北京市海淀区2018～2019学年度高三年级第一学期期末考文科数学试题及参考答案2019.1本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A.(2,0)-B.(C.(1,0)-D. (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b , 且a⋅=a b ,则,a b 的夹角大小为A.6πB.4πC.3πD.512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ,公差0d ≠,且125,,a a a 成等比数列,则=dA. 0B.12±C.1±D.4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2,则k 的值为 A.6πB.4πC.3πD.5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中,等腰三角形的个数为 A.6B.7C.8D.126.已知函数()=ln af x x x +,则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-,()g x 是()f x 的导函数,则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点,则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位,就可以得到函数()g x 的图像D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆,且对任意的(,)a b B ∈,(,)x y B ∈,均有()()0a x b y --≤,则集合B 中元素个数的最大值为A.25B.49C.75D.99二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心,且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图,当输入的M 值为15,n 值为4 时,输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 , .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω,若点A(1,-2),B(3,0),C(2,-3)中有且仅有两个点在Ω内,则k 的最大值为 . 13.在 ABC 中,b =,且cos 2cos A B =,则cos A = .14.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,动点M 在线段CC 1上,动点P 在平面1111A B C D 上,且AP ⊥平面1MBD .(Ⅰ)当点M 与点C 重合时,线段AP 的长度为 ；(Ⅱ)线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数()s()cos22f x aco x xπ=--(Ⅰ)比较()6f π和()2f π的大小；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16.(本小题满分13分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩,并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图： (Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率； (Ⅱ)从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人,设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数,求Y 的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据以往培训数据,规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.17.(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中,平面ABCD ⊥平面PCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠=(Ⅰ)求证：AD PDC ⊥平面； (Ⅱ)求二面角B-PD-C 的余弦值；(Ⅲ)若M 是棱PA 的中点,求证：对于棱BC 上任意一点F,MF 与PC 都不平行. 18.(本小题满分14分)椭圆2212x y +=的左焦点为F ,过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)若点B 关于x 轴的对称点为B ’,求'AB 的取值范围. 19. (本小题满分14分)已知函数2()xa x f x e -=. (Ⅰ)当1a =-时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a >时,求证：2()f x e >-对任意(0,)x ∈+∞成立.20.(本小题满分13分) 设n 为不小于3的正整数,集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i nΩ=∈=,对于集合nΩ中的任意元素12(,,...,)n x x x α=,12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- (Ⅰ)当3n =时,若(1,1,0)α=,请写出满足3αβ*=的所有元素β (Ⅱ)设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=,求αβ*的最大值和最小值；(Ⅲ)设S 是n Ω的子集,且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，,有1n αβ*≥-成立,求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(理科)2019.01一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.212.0 13.2 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：(Ⅰ)因为π1(),622a f =- π()12f a =+所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >,所以3022a +>,所以ππ()()26f f > (Ⅱ)因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-,所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+-其对称轴为4a t =-当14at =-<-,即4a >时,在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-,即04a <≤时,在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：(Ⅰ)设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730(Ⅱ)Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人,其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===,21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===,353810(3)56C P Y C ===随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(Ⅲ)根据表格中的数据,满足85110X -≤的成绩有16个所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==> ⎪⎝⎭ 所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17.解：(Ⅰ)在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥,交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥,且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD(Ⅱ)因为AD ⊥平面PCD ,所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥,DH AD ⊥以D 为原点,DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210,因为AD ⊥平面PCD ,所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200u u u r 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210u u u r u u u r,所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u r r uu u r所以y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩020令2z = ,则y x =-=所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r ruuu r r uuu u r r由题知B PD C --为锐角,所以B PD C --的余弦值为19(Ⅲ) 法一：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC ,显然F 与点C 不同 所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α,PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α,A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面,所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾,所以假设错误,即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC 连接AC ,取其中点N在PAC ∆中,因为,M N 分别为,PA CA 的中点,所以MN PC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行,所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上,所以F 是AC ,BC 的交点C ,即MF 就是MC 而MC 与PC 相交,矛盾,所以假设错误,问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC ,设BF BC λ= ,所以3(1,,(2,1,0)2MF MB BF λ=+=+-因为MF PC ,所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩,这个方程组无解所以假设错误,即问题得证 18.解：(Ⅰ)因为,a b ==2221,所以,a b c ===11所以离心率c e a ==(Ⅱ)法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率,设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122,所以()k x k x k +++-=2222218820 28160k ∆=->,所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421k y y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB ==因为k ≤<2102,所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时,|'|AB =当直线l 不是x 轴时,设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122,所以()t y t y ++=-222420, 28160t ∆=->,所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ==-+因为t >22,所以|'|AB ∈综上,|'|AB的取值范围是.19.解：(Ⅰ)因为()x ax x f x -=e 2所以()'()x x a x af x -++=e 22 当a =-1时,'()x x xf x --=e 21所以'()f -=e 11,而()f -=e 21 曲线()yf x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e e y x --=-- 化简得到11e e y x =--(Ⅱ)法一：因为()'()xx a x a f x -++=e 22,令()'()x x a x af x -++==e 220得x x ==12当a >0时,x ,'()f x ,()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值,而2(0)0e f =>-,所以只需要证明()f x >-e 22因为()x a x a -++=22220,所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2,其中x >0,所以()()'()x x a x x a F x ----+==e e 2222令'()F x =0,得a x +=322,当a >0时,x ,'()F x ,()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222,而()a a F ++--=>e e 122222注意到x =>20,所以(())f x x F =>-e 222,问题得证 法二：因为“对任意的x >0,22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0,220e e xax x -+>” 即“x >0,2+12e e()0e x x ax x +->”,故只需证“x >0,22e e()0x ax x +->”设2()2e e()x g x ax x =+-,所以'()2e e(2)x g x a x =+-设()'()h x g x =,'()2e 2e xh x =- 令'()F x =0,得x =31当a >0时,x ,'()h x ,()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1,而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时,'()2e e(2)0xg x a x =+->,所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>,所以()0g x >,问题得证 法三：“对任意的x >0,2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e -”因为()'()x x a x af x -++=e 22,令'()f x =0得x x ==12当a >0时,x ,'()f x ,()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值,而2(0)0e f =>-,所以只需要证明()f x >-e 22因为()x a x a -++=22220,所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222注意到x 2和a >0,所以x >22设()x xF x -=e 2,其中x >2 所以()()'()x x x x F x --=-=e e 2121当x >2时,'()F x >0,所以()F x 单调递增,所以()()F x F >=-e 242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e 222,问题得证法四：因为a >0,所以当x >0时,()xxax x x f x --=>e e 22设()xx F x -=e 2,其中x >0 所以()'()x x x F x -=e 2所以x ,'()F x ,()F x 的变化情况如下表: 以()F x 在x =2时取得最小值所()F =-e 224,而()--=-->e e e e 224224所以x >0时,2()e F x >-所以()()f x F x >>-e 220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) (Ⅱ)记12(,,,)n x x x α= ,12(,,,)n y y y β= , 注意到{0,1}i x ∈,所以(1)0i i x x -=,所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=,所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1,n 个量的值为0. 显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++= ,当(1,1,,1)α= ,(0,0,,0)β= 时,αβ，满足n ααββ*+*=,n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时,1i i x y =,否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1,n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个,当n 为偶数时,22n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)nn αβ==个个时,满足n ααββ*+*=,且2n αβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时,且1i i x y =,这样的元素i 至多有12n -个,所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个,1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时,满足n ααββ*+*=,12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ,当n 为偶数时,αβ*的最小值为2n ,当n 为奇数时,12n αβ-*=. (Ⅲ)S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ,{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅ ，集合1S 中元素个数不超过1n +个,下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ,则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ,βα≠因为1n αβ*≥-,所以,i jy y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言,在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ,则1T 中共1n +个元素,对于任意的1T α∈,n β∈Ω,1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤,记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==,1t x =,,t i t j≠≠ 记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤,显然2,S αβ∀∈,αβ≠,均有1n αβ*≥-.记12S T T = ,S 中的元素个数为21n n ++,且满足,S αβ∀∈,αβ≠,均有1n αβ*≥-.综上所述,S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
