣r或2=r﹣6，则r=4cm或8cm，∴两圆内切，另一圆的半径为4cm或8cm．点评：本题用到的知识点为：两圆外切，圆心距=两圆半径之和．两圆内切，圆心距=两圆半径之差．16．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，AB=6，AC=9，D、E分别是直线AC和AB 上的点，若且AD=3，则BE=4或8．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先将AB=6，AC=9，AD=3代入，求出AE=2．由于D、E分别是直线AC和AB上的点，则∠DAE=∠BAC，所以若，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到△ADE∽△ABC，所以分两种情况进行讨论：①D、E分别在线段AC和AB上；②D、E分别在线段AC和AB的反向延长线上．解答：解：将AB=6，AC=9，AD=3代入，得=，解得AE=2．①D、E分别在线段AC和AB上时，∵AE=2，AB=6，∴BE=AB﹣AE=6﹣2=4；②D、E分别在线段AC和AB的反向延长线上时，∵AE=2，AB=6，∴BE=AB+AE=6+2=8．综上可知BE的长为4或8．故答案为4或8．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，直线的性质，进行分类讨论是解题的关键．17．（4分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB边上一点，△ACD沿CD翻折，A点恰好落在BC边上的E点处，则cot∠EDB=．考点：翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值．分析：先根据三角形内角和定理得出∠A=60°，再由轴对称的性质证明出△CED≌△CAD，则∠CED=60°，根据三角形外角的性质求出∠EDB=30°，然后根据特殊角的三角函数值求解．解答：解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=60°．∵△ACD沿CD翻折，A点恰好落在BC边上的E点处，∴△CED≌△CAD，∴∠CED=∠A=60°，∴∠EDB=∠CED﹣∠B=30°，∴cot∠EDB=cot30°=．故答案为．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形外角的性质，特殊角的三角函数值，根据轴对称的性质证明出△CED≌△CAD是解题的关键．18．（4分）（•长宁区一模）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f （﹣3）=12．x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x=﹣3时的函数值与x=5时的函数值相同．解答：解：由图可知，f（﹣3）=f（5）=12．故答案为：12．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，第19--22题，每题10分；第23、24题，每题12分；25题14分；满分78分）19．（10分）（•长宁区一模）计算：．考点：特殊角的三角函数值．分析：将tan45°=1，sin45°=，tan30°=分别代入即可得出答案．解答：解：原式=+﹣×==．点评：本题考查了特殊角的三角函数值的知识，属于基础题，记忆一些特殊角的三角函数值是关键．20．（10分）（•长宁区一模）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点．请完成下列问题：（1）设；．判断向量是否平行，说明理由；（2）在正方形网格中画出向量：4﹣，并写出4﹣的模．（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）．考点：*平面向量．分析：（1）先将向量化简，然后根据向量平行的定义即可作出判断；（2）分别画出4及﹣，然后可得出4﹣，继而在格点三角形中可求出4﹣的模．解答：解：（1），，则，故可得向量平行．（2）所画图形如下：则．点评：本题考查了向量的知识，注意掌握向量平行的判断方法及向量摸的定义．21．（10分）（•长宁区一模）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=7，∠B=45°，P在BC边上，E在CD边上，∠B=∠APE．（1）求等腰梯形的高；（2）求证：△ABP∽△PCE．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定．分析：（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，首先证明△ABF≌△DCG，得到BF=CG，再证明AFGD是平行四边形，根据平行四边形的性质求出等腰梯形的高即可；（2）利用等腰梯形的性质和相似三角形的判定方法证明：△ABP∽△PCE即可．解答：解：（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，∴∠AFB=∠DGC=90°且 AF∥DG，在△ABF和△DCG中，∴△ABF≌△DCG，∴BF=CG，∵AD∥BC且 AF∥DG，∴AFGD是平行四边形，∴AD=FG，∵AD=3，BC=7，∴BF=2在Rt△ABF中，∠B=45°，∴∠BAF=45°，∴AF=BF=2，∴等腰梯形的高为2；（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，又∵∠B=∠APE∴∠BAP=∠EPC，在△ABP和△PCE中，∴△ABP∽△PCE．点评：本题题主要考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相似三角形的性质与判定，相似三角形的判定是初中阶段考查的重点同学们应重点掌握．22．（10分）（•长宁区一模）由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段．如图所示，已知这辆卡车的车轮外直径（包含轮胎厚度）为120cm，车轮入水部分的弧长约为其周长的，试计算该路段积水深度（假设路面水平）．考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：探究型．分析：设车轮与地面相切于点E，连接OE与CD交于点F，连接OC．设∠COD=n°，过点O作OE垂直路面于点E，交CD于点F，根据弧CD等于⊙O周长的，故可得出n 的值，再根据OE⊥CD 且OE=OC=OD=AB可得出OE的长，故OF是∠COD的平分线，所以∠FOD=∠COD=n，再根据∠FOD+∠ODF=90°，可得出∠ODF的度数，在Rt△OFD中由直角三角形的性质可得出OF的长，再根据FE=OE﹣OF即可得出结论．解答：解：设车轮与地面相切于点E，连接OE与CD交于点F，连接OC．设∠COD=n°，过点O作OE垂直路面于点E，交CD于点F，∵弧CD等于⊙O周长的，即=πd，∴n=120°，∵OE⊥CD 且OE=OC=OD=AB=60cm，∴OF是∠COD的平分线，∴∠FOD=∠COD=n=60°，∵∠FOD+∠ODF=90°，∴∠ODF=30°∴在Rt△OFD中，OF=OD=30cm，∴FE=OE﹣OF=30cm，∴积水深度30cm．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．23．（12分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．考点：三角形的内切圆与内心．分析：首先根据切线长的性质以及切线的性质得出BD的长，进而得出BC的长以及AB的长，即可得出AE的长．解答：解：连接OD、OE．则OD=OE=1，∵O是△ABC的内切圆圆心∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，即且又∵∠ACB=90°，∴，∵OD、OE是过切点的半径，∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB﹣∠COD=60°，在Rt△OBD中，，∴，∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，∵，∴∠ABC=60°，∴BC=BD+CD=1+在Rt△ABC中，AB=2+2，在Rt△OBE中，∵OE=1，∠OBE=30°，∴BE==，∴AE=2+．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数的应用，正确得出∠ABC的度数以及BC的长是解题关键．24．（12分）（•长宁区一模）在直角坐标平面中，已知点A（10，0）和点D（8，0）．点C、B在以OA为直径的⊙M上，且四边形OCBD为平行四边形．（1）求C点坐标；（2）求过O、C、B三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）判断：（2）中抛物线的顶点与⊙M的位置关系，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）作MN⊥BC于点N，连接MC，利用垂径定理求得线段MN后即可确定点C 的坐标；（2）用同样的方法确定点D的坐标后利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后配方后即可确定抛物线的顶点坐标及对称轴；（3）根据抛物线的顶点坐标和点M的坐标确定两点之间的距离，然后根据半径与两点之间的线段的大小关系即可确定顶点与圆的位置关系．解答：解：（1）如图，作MN⊥BC于点N，连接MC，∵A（10，0）和点D（8，0）．∴点M（5，0），∵点C、B在以OA为直径的⊙M上，且四边形OCBD为平行四边形，∴⊙M的半径为5，BC=OD=8，∴在Rt△MNC中，MC=5，NC=BC=4，∴MN=3，∴点C的坐标为（1，3）；（2）∵点C的坐标为（1，3），∴点B的坐标为（9，3），设过O、C、B三点的抛物线解析式为y=ax2+bx，∴解得：∴解析式为：y=﹣x2+x，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣5）2+，∴对称轴为x=5，顶点坐标为（5，）；（3）∵顶点坐标为（5，），点M的坐标为（5，0），∴顶点到点M的距离为，∵＞5∴抛物线的顶点在⊙M外．点评：本题考查了二次函数的综合知识，还考查了点与圆的位置关系，本题难度不大，但综合性比较强．25．（14分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC，⊥，AB=8cm，BC=6cm，点P从A 点出发，以1cm/秒的速度沿AB向B点匀速运动，点Q从A点出发，以x cm/秒的速度沿AC向C点匀速运动，且P、Q两点同时从A点出发，设运动时间为t 秒（），连接PQ．解答下列问题：（1）当P点运动到AB的中点时，若恰好PQ∥BC，求此时x的值；（2）求当x为何值时，△ABC∽△APQ；（3）当△ABC∽△APQ时，将△APQ沿PQ翻折，A点落在A′，设△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，写出S关于t的函数解析式及定义域．考点：相似形综合题．分析：（1）PQ∥BC，P是AB的中点，则Q一定是AC的中点，求得AQ的长，则速度x 即可求得；（2）△ABC∽△APQ，则一定有PQ∥BC，即与（1）相同，即可求得x的值；（3）分0＜t≤4和4＜t＜8两种情况进行讨论，当0＜t≤4时重合部分就是△A′PQ；当4＜t＜8时，重合部分是直角梯形，根据梯形的面积公式即可求解．解答：解：（1）设AP=t AQ=xt （0≤t≤8）∵AB=8 AP=AB=4 即t=4∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm∴AC=10 cm∵PQ∥BC∴即解得：（2）①若∠APQ=∠ABC，则BC∥PQ，此时与（1）相同，x=；若∠APQ=∠C，则=，即=，解得；x=．综上可得当x=或时，△ABC∽△APQ．（3）∵BC∥PQ，∴=，∴PQ===t，则当0＜t≤4时，重叠部分的面积为S=S△A′PQ=S△APQ=AP•PQ=t•t=t2；当4＜t≤8时，如图1所示，则A′P=AP=t，PQ=t，∴BP=AB﹣AP=8﹣t，则A′P=t﹣（8﹣t）=2t﹣8，∵BD∥PQ，∴=∴BD==（t﹣4），∴S=S四边形BDQP=（BD+PQ）•BP= [（t﹣4）+t]•（8﹣t）=（t﹣4）2．则函数解析式是：．点本题考查了相似三角形的判定与性质，正确分情况讨论，因求得x的值是关键．评：。

2023学年奉贤区第一学期高三数学练习卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若()()2i i 1i ,a b a b +=-∈R ，其中i 是虚数单位，则i a b +=_____________．【答案】12i --##2i 1--【解析】【分析】根据题意，由复数相等列出方程，即可得到结果.【详解】因为()2i i 1i i a b b +=-=--，则21b a =-⎧⎨=-⎩，即1,2a b =-=-，所以i 12i a b +=--.故答案为：12i--2.设集合{}2,1,0,5,10,20A =--，{}lg 1B x x =<，则A B ⋂=_____________．【答案】{}5【解析】【分析】先求出集合B ，然后求解A B ⋂.【详解】由题意得{}2,1,0,5,10,20A =--，{}010B x x =<<，所以{}5A B ⋂=.故答案为：{}5.3.双曲线x 22的渐近线方程为______．【答案】2y x =±【解析】【详解】由双曲线的方程知21,2a b ==，所以双曲线的渐近线方程为22b y x x a =±=±．考点：双曲线的几何性质．4.某公司生产的糖果每包标识质量是500g ，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量X 服从500μ=的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过5克的可能性为p ，则()495500P X ≤≤的值为____________．（用含p 的代数式表达）【答案】12p -【解析】【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.【详解】由题知，5σ=，则()()495500P X P X μσμ≤≤=-≤≤()12P X μσμσ=-≤≤+()()112P X P X μσμσ=->+-<-⎡⎤⎣⎦()()115054952P X P X =->-<⎡⎤⎣⎦()112p =-.故答案为：12p -5.在四面体-P ABC 中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0n = ，且()2,2,1CP =- ，则顶点P 到底面ABC 的距离为_____________．【答案】【解析】【分析】根据点面距公式代入计算即可得.【详解】由点面距公式得d n CP n ==⋅== .故答案为：6.已知数列{}n a 是各项为正的等比数列，11a =，51a =，则其前10项和10S =__________．【答案】10【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列{}n a 的公比为1，则10110S a =，即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 是各项为正的等比数列，则其公比0q >，又11a =，51a =，则4511a q a ==，即1q =，所以数列{}n a 为常数数列，且11n a a ==，所以1011010S a ==.故答案为：107.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_____件产品．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为抽取的个体数组成一个等差数列，所以甲，乙，丙生产的产品也组成一个等差数列，设乙生产线生产了件产品，那么甲和丙共生产了件产品，所以，解得．考点：分层抽样8.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()x f x e b =+（b 为常数），则(ln 2)f -=______.【答案】-1【解析】【分析】由()f x 为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得1b =-，由(ln 2)(ln 2)f f -=-，代入求值即可.【详解】解：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =，当0x ≥时，()x f x e b =+（b 为常数），∴(0)10f b =+=，得1b =-，即当0x ≥时，()1x f x e =-，则()ln 2(ln 2)(ln 2)1(21)1f f e-=-=--=--=-，故答案为：-1.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了函数求值问题，属基础题.9.设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为__________．【答案】5744⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】【分析】由x 的取值范围得到x ω的取值范围，再结合正弦函数图象的性质得到不等式组，解得即可.【详解】由已知()0,2π,0x ω∈>得()0,2πx ωω∈.要使函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，由sin ,(0,4π)y x x =∈图象可得5π7π2π22ω<≤，解得5744ω<≤，即57,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：5744⎛⎤ ⎥⎝⎦，.10.某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B ．某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情．在A 处观测到火情发生在北偏西40︒方向，而在B 处观测到火情在北偏西60︒方向．已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=________km .（精确到0.1km ）【答案】7.8【解析】【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，10AB =，30ABC ∠=︒，130CAB ∠=︒，则20ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可得，sin sin sin AB AC BC ACB ABC BAC==∠∠∠，即10sin 20sin 30sin130AC BC ==︒︒︒，所以10sin 3014.6km sin 20AC ︒=≈︒，10sin13022.4km sin 20BC ︒=≈︒，则22.414.67.8BC AC -=-=km .故答案为：7.811.已知直线1:20l y -=和直线2:10l x +=，则曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是____________．【答案】44【解析】【分析】先设出点P 的坐标，表示出点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和12003d d x y +=-+；再利用几何意义求解得出答案.【详解】设点P 的坐标为()00,x y 则动点P 到直线1l 的距离为10022d y y =-=-；动点P 直线2l 的距离为()20011d x x =--=+.所以曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为120000213d d y x x y +=-++=-+令003t x y -=-，即003y x t=+-则3t -的几何意义是过点P 的直线3y x t =+-在y 轴上的截距.因为点P 在曲线()2211x y -+=上.所以当直线3y x t =+-与曲线()2211x y -+=相切时t 有最值.因为曲线()2211x y -+=是以()1,0圆心，1为半径的圆.1=，解得4t =-或4t =+所以曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为4-.故答案为：412.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，{1,1}(1,2,3,4)i i λ∈-=，则341211AB BC AC BD λλλλ+++ 的最大值是____________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求出模的关系式，再分类分析求出最大值即得.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(0,1,1)A B C C D ，11(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1),(1,1,1)AB BC AC BD ====- ，11223133341444(,0,0),(0,,0),(,,),(,,)AB BC AC BD λλλλλλλλλλλλ====- ，于是12314113423434(,,)AB BC AC BD λλλλλλλλλλλλ+++=+-+++ ，因此123141||AB BC AC BD λλλλ+++= 由{1,1}(1,2,3,4)i i λ∈-=，得234(){0,4}λλ+∈，当234()0λλ+=时，2234()1λλλ++=，此时34{2,2}λλ-∈-，2134()λλλ+-的最大值为9，当且仅当1λ与34λλ-同号时取得最大，因此123141||AB BC AC BD λλλλ+++ ；当234()4λλ+=时，34{2,2}λλ+∈-，340λλ-=，2134()1λλλ+-=，2234()λλλ++的最大值为9，当且仅当2λ与34λλ+同号时取得最大，因此123141||AB BC AC BD λλλλ+++ ，显然>所以123141||AB BC AC BD λλλλ+++的最大值为.【点睛】关键点睛：涉及多变量的最值问题，以某个量的取值情况分类讨论求解是解决问题的关键，如本题的234()λλ+.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．14.函数2121x x y -=+在定义域(),-∞+∞上是（）A.严格增的奇函数B.严格增的偶函数C.严格减的奇函数D.严格减的偶函数【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别判断函数奇偶性以及单调性，即可得到结果.【详解】令()2121x x f x -=+，任取12x x <∈R ，则()()()()()1212121212222212121212121x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为2x y =是R 上的严格增函数，所以1222x x <，则()()()121222202121x x x x -<++，所以()()12f x f x <，则函数2121x x y -=+是R 上的严格增函数；又()()12211221221212xx x x x x x xf x f x ------====-+++，即函数()f x 为奇函数，所以函数2121x x y -=+在定义域(),∞∞-+上是严格增的奇函数.故选：A15.若()221210,n n x x n n x x ⎛⎫⎛⎫-++≤≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N 的展开式中存在常数项，则下列选项中n 的取值不可能是（）A .3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由题意得22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为()()231C 2C 2r r r n r r r n r r n n T x x x ---+=-=-，1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为21C C k n k k k n k k n n T x x x ---+==，要使221n n x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中存在常数项，则30n r -=或20n k -=，所以可得n 的值可能是3，4，6，不可能是5.故选：C.16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且关于正整数n 的不等式1(2022)(2022)0n n S S +--<与不等式1(2023)(2023)0n n S S +--<的解集均为M ．命题α：集合M 中元素的个数一定是偶数个；命题β：若数列{}n a 的公差0d >，且0n M ∈，则011n a +>．下列说法中正确的是（）A.命题α是真命题，命题β是假命题B.命题α是假命题，命题β是真命题C.命题α是假命题，命题β是假命题D.命题α是真命题，命题β是真命题【答案】B【解析】【分析】举反例即可判断命题α为假；由0d >可知n S 单调递增，结合00120222022n n S S +<⎧⎪⎨>⎪⎩且00120232023n n S S +<⎧⎪⎨>⎪⎩可知011n a +>，即可判断命题β为真.【详解】对于命题α：当2021n a =时，1(2022)(2022)0n n S S +--<的解集为{}1M =，1(2023)(2023)0n n S S +--<的解集为{}1M =，此时集合M 中元素的个数是1，故命题α为假命题；对于命题β：又公差0d >，则n S 单调递增，由0n M ∈，得001(2022)(2022)0n n S S +--<且001(2023)(2023)0n n S S +--<，解得00120222022n n S S +<⎧⎪⎨>⎪⎩且00120232023n n S S +<⎧⎪⎨>⎪⎩，所以00120222023n n S S +<⎧⎪⎨>⎪⎩所以011n a +>，故命题β为真命题.故选：B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.在ABC 中，设角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、ccos sin A a B =+.（1）求角B 的大小；（2）当a =b =时，求边长c 和ABC 的面积S .【答案】17.π3B =18.c =，3ABC S =+ 【解析】【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合()πC A B =-+及两角和的正弦公式计算化简即可得；（2）根据正弦定理即可计算出A ，结合B 可求出C ，再试用正弦定理即可得到c ，再使用面积公式即可得到面积.【小问1详解】cos sin sinC B A A B=+，由于()πC A B=-+()cos sin sinA B B A A B+=+，cos cos cos sin sinA B B A B A A B+=+，sinB B=，则tan B=所以π3B=；【小问2详解】由正弦定理，得2322πsin sinsin3cA C==，即有sin2A=，因为a b<，所以A是锐角，即π4A=，因为2π3A C+=，所以5π12C=，23ππππ62sin4sin cos sin cos4π64464sin3c C⎛⎫=⨯=+=⨯⎪⎝⎭所以11ππππsin sin cos sin cos226446ABCS ab C⎛⎫==⨯+⎪⎝⎭34==.18.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体-P ABC中，PA⊥平面ABC，1PA BC==．（1）若13AB PC ==，，求证：四面体-P ABC 是鳖臑，并求该四面体的体积；（2）若四面体-P ABC 是鳖臑，当()1AC a a =>时，求二面角A BC P --的平面角的大小．【答案】（1）证明见解析，16P ABC V -=（2）221a -或1arctan a 【解析】【分析】（1）借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角形即可，体积借助体积公式计算即可得；（2）根据题意，会出现两种情况，即π2ABC ∠=或π2ACB ∠=，分类讨论计算即可得.【小问1详解】PA ⊥ 平面ABC ，AB 、AC ⊂平面ABC ，PA AB ∴⊥、PA AC ⊥，PAC ∴△、PAB 为直角三角形，∴在直角PAC △中，222AC PC PA =-，在直角PAB 中，222PB PA PB =+=∴在ABC 中，有222AC AB BC =+，AB BC ∴⊥，故ABC 为直角三角形，在PBC 中，有222PC PB BC =+，故PB BC ⊥，故PBC 为直角三角形，故四面体-P ABC 四个面都是直角三角形，即四面体-P ABC 是鳖臑，11111113326P ABC ABC V S PA -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ；【小问2详解】PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，由1AC a AB =>=，故BAC ∠不可能是直角，若π2ABC ∠=，则有AB BC ⊥，又PA BC ⊥，PA 、AB ⊂平面PAB ，PA AB A = ，故BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，故BC PB ⊥，ABP ∴∠是二面角A BC P --的平面角，AC a =Q ，1BC =，AB ∴=，tan PBA ∴∠=，所以二面角A BC P --的平面角的大小为21arctan1a -．若π2ACB ∠=，同理可得ACP ∠是二面角A BC P --的平面角，所以1tan ∠==AP ACP AC a，所以二面角的平面角的大小为1arctana ，综上所述，二面角A BC P --的平面角的大小为2arctan 1a -或1arctan a .19.某连锁便利店从2014年到2018年销售商品品种为2000种，从2019年开始，该便利店进行了全面升级，销售商品品种为3000种.下表中列出了从2014年到2023年的利润额.年份x2014201520162017201820192020202120222023利润额y/27.642.038.448.063.663.772.880.160.599.3万元（1）若某年的利润额超过45.0万元，则该便利店当年会被评选为示范店；若利润额不超过45.0万元，则该便利店当年不会被评选为示范店.试完成22⨯列联表，并判断商品品种数量与便利店是否为示范店有关？（显著性水平0.05α=，2( 3.841)0.05P χ≥≈）品种为2000种品种为3000种总计被评为示范店次数未被评为示范店次数总计（2）请根据2014年至2023年（剔除2022年的数据）的数据建立y 与x 的线性回归模型①；根据2019年至2023年的数据建立y 与x 的线性回归模型②.分别用这两个模型，预测2024年该便利店的利润额并说明这样的预测值是否可靠？（回归系数精确到0.001，利润精确到0.1万元）回归系数ˆa 与ˆb 的公式如下：()()()11112211ˆˆˆˆ,n nn n i i i i i ii i i i n n i i i i x x y y x y nx yy a x a b y ax n x x x nx ======----===-=--∑∑∑∑∑∑【答案】（1）列联表见解析，商品品种的提升与该便利店是否是示范店有关.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）列出列联表后计算出2χ后，与3.841比较大小即可得；（2）分别计算出线性回归模型后，结合所得数据进行判断即可得.【小问1详解】列联表为品种为2000种品种为3000种总计被评为示范店次数257未被评为示范店次数303总计55102210(015) 4.29 3.8415573χ-=≈>⨯⨯⨯，可以判断商品品种的提升与该便利店是否是示范店有关.【小问2详解】线性回归模型①：2014+2015+2016+2017+2018+2019+2020+2021+20232018.11119x =≈，27.64238.44863.663.772.880.199.359.59y ++++++++==，则1221ˆ7.627n i i i n i i x y nx y a xnx ==-=≈-∑∑，则ˆˆ59.57.6272018.111115332.20b y ax =-=-⨯≈-，故ˆ7.62715332.20yx =-，当2024x =时，预测值为9ˆ7.6272024150332.1.204y=⨯-≈；线性回归模型②：2019+2020+2021+2022+202320215'==x ，63.772.880.160.599.375.285++++'==y ，则1221ˆ 5.89==''-⋅'=≈'-∑∑n i i i n i i x y nx y a xnx ，ˆˆ75.28 5.89202111828.41''''=-=-⨯≈-by a x ，故ˆ 5.8911828.41yx =-，当2024x =时，预测值为0ˆ 5.892024119828 3..41y=⨯-=.模型①的预测不可靠，根据（1）可以知道商品品种与便利店的品质有关，影响了利润额，因此按照经济发展规律，应该用比较新的数据即品种为3000种的数据进行预测；模型②的预测不可靠，2022年可能因为受疫情影响或者其它不可因素，其利润额60.5为异常数据，应该剔除.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为，离心率为32，椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，直角坐标原点记为O ．设点()0,P t ，过点P 作倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于不同的两点B 、C ．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上有一动点T ，求()12PT TF TF ⋅- 的取值范围；（3）设线段BC 的中点为M ，当t ≥Q ，使得非零向量OM与向量PQ 平行，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）-⎡⎣（3）不存在点Q ，使得OM //PQ ，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意计算即可得；（2）由设出T 点坐标，表示出PT ，结合1212TF TF F F -=- 与T 点坐标范围计算即可得.（3）设出直线方程后联立得一元二次方程，由直线l 与椭圆交于不同的两点可得该方程0∆>，并由方程中的韦达定理表示出直线OM 斜率，假设存在该点Q ，则有PQ OM k k =，借此设出直线PQ 方程，则该直线与椭圆必有焦点，即联立后有0∆≥，结合前面所得可计算出t 的范围.【小问1详解】由题意，得c =2a =，所以1b ==，则椭圆的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】设动点(),T x y ，()12F F = ，(),=- PT x y t ，()1212PT TF TF PT F F ⋅-=-⋅=- ，[]2,2x ∈- ，所以()12PT TF TF ⋅- 的取值范围为-⎡⎣；【小问3详解】显然直线的斜率存在，故可设直线:l y kx t =+，()11,B x y 、()22,C x y ，联立2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222148440k x ktx t +++-=，221664160t k ∆=-++>，即2214t k ->①，则122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+，则1224214x x kt k +=-+，()212122224221414k x x t y y k t t t k k+++==-+=++，则224,1414M kt t x k k ⎛⎫=-⎪++⎝⎭，故14OM k k =-，若//OM PQ ，则有14PQ OM k k k ==-，设直线PQ 为14y x t k=-+，联立221414y x t k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 有2221214404t x x t k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，要使得存在点Q ，则()2222241414404⎛⎫∆=-+-≥ ⎪⎝⎭t t k k ，整理得22416160t k+-≥，故22144k t ≤-②，由①②式得，22211444t k t -<≤-，则2211444t t -<-，解得t <<，所以当t ≥Q ，使得//OM PQ.21.若函数()y f x =满足：对任意的实数s ，(0,)t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+恒成立，则称函数()y f x =为“∑增函数”．（1）求证：函数sin y x =不是“∑增函数”；（2）若函数12x y x a -=--是“∑增函数”，求实数a 的取值范围；（3）设()()e ln 1x g x x =+，若曲线()y g x =在0x x =处的切线方程为y x =，求0x 的值，并证明函数()y g x =是“∑增函数”．【答案】（1）证明见解析（2）12a ≥（3）00x =，证明见解析【解析】【分析】（1）取反例即可证明；（2）若该函数是“∑增函数”，设出任意的s ，(0,)t ∈+∞，则有1112()22+----+->--+--s t s t s t a s a t a 恒成立，运算即可得；（3）借助导数的几何意义，对该函数求导后令导函数值为1，可得该方程有根，且00x =是其中一个根，结合导数可证明该函数为严格增函数，故有且仅有00x =一个根，即可得0x 的值，而后设出()()()()w s g s t g s g t =+--，结合前面得出的()y g x '=在(0,)+∞上是严格增函数，可得()()()()w s g s t g s g t =+--在(0,)+∞上是严格增函数，又0s >，则()()0(0)0>=-=w s w g ，即可得证.【小问1详解】取π2s t ==，则ππππsin 0,sin sin 22222⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，因为02<，故函数sin y x =不是“∑增函数”；【小问2详解】因为函数12x y x a -=--是“∑增函数”，故任意的s ，(0,)t ∈+∞，有1112()22+----+->--+--s t s t s t a s a t a 恒成立，即111222+----->-s t s t a 恒成立，所以11(21)(21)22-->-s t a 恒成立，又s ，(0,)t ∈+∞，故2,2(1,)∈+∞s t ，则1(21)(21)(0,)2--∈+∞s t ，则102a -≤，即12a ≥；【小问3详解】记()()1e ln 11x g x x x ⎡⎤=++⎢+⎣'⎥⎦，根据题意，得()()00001e ln 111x g x x x ⎡⎤=++=⎢⎥+⎣⎦'，可得方程的一个解00x =，令()()x g x μ'=，则()221ln(1)1(1)x x e x x x μ⎥'+⎡-⎤⎢⎣=++⎦+，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则23231221()011(1)()1()+'=-+=>++++x h x x x x x ，故()h x 在(0,)+∞上是严格增函数，又因为(0)1h =，故()0h x >在(0,)+∞恒成立，故()0x μ'>，故()y g x '=在(0,)+∞上是严格增函数，所以00x =是唯一解，又()00e ln10g ==，此时在()()00,x g x 处的切线方程即为y x =，故00x =成立；设()()()()w s g s t g s g t =+--，其中0,0s t >>，()()()'''=+-w s g s t g s ，由()y g x '=在(0,)+∞上是严格增函数以及0t >，得()()''+>g s t g s ，即()()()0'''=+->w s g s t g s ，所以()s ()()()=+--w g s t g s g t 在(0,)+∞上是严格增函数，因为0s >，则()()0(0)0>=-=w s w g ,故()()()g s t g s g t +>+，即得证.【点睛】本题考查函数新定义，理解新定义是关键，难点在最后一问中的0x 的计算与“∑增函数”的证明，需要多次求导以得到函数的单调性，结合导数的几何意义帮助计算0x 的值，证明()y g x =为“∑增函数”要结合对新定义的理解，设出函数()()()()w s g s t g s g t =+--以帮助证明.20。

高中数学上海市重点高中辅导讲义汇编学科：数学专题：矩阵行列式版本：学生用书姓名：年级：高二上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编矩阵与行列式1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛50432219， 则x+y = .2、（崇明县2016届高三上学期期末）函数sin 2()1x f x =- cosx 的最小正周期是 .3、（宝山区2016届高三上学期期末）已知,0,>t ω函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 .4、（虹口区2016届高三上学期期末）行列式12cos()tan 25cos cot()x x x x ππ+-的最大值为______.5、（黄浦区2016届高三上学期期末）直线321x y=的一个方向向量可以是 ．6、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知31cos 75sin sin 75cos =︒-︒αα，则=+︒)230cos(α_______.7、（金山区2016届高三上学期期末）若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212332c c ，解为⎩⎨⎧==12y x ， 则c 1–c 2= .8、（金山区2016届高三上学期期末）行列式dc b a (a 、b 、c 、d ∈{–1,1,2})所有可能的值中，最小值为 .9、（闵行区2016届高三上学期期末）函数()cos()sin sin()cos x xf x x xπ-=π+的最小正周期T = .10、（浦东新区2016届高三上学期期末）若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z = . 11、（青浦区2016届高三上学期期末）方程组35604370x y x y ++=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是____________.12、（松江区2016届高三上学期期末）行列式cos 20sin 20︒︒ sin 40cos 40︒︒的值是 .13、（徐汇区2016届高三上学期期末）若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a的值为__________.14、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.15、（长宁区2016届高三上学期期末）关于x 的不等式的解集为.（1）求实数a ,b 的值； （2）若为纯虚数，求tan α的值.【例题解析】1. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m mm +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．2. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .3. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】三阶行列式45sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为4. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty m x 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}na 各项和的数值是 _________.5. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】若行列式124012x -=，则x = .2014年高三二模汇编——矩阵、行列式1、（2014宝山四区文理1）. 二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2、（2014长宁二模文理7）对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f -的图像经过的定点的坐标是______________．3、（2014奉贤二模理10）、已知函数cos ()sin x f x x=， 则方程()021cos =+⋅x x f 的解是________.4、（2014奉贤二模文10）、将函数cos ()sin x f x x=的图像向左平移m 个单位(0)m >，若所得图像对应的函数为偶函数， 则m 的最小值是________.5、（2014虹口二模5文6）、复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模等于_______________．7、（2014浦东二模文理3）. 函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为 .8、（2014松江三区二模文理7）．函数()()sin cos cos 2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =____________．【课堂练习】1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】三阶行列式45sin 2cos 61sin ---xx x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为2. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．3. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .4. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】若行列式124012x -=，则x = .5. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}na 各项和的数值是 _________.上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编矩阵与行列式一、填空题1、（宝山区20152、（宝山区2015届高三上期末）设矩阵241A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2211B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若BA =2412⎛⎫⎪--⎝⎭， 则x =3、（崇明县2015届高三上期末）已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为4、（奉贤区2015届高三上期末）已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= 5、（虹口区2015届高三上期末）行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为6、（嘉定区2015届高三上期末）将函数xx x f 2sin 12cos 3)(=的图像向左平移m （0>m ）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值为____________7、（金山区2015届高三上期末）当a >0，b >0且a+b =2时，行列式ba 11的值的最大值是8、（浦东区2015届高三上期末）已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210211，则y x +=9、（松江区2015届高三上期末）若复数z 满足014=-zz ,则z 的值为10、（徐汇区2015届高三上期末）若全集U R =，不等式11111x x+≥-的解集为A ，则U A C =11、（杨浦区2015届高三上期末）设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c ++=+-，则角C =_______12、（黄浦区2015届高三上期末）若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m +(其中i 是虚数单位，R m n ∈、)的值是二、选择题 1、（浦东区2015届高三上期末）已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++= （ ）()A 16096-()B 16104- ()C 16112-()D 16120-。