2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。

每小题5分。

共30分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。

每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。

每小题5分。

共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）
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2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）C（5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 （10）（11）（12）8（13）36 （14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）在中，因为，所以。

所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得所以（16）（共13分）解：（I）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。

则C=，A,B独立。

根据投篮统计数据，.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.（Ⅲ）.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以∥。

又因为平面PDE，所以∥平面PDE，因为平面ABF，且平面平面，所以∥。

（Ⅱ）因为底面ABCDE,所以，.如图建立空间直角坐标系，则，,,,,.设平面ABF的法向量为，则即令，则。

所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则。

设点H的坐标为。

因为点H在棱PC上，所以可设，即。

所以。

因为是平面ABF的法向量，所以，即。

解得，所以点H的坐标为。

所以（18）（共13分）解：（I）由得。

因为在区间上，所以在区间上单调递减。

从而。

（Ⅱ）当时，“”等价于“”“”等价于“”。

令，则，当时，对任意恒成立。

当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减。

2014北京高考数学（理科）试题一、 选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）. 1. 已知集合{}220A x x x =-=，{}0,1,2B =，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,2 答案：C解析：{}{}2200,2A x x x =-==，所以A B ={}0,2.2. 下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）A ．y =B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+ 答案：A解析：y 在()0,+∞上单调递增；2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增；2x y -=和0.5log (1)y x =+在()0,+∞上单调递减. 3.当7m =，3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．7 B ．42 C ．210 D ．840答案：C解析：当7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <，故能进入循环的k 依次为7,6,5.顺次执行S S k =⋅则有765210S =⨯⨯=. 4.设{}n a 是公比为q 的等比数列，且“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：D解析：对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件． 5.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 答案：D解析：若0,k z y x ≥=-没有最小值，不和题意．若0k <，则不等式所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点2,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭处取最小值，故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-．6. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C，D ，若123,,S S S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A．123S S S ==B ． 12S S =且31S S ≠C ．13S S =且32S S ≠D ．23S S =且13S S ≠、 答案：D解析：D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC ∆，故12S =，画图可知23S S =选项D 正确．7. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”.现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B解析：用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则( )2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）3.曲线（为参数）的对称中心（）在直线上在直线上在直线上在直线上4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）5.设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（）充分且不必要条件必要且不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件6.若满足且的最小值为-4，则的值为（）在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A）（B）且（C）且（D）且有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A）（B）（C）（D）填空题（共6小题，每小题5分，共30分）复数________.已知向量、满足，，且，则________.设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________.若等差数列满足，，则当________时的前项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品与产品不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在中，，点在边上，且（1）求（2）求的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率.记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.（本小题13分）已知函数，求证：；若在上恒成立，求的最大值与的最小值. （本小题14分）已知椭圆，求椭圆的离心率.设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列，记，，其中表示和两个数中最大的数，对于数对序列，求的值.记为四个数中最小值，学科网对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A（3）B （4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） 1 （10）（11）（12）8（13）36 （14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）在中，因为，所以。

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】C【解析】 A ={0, 2}，∴ A B ＝{0, 2} {0,1,2}＝{0, 2}，故选 C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【考点】交集及其运算2. 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项 B 中的函数在（0，1）上递减，选项 C ，D 中的函数在(0, +∞) 上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选 A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【考点】对数函数的单调性与特殊点3. 【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为(x +1)2 + ( y - 2)2=1，其对称中心点为(-1, 2) ，验证知其在直线y = -2x 上，故选 B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【考点】曲线的参数方程4. 【答案】C【解析】 S =1⨯ 7 ⨯ 6⨯5=210 ，故选 C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【考点】循环结构5. 【答案】D【解析】当 a 1 < 0，q >1 时，数列{a n } 递减；当a 1 < 0 ，数列{a n } 递增时， 0 < q <1 ，故选 D. 【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【考点】充分、必要条件，等比数列的性质6. 【答案】D【解析】可行域如图所示，当k > 0 时，知 z = y - x 无最小值，当k < 0 时，目标函数线过可行域内 A 点时 z2 2 2 ⎝ ⎭ ⎣ ⎦2 ⎧ y = 0 有最小值.联立 解得 A ⎛ 2 ,0⎫，故 z =0+ 2 =4 即k = - 1 ，故选 D. ⎨kx - y + 2 = 0 k ⎪ min k 2 ⎩⎝ ⎭【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【考点】简单线性规划7. 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标平面 xOy 、 yOz 、 zOx 上的正投影分别为 D 1 、 D 2 、 D 3 ， 则 AD 1 = BD 1 = ， AB = 2 ，∴ S 1 = 1 ⨯ 2 ⨯ 2=2 ， S 2 2 = S △OCD = 1 ⨯ 2 ⨯ = 2 ， S 3 = S △OAD = 1⨯ 2 ⨯ = 2，故选D.【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 【考点】空间直角坐标系8. 【答案】B【解析】假设 A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有 3 种，因而学生数量最大为3，即 3 位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选 B. 【提示】分别用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得 A ，B ，C 的学生各最多只有 1 个，继而推得学生的人数. 【考点】排列组合数的应用第Ⅱ卷二、填空题9. 【答案】 -1⎛ 1+ i ⎫2⎡(1- i)2 ⎤2 ⎛ 2i ⎫2【解析】 1- i ⎪ = ⎢(1- i)(1+ i) ⎥ = ⎪ ⎝ ⎭= -1.【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【考点】复数代数形式的四则运算2 2 23| a || b |= 5 = 1 5 x 3 2 3 2 - 10. 【答案】【解析】 λa ＋b = 0 ，∴λa = -b ，∴| λ |=.【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求| λ | 的值.【考点】向量的线性运算211. 【答案】 x y =13 12y ＝± 2xy 22(2, 2)22 2【解析】设双曲线C 的方程为 - x 4 = λ ，将 代入得 4 - 2 = - 3=λ ， ∴双曲线 C 的方程为 x - y2=1 .令 y 2 - 2 =0 得渐近线方程为 y = ±2x .3 12 4【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【考点】双曲线的简单几何性质12. 【答案】8【解析】最大.a 7 + a 8 + a 9 =3a 8 > 0 ，a 7 + a 10 = a 8 + a 9 < 0 ，∴a 8 > 0，a 9 < 0 ，∴ n = 8 时，数列{a n } 的前 n 项和 【提示】可得等差数列{a n }的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，进而可得结论.【考点】等差数列性质13. 【答案】36【解析】 A 3 A 2 A 1= 6⨯ 2⨯ 3 = 36 .【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【考点】乘法原理，排列数的应用14. 【答案】 πT 【解析】结合图像得 π + 2π π + π= 2 3 - 2 6 ，即T ＝π .4 2 2【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期 T. 【考点】二次函数的图象与周期性52AB sin ∠BAD 715.【答案】（1） 3 314（2）BD = 3，AC = 7 【解析】（1）在△ADC 中，因为cos ∠ADC = 1 ，所以sin ∠ADC = 4 3 .7 7所以sin ∠BAD = sin(∠ADC - ∠B ) = sin ∠ADC cos B - cos ∠ADC sin B= 4 3 ⨯ 1 - 1 ⨯ 37 2 7 2 = 3 3 . 148⨯ 3 3（2） 在△ABD 中，由正弦定理得BD = = 14 = 3 ，在△ABC 中，由余弦定理得 sin ∠ADB4 3AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2AB = 82 + 52 - 2 ⨯ 8⨯ 5⨯ 1= 49 ，2所以 AC = 7 .【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. 【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理 16.【答案】（1）0.5（2） 1325（3） EX = x【解析】（1）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的有 5 场，分别是主场 2，主场3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.（2） 设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”. 则C = AB AB ，A ，B 独立根据投篮统计数据， P ( A ) = 3，P (B ) = 2.5 5P (C ) = P (AB ) + P (AB ) = 3 ⨯ 3 + 2 ⨯ 25 5 5 5 = 1325所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 13.25BC cos Bn , BC|=| n || BC | n BC = 12⎛ 4 ⎫2⎛ 2 ⎫2⎛ 4 ⎫23 ⎪ + 3 ⎪ + - 3 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式17. 【答案】（1）在正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以 AB ∥DE .又因为 AB ⊄ 平面 PDE ，所以 AB ∥平面PDE ，因为 AB ⊂ 平面 ABF ，且平面 ABF 平面 PDE = FG ， 所以 AB ∥FG .（2）因为 PA ⊥ 底面 ABCDE ，所以 PA ⊥ AB ， PA ⊥ AE .如图建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A (0,0,0) ， B (1,0,0) ， C (2,1,0) ， P (0,0, 2) ， F (0,1,1) ，BC = (1,1,0) .⎧⎪n AB = 0 ⎧x = 0 设平面 ABF 的法向量为n = (x , y , z ) ，则⎨n AF = 0 ，即⎨y + z = 0 . ⎩⎪ ⎩令 z = 1, ，则 y = -1 .所以n = (0, -1,1) ，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为α ，则sin α =| cos .设点 H 的坐标为(u ,v , w ).因为点 H 在棱 PC 上，所以可设 PH = λ PC (0 < λ <1) ，即(u ,v , w - 2) = λ(2,1, -2) ，所以u = 2λ,v = λ, w = 2 - 2λ .因为n 是平面 ABF 的法向量，所以n AH = 0 ，即(0, -1,1) (2λ,λ, 2 - 2λ) = 0 .2 ⎛ 4 2 2 ⎫解得λ = ，所以点H 的坐标为 , , ⎪ 3 ⎝ 3 3 3 ⎭所以 PH = = 2 .【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐2 标系求解.【考点】直线与平面所成的角18. 【答案】（1）由 f (x ) = x c os x -sin x 得 f '(x ) = cos x - x sin x - cos x = -x sin x .因为在区间⎛ 0, π ⎫ 上 f '(x ) = -x sin x < 0 ，所以 f (x ) 在区间⎡0, π ⎤上单调递减，从而 f (x ) ≤ f (0) = 0 . 2⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎝ ⎭ ⎣ ⎦（2）当 x > 0 时，“ sin x > a ”等价于“ sin x - ax > 0 ”，“ sin x< b ”等价于“ sin x - bx < 0 ”. x x令 g (x ) = sin x - cx ，则 g '(x ) = cos x - c .当c ≤ 0 时， g (x ) > 0 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ 恒成立. 2 ⎪ ⎝ ⎭当 c ≥ 1 时， 因为对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ ， g '(x ) = cos x - c < 0 ， 所以 g (x ) 在区间 ⎡0, π ⎤上单调递减. 从而 2⎪ ⎢ 2 ⎥g ( x )< ⎝ ⎭ ⎣ ⎦ g ( 0 )= 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ 恒成立.2 ⎪ ⎝ ⎭当0 < c <1时，存在唯一的 x ∈⎛ 0, π ⎫，使得 g '(x ) = cos x- c = 0 .0 2 ⎪0 0 ⎝ ⎭g (x ) 与 g '(x ) 在区间⎛ 0, π ⎫ 上的情况如下： 2 ⎪ ⎝ ⎭因为 g (x ) 在区间[0, x ] 上是增函数，所以 g (x ) > g (0) = 0 .进一步，“ g (x ) > 0 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ 恒成立”当 0 0 2⎪ ⎝ ⎭且仅当 g ⎛ π ⎫= 1- π ≥ 0 ，即0 < c ≤ 2 . ⎪⎝ ⎭综上所述，当且仅当c ≤ 2 时， g (x ) > 0 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫恒成立；π 2 ⎪ ⎝ ⎭当且仅当c ≥ 1 时， g (x )<0 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫恒成立. 2 ⎪ ⎝ ⎭2 π± 2 4+ x 0x 0 x 04+8 x 02+162 x 022 2 0t = 所以，若a < sin x < b 对任意 x ∈⎛ 0, π ⎫ 恒成立，则 a 最大值为 2 ，b 的最小值为 1x 2 ⎪ π ⎝ ⎭【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值.【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围219. 【答案】（1）由题意，椭圆 C 的标准方程为 x + y = 1.4 2所以a 2 = 4,b 2 = 2 ，从而c 2 = a 2 - b 2 = 2 .因此a = 2, c =（2）直线 AB 与圆 x 2 + y 2= 2 相切.证明如下：设点 A ，B 的坐标分别为(x 0 , y 0 ) ， (t , 2) ，其中 x 0 ≠ 0 .2 .故椭圆C 的离心率e = c = 2. a 2因为OA ⊥ OB ，所以OA OB = 0 ，即tx+ 2y = 0 ，解得t =-2 y 0 .当 x 0 0= t 时， y = t 2，代入椭圆 C 的方程，得 2x 0，故直线 AB 的方程为 x = . 圆心O 到直线 AB 的距离d = 2 .此时直线 AB 与圆 x 2 + y 2= 2 相切.当 x ≠ t 时，直线 AB 的方程为 y - 2 =y 0 - 2(x - t ) ，即( y - 2)x - (x - t ) y + 2x - ty = 0 ， x 0 - t0 0 0 0圆心O 到直线 AB 的距离d =| 2x 0 - ty 0 | ( y - 2)2 + (x - t )2 .又 x 2 + 2y 2= 4 ， t =- 2 y 0，故d === ，0 0x 0此时直线 AB 与圆 x 2 + y 2= 2 相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质 20.【答案】（1） T 1 (P ) = 7，T 2 (P ) = 8 （2）T 2 (P ) ≤ T 2 (P ') （3）T 1 (P ) =10 ， T 2 (P ) = 26 ， T 3 (P ) = 42 ， T 4 (P ) = 50 ， T 5 (P ) = 52 【解析】（1） T 1 (P ) = 2 + 5 = 7 ， T 2 (P ) =1+ max{T 1(P ), 2 + 4} =1+ max{7,6}=8.± 2 2x + 2 y 0 2x 0x + y + + 42 2 4 y 20 0 x 02 0（2）T 2 (P ) = max {a + b + d , a + c + d } ， T 2 (P ') = max {c + d + b ,c + a + b } . 当 m =a 时， T 2 (P ') = max {c + d + b ,c + a + b } = c + d + b ，因为c + d + b ≤ c + b + d ，且a + c + d ≤ c + b + d ，所以T 2 (P ) ≤ T 2 (P ') . 当 m =d 时， T 2 (P ') = max {c + d + b ,c + a + b } = c + a + b ，因为a + b + d ≤ c + a + b ，且a + c + d ≤ c + a + b 所以T 2 (P ) ≤ T 2 (P ') . 所以无论m = a 还是m = d ， T 2 (P ) ≤ T 2 (P ') 都成立.（3）数对序列 P (4,6) ， (11,11) ， (16,11) ， (11,8) ， (5, 2) 的T 5 (P ) 值最小， T 1 (P ) =10 ， T 2 (P ) = 26 ， T 3 (P ) = 42 ， T 4 (P ) = 50 ， T 5 (P ) = 52 【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小. 【考点】分析法和综合法。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-=,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2}2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A.y B .2(1)y x =- C .2x y -=D .0.5log (1)y x =+3.曲线1cos ,2sin ,x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（..为参数）的对称中心( )A .在直线2y x =上B .在直线2y x =-上C .在直线1y x =-上D .在直线1y x =+上4.当7m =,3n =时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A .7B .42C .210D .840 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.若x ,y 满足20,20,0,x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-,则k 的值为( )A .2B .2-C .12D .12-7.在空间直角坐标系O xyz -中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,(0),2,0C,(D .若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A .123S S S ==B .21S S =且23S S ≠C .31S S =且32S S ≠D .32S S =且31S S ≠8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A .2 人B .3 人C .4 人D .5 人第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.9.复数21i ()1i+=- . 10.已知向量a ,b 满足|a |1=,b (2,1)=,且λa +b =0()λ∈R ,则||λ= .11.设双曲线C 经过点(2,2),且与2214y x =-具有相同渐近线,则C 的方程为 ；渐近线方程为 .12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n = 时,{}n a 的前n 项和最大.13.把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.14.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数,0A >,0)ω>.若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==-,则()f x 的最小正周期为 . 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图,在ABC △中,π3B ∠=,8AB =,点D 在BC 边上,且2CD =,1cos 7ADC ∠=.（Ⅰ）求sin BAD ∠； （Ⅱ）求BD ,AC 的长.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________16.（本小题满分13分）（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.（只需写出结论）17.（本小题满分14分）如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P ABCDE-中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.（Ⅰ）求证：AB FG；（Ⅱ）若PA⊥底面ABCDE,且PA AE＝,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长. 18.（本小题满分13分）已知函数()cos sinf x x x x=-,π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求证：()0f x≤；（Ⅱ）若sin xa bx<<对π(0,)2x∈恒成立,求a的最大值与b的最小值.19.（本小题满分13分）已知椭圆C：2224x y+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线2y=上,且OA OB⊥,试判断直线AB与圆222x y+=的位置关系,并证明你的结论.20.（本小题满分13分）对于数对序列P：11(,)a b,22(,)a b,⋅⋅⋅,(),n na b,记111()T P a b=+,()k kT P b=+ 112max{(),}k kT P a a a-+⋅⋅⋅++(2)k n≤≤,其中112(ma}x{),k kT P a a a-++⋅⋅⋅+表示1()kT P-和12ka a a++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.（Ⅰ）对于数对序列P：(2,5),(4,1),求1()T P,2()T P的值；（Ⅱ）记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(,)a b,(,)c d组成的数对序列P：(,)a b,(,)c d和P'：(,)c d,(,)a b,试分别对m a=和m d=两种情况比较2()T P和2()T P'的大小；（Ⅲ）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使5()T P最小,并写出5()T P的值.（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C 【解析】{}0,2A =，{0,2}{0,1,2}{0,2}AB ∴＝＝，故选C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【考点】交集及其运算 2.【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在（0，1）上递减，选项C ，D 中的函数在(0,)+∞上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【考点】对数函数的单调性与特殊点 3.【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)=1x y ++-，其对称中心点为(1,2)-，验证知其在直线2y x =-上，故选B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【考点】曲线的参数方程 4.【答案】C【解析】=1765=210S ⨯⨯⨯，故选C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【考点】循环结构 5.【答案】D【解析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【考点】充分、必要条件，等比数列的性质 6.【答案】D【解析】可行域如图所示，当0k >时，知z y x =-无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值.联立020y kx y =⎧⎨-+=⎩解得2,0A k ⎛⎫⎪⎝⎭，故min 2=0+=4z k 即1=2k -，故选D.【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【考点】简单线性规划 7.【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为1D 、2D 、3D ，则11AD BD ==2AB =， ∴11S 22=22=⨯⨯，22122OCD S S ==⨯=△，33122OAD S S ==⨯△，故选D.【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 【考点】空间直角坐标系 8.【答案】B【解析】假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选B. 【提示】分别用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得A ，B ，C 的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数. 【考点】排列组合数的应用第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】1-【解析】22221i (1i)2i 11i (1i)(1i)2⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=⎣⎦. 【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【解析】0a b λ＋=，a b λ∴=-，||5||||b a λ∴===. 【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求||λ的值. 【考点】向量的线性运算11.【答案】22=1312x y -2y x ±＝【解析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将(2,2)代入得2222=3=4λ--， ∴双曲线C 的方程为22=1312x y -.令22=04y x -得渐近线方程为2y x =±.【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【考点】双曲线的简单几何性质 12.【答案】8 【解析】7898=30a a a a ++>，710890a a a a +=+<，8900a a ∴><，，∴8n =时，数列{}n a 的前n 项和最大.【提示】可得等差数列{}n a 的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论. 【考点】等差数列性质 13.【答案】36【解析】32132362336A A A =⨯⨯=.【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【考点】乘法原理，排列数的应用 14.【答案】π【解析】结合图像得π2πππ2326+=422T +-，即πT ＝.【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期T. 【考点】二次函数的图象与周期性 三、解答题 15.【答案】（1）14（2）37BD AC ==，【解析】（1）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠1127=-=（2）在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠，在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-22185285492=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =.【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理 16.【答案】（1）0.5 （2）1325（3）EX x =【解析】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C ABAB =，A B ，独立根据投篮统计数据，32()()55P A P B ==，.()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯1325=所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. （3）EX x =.【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式 17.【答案】（1）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB DE ∥.又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB PDE ∥平面，因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF平面PDE FG =，所以AB FG ∥.（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC =.设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩. 令1,z =，则1y =-.所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为α， 则1sin |cos ,|2|||n BC n BC n BC α===|.设点H 的坐标为(,,).u v w因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-， 所以2,,22u v w λλλ===-.因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AH =，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ--=.解得23λ=，所以点H 的坐标为422,,333⎛⎫⎪⎝⎭所以2PH =.【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解. 【考点】直线与平面所成的角18.【答案】（1）由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-.因为在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()(0)0f x f ≤=.（2）当0x >时，“sin xa x>”等价于“sin 0x ax ->”，“sin x b x <”等价于“sin 0x bx -<”. 令()g x sin x cx =-，则()cos g x x c '=-.当0c ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时，因为对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()(0)0g x g <=对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时，存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得00()cos 0g x x c '=-=.()g x 与()g x '在区间π0,⎛⎫⎪上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=.进一步，“()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，即20πc <≤.综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c≥时，()<0g x 对任意π0,2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 的最小值为1 【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值. 【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围19.【答案】（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=.所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=.因此2,a c ==故椭圆C 的离心率2c e a ==（2）直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即0020tx y +=，解得02y t x =-. 当0x t =时，202t y =，代入椭圆C 的方程，得t =AB 的方程为x =.圆心O 到直线AB 的距离d .此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--，即0000(2)()20y x x ty x t y ---+-=，圆心O 到直线AB的距离d =.又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质 20.【答案】（1）12()7()8T P T P ==， （2）22()()T P T P '≤（3）1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【解析】（1）1()257T P =+=，21()1max{(),24}T P T P =++1max{7,6}=+=8. （2）2()T P {}max ,a b d a c d =++++，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++. 当m =a 时，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++，因为c d b c b d ++≤++，且a c d c b d ++≤++，所以2()T P ≤2()T P '. 当m =d 时，2()T P '{}max ,c d b c a b =++++c a b =++，因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2()T P '. 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立.（3）数对序列P ：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的5()T P 值最小， 1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小. 【考点】分析法和综合法。