2019年陕西省高考理科数学模拟试题与答案(一)

2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A．6 B．12 C．24 D．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF 与C1E所成角的余弦值为（）9．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a n＝34，a2•a n﹣1＝64，且前n项和S n＝62，则项数n等于（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A．B．（2，+∞）11．（5分）设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a、b，若a+b≥0，则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥012．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC 与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．【分析】运用向量模长的计算可得结果．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．【点评】本题考查向量模长的计算．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或【分析】由α、β都是锐角，且cosα值小于，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A．6 B．12 C．24 D．48【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n＝3，S＝3×sin120°＝，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S＝6×sin60°＝，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S＝×12×sin30°＝3，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF 与C1E所成角的余弦值为（）【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF与C1E所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，则A（0，0，0），F（2，1，2），C1（2，2，2），E（2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF与C1E所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AF与C1E所成角的余弦值为故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a n＝34，a2•a n﹣1＝64，且前n项和S n＝62，则项数n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据等比数列的性质得到a2•a n﹣1＝a1•a n＝64，与已知的a1+a n＝34联立，即可求出a1与a n的值，然后利用等比数列的前n项和公式表示出S n，把求出的a1与a n的值代入即可求出公比q的值，根据a n的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n的值．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，则a2•a n﹣1＝a1•a n＝64①，又a1+a n＝34②，联立①②，解得：a1＝2，a n＝32或a1＝32，a n＝2，当a1＝2，a n＝32时，s n＝＝＝＝62，解得q＝2，所以a n＝2×2n﹣1＝32，此时n＝5；同理可得a1＝32，a n＝2，也有n＝5．则项数n等于5故选：B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．10．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A．B．（2，+∞）【分析】由题意知不等式即f（log4x）＞，即 log4x＞，或 log4x＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【解答】解：由题意知不等式f（log4x）＞2，即f（log4x）＞，又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞＝log42，或 log4x＜﹣＝，∴0＜x＜，或x＞2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．11．（5分）设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a、b，若a+b≥0，则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥0【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R，＝＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥﹣b，∴f（a）≥f（﹣b），得f（a）≥﹣f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【分析】设|AF1|＝t，|AB|＝3x，根据双曲线的定义算出t＝3a，x＝a，Rt△ABF2中算出 cos∠BAF2＝＝，可得cos∠F2AF1＝﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，设|AF1|＝t，|AB|＝3x，则|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，即5x﹣t＝（3x+t）﹣4x＝2a，解得t＝3a，x＝a，即|AF1|＝3a，|AF2|＝5a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2＝＝，可得cos∠F2AF1＝﹣，△F2AF1中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1＝9a2+25a2﹣2×3a×5a×（﹣）＝52a2，可得|F1F2|＝2a，即c＝a，因此，该双曲线的离心率e＝＝．故选：A．【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【解答】解：根据正弦定理：由a2sin C＝4sin A，可得：ac＝4，由于（a+c）2＝12+b2，可得：a2+c2﹣b2＝4，可得：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t ＜3 ．【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y＝1，最后代入面积公式即可得解．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到λ、μ，y的关系式，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得＝＝（﹣），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2），由a n＝S n﹣S n﹣1＝（﹣）（+），可得﹣＝1，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos B＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30°）＝，结合范围A+30°∈（30°，150°），可求A＝30°，由正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得： cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2＝0，点O到直线AB的距离为．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为，由此能证明点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB的面积S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，c＝，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1＝x2，y1＝﹣y2，∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴，又点A在椭圆C上，解得|x1|＝|y1|＝．此时点O到直线AB的距离．（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，∴＝x1x2+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，∴（1+k2）•，整理，得5m2＝4（k2+1），∴点O到直线AB的距离＝，综上所述，点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，当k0≠0时，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB的面积S＝＝2，令1+＝t，t＞1，则S＝2＝2，令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1）∴4＜g（t），∴，当k0＝0时，解得S＝1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【分析】（1）取AP中点F，连接DM，BM，由已知可证PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM＝M，可得PA⊥平面DMB，因为BD⊂平面DMB，可证PA⊥BD；（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形，求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC与平面PCB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D﹣PC﹣B的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴PA⊥DM，PA⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴PA⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，令y1＝1，得，∴＝（，1，），设平面PCB的法向量，由，得，令y2＝1，得，，∴＝（，1，），∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2．（1）已知函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调，求实数a 的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+，求得2+ 的最大值，可得a 的范围．（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．【解答】解：（1）∵函数f （x ）＝x 2﹣2，函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调， ∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+， 而m （x ）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m （0）＝0，∴a ≥0． （2）∵函数＝ln （1+x 2）﹣（x 2﹣2）﹣k ＝ln （1+x 2）﹣x 2+1﹣k 的定义域为R ， h ′（x）＝﹣x ﹣0＝，令h ′（x ）＝0，求得x ＝0，或x ＝1 或x ＝﹣1， 列表：当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点；当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k ＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点．【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，由此求出曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，求出P（2，0），从而得到圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝，再由Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，能求出PQ的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，∴曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，∵直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，∴P（2，0），圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝＝，∵Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，∴PQ的最大值为．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．【分析】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5，且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝5 求得a的值．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，函数f（x）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．。

2019届陕西省四校联考高三高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先化简集合A，B，然后求二者并集即可.【详解】，，则．故应选D．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．已知复数（i是虚数单位），则z的实部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3．函数的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，，排除A；当时，，排除D．故应选C．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4．已知向量，，则a与b的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】设向量a与向量b的夹角为，则，所以．故应选A．【点睛】本题考查了利用平面向量的坐标运算求向量夹角的应用问题，是基础题目．5．直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【解析】利用圆心到直线的距离与半径比较，判断二者位置关系.【详解】将圆的方程化为标准方程得，∴圆心坐标为，半径，∵圆心到直线的距离，则圆与直线的位置关系是相切．故应选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．6．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则角B＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由，可得，根据余弦定理得，∵，∴．故应选B．【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.7．执行如图所示程序框图，输出的S＝（）A．25 B．9 C．17 D．20【答案】C【解析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【详解】按照程序框图依次执行为，，；，，；，，，退出循环，输出．故应选C．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出点数之和为大于8的偶数有4种，由此能求出出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率【详解】将先后两次的点数记为有序数实数对，则共有个基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有，，，共4种，则满足条件的概率为．【点睛】本题考查了列举法求概率，求此类题目的基本思路是:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式求概率.9．长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得异面直线与所成的角即为与所成的角．【详解】∵，∴异面直线与所成的角即为与所成的角．在中，，，，∴．故应选A．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．10．设函数，则（）A．在单调递增，其图象关于直线对称B．在单调递增，其图象关于直线对称C．在单调递减，其图象关于直线对称D．在单调递减，其图象关于直线对称【答案】D【解析】化简可得的表达式，进而明确单调性与对称性.【详解】因为．由于的对称轴为，所以的对称轴方程是，所以A，C错误；的单调递减区间为，即，函数在上单调递减，所以B错误，D正确．故应选D．【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.11．已知函数，且，则实数a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据表达式及，解得实数a的值【详解】由题意知，，又，则，又，解得．故选：B【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则（）A．4 B．C．2 D．3【答案】A【解析】a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长的定义,得， ,在△F中,根据余弦定理可得到与c1PF2的关系式,变形可得的值.【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，∴，，设，，则在中由余弦定理得，，∴化简得，该式可变成．故选A．【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解.二、填空题13．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为__________．【答案】【解析】求出导函数求出，从而利用点斜式得到切线的方程.【详解】∵，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故答案为：【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】-11【解析】画出可行域如图,平移动直线根据纵截距的变化情况得到最小值.【详解】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最小值，．故答案为：-11【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知，则__________．【答案】【解析】由已知得到，巧用“1”及弦化切得到所求的结果.【详解】由已知得，．故答案为：【点睛】1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2. 16．直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为__________．【答案】【解析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答题17．已知正项等比数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．【答案】（1）．（2）．【解析】(1)由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2)由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（，的值精确到）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？【答案】（1）见解析；（2）．（3）见解析．【解析】（1）根据表中数据即可得散点图；（2）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群．【详解】（1）（2），．∴．．∴回归直线方程为．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为，∵．∴收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19．已知抛物线过点．（1）求抛物线C的方程；（2）求过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】（1）．（2）见解析．【解析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，﹣1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为．（2）设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程得．所以，，．所以,所以，是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)根据线面垂直和面面垂直判定和性质,证得,通过三角形全等,证得,再根据线面垂直的判定定理,证得平面;(2) 建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC,∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．（3）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为钝角，，∴，故二面角的余弦值为．【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了线面垂直与面面垂直的判定与性质，考查了二面角的余弦值的求法；利用向量解几何题的一般方法是：建立空间直角坐标系，用坐标表示各点，把线段转化为用向量表示，然后通过向量的运算或证明去解决问题.21．已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒有成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）1 ；（2） .【解析】（1）求出函数的导数，根据导数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（2）要证，只需证明e x≥ln（x+m）+1成立即可，分情况讨论，采用分离参数法，构造新函数，利用导数求得符合条件的m的取值范围，进而问题得解.【详解】（1）当时，，则．令，得．当时，；当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，函数取得最小值，其值为．（2）由（1）得：恒成立．①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．设，则，在区间上，，是减函数，在区间上，，是增函数，即最小值为．于是当时，条件满足．②当时，，，即，条件不满足．综上所述，m的取值范围为．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，考查了用导数求解不等式成立时，参数的取值范围；用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题，一般采用参数分离法，构造新函数，然后对构造函数求导解答.22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（2）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23．已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2），，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】(1) 当a=1时，可得出f（x）=|x﹣1|+|x+2|，得到不等式|x﹣1|+|x+2|≤3，讨论x值，去绝对值号，即可解出该不等式；(2) 可得到f（x）=|x﹣a|+|x+2|≥|a+2|，从而由题意即可得出|a+2|≤3，解出a的取值范围即可．【详解】（1）当时，，①当时，，令，即，解得，②当时，，显然成立，所以，③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．（2）因为，因为，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范围为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）在复平面内，复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 4．（5分）（x2+x+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．35．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定8．（5分）已知函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A．0B．C．21D．429．（5分）△ABC中，BC＝2，AC＝3，，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A．B．2C．D．312．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g （b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为60°，，，则＝．14．（5分）设曲线y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，0）处的切线方程为y＝2x﹣4，则a ＝．15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为．16．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求b n的通项公式．18．（12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如表：（1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望．（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面P AB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）若E为P A中点，求二面角E﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+px﹣﹣2lnx．（1）若p＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系及参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （）＝．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵M＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}．又∵U＝R，M∪N＝{x|x＞﹣1}，∴∁U（M∪N）＝（﹣∞，﹣1]．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2＝﹣2i对应的向量为，则向量对应的复数为：﹣2i﹣（1﹣i）＝﹣1﹣i．故选：D．3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．4．（5分）（x2+x+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【解答】解：∵（x2+x+2）（﹣1）5＝（x2+x+2）（x﹣10﹣5x﹣8+10x﹣6﹣10x﹣4+5x﹣2﹣1），∴展开式的常数项是5﹣2＝3，故选：D．5．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：令函数＝0，则x＝0，或x＝，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由＝0，可排除D，故选：A．6．（5分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【解答】解：最前排甲，共有＝120种，最前只排乙，最后不能排甲，有＝96种，根据加法原理可得，共有120+96＝216种．故选：B．7．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则圆心C到直线的距离d＝＞1，变形可得：a2+b2＜1，即（a﹣0）2+（b﹣0）2＜1，则点P（b，a）一定在圆的内部；故选：C．8．（5分）已知函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A．0B．C．21D．42【解答】解：函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，可得y＝f（x）的图象关于x＝1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），可得a4+a18＝2，又{a n}是等差数列，所以a1+a21＝a4+a18＝2，可得数列的前25项和S21＝＝21，则{a n}的前21项之和为21．故选：C．9．（5分）△ABC中，BC＝2，AC＝3，，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵BC＝2，AC＝3，，∴由余弦定理可得：AB＝＝＝3，∵sin∠BCA＝＝，∴设△ABC外接圆的半径为R，可得：2R＝＝，解得：R＝，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝．故选：C．10．（5分）已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π【解答】解：∵A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成30°角则球的半径R＝＝故球的表面积S＝4×π×（）2＝π故选：D．11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：的右焦点F（c，0），B（0，2b），若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：＝3，可得2b2＝3ac，即2c2﹣2a2＝3ac，可得2e2﹣3e﹣2＝0，e＞1，解得e＝2．故选：B．12．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g （b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y＝e x及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝e x，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（）＝，g（b）＝0，∴．∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝e b+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为60°，，，则＝1．【解答】解：∵，，∴＝＝9，则＝1．故答案为：114．（5分）设曲线y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，0）处的切线方程为y＝2x﹣4，则a ＝3．【解答】解：y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：y′＝a﹣，在点（2，0）处的切线斜率为a﹣1＝2，解得a＝3，故答案为：3．15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为2．【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）＝sin（ax+b），则函数的周期相同，若a＝3，此时sin（3x﹣）＝sin（3x+b），此时b＝﹣+2π＝，若a＝﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）＝sin（﹣3x+b）＝﹣sin（3x﹣b）＝sin（3x﹣b+π），则﹣＝﹣b+π，则b＝，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故答案为：2．16．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为．【解答】解：∵F是抛物线y2＝x的焦点F（，0）准线方程x＝﹣设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|＝x1++x2+＝3解得x1+x2＝∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到准线的距离为+＝故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求b n的通项公式．【解答】（1）证明：由题意，∵S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．整理，化简得：．①当n＝1时，，解得：a1＝t．②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝＝，整理，化简得：a n＝ta n﹣1．∴{a n}成首项为t，公比为t的等比数列．（2）解：由（1）可知：∴＝．∵数列{b n}为等比数列，，∴∴＝．18．（12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如表：（1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望．（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）由公式：K2＝≈11.978＞10.828．∴有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．（2）随机变量X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布为：∴E（X）＝＝0.9．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面P AB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）若E为P A中点，求二面角E﹣BD﹣A的大小．【解答】（1）证明：∵△P AB是正三角形，∴PB＝AB＝2，又∵BC＝，PC＝，∴PB2+BC2＝PC2，∴BC⊥PB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB，又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面P AB．（2）取AB的中点H，连接PH，则PH⊥AB，∵平面ABCD⊥平面P AB，平面ABCD∩平面P AB＝AB，∴PH⊥平面ABCD，以H为原点，以HA，HP和AB过H的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），P（0，0，），D（1，，0），E（，0，），∴＝（，0，），＝（2，，0），设平面EBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，﹣，﹣），又＝（0，0，）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图形可知二面角E﹣BD﹣A为锐二面角，∴二面角E﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的短轴长为，离心率为，∴，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为+＝1，（2）当MN⊥x轴时，显然y0＝0．当MN与x轴不垂直时，由右焦点为（1，0），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2＝．则x3＝＝，y3＝k（x3﹣1）＝﹣．线段MN的垂直平分线方程为y+＝﹣（x﹣）．在上述方程中令x＝0，得y0＝＝．当k＜0时，4k+＜﹣4；当k＞0时，4k+≥4．所以﹣≤y0＜0，或0＜y0≤．综上：y0的取值范围是[﹣，]．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+px﹣﹣2lnx．（1）若p＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）F（x）＝f（x）﹣e x＝px﹣﹣2lnx．定义域为（0，+∞）．F′（x）＝p+﹣＝．∵函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，∴F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴px2﹣2x+p≥0，化为：p≥，对任意x＞0恒成立．设h（x）＝，（x＞0）．h′（x）＝，可得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴h（x）max＝h（1）＝1，∴p≥1．∴实数p的取值范围是[1，+∞）．（2）令u（x）＝f（x）﹣g（x）＝px﹣﹣2lnx．x∈[1，e]．∵在x∈[1，e]上至少存在一点x0，u（x0）＞0，⇔u（x）max＞0，x∈[1，e]．u′（x）＝p+﹣＝．①当p＝0时，u′（x）＝≥0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max＝u（e）＝﹣4＜0，舍去．②当p＜0时，u（x）＝p（x﹣）﹣﹣2lnx．∵x∈[1，e]，∴x﹣≥0，＞0，lnx＞0．∴u（x）＜0，舍去．③当p＞0时，u′（x）＝＞0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max＝u（e）＝pe﹣﹣4＞0，化为：p＞．综上可得：p∈．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系及参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （）＝．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝，∴ρcosθ﹣ρsinθ＝2，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴P（3cosα，sinα），∴|OP|＝＝，∴曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max＝3．（2）由（1）知直线x﹣y﹣2＝0与x轴交点E的坐标为（2，0），曲线C2的参数方程为，（t为参数），曲线C1的直角坐标方程为＝1，联立，得：﹣5＝0，∵||+||＝|t1|+|t2|，∴||+||＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）当a＝4时，f（x）＝|3x﹣4|．由|3x﹣4|＜3，解得．所以，不等式f（x）＜3的解集为．（Ⅱ）f（x）+g（x）＝|3x﹣a|+|x+1|＝＝（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）＝．综上，当时，f（x）+g（x）有最小值．故由题意得，解得a＜﹣6，或a＞0．所以，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．。

陕西省2019届高三第一次模拟联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将复数化成形式，再求模。

【详解】所以模是故选D.【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。

3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点.（1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D ．f （2﹣x 1）≤f （2﹣x 2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f （x ）为常数，可得当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，可得y=f （x ）关于x=1对称．当x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|可得f （x 1）＞f （x 2）．当x 1＜1，x 2＜1时，同理可得f （x 1）＞f （x 2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f （x ）=c ，则f'（x ）=0，此时（x ﹣1）f'（x ）≤0和y=f （x +1）为偶函数都成立，此时当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，因为函数y=f （x +1）为偶函数，所以y=f （x +1）=f （﹣x +1）， 即函数y=f （x ）关于x=1对称，所以f （2﹣x 1）=f （x 1），f （2﹣x 2）=f （x 2）． 当x ＞1时，f'（x ）≤0，此时函数y=f （x ）单调递减，当x ＜1时，f'（x ）≥0，此时函数y=f （x ）单调递增．若x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得x 1﹣1＜x 2﹣1，即1≤x 1＜x 2，所以f （x 1）＞f （x 2）．同理若x 1＜1，x 2＜1，由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得﹣（x 1﹣1）＜﹣（x 2﹣1），即x 2＜x 1＜1，所以f （x 1）＞f （x 2）．若x 1，x 2中一个大于1，一个小于1，不妨设x 1＜1，x 2≥1，则﹣（x 1﹣1）＜x 2﹣1， 可得1＜2﹣x 1＜x 2，所以f （2﹣x 1）＞f （x 2），即f （x 1）＞f （x 2）． 综上有f （x 1）＞f （x 2），即f （2﹣x 1）＞f （2﹣x 2）， 故选A ．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =.所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213n n a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213n n S n =⨯+⨯++-⋅L ， 所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭.从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=.19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG C F ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC .设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uuu r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uuu r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r，即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由1cos ,2m BG ==u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ===24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-. （2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立，设()()21321252x h x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<，∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π，故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。

咸阳市2019年高考模拟检测（一）数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数乘法运算，进行计算和化简，由此得出正确选项.【详解】依题意，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查，属于基础题.2.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解对数不等式求得集合的范围，再求得两个集合的交集.【详解】由得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查集合的交集的概念及运算，考查对数不等式的解法，属于基础题.3.设等差数列的前项和为，若，，则A. 20B. 23C. 24D. 28【答案】D【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.【详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.4.若向量，满足，，且，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，利用两个向量数量积为零列方程，解方程求得与两个向量的夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.【详解】由于，故，解得，所以与两个向量的夹角为，故选A.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直则数量积为零，考查向量数量积的运算，考查向量夹角的计算，属于基础题.如果两个向量垂直，那么它们的数量积.如果两个非零向量平行，则存在非零实数，使得.要计算两个向量所成的夹角，则先计算出两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.5.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得基本事件的总数，然后求得符合“甲，乙两位专家派遣至同一县区”事件的方法数，根据古典概型概率计算公式求得概率.【详解】个专家分为组，，方法数有种，再排到个县区，故基本事件的总数有种. “甲，乙两位专家派遣至同一县区”事件的方法数为种，故“甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率”为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查分组方法数的计算，属于基础题.6.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.7.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且一个焦点与抛物线的焦点重合，则的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线渐近线的倾斜角求得的值，根据抛物线的焦点求得双曲线的值，结合求得的值，进而求得双曲线方程.【详解】由于双曲线一条渐近线的倾斜角为，故，抛物线的焦点坐标为，故双曲线，由，解得，故双曲线方程为，故选C.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查抛物线的焦点，考查双曲线方程的求解，属于基础题.8.地铁某换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口.若同时开放如下表两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号①，②②，③③，④④，⑤①，⑤疏散乘客时间（）120 220 160 140 200则疏散乘客最慢的一个安全出口的编号是A. ⑤B. ④C. ③D. ②【答案】C【解析】【分析】设出个出口疏散的时间，利用表格所给数据列方程组，解方程组求得每个出口所用的时间，由此确定最慢的安全出口.【详解】设个出口的疏散时间分别为，依题意，，解得，故最慢的是出口，故选C.【点睛】本小题主要考查实际问题的理解，考查方程的思想，属于基础题.9.下面命题正确的是A. 若，则B. 命题“，”的否定是“，”C. 若向量，满足，则与的夹角为钝角D. “”是“”的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】对四个选项逐一分析，判断命题是否正确，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，当为负数时，不成立，故为假命题.对于B选项，特称命题的否定是全称命题，故B选项错误.对于C选项，当，两个向量可能反向，夹角为，不是钝角，故C选项错误.“”不能推出“”，“”则一定满足“”，故“”是“”的必要不充分条件，故D选项是真命题.故选D.【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查基本不等式、特称命题的否定、向量夹角、必要不充分条件等知识，属于基础题.10.已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数图象可得函数的周期为：，则函数的对称中心横坐标满足：，则函数的对称中心横坐标满足：，即：，令可得函数图象的一个对称中心是.本题选择C选项.点睛：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)11.已知矩形中，，，分别为，的中点，将四边形沿折起，使二面角的大小为，则过，，，，，六点的球的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到球心的位置，通过解直角三角形求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】画出图像如下图所示.其中分别为正方形和的中心，分别垂直于这两个平面.由于，所以，而，所以求的半径，所以球的表面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积有关的问题，考查寻找球心和求半径的方法，属于中档题.12.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的常数项为__________．【答案】.【解析】分析：首先利用二项式定理得到二项展开式的通项，令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中常数项的值.详解：的展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为，故答案是216.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点为求其展开式中的某一项，在求解的过程中，需要先求得展开式中的通项，之后令x的幂指数等于题中所要求的量，从而求得结果.14.我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某几何体与三视图（如图所示）所表示的几何体满足“幂势既同”，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】【分析】根据三视图，判断出几何体为圆柱挖去一个圆锥得到，并由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由圆柱挖掉一个圆锥所得，故体积为.所以“幂势既同”几何体的体积为.【点睛】本小题主要考查三视图求原图几何体的体积，考查中国古代数学文化，属于基础题.15.若实数，满足，若的最小值是-1，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】画出可行域，根据最小值为，确定目标函数对应的斜率的取值范围.【详解】画出可行域如下图所示，目标函数对应的直线为，当截距最大时，目标函数取得最小值，也即在处取得最小值.由图像可知，直线的斜率.因为当时，目标函数在点取得最小值.所以的的取值范围是.【点睛】本小题主要考查已知线性目标函数的最小值，求参数的取值范围.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；根据最值的情况，确定参数的值或者范围.属于中档题.16.正项等比数列中，存在两项，，使得，且，则的最小值是__________．【答案】4【解析】【分析】根据求得的值，由求得的一个等式，利用基本不等式求得的最小值.【详解】由于数列是正项等比数列，由得，解得（负根舍去）.由，得.故.即最小值为.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求解表达式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.题目涉及等比数列的问题，主要根据已知条件计算出的值，然后求得的一个等式，通过这个等式，利用基本不等式来求得最小值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，角，，所对的边分别为，，，，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简，求得，进而得到.（2）利用余弦定理求得的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】（1）在中，，由正弦定理得，，∴，又，，，得到，即.（2）由（1）知，，且，所以，∴.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数二倍角公式，属于中档题.18.为了调查某地区70岁以上老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了100位70岁以上老人，结果如下： 男 女 需要 18 5 不需要 3245（1）估计该地区70岁以上老人中，男、女需要志愿者提供帮助的比例各是多少？（2）能否有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区70岁以上老人中，需要志愿者提供帮助的老人的比例？说明理由.附：0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828，.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用题目所给表格中的数据，计算出男、女需要志愿者提供帮助的比例.（2）完成列联表，计算,故有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.（3）根据（2）老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，故按男、女分层抽样更好.【详解】（1）需要志愿者提供帮助的男的比例为，女的比例为.（2）完成列联表：男女合计需要18 5 23不需要32 45 77合计50 50 100.有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.（3）由（2）的结论知，该地区70岁以上的老人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区70岁以上男性老人与女性老人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区70岁以上老人中男、女的比例，再把老人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样办法更好.【点睛】本小题主要考查列联表分析及独立性检验，考查阅读理解能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，.（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得到，由此证得平面.(2)菱形的边长为，求得的长，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴为，的中点，又，，所以，，∵，且、平面，∴平面.（2）设菱形的边长为，∵，∴，∴.由（Ⅰ）知平面，∴与平面所成的角为，得到，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，得到，.设平面的法向量，平面的法向量.则，即，令，则，得到.同理可得，所以.因为二面角为钝二面角，则余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量计算二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得直线的的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程，解方程求得的值，由此求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆的方程，写出韦达定理，通过计算，证得.【详解】（1）由题意知：，，则直线方程为：，直线与圆相切，则，求得，所求椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，，联立.∴，，又，，，则.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查利用向量数量积为零证明两直线垂直.直线和圆相切，主要的解题方法就是圆心到直线的距离等于半径，通过这个距离，可求得一个位置的参数.两条直线垂直时，代表直线的方向向量的数量积为零.21.设函数.（1）当时，求的单调区间和极值；（2）若直线是曲线的切线，求的值.【答案】（1）极大值，无极小值；（2）【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域.对函数求导有，利用导数的正负求得函数的单调区间以及极值.（2）先求得函数的导数，设出切点的坐标，利用切点处的导数为，求得含有切点横坐标的表达式，并由此求得切点的横坐标，从而求得的值.【详解】的定义域为.（1）当时，，所以，令，得，因为，所以.与在区间上的变化情况如下：2+ 0 -↗↘所以的单调递增区间为，单调递减区间为.有极大值，无极小值.（2）因为，所以.设直线与曲线的切点为，所以，即. ①又因为，即，②由①②得.设，因为，所以在区间上单调递增，因为，即.所以.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数求有关函数图像切线的问题.属于中档题.求函数单调区间以及极值，要首先求得函数的定义域，对函数求导后利用导函数的正负，可确定单调区间，由单调区间可以求得极值点，进而求得极值.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）4【解析】 【分析】（1）利用消掉参数，求得曲线的直角坐标方程，在利用极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得曲线的极坐标.（2）设出两点的极坐标，写出三角形面积的表达式，并利用三角函数性质求得面积的最大值.【详解】（1）可知曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为，即.（2）由（1）不妨设，，，，所以面积的最大值为4.【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题.属于中档题.23.已知使不等式成立.（1）求满足条件的实数的集合；（2）若，，，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式求得的取值范围，由此求得的取值范围，根据存在性问题求得的取值范围.（2）由（1）知需要，利用基本不等式可求得的取值范围.【详解】（1）∵，∴.使不等式成立，则，（2），不等式恒成立，即∵，，所以，，当且仅当时取等号.则.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查存在性问题的求解策略，考查利用基本不等式求范围.属于中档题.。

榆林市2019届高考模拟第一次测试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则其虚部为（）A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】先化简复数z，即可得出虚部.【详解】,故选D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算，基础题.2.若集合，，则中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。

【详解】化简B集合，得到，因而，故选A。

【点睛】本道题考查了集合的交集运算性质，较容易。

3.函数的图像的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。

4.已知向量满足，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意明确•，进而求出的值.【详解】根据题意得，（）222﹣2•又（）22+2•2＝1+4+2• 6∴2•1，∴（）2＝1+4﹣1＝4，∴2．故选：A．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.5.若都是锐角，且，，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以，，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。

6.若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】试题分析：本题主要考察线性约束条件下的最值问题，的最大值就是直线纵截距的最小值，必在可行域的端点（即围成可行域的几条直线的交点）处取得，由不等式组可知端点为，直线过时所对应的纵截距依次为，所以的最大值为，故本题的正确选项为C.考点：线性约束条件.【方法点睛】求解关于满足线性约束条件的最值时，可以现根据约束条件在直角坐标系中画出可行域，再将所求函数写作一次函数（直线）的形式，将直线在可行域中进行平行（旋转），然后确定纵截距（斜率）的最值，由这些最值便可确定待求量的最值；也可直接求得可行域边界处的端点，即两条直线的交点，而直线的纵截距（斜率）的最值必定会在这些端点处取得，所以将这些端点值代入直线方程便可求得待求量的值，从中选择最大（小）值即可.7.《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边行的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率，如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的为（）（，，）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【详解】模拟执行程序，可得：n＝3，S3×sin120°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S6×sin60°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S12×sin30°＝3，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8.如图所示，在正方体中，若点为的中点，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合空间坐标系，计算各点坐标，结合空间向量数量积，计算夹角余弦值，即可。

延安市2019届高考模拟试题（一）数学（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由，，故选B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据指数函数的值域求出集合A，然后根据对数函数有意义求出集合B，最后根据交集的定义求出所求即可．【详解】∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}＝{x|2﹣x＜0}={x|x＜2}=（﹣∞，2），∴A∩B＝{x|0＜x＜2}=，故选A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合A，B是解决本题的关键，比较基础．3.即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是（）A. 这天的的中位数是B. 天中超过天空气质量为“优良”C. 从3月4日到9日，空气质量越来越好D. 这天的的平均值为【答案】C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.故选C．4.已知平面向量（2，3），（x，4），若⊥（），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】；∵；∴；解得．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．5.已知，表示两条不同的直线，表示平面.下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【详解】A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，，由线面垂直的性质定理可知，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟定理是解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，若输入的，分别为和，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】模拟程序运行，可得：，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，满足条件，退出循环，输出的值为故选7.函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据图象变换规律求得平移后的解析式设为g（x），再根据对称性求得结果．【详解】函数f（x）sin（2x+φ）（|φ|）的图象向左平移个单位后，得到g（x）sin（2xφ）（|φ|）的图象，由于平移后的图象关于原点对称，故g（0）sin（φ）＝0，∴φ=k（k）由|φ|得：φ，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数图象的平移变换，三角函数的对称性，属于基础题．8.已知为常数，，则的展开式中的常数项是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算定积分求出a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得常数项．【详解】a2xdx＝x21，∴（）6的通项公式为T r+1＝C6r＝（﹣1）r C6r，令0，解得r＝2，则二项展开式中的常数项为（﹣1）2C62＝15，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为：，即：，由直线与圆的位置关系可得：，整理可得：，则：，据此有：.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10.设函数满足，当，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足，当时，，所以，故选A．考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，本题的解答中函数满足，当时，，利用三角函数的诱导公式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．【此处有视频，请去附件查看】11.正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为，则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】四面体的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【详解】根据题意可知四面体的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD＝CD＝1，BC，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为 1由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为r．外接球的表面积为：4πr2＝7π故选：B．【点睛】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，属于中档题．12.已知函数，若且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质的可知：函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），可得，即，可得a，b的关系，利用基本不等式求解2a+b的取值范围.【详解】函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），则b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a．则2a+b，当且仅当b时取等号．满足b＞2，故选：A．【点睛】本题考查对数函数的性质和基本不等式的综合运用，考查了数形结合思想，属于中档题．二、填空题。

陕西省 2019 届高三第一次模拟联考理科数学试题一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 已知会合A={x|- 1≤x＜ 2} ，B={x|0 ≤x≤3} ，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】利用会合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，会合A={x|- 1≤x＜ 2} ，B={x|0 ≤x≤3} ，∴ A∩B={x|0 ≤x＜2} ．应选： B．【点睛】此题主要考察了会合的交集运算，此中解答中熟记会合的交集定义和正确运算是解答的重点，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题.2. 复数的模是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】先将复数化成形式，再求模。

【详解】所以模是应选 D.【点睛】此题考察复数的计算，解题的重点是将复数化成3. 若抛物线y2=2px 的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（形式，属于简单题。

）A. B. C. D.【答案】A【分析】【剖析】抛物线 y2=2px 的焦点坐标为（2， 0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px 的焦点坐标为（2， 0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2 ．应选： A．【点睛】此题主要考察了抛物线的标准方程及其性质，此中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的重点，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题.4. 一个空间几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】 B【分析】【剖析】依据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为 4 的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．应选： B．【点睛】此题主要考察了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，此中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的重点，侧重考察了推理与计算能力，属于基础题。

2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥012．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为．若a 2sin C ＝4sin A ，（a +c ）2＝12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．14．（5分）已知函数f （x ）＝﹣+4x ﹣3lnx 在[t ，t +1]上不单调，则t 的取值范围是 ．15．（5分）已知不等式e x ﹣1≥kx +lnx ，对于任意的x ∈（0，+∞）恒成立，则k 的最大值 16．（5分）已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ，若AP ＝λAB ，则当△ABC 与△APQ 的面积之比为时，实数λ的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＞0，前n 项和为S n ，若a n ＝+，（n ∈N *，n ≥2）．（l ）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{}前n 项和为T n ，求证18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且（2a ﹣c ）（a 2﹣b 2+c 2）＝2abc cos C ． （1）求角B 的大小；（2）若sin A +1﹣（cos C）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C ：的离心率e ＝，左顶点M 到直线＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ22．﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．【分析】运用向量模长的计算可得结果．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．【点评】本题考查向量模长的计算．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或【分析】由α、β都是锐角，且cosα值小于，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．48【分析】列出循环过程中s 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得：n ＝3，S ＝3×sin120°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝6，S ＝6×sin60°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝12，S ＝×12×sin30°＝3，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝24，S ＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056， 满足条件S ＞3，退出循环，输出n 的值为24． 故选：C ．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则A （0，0，0），F （2，1，2），C 1（2，2，2），E （2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF 与C 1E 所成角为θ，则cos θ＝＝＝，∴异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】根据等比数列的性质得到a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64，与已知的a 1+a n ＝34联立，即可求出a 1与a n 的值，然后利用等比数列的前n 项和公式表示出S n ，把求出的a 1与a n 的值代入即可求出公比q 的值，根据a n 的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n 的值．【解答】解：因为数列{a n }为等比数列，则a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64①， 又a 1+a n ＝34②，联立①②，解得：a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2，当a 1＝2，a n ＝32时，s n ＝＝＝＝62，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n ﹣1＝32，此时n ＝5； 同理可得a 1＝32，a n ＝2，也有n ＝5． 则项数n 等于5故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．10．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）【分析】由题意知不等式即f （log 4x ）＞，即 log 4x ＞，或 log 4x ＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【解答】解：由题意知 不等式f （log 4x ）＞2，即 f （log 4x ）＞，又偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f （x ）在[0，+∞）上是增函数，∴log 4x ＞＝log 42，或 log 4x ＜﹣＝，∴0＜x ＜，或 x ＞2， 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥0【分析】求解函数f （x ）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R ，＝＝﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增， 故函数f （x ）在R 上是单调递增， 那么：a +b ≥0，即a ≥﹣b ， ∴f （a ）≥f （﹣b ），得f （a ）≥﹣f （b ）， 可得：f （a ）+f （b ）≥0． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．12．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【分析】设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，根据双曲线的定义算出t ＝3a ，x ＝a ，Rt △ABF 2中算出 cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，在△F 2AF 1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 【解答】解：|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5， 设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，则|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ， 根据双曲线的定义，得|AF 2|﹣|AF 1|＝|BF 1|﹣|BF 2|＝2a ， 即5x ﹣t ＝（3x +t ）﹣4x ＝2a ， 解得t ＝3a ，x ＝a ， 即|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝5a ，∵|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，得△ABF 2是以B 为直角的Rt △，∴cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，△F 2AF 1中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2﹣2|AF 1|•|AF 2|cos ∠F 2AF 1＝9a 2+25a 2﹣2×3a ×5a ×（﹣）＝52a 2，可得|F 1F 2|＝2a ，即c ＝a ，因此，该双曲线的离心率e ＝＝．故选：A ．【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【解答】解：根据正弦定理：由a2sin C＝4sin A，可得：ac＝4，由于（a+c）2＝12+b2，可得：a2+c2﹣b2＝4，可得：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y＝1，最后代入面积公式即可得解．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到λ、μ，y的关系式，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．17．（12分）已知数列{a n}中，a1（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得＝＝（﹣），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．＝4，a n＞0，前n项和为S n，【解答】解：（1）数列{a n}中，a1若a n＝+，（n∈N*，n≥2），＝（﹣）（+），由a n＝S n﹣S n﹣1可得﹣＝1，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos B＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30°）＝，结合范围A+30°∈（30°，150°），可求A＝30°，由正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得： cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）设椭圆C ：的离心率e ＝，左顶点M 到直线＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 的斜率不存在时，x 1x 2+y 1y 2＝0，点O 到直线AB 的距离为．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O 到直线AB 的距离为，由此能证明点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB 的面积S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x 1＝x 2，y 1＝﹣y 2，∵以AB 为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x 1x 2+y 1y 2＝0，∴，又点A 在椭圆C 上，解得|x 1|＝|y 1|＝．此时点O 到直线AB 的距离．（2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，∵以AB 为直径的圆过坐标原点O ，∴OA ⊥OB ，∴＝x 1x 2+y 1y 2＝0，∴（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0，∴（1+k 2）•，整理，得5m 2＝4（k 2+1），∴点O 到直线AB 的距离＝，综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，当k 0≠0时，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB 的面积S ＝＝2，令1+＝t ，t ＞1，则S ＝2＝2，令g （t ）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t ＞1）∴4＜g （t ），∴，当k 0＝0时，解得S ＝1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB 的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．【分析】（1）取AP 中点F ，连接DM ，BM ，由已知可证PA ⊥DM ，PA ⊥BM ，又DM ∩BM ＝M ，可得PA ⊥平面DMB ，因为BD ⊂平面DMB ，可证PA ⊥BD ；（2）由已知可得△DAP 是等腰三角形，△ABP 是等边三角形，求出MD ⊥MB ，以MP ，MB ，MD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC 与平面PCB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴PA⊥DM，PA⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴PA⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，＝1，得，∴＝（，1，），令y1设平面PCB的法向量，由，得，＝1，得，，∴＝（，1，），令y2∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2．（1）已知函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调，求实数a 的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+，求得2+ 的最大值，可得a 的范围．（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．【解答】解：（1）∵函数f （x ）＝x 2﹣2，函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调， ∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+， 而m （x ）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m （0）＝0，∴a ≥0． （2）∵函数＝ln （1+x 2）﹣（x 2﹣2）﹣k ＝ln （1+x 2）﹣x 2+1﹣k 的定义域为R ， h ′（x）＝﹣x ﹣0＝，令h ′（x ）＝0，求得x ＝0，或x ＝1 或x ＝﹣1， 列表：﹣当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点；当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k ＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点．【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，由此求出曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，求出P（2，0），从而得到圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝，再由Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，能求出PQ的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，∴曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，∵直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，∴P（2，0），圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝＝，∵Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，∴PQ的最大值为．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．【分析】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5，且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝5 求得a的值．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，函数f（x）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．。

榆林市2019届高三第一模拟考试
数学（理）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数，则其虚部为（）
A. B. C. -2 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简复数z，即可得出虚部.
【详解】,故选D.
2.若集合，，则中元素的个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。

【详解】化简B集合，得到，因而，故选A。

3.函数的图像的大致形状是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得，又由可得函数图象选B。

4.已知向量满足，，，则（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意明确•，进而求出的值.
【详解】根据题意得，（）222﹣2•
又（）22+2•2＝1+4+2• 6
∴2•1，
∴（）2＝1+4﹣1＝4，
∴2．
故选：A．
5.若都是锐角，且，，则（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.
【详解】因为都是锐角，且，所以又
，所以，所以
，，故选A.。

陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣84．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不要条件6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A．8 B．9 C．10 D．77．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．28．在△ABC中，=5，=3，D是BC边中垂线上任意一点，则•的值是（）A．16 B．8 C．4 D．29．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．4 C．2 D．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．πD．3π11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[1，4] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]12．把曲线C：y=sin（﹣x）•cos（x+）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[π，π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是_______．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为_______cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）15．若实数x，y满足，则的最大值是_______．16．已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1=2a n+2n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，函数的图象过点．（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，求f（A）的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．20．过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x2（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：2x﹣1＜=2﹣2，得到x﹣1＜﹣2，解得：x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1），∵A=[﹣2，0），∴A∩B=[﹣2，﹣1），故选：C．2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用新定义直接化简=﹣1﹣i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案．【解答】解：根据定义=﹣zi﹣i=﹣1﹣i，则iz=1，∴．故选：C．3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列性质得a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，∴a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，∴a6（a2+2a6+a10）=a6×4a6=4．故选：A．4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出“不是整数”包含的基本事件个数，由此能求出“不是整数”的概率．【解答】解：∵在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，∴基本事件总数n=4×3=12，“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，∴“不是整数”的概率p==．故选：C．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥，利用向量共线定理即可得出m 的值．命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，可得m﹣1=1，x＞0，解得m．即可判断出结论．【解答】解：∵命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥，∴2（m+1）﹣m（m+1）=0，和化为（m+1）（m﹣2）=0，解得m=﹣1或2；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，∴m﹣1=1，x＞0，解得m=2．则命题p成立是命题q成立的必要不充分条件．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A．8 B．9 C．10 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得当k=8时，S=+++…+=，由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，从而可得输入的N为为8．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=1，S=0S=，满足条件k＜N，k=2，S=+，满足条件k＜N，k=3，S=++，…满足条件k＜N，k=8，S=+++…+=（1﹣）+（）+…（﹣）=1﹣=，由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，故输入的N为为8．故选：A．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出|MN|=（|AF|+|BF|）=|AB|．【解答】解：过A作AP⊥l于P，过B作BQ⊥l于Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|．∵M为AB的中点，∴|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|．∴=．故选：A．8．在△ABC中，=5，=3，D是BC边中垂线上任意一点，则•的值是（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设BC中点为M，利用表示出，，代入数量积公式计算．【解答】解：设BC中点为M，则．∴．∵DM⊥BC，∴．∴•=（）==（）•（）=（）=×（25﹣9）=8．故选：B．9．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．4 C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得F2（，0），F1（﹣，0），由余弦定理可得PF1•PF2=16，由S=PF1•PF2sin60°，即可求得△F1PF2的面积．【解答】解：由题意可得F2（，0），F1（﹣，0），在△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=16+4a2=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°=（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，即有PF1•PF2=16．可得S△=PF1•PF2sin60°=×16×=4．故选：B．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．πD．3π【考点】球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr2=4=3π．故选：D．11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[1，4] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]【考点】分段函数的应用．【分析】若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，数形结合可得答案．【解答】解：若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：∵f′（x）=，故当m∈（﹣∞，0]∪[1，4]时，两个函数图象有且只有一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，故选：D．12．把曲线C：y=sin（﹣x）•cos（x+）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[π，π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】运用二倍角的正弦公式和诱导公式，可得y=cos2x，再由平移和中心对称可得y=±sin2x，求得函数的导数，由有余弦函数的图象可得减区间，再由b为整数，即可得到b=1或2．【解答】解：y=sin（﹣x）•cos（x+）=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+）=cos2x，由题意可得曲线C′：y=cos（2x﹣2a），曲线C′关于点（0，0）中心对称，可得2a=kπ+，k∈N，即有y=±sin2x，由y=sin2x的导数为y′=cos2x，由cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+，2kπ+]．当x∈[π，π]（b为正整数），过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，即有y′＜0恒成立，可得[π，π]⊆[，]，即有b=1或2；由y=﹣sin2x的导数为y′=﹣cos2x，由﹣cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+，2kπ+]．当x∈[π，π]（b为正整数），过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，即有y′＜0恒成立，则[π，π]⊆[2kπ+，2kπ+]不恒成立．综上可得b=1或2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是1120．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=8，在二项式展开式的通项公式中，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数，展开式共有9项，故n=8．（x﹣）n即（x﹣）8，它的展开式的通项公式为T r+1==•（﹣2）r•x8﹣2r，令8﹣2r=0，求得r=4，则展开式中的常数项是•（﹣2）4=1120．故答案为：1120．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100 与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100 另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50故此四棱锥的表面积为cm2．故答案为：15．若实数x，y满足，则的最大值是2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出其最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），而的几何意义表示平面区域内的点到原点0的斜率，显然OA的斜率最大，故的最大值是2，故答案为：2．16．已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1=2a n+2n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=n•2n．【考点】数列递推式．【分析】a n+1=2a n+2n+1（n≥1），变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：a n+1=2a n+2n+1（n≥1），∴﹣=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n，a n=n•2n．故答案为：n•2n．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，函数的图象过点．（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，求f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由向量和三角函数公式可得f（x）=sin（2x﹣），由周期公式可得周期，解可得单调增区间；（2）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=，进而可得A的范围，由三角函数值域可得．【解答】解：（1）由题意可得，∵点在函数f（x）的图象上，∴，解得，∴f（x）=sin（2x﹣），∴，解可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调增区间为；（2）∵，∴ccosB+bcosC=2acosB，∴由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=∵B∈（0，π），∴，，∴，，∴，∴f（A）的取值范围是．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面垂直的性质定理即可证明DM⊥BM；（2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明（1）由底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，∴DC=2，D0=，则OA⊥DC，建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（3，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣，0），B（3，2，0），C（0，，0），∵M为PB的中点．∴M（，，），=（，2，），=（3，0，﹣3），=（0，2，0），则•=×3+2×0﹣×3=0，•=0，则PA⊥DM，PA⊥DC，∵CD∩DM=D，∴PA⊥平面DMC．（2）=（，0，），=（3，﹣，0），设平面AMC的法向量为=（x，y，z），则由•=0，•=0，得，令x=1，则y=，z=﹣1，则=（1，，﹣1），同理可得平面CDM的法向量为==（3，0，﹣3），则cos＜，＞===，即二面角D﹣MC﹣B的余弦值是．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）至多有2天空气质量超标的对立事件是3天空气质量都超标，由此利用对立事件概率计算公式能求出至多有2天空气质量超标的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设“至多有2天空气质量超标”为事件A，“3天空气质量都超标”为事件B，则P（B）=0，∴至多有2天空气质量超标的概率P（A）=1﹣P（B）=1．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：EX==2．20．过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为，确定几何量，从而可得椭圆的方程；（2）设A为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m2＜3k2+1，|PM|=||PN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．【解答】解：（1）∵△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为，∴a=，c=∴b=1，∴椭圆的方程为：=1；（2）设A（x A，y A）、M（x M，y M）、N（x N，y N），A为弦MN的中点，直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2﹣12（3k2+1）（m2﹣1）＞0，∴m2＜3k2+1，①由韦达定理，可得A（﹣，）∵|PM|=||PN|，∴AP⊥MN，∴∴2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2∵2m=3k2+1＞1，∴m＞∴＜m＜2．当k=0时，m=，也成立．综上可得m的范围是[，2）．21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x2（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（Ⅱ）问题转化为a＞lnx﹣ln或a＜lnx+ln恒成立①，设h（x）=lnx﹣ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是（﹣，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（﹣，）递增，在（，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（）=ln3﹣；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，⇔a＞lnx﹣ln或a＜lnx+ln恒成立①，设h（x）=lnx﹣ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln，由题意得：a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[1，2]恒成立，⇔a＞h（x）max或a＜g（x）min，∵h′（x）=＞0，g′（x）=＞0，∴h（x），g（x）在[1，2]递增，要使不等式①恒成立，当且仅当a＞h（2）或a＜g（1），即a＜ln或a＞ln．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）取BD的中点为O，连接OE，由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求EC的长．【解答】解：（1）证明：取BD的中点为O，连接OE，由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE，又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO，可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE，可得∠AEO=∠C=90°，则直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，在△AOE中，OA2=OE2+AE2，且即（r+2）2=r2+62，解得r=2，OA=4，由OA=2OE，可得∠A=30°，∠AOE=60°，可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=r，则EC=BE=•r=××2=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由得，两式平方作和可得直角坐标方程，由ρ=﹣4cosθ可得：ρ2=ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程，联立解得交点坐标．（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时，O到直线AB的距离为，即可得出．【解答】解：（1）由得两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0．①由ρ=﹣4cosθ⇒ρ2=ρcosθ，即x2+y2=﹣4x②②﹣①：x+y=0，代入曲线C1的方程得交点为（0，0）和（﹣2，2）．（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时，O到直线AB的距离为，∴△OAB的面积为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0可得不等式||x|﹣4|＜2，解此不等式可得解集；（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x ﹣4|+|x|恒成立，只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣4|＜2，∴﹣2＜|x|﹣4＜2，∴2＜|x|＜6，故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4，∴m的取值范围为m＜4．。

陕西省2019年高考理科数学模拟试题及答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}23,,40xA y y x RB x x ==∈=-≤,则 A.AB R = B.}2|{->=x x B AC.}22|{≤≤-=x x B AD.}20|{≤<=x x B A2．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i - 3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45 B ．45-C ．35D ．35-4. 已知,a b 为非零向量,则“0⋅>a b ”是“a 与b 夹角为锐角”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m= A.－2B.－1C. 1D.26．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是俯视图正视图A ．2B ．4C ．6D ．87．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC，1,AC BC AC BC PA ⊥===，表面积为 AB ．72πC ．5πD ．20π8．如果执行如右图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2) 和实数 a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则 A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B. 12(A ＋B )为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数 9. 已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5， 此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则A.()5,()3E X D X =>B. ()5,()3E X D X =<C.()5,()3E X D X <>D. ()5,()3E X D X <<10．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则双曲线C的离心率为 A ．2CD11.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是A.甲B.乙C.丙D.丁12. 设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若向量,a b 满足||||2a b ==,且()2a a b ⋅-=,则向量a 与b 的夹角为14．设双曲线()2222100x y a ,b a b-=>>的左、右顶点分别为A ,B ，点P 在双曲线上且异于A ,B 两点，O 为坐标原点．若直线PA 与PB 的斜率之积为79，则双曲线的离心率为________．15. 若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____________.16．函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos2x （π4≤x ≤π2）的值域为 . 三、解答题：本题共6小题，共70分。

榆林市2019届高考模拟第一次测试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则其虚部为（）A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】先化简复数z，即可得出虚部.【详解】,故选D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算，基础题.2.若集合，，则中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。

【详解】化简B集合，得到，因而，故选A。

【点睛】本道题考查了集合的交集运算性质，较容易。

3.函数的图像的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。

4.已知向量满足，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意明确•，进而求出的值.【详解】根据题意得，（）222﹣2•又（）22+2•2＝1+4+2• 6∴2•1，∴（）2＝1+4﹣1＝4，∴2．故选：A．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.5.若都是锐角，且，，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以，，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。

6.若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】试题分析：本题主要考察线性约束条件下的最值问题，的最大值就是直线纵截距的最小值，必在可行域的端点（即围成可行域的几条直线的交点）处取得，由不等式组可知端点为，直线过时所对应的纵截距依次为，所以的最大值为，故本题的正确选项为C.考点：线性约束条件.【方法点睛】求解关于满足线性约束条件的最值时，可以现根据约束条件在直角坐标系中画出可行域，再将所求函数写作一次函数（直线）的形式，将直线在可行域中进行平行（旋转），然后确定纵截距（斜率）的最值，由这些最值便可确定待求量的最值；也可直接求得可行域边界处的端点，即两条直线的交点，而直线的纵截距（斜率）的最值必定会在这些端点处取得，所以将这些端点值代入直线方程便可求得待求量的值，从中选择最大（小）值即可.7.《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边行的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率，如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的为（）（，，）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【详解】模拟执行程序，可得：n＝3，S3×sin120°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S6×sin60°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S12×sin30°＝3，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8.如图所示，在正方体中，若点为的中点，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合空间坐标系，计算各点坐标，结合空间向量数量积，计算夹角余弦值，即可。

2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n 为（ ）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥012．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC 与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．【分析】运用向量模长的计算可得结果．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．【点评】本题考查向量模长的计算．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或【分析】由α、β都是锐角，且cosα值小于，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n 为（ ）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．48【分析】列出循环过程中s 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得：n ＝3，S ＝3×sin120°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝6，S ＝6×sin60°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝12，S ＝×12×sin30°＝3，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝24，S ＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056， 满足条件S ＞3，退出循环，输出n 的值为24． 故选：C ．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则A （0，0，0），F （2，1，2），C 1（2，2，2），E （2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF 与C 1E 所成角为θ，则cos θ＝＝＝，∴异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】根据等比数列的性质得到a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64，与已知的a 1+a n ＝34联立，即可求出a 1与a n 的值，然后利用等比数列的前n 项和公式表示出S n ，把求出的a 1与a n 的值代入即可求出公比q 的值，根据a n 的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n 的值．【解答】解：因为数列{a n }为等比数列，则a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64①， 又a 1+a n ＝34②，联立①②，解得：a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2，当a 1＝2，a n ＝32时，s n ＝＝＝＝62，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n ﹣1＝32，此时n ＝5； 同理可得a 1＝32，a n ＝2，也有n ＝5． 则项数n 等于5 故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．10．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）【分析】由题意知不等式即f （log 4x ）＞，即 log 4x ＞，或 log 4x ＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【解答】解：由题意知 不等式f （log 4x ）＞2，即 f （log 4x ）＞，又偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f （x ）在[0，+∞）上是增函数，∴log 4x ＞＝log 42，或 log 4x ＜﹣＝，∴0＜x ＜，或 x ＞2， 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥0【分析】求解函数f （x ）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R ，＝＝﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增， 故函数f （x ）在R 上是单调递增， 那么：a +b ≥0，即a ≥﹣b ， ∴f （a ）≥f （﹣b ）， 得f （a ）≥﹣f （b ）， 可得：f （a ）+f （b ）≥0． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．12．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【分析】设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，根据双曲线的定义算出t ＝3a ，x ＝a ，Rt △ABF 2中算出 cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，在△F 2AF 1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 【解答】解：|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5， 设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，则|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ， 根据双曲线的定义，得|AF 2|﹣|AF 1|＝|BF 1|﹣|BF 2|＝2a ， 即5x ﹣t ＝（3x +t ）﹣4x ＝2a ， 解得t ＝3a ，x ＝a ， 即|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝5a ，∵|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，得△ABF 2是以B 为直角的Rt △，∴cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，△F 2AF 1中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2﹣2|AF 1|•|AF 2|cos ∠F 2AF 1＝9a 2+25a 2﹣2×3a ×5a ×（﹣）＝52a 2，可得|F 1F 2|＝2a ，即c ＝a ，因此，该双曲线的离心率e ＝＝．故选：A ．【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为．若a 2sin C ＝4sin A ，（a +c ）2＝12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为．【分析】由已知利用正弦定理可求ac 的值，可求a 2+c 2﹣b 2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 【解答】解：根据正弦定理：由a 2sin C ＝4sin A ，可得：ac ＝4， 由于（a +c ）2＝12+b 2，可得：a 2+c 2﹣b 2＝4，可得：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t ＜3 ．【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g （x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y＝1，最后代入面积公式即可得解．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到λ、μ，y的关系式，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得＝＝（﹣），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2），由a n＝S n﹣S n﹣1＝（﹣）（+），可得﹣＝1，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos B＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30°）＝，结合范围A+30°∈（30°，150°），可求A＝30°，由正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得： cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 的斜率不存在时，x 1x 2+y 1y 2＝0，点O 到直线AB 的距离为．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O 到直线AB 的距离为，由此能证明点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB 的面积S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x 1＝x 2，y 1＝﹣y 2，∵以AB 为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x 1x 2+y 1y 2＝0，∴，又点A 在椭圆C 上，解得|x 1|＝|y 1|＝．此时点O 到直线AB 的距离．（2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，∵以AB 为直径的圆过坐标原点O ，∴OA ⊥OB ，∴＝x 1x 2+y 1y 2＝0，∴（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0，∴（1+k 2）•，整理，得5m 2＝4（k 2+1），∴点O 到直线AB 的距离＝，综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，当k 0≠0时，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB 的面积S ＝＝2，令1+＝t ，t ＞1，则S ＝2＝2，令g （t ）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t ＞1）∴4＜g （t ），∴，当k 0＝0时，解得S ＝1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB 的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．【分析】（1）取AP 中点F ，连接DM ，BM ，由已知可证PA ⊥DM ，PA ⊥BM ，又DM ∩BM ＝M ，可得PA ⊥平面DMB ，因为BD ⊂平面DMB ，可证PA ⊥BD ；（2）由已知可得△DAP 是等腰三角形，△ABP 是等边三角形，求出MD ⊥MB ，以MP ，MB ，MD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC 与平面PCB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ， ∵DA ＝DP ，BA ＝BP ， ∴PA ⊥DM ，PA ⊥BM ， ∵DM ∩BM ＝M ， ∴PA ⊥平面DMB ． 又∵BD ⊂平面DMB ， ∴PA ⊥BD ；（2）解：∵DA ＝DP ，BA ＝BP ．DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°， ∴△DAP 是等腰三角形，△ABP 是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，＝1，得，∴＝（，1，），令y1设平面PCB的法向量，由，得，＝1，得，，∴＝（，1，），令y2∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0＜x＜1时，g′（x）＝2x+2+＞0恒成立，即a＞﹣2x2﹣2x＝﹣2+，求得2+的最大值，可得a的范围．（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．【解答】解：（1）∵函数f （x ）＝x 2﹣2，函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调， ∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+，而m （x ）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m （0）＝0，∴a ≥0．（2）∵函数＝ln （1+x 2）﹣（x 2﹣2）﹣k ＝ln （1+x 2）﹣x 2+1﹣k 的定义域为R ，h ′（x）＝﹣x ﹣0＝，令h ′（x ）＝0，求得x ＝0，或x ＝1 或x ＝﹣1，列表：当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点； 当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点； 当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k ＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点； 当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点．【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10分）已知曲线C 的参数方程为（α为参数），设直线l 的极坐标方程为4ρcos θ+3ρsin θ﹣8＝0．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线． （2）设直线1与x 轴的交点为P ，Q 为曲线C 上一动点，求PQ 的最大值．【分析】（1）曲线C 的参数方程消去参数，得到曲线C 的普通方程，由此求出曲线C 是圆心为（0，1），半径为r ＝1的圆．（2）直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，求出P（2，0），从而得到圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝，再由Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，能求出PQ的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，∴曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，∵直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，∴P（2，0），圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝＝，∵Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，∴PQ的最大值为．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．【分析】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5，且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝5 求得a的值．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，函数f（x）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．。

理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若（）与互为共轭复数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【详解】，又与互为共轭复数，，，则.故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础的计算题．2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【详解】∵集合，∴A＝{x|}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}，∴A∩B＝{x|}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．【详解】f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．4.已知向量，满足，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量点积运算得到，再得到.【详解】根据题意得又，故选:A．【点睛】这个题目考查了向量的点积运算以及向量的模长的计算，题目较为简单基础.5.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又由双曲线的渐近线互相垂直，所以，进而可求解双曲线的方程，得到答案。

【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。