衡水中学2019届高考理科数学模拟精彩试题精编(十)

衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A 10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是 A.B.C.D.【答案】C11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C.D.【答案】A 12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·2·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{}21x x -≤< B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x <2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a i a i +-为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2019 B ．2019 C．4022 D ．4023·3··4· D ．3613 7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ）A ．115,106π- B ．21,3π- C ．7,106π- D ．4,53π- 9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式 )()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( ) A. )0,(-∞ B. ()+∞,0 C.)1,(-∞ D. ()+∞,1·5·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) A.x23＋y24＝1(y≠0) B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ） A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．复数 在复平面内对应的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限2．已知全集U=R ， 则A ．B ．C ． 或D ． 或3．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A ． 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ． 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ． 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D ． 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4．已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ，则 的值为A ． 11B ． 12C ． 13D ． 14 5．已知 是定义在 上的奇函数，若 时， ，则 时， A ． B ． C ． D ． 6．已知椭圆 和直线 ，若过 的左焦点和下顶点的直线与 平行，则椭圆 的离心率为 A ． B ． C ． D ． 7．如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 A ． B ． C ． D ． 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A ． 有四个两两全等的面 B ． 有两对相互全等的面 C ． 只有一对相互全等的面 D ． 所有面均不全等 9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A．B．C．D．10．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A．B．C．D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．12．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A．B．C．D．二、填空题13．已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.14．已知数列，若数列的前项和，则的值为________.15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.16．已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为____________.三、解答题17．如图，在中，是边上的一点，，，.（1）求的长；（2）若，求的值.18．在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.如图1 如图2（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。

河北衡水中学2019届高三第三次摸底考试理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集，集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定集合A和集合B，然后进行集合的混合运算整理计算即可求得最终结果.【详解】求解二次不等式可得，则，则由补集的定义可知：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交并补运算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 欧拉公式(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论.详解：由欧拉公式，可得，因为，所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果.3. 对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（）A. 2B.C. 3D.【答案】D【解析】分析：先化简，再运行程序得解.详解：=因为4＞（-2），所以输出故答案为：D点睛：(1)本题主要考查程序框图、指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的运算能力.(2)对数恒等式：(,且,), ,.4. 2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.【详解】设四只小鼠为：，由组合数公式可知，四只小鼠中不放回地拿出2只，共有种方法，其中满足题意的方法为：，，，四种方法，结合古典概型计算公式可得，满足题意的概率值为：.本题选择C选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 的展开式中的系数为（）A. -160B. 320C. 480D. 640【答案】B【解析】，展开通项，所以时，；时，，所以的系数为，故选B。

高考理科数学模拟试题精编(十)(考试用时：120分钟试卷满分：150分) 注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1,0≤x≤1}，集合B＝{(x，y)|y ＝2x,0≤x≤10}，则集合A∩B＝()A．{1,2}B．{x|0≤x≤1}C．{(1,2)}D．∅2．设i是虚数单位，复数(a＋1＋i)2－2a－1为纯虚数，则实数a 为()A．1 B．－1 C．1或－1 D．－123．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－429B ．－229 C.229D.4294．已知A (1,2)，B (2,4)，C (－2,1)，D (－3,2)，则向量CD →在向量AB →上的投影为( )A.55B.255C.22D.2235．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2D ．36．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A ．A 1818种B ．A 2020种C ．A 23A 318A 1010种D ．A 22A 1818种7．M ＝⎠⎛011x ＋1d x ，N ＝∫π20cos x d x ，由程序框图输出S的值为( )A ．ln 2B ．0C.π2D ．18．如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为( )A.33π－1B.33π－13C.33πD.33π＋19．已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2x )，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x )，f (x )＝a·b ，要得到y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平行移动π6个单位B ．向右平行移动π6个单位C ．向左平行移动π12个单位 D ．向右平行移动π12个单位 10．在线段AB 上任取一点C ，若AC 2＝AB ·BC ，则点C 是线段AB 的“黄金分割点”，以AC 、BC 为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB 上任取一点C ，若以AC 、BC 为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为( )A ．3－ 5B.5－2C.3－1D ．3－711．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2＝4x上，另一个顶点C(4,0)，则这样的正三角形有()A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与直线l：x＋ay＋1＝0相交所得弦AB的长为4，则a＝________.14．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________．15．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.16．已知函数f(x)＝1|x|－1，下列关于函数f(x)的研究：①y＝f(x)的值域为R.②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③y＝f(x)的图象关于y 轴对称．④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知数列{a n}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}中, b1＝1，b2＝2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和．18．(本小题满分12分)某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准：85分及以上，记为A等级；分数在[70,85)内，记为B等级；分数在[60,70)内，记为C等级；60分以下，记为D等级．同时认定等级为A，B，C的学生成绩为合格，等级为D的学生成绩为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组作出甲校样本的频率分布直方图(如图1所示)，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图(如图2所示)．(1)求图1中x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率； (2)在选取的样本中，从甲、乙两校C 等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为底AB ，CD 上的点，且EF ⊥AB ，EF ＝EB ＝12FC ＝2，EA ＝12FD ，沿EF 将平面AEFD 折起至平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2所示．(1)求证：平面ABD ⊥平面BDF ；(2)若二面角B -AD -F 的大小为60°，求EA 的长度．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．21．已知函数f (x )＝ln x －x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12·x ＋22.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1f (x )＜2e x .(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知曲线C 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上每一点的纵坐标变为原来的12倍(横坐标不变)，得到曲线C 2，直线l 的极坐标方程：3ρcos θ＋2ρsin θ＋m ＝0(1)求曲线C 2的参数方程；(2)若曲线C 2上的点到直线l 的最大距离为27，求m 的值． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x ＋3|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＜|m－1|的解集非空，求实数m的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(十)1．解析：选C.根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，满足题意0≤x ≤1，所以集合A ∩B ＝{(1,2)}．故选C.2．解析：选A.(a ＋1＋i)2－2a －1＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i.∵(a ＋1＋i)2－2a －1是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1，故选A. 3．解析：选A.因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429，故选A.4．解析：选A.∵AB→＝(1,2)，CD →＝(－1,1)，∴向量CD →在向量AB →上的投影为AB →·CD →|AB →|＝15＝55，故选A.5．解析：选A.设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋2＝3，选A.6．解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A 22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A 1818种站法．根据分步计数原理，共有A 22A 1818种站法．故选D.7．解析：选A.M ＝∫101x ＋1d x ＝ln (x ＋1)10＝ln 2－ln 1＝ln 2.N ＝∫π20cos x d x ＝sin x π20＝sin π2－sin 0＝1，∵ln 2＜1，∴M ＜N ，∴S ＝M ＝ln 2.8．解析：选A .由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h.正三棱柱底面三角形的高为3r ，边长为23r ，则V 正三棱柱＝12×23r ×3rh ＝33r 2h ，所以该几何体的体积V ＝(33－π)r 2h ，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为(33－π)r 2h πr 2h＝33π－1.9．解析：选D .由题意得：f(x)＝a·b ＝2cos 4x －2sin 4x ＝2(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2， 而y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2，故只需将y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．10．解析：选A.不妨记AB ＝1，则由AC 2＝AB ·BC 得AC ＝5－12，从而BC ＝3－52，于是“黄金矩形”的面积为5－2.现在线段AB上任取一点C ，设AC ＝x ，则BC ＝1－x ，由x (1－x )＜5－2得0＜x ＜3－52或5－12＜x ＜1，故所求概率为P ＝3－52＋1－5－12＝3－ 5.11.解析：选B.将几何体的展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为PA ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.12．解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由|AC |＝|BC |得(x 1－4)2＋y 21＝(x 2－4)2＋y 22，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2－8)＋y 21－y 22＝0，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，代入上式，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)＝0 ①，由①得x 1＝x 2或x 1＋x 2＝4，若x 1＝x 2，则|y 1|＝|y 2|，显然A ，B 关于抛物线的对称轴(x 轴)对称，考虑到△ABC 是正三角形，∴AC 与x 轴所成的角为30°，不妨设直线AC ：y ＝33(x －4)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎨⎧y ＝33(x －4)y 2＝4x⇒x 2－20x ＋16＝0⇒x ＝10±221，即这样的点A 有2个，对应的等边三角形也有2个，分别是△A 1B 1C 和△A 2B 2C ，如图所示．若x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝4，取AB 的中点D (x 0，y 0)(设y 0＞0)，则有x 0＝x 1＋x 22＝2，∴D (2，y 0)，又当x ＝2时，y 2＝4x ＝8，∴y 0＜22，再由y 21－y 22＝4x 1－4x 2得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0，∴直线AB ：y －y 0＝2y 0(x －2)，即2x ＝y 0y ＋4－y 20，联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x2x ＝y 0y ＋4－y 20⇒y 2－2y0y＋2y20－8＝0，∵方程y2－2y0y＋2y20－8＝0的判别式Δ＝(－2y0)2－4(2y20－8)＝32－4y20，而y0＜22，∴Δ＞0，该方程有2个不相等的实数根，即其对应的点A(点B)有2个，∴其对应的等边三角形有2个，分别是△A′B′C和△A″B″C.综上，可知符合要求的正三角形有4个．故选D.13．解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心C(1,2)，半径r＝2，依题意知弦长|AB|＝4，因此直线l经过圆心C(1,2)，故1＋2a＋1＝0，解得a＝－1.答案：－114．解析：设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为E(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤16，当且仅当3a＝2b即a＝13，b＝12时，等号成立．答案：1 615．解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos 45°＝100 2.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.616.解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1，x ≥01－x －1，x ＜0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝8a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，(2分) 解得a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(4分)(2)c 1＝ab 1＝a 1＝1，c 2＝ab 2＝a 2＝3，从而等比数列{c n }的公比为3，因此c n ＝1×3n －1＝3n －1.(7分)另一方面，c n ＝ab n ＝2b n －1，所以2b n －1＝3n －1，因此b n ＝3n －1＋12.(9分) 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋31＋…＋3n －1)＋n2＝3n ＋2n －14.(12分) 18．解：(1)由题意，可知10x ＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x ＝0.004.(2分)∴甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%，(3分)乙学校的合格率为⎝⎛⎭⎪⎫1－250×100%＝0.96×100%＝96%.(4分) ∴甲、乙两校的合格率均为96%.(5分)(2)样本中甲校C 等级的学生人数为0.012×10×50＝6，乙校C 等级的学生人数为4.(6分)∴随机抽取3名学生中甲校学生人数X 的可能取值为0,1,2,3.(7分)∴P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16. ∴X 的分布列为(11分)数学期望E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95.(12分)19．解：(1)证明：由题意知EA 綊12FD ，EB 綊12FC ，所以AB ∥CD ，即A ，B ，C ，D 四点共面．(2分)由EF ＝EB ＝12FC ＝2，EF ⊥AB ，得FB ＝EF 2＋EB 2＝BC ＝22，则BC ⊥FB ，又翻折后平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ∩平面EBCF ＝EF ，DF ⊥EF ，所以DF ⊥平面EBCF ，因而BC ⊥DF ，又DF ∩FB ＝F ，所以BC ⊥平面BDF ，由于BC ⊂平面BCD ，则平面BCD ⊥平面BDF ，又平面ABD 即平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BDF .(6分)(2)以F 为坐标原点，FE ，FC ，FD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则F (0,0,0)，B (2,2,0)，设EA ＝t (t ＞0)，则A (2,0，t )，D (0,0,2t )，AB→＝(0,2，－t )，AD →＝(－2,0，t )．(8分) 设平面ABD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧m ·AB →＝0，m ·AD→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －tz ＝0，－2x ＋tz ＝0， 取x ＝t ，则y ＝t ，z ＝2，所以m ＝(t ，t,2)为平面ABD 的一个法向量．(10分)又平面FAD 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝t2t 2＋4×1＝12，所以t ＝2，即EA 的长度为 2.(12分)20. 解：(1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23，b 2＝a 2－c 2＝12－6＝6，(1分) ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(3分) (2)证明：由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切，∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0，同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，(5分)∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ＞0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.(7分)∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12.(8分)(3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.(9分)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎨⎧y 1＝k 1x 1x 2112＋y 216＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝121＋2k 21y21＝12k 211＋2k 21，∴x 21＋y 21＝12(1＋k 21)1＋2k 21，同理，可得x 22＋y 22＝12(1＋k 22)1＋2k 22.(10分)由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12(1＋k 22)1＋2k 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18.综上：|OP |2＋|OQ |2＝18.(12分)21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x ＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－1＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，所以f (x )＝ln x －x 2＋x ＋2，此时，f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x，(2分) 由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，f ′(x )＜0得x ＞1，所以函数f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(4分)(2)证明：不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1f (x )＜2e x 等价于f (x )＜2e x12x 2＋x ＋1，(5分)由(1)f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f (x )max ＝f (1)＝2，所以f (x )≤2 ①，(6分)令g (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1(x ＞0)，所以g ′(x )＝e x －x －1，(g ′(x ))′＝e x －1，所以，当x ＞0时，(g ′(x ))′＞0，所以g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＞g ′(0)＝0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )＞g (0)＝0，即e x －⎝⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1＞0，(10分)因为x ＞0，所以e x 12x 2＋x ＋1＞1，∴2e x12x 2＋x ＋1＞2≥f (x )．(11分)所以，x ＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1f (x )＜2e x ，(12分)．22．解：(1)设曲线C 1上一点P (x 1，y 1)与曲线C 2上一点Q (x ，y )，由题知：⎩⎨⎧x ＝x 1y ＝y 12，(2分)所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(4分)(2)由题知可得：直线l 的直角坐标方程为：3x ＋2y ＋m ＝0.(5分)设曲线C 2上一点B (2cos θ，sin θ)到直线l 的距离为d ，则d ＝|23cos θ＋2sin θ＋m |7＝|4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋m |7，(7分)当m ＞0时，d max ＝4＋m7＝27，解得：m ＝10，当m ＜0时，d max＝4－m 7＝27，解得：m ＝－10，综上所述：m ＝±10.(10分)23．解：(1)原不等式为：|2x ＋3|＋|2x －1|≤5，当x ≤－32时，原不等式可转化为－4x －2≤5，即－74≤x ≤－32，(2分)当－32＜x ＜12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴－32＜x ＜12.(3分)当x ≥12时，原不等式可转化为4x ＋2≤5，即12≤x ≤34，(4分)∴原不等式的解集为{x |－74≤x ≤34}(5分)(2)由已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －2，x ≤－324，－32＜x ＜124x ＋2，x ≥12，作出图象如图，由图象可得函数y ＝f (x )的最小值为4，(8分)∴|m －1|＞4，解得m ＞5或m ＜－3.(10分)。

河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·3·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3．若{}na 是等差数列，首项10,a>201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0nS>成立的最大正整数n 是（ ） A ．2019 B ．2019 C ．4022D ．4023·4·4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可 以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续 7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤5.在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D 与平面A1BC1相交于点E ，则点E 为△A1BC1的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心6.设yx ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613B ．365C ．651·5·D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ） A ．115,106π- B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π-9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x=的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( ) A.)0,(-∞ B. ()+∞,0 C.)1,(-∞ D. ()+∞,1·6·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A.x23＋y24＝1(y≠0)B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632xf x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ）A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。

河北省衡水中学2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( ) A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++=B.22220y x y +-+=C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面，则sin sin b cB C++的值为_______________. 14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA二、填空题13.2 14. 16.4 三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=， 解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n nn S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-② 由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+. 20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =， 因为原点到直线:1x yAB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+， 所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时， ()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。

衡水中学2019届高三5月全真模拟试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数=所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，先求出，可得结果.【详解】所以故选C【点睛】本题主要考查了向量的运算，属于基础题.4.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用是单调递减的，得出；再利用在是单调递增的，得出求得答案. 【详解】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，，所以综上，故选A【点睛】本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键.5.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】【分析】先根据题目已知利用公式求出公差，，再利用求和公式得出结果.【详解】因为是等差数列，所以，所以公差，根据求和公式故选B【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A. 30种B. 50种C. 60种D. 90种【答案】B【解析】【分析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有所以共有种故选B【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】【分析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可得结果.【详解】当输入x的值为4时，第一次不满足，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足，故输出则-1故选D【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.8.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设出切点，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得所以点P因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A【点睛】本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D:，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线时，周长最小即解得故离心率故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.11.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，根据等比中项得出，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项代入用基本不等式求最值.【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以公比首项所以，通项所以当且仅当所以当时，的最小值为8故选C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.12.中，，，，中，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率由两直线的夹角公式可得：化简整理的可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，代入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即故答案为3【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．【答案】乙【解析】【分析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，，，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据x的取值，求得值域；（2）根据第一问求得角A，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.【详解】（1）∵，∴∴∴函数的值域为．（2）∵∴∵，∴，∴，即由正弦定理，，∴∴，，∴∴【点睛】本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题.18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成列联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（1）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为.（2）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可. 【详解】（1）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心平面, 平面，,即点为线段上靠近点的三等分点（2）等边中，，，，交线为，如图以为原点建立空间直角坐标系点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量，则即，取，则又平面，,则,又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题.20.已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意设，，再表示出得出.然后求得结果.(2) 由题求出直线的方程为：，直线的方程为：，然后分别与曲线联立，求得点E、F的纵坐标，然后再代入面积公式表示出再利用函数的单调性求得范围.【详解】（1）设，则，因为，则所以，整理得.所以，当时，曲线的方程为.（2）设. 由题意知，直线的方程为：，直线的方程为：.由（Ⅰ）知，曲线的方程为，联立，消去，得，得联立，消去，得，得设则在上递增又，的取值范围为【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题.21.已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a的取值.【详解】（1）当时，令解得（2）设，令，，，设，，由得，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，此时在当时，关于的方程有且只有一个实数解.②当，即时，，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.故当时，的方程有两个解为和综上所述：当时的方程有且只有一个实数解【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题.如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式性质，解出a的值即可；（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得再利用柯西不等式，得出结果.【详解】（1）因为函数恒成立，解得；（2）由第一问可知，即由柯西不等式可得：化简：即当且紧当：时取等号，故最小值为【点睛】本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.。

圆满word版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学绝密★启用前河北衡水中学2019 届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷 4 页， 23 小题，满分150 分。

考试时间120 分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应地址。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔录签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．选择题：本题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题给出的选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．复数z( 3 4i)i 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U R ， M { x | x22x} ，则 e U MA ．{ x |2 x 0}B．{ x |2 x0}C．{ x | x2或 x 0}D．{ x | x2或 x0}3．某所高中 2018 年高考考生人数是 2015 年考生人数的 1.5 倍．为了更好的比较该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考各层次的达线率，获取以下柱状图则以下结论正确的选项是A．与 2015 年比较， 2018 年一本达线人数减少B．与 2015 年比较， 2018 年二本达线人数增加了0.5 倍C．与 2015 年比较， 2018 年艺体达线人数不变D．与 2015 年比较， 2018 年未达线人数有所增加4．已知等差数列{ a n}的公差为 2，前 n 项和为S n，且S10 100 ，则 a7A ．11 B． 12 C． 13 D． 145．已知f ( x)是定义在R上的奇函数，若x 0 时， f ( x) x ln x ，则 x 0 时， f ( x)A ．x ln x B．xln( x) C．x ln x D．x ln( x)6．已知椭圆C ： x2 y 2 和直线l：xy 1 ，若过椭圆C的左焦点和下极点的直线与直a 2 b21(a b 0)4 3线 l 平行，则椭圆 C 的离心率为理科数学试题第1页 ( 共 4 页 )圆满word 版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学A ．4B ．3C ．3D ．15 5 4uuuruuur uuur57．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，且 AE2EO，则EDA ． 1 uuur 2 uuurADAB3 3B ． 2 uuur 1 uuurADAB33C ． 2 uuur 1 uuurAD AB3 3D ． 1 uuur 2 uuurAD AB3 38．某几何体的三视图以以下列图，则此几何体 A ．有四个两两全等的面B ．有两个互相全等的面C ．只有一对互相全等的面D ．全部面都不全等9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大体在公元 222 年，赵爽为《周髀 算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得 到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成） ．类 比“赵爽弦图” ，可近似的构造以以下列图的图形，它是由3 个全等的三角形与 中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设DF 2 AF 2 ，若在 大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是A ．4B ． 2 13C ．9D ． 3 131313262610．已知函数 f ( x)e x, x 0（ e 为自然对数的底数） ，若关于 x 的方程 f (x) a 0 有两个不等的实根，ln x, x 0则 a 的取值范围是A ． a1B ． 1 a 1C ． 0 a 1D ． a 111．已知双曲线x 2y 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点分别为 F 1, F 2 ，过 F 1 作圆 x 2 y 2 a 2 的切线，交双 a 2b 2曲线的右支于点 M ，若 F 1MF 2 45 ，则双曲线的渐近线方程为A ． y 2xB ． y3xC ． yxD ． y2x12．如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D1中，点E, F分别是棱BB 1,CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过E, F , O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有A1的部分为几何体V1，不含A1的部分为几何体 V2 ，已知M 为几何体V 2 中（内部与表面）的任意一点，设1 1 1 1 1，则 sin 的最AM 与平面 A B C D 所成的角为大值为2 A ． 22 5B ．26C ．26D ．二．填空题：本题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．理科数学试题 第 2页 ( 共 4 页)圆满word 版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学x y 1 013．已知实数x, y满足拘束条件 2 x y 4 0 ，则 z x2 y 的最小值为 ________．y 014 ．已知数列 { a } ，若数列 {3 n 1 a } 的前 n 项和T n 1 6 n1，则 a．n n55 ________515 ．由数字 0，1 组成的一串数字代码，其中恰好由 7 个 1， 3 个 0，则这样的不同样样数字代码共有 ______个． 16．已知函数 f ( x) sin( x) | x 2 | (| |) 的图像关于直线 x 2 对称，当 x [ 1,2] 时， f (x)的最大值为 ________． 32三．解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 ．（本小题 12 分）如图，在 ABC 中， P 是边 BC 上一点， APC 60 ， AB 2 3 ， AP PB 4 ．1 BP 的长；（ ）求（2）若 AC 5 3，求 cos ACP 的值．418．（本小题 12 分）在 ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， AB 2BC 2CD ，如图 1．以 DE 为轴将 ADE 翻折，使点 A 到达点 P 的地址，如图2．（ 1）证明：平面 BCP平面 CEP ；（ 2）若平面 DEP 平面 BCED ，求直线 DP 与平面 BCP 所成角的正弦值．19．（本小题 12 分）某高校为了对 2018 年录取的大一理工科再生有针对性地进行授课，从大一理工科再生中随机抽取 40 名， 对他们 2018 年高考的数学分数进行剖析，研究发现这 40 名再生的数学分数 x 在 [100,150)内，且其频率 y满足 y10an（其中 10n x 10(n 1) ， n N）20（ 1）求 a 的值；（ 2）请画出这 40 名再生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这 40 名再生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）理科数学试题 第3页 ( 共 4 页 )（ 3）将此样本的频率估计为整体的太绿，随机检查 4 名该校的大一理工科再生，记检查的 4 名再生中“高考数学分数不低于130 分”的人数为随机变量，求的数学希望．20 ．（本小题 12 分）已知抛物线 E ：x2 2 py( p 0) 的焦点为F， A(2, y0 ) 是E上一点，且 | AF | 2 ．（1）求E的方程；（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y x 3 交于点 P ，过点 P 作x轴的垂线交 E 于点M ，求证：直线BM 过定点．21．（本小题 12 分）已知函数 f (x) e ax x 1(a R) ．（1）当a 1时，求证：f ( x) 0；（2）议论函数f ( x)的零点个数．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，若是多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑．22．[选修 4 —4：坐标系与参数方程 ] （本小题 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为x2 2t2sin 2a cos (a 0)；直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），直线l与曲线C分别交于2y tM , N 两点．2（ 1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（ 2）若点P的极坐标为(2, )，| PM | | PN | 5 2 ，求a的值．23．[选修 4—5：不等式选讲 ]（本小题 10 分）已知函数 f (x) | x 2 | ．（ 1）求不等式 f (x 1) xf ( x 3) 的解集；（ 2）若函数g ( x) log2 [ f (x 3) f ( x) 2a] 的值域为R，求实数a的取值范围．理科数学试题第 4页 ( 共 4 页)理科数学试题第5页 ( 共 4 页 )理科数学试题第 6页 ( 共 4 页)理科数学试题第7页 ( 共 4 页 )理科数学试题第 8页 ( 共 4 页)。