2019届东莞市高三文科数学模拟试题(三)

2019年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（）A．1 B．16 C．8 D．47．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P 满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为．16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出是S（ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：K2=19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2019年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，∴A∩B={1，2，4}．故选：C．2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣c osα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（）A．1 B．16 C．8 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设m=2x+y，则得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线的截距最小，此时m最小，z也最小，由，解得，得A（1，1）此时m=2×1+1=3，z=22x+y=z=23=8，故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9，故选：B．8．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【解答】解：根据函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，可得，可得λ=﹣1，所以．把f（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin（x﹣）的图象，再向右平移，得到函数g（x）=sin[（x﹣）﹣]=sin（x﹣）的图象，即g（x）=sin（﹣），令=kπ+，求得x=2kπ+，k∈Z，故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=2kπ+，k∈Z．当k=0时，对称轴的方程为，故选：D．11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．D．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f（|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．14．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为．【解答】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其内部∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为P1===．故答案为：16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2①．=2a n+1﹣2②，则：S n+1=2a n，②﹣①得：a n+1即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n +1﹣2．﹣2﹣2﹣ (2)=2n +2﹣4﹣2n ．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元），空气质量指数API 为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的 经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的 经济损失为2000元； （1）试写出是S （ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附： K 2=【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A；由200＜S≤600，得100＜ω≤175，频数为33，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．【解答】解：（1）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF…（2分）在图1中，利用勾股定理，得EF==，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF…（4分）又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．…（6分）（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…（8分）设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得V A=V P﹣ABE，…（10分）﹣PBE即∴h=，即点A到平面PBE的距离为．…（14分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…（2分）因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…（5分）所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…（6分）所以．…（7分）同理．…（8分）所以．…（9分）又．…（10分）所以直线PQ的斜率为．…（11分）所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即，①…（5分）因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…（6分）同理由③得，⑤…（7分）由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…（8分）由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…（9分）⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…（10分）②﹣③得，得．…（11分）所以直线PQ的斜率为为定值．…（12分）解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．…（5分）因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即=，…（6分）化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）…（7分）由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，…（8分）代入（*）得，…（9分）整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…（10分）若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…（11分）若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=…（2分）当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；…（4分）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，要证明f（x）+e x＞x2+x+2，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，令g′（x）=e x﹣=0，得e x=，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e x0=，当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表g（x）min=g（x0）=e x0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2，因为x0＞0，且x0≠1，所以g（x）min＞2﹣2=0，因此不等式得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），转化为：x+y﹣4=0．曲线C：ρ=2．转化为：x2+y2=2x+2y，即：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（Ⅱ）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为标准式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则：圆心（1，1）到直线的距离d=，所以：曲线上的点到直线的最大距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【解答】解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣，所以﹣＜a≤0；②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得a＜，所以≤a＜；综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．（2）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．。

广东省东莞市2019届高三第二次调研考试文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求得集合A，再利用交集的定义和不等式的性质求解.【详解】集合，.故选A.【点睛】本题主要考查交集运算和一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用. 2.已知复数，其中i为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法运算求得复数z，再根据模的定义即可求得复数的模。

【详解】解：∴即故选：C．【点睛】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.有24名投资者想到某地投资，他们年龄的茎叶图如图所示，先将他们的年龄从小到大编号为号，再用系统抽样方法抽出6名投资者，邀请他们到实地进行考察其中年龄不超过55岁的人数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．【详解】解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，则需要抽取人，故选：B．【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．4.在矩形中，，以，为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的定义及性质，直接列出关系式求解双曲线的离心率即可．【详解】由题可知，，所以，即，所以此双曲线的离心率为.故选D.【点睛】本题考查双曲线的定义及性质的应用，考查了离心率的求法，考查计算能力．5.圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥的底面半径、母线长，结合圆锥表面积公式，即可求出答案.【详解】圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的底面半径，母线长；表面积故选C.【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥轴截面等知识，属于基础题.6.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率后求解切线方程．【详解】解：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：，曲线在点处的切线方程为：．故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．7.如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出．详解：∵在中，是边上的中线∴∵是边的中点∴∴∵∴故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数，则具有性质A. 周期为，最大值为1，图象关于直线对称，为奇函数B. 周期为，最大值为1，图象关于点对称，为奇函数C. 周期为，最大值为1，在上单调递减，为奇函数D. 周期为，最大值为1，在上单调递增，为奇函数【答案】D【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．【详解】解：函数的图象向右平移个单位后得到，函数，则函数的最小正周期为，函数的最大值为1，函数在上单调递增，并且为奇函数．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．9.已知一个四棱锥的正主视图和俯视图如图所示，其中，则该四棱锥的高的最大值为A. B. C. 4 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形得出平面平面ABCD，点P到AD的距离x最大时，四棱锥的体积最大，由此求出x的最大值以及四棱锥的高的最大值．【详解】解：如图所示，由题意知，平面平面ABCD，设点P到AD的距离为x，当x最大时，四棱锥的高最大，因为，所以点P的轨迹为一个椭圆，由椭圆的性质得，当时，x取得最大值，即该四棱锥的高的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了数形结合思想与转化思想的应用问题，是基础题．10.若的面积为，且为钝角，则的度数以及的取值范围为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可得，可求，进而可求B，然后由正弦定理可，，展开后利用正切函数的性质可求范围．【详解】解：由余弦定理可得，，，，，，由正弦定理可得，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．11.在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线与直线AB所成角的正弦值的最小值．【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，设平面的法向量y，，则，取，得，平面，，解得，，，设直线与直线AB所成角为，1，，，，，．直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选：B．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．12.设函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，为偶函数，再求得在上连续且单调递增，由，转化得，解不等式即可求出解集.【详解】为偶函数，当时，，，且均为增函数在上连续且单调递增，在上连续且单调递减，不等式等价于，解得，解集为故选D.【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性解不等式问题，考查学生转化思想和运算能力，有一定难度.已知函数的单调性和奇偶性，解形如的不等式的解法如下：奇偶性单调性简言之一句话，将函数值不等式问题转化为自变量不等式问题，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数在区间上的最大值为6，则_______.【答案】4【解析】分析：因为，所以设函数在区间上单调递增，则通过进行求解.详解：因为在区间上单调递增，所以，解得.点睛：本题考查对数函数的单调性和最值，属于基础题.14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．【答案】18【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．故答案为：18．【点睛】本题考查简单的线性规划，数形结合的解题思想方法，是中档题．15.若一条倾斜角为且经过原点的直线与圆交于A，B两点，则______．【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出直线的方程，分析圆的圆心坐标以及半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．【详解】解：根据题意，若直线的倾斜角为且经过原点，则其方程为，即，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，则；故答案为：2．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程，属于基础题．16.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足，，设．求，；判断数列是否为等比数列，并说明理由；求．【答案】（1），；（2）是等比数列，理由详见解析；（3）.【解析】【分析】直接利用赋值法求出数列的，项．利用定义进行证明数列为等比数列．利用和的结论，利用数列的前n项和公式的应用求出结果．【详解】解：数列满足，，当时，，解得：．当时，解得：．当时，，所以：．则数列为以2为首项，2为公比的等比数列．由和得：，所以：，，，．【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考查运算能力和转化能力，属于基础题型．18.在四棱锥中，，平面平面，.，是上一点.(1)证明：平面平面；(2)若是正三角形，且是中点，求三棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）推导出AB⊥AC，从而AB⊥平面PAC，由此能证明平面EAB⊥平面PAC；（2）推导出AB⊥平面PAC，三棱锥A﹣EBC的体积为V A﹣EBC=V B﹣EAC，由此能求出结果．解析：(1)证明：依题意得四边形是底角为的等腰梯形，∴，∵，∴，∴，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面.又平面，∴平面平面.(2)由(1)及已知得，在中，，，∴，且，又平面，∴是三棱锥的高.∵是中点，∴.∴三棱锥的体积为.19.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．【答案】（1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，,,因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是,只有语文一科为一等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为,共有个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率.20.已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点.(1)求点的坐标；(2)若直线与抛物线交于两点，的重心恰好为抛物线的焦点.求的面积.【答案】(1) 点坐标为，（2）【解析】【分析】设点的坐标，运用点到直线距离求出最小值时的结果设结合已知焦点是的重心计算出直线，求出点到直线的距离为高，从而计算出面积【详解】(1)设点的坐标为，则，所以，点到直线的距离：，得当且仅当时取最小值，此时点坐标为. (2)抛物线的焦点的坐标为，设线段的中点为，由三角形重心的性质知，又，所以，古得，即的坐标为，设，则，且，，以上两式相减得，所以，故直线的方程为，经检验，符合题意，即直线的方程为：，联立抛物线得，所以，且点到直线的距离为，所以的面积为.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，在计算过程中需要运用点到直线的距离公式计算点线距的最小值及三角形面积时的高，本题较为综合21.设函数,其中为自然对数的底数．（1）若,求的单调区间;（2）若,求证:无零点．【答案】（1）的单调递减区间为,单调递增区间为；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（2）分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求得函数的值域，从而证得结果.【详解】（1）若,则,∴．令,则,当时,,即单调递增,又,∴当时,单调递减,当时,单调递增．∴的单调递减区间为,单调递增区间为．（2）当时,，显然无零点．当时,(i)当时,，显然无零点．(ii)当时，易证，∴,∴．令，则，令，得，当时，；当时，，故，从而，显然无零点.综上,无零点．【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的值域证得函数没有零点，属于较难题目.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，圆C的标准方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求直线l和圆C的极坐标方程；若射线与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．【答案】（1）直线l的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为；（2）.【解析】【分析】直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将，代入，能求出直线l的极坐标方程由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程．设，，联立，得，从而，进而把代入，求出a的值即可．【详解】解：直线l的参数方程为为参数，在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为，将，代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为．圆C的标准方程为，圆C的极坐标方程为．在极坐标系中，由已知可设，，联立，得，．点M恰好为AB的中点，，即把代入，得，解得．【点睛】本题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，是中档题．23.已知.(1)当，时，求不等式的解集；(2)当，时，的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)将代入函数解析式，利用零点分段法，将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后求并集得到原不等式的解集；(2)结合的条件，将函数解析式化简，化为分段函数的形式，求得相关点的坐标，利用面积公式，得到参数所满足的不等关系式，从而求得结果.详解：(1)当时,.不等式等价于或或解得或，即.所以不等式的解集是.(2)由题设可得,所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，.所以三角形的面积为.由题设知,解得.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是需要明确采用零点分段法求解绝对值不等式，二是会应用题的条件，寻找参数所满足的对应的式子，最后求解即可得结果.。

2018-2019学年度第一学期期末调研测试高三数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元一次不等式求得的范围，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得.故.故选D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集等知识，属于基础题.2.已知复数（为虚数单位），则（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算化简为的形式，由此求得.【详解】依题意，，故，故选B.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的知识和运算，属于基础题.3.已知向量，，若，则实数的值为（）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，由，得，解得x=2，故选D.【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果=,=，则||的充要条件是.4.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据离心率得到，由此计算得，进而求得双曲线渐近线方程.【详解】由于双曲线离心率为，故，解得，故双曲线的渐近线方程为.所以选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.若，，，则的最大值为（）A. 25B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将等价变换后，利用基本不等式求得最大值.【详解】依题意，当且仅当时等号成立，故选D.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6.函数的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能在平面呢，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行与它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D 选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题.8.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】将转化为，由此判断出正确选项.【详解】由于，故需向左平移后得到的图像.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题.9.在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得b5＝2,再利用对数的运算性质即可得出．【详解】已知,由等比数列的性质可得，又等比数列各项为正数，b5＞0，可得b5＝2．则＝log2（b1b2•…•b9）＝log2＝9．故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设出点的坐标，代入，化简后求得取值范围.【详解】画出图像如下图所示，以分别为轴建立平面直角坐标系，故设，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为，当时取得最小值为，故的取值范围是.故选B.【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.由于题目所给几何体是等边三角形，所以可以通过建立平面直角坐标系的方法，写出各点的坐标，利用数量积的坐标表示求得数量积的表达式，然后利用二次函数的图像与性质求得最值也即求得取值范围.11.已知圆：与轴负半轴交于点，圆与直线：交于两点，那么在圆内随机取一点，则该点落在内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式求得，利用点到直线的距离求得到直线的距离，由此求得三角形的面积，根据几何概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径为，故，点到直线的距离为，故三角形的面积为.故所求的概率为，故选A.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查点到直线的距离公式，考查三角形的面积公式，属于中档题.有关直线和圆相交所得弦长问题，往往是通过计算圆心到直线的距离，然后通过弦长公式求解，其中是圆的半径，是圆心到直线的距离.12.设函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为_____．【答案】【解析】【分析】先求得曲线在点处切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程.【详解】，所以，且切线的斜率为，由点斜式得，即.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线的点斜式方程，属于基础题.要求曲线在某点处的切线方程，要先求得曲线在切点的斜率，斜率是利用导数求得.直线的点斜式方程为，其中为斜率，即.填空题，切线方程可写为一般式或者斜截式.14.实数，满足，且，则的最小值为_____．【答案】-11【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】画约束条件可行域如图：目标函数z＝3x﹣y可化为y＝3x﹣z，即斜率为3，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点C时，z最小由得C（﹣4，-1）∴目标函数z＝3x﹣y的最小值为z＝-12+1＝-11．故答案为：-11【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为2的等边三角形，则球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据已知条件是球的直径，所以的中点为球心，根据直径多对的圆周角为直角，在等腰直角三角形中求得直径的长，进而求得球的表面积.【详解】由于是球的直径，故的中点为球心.由于直径所对的圆周角是直角，且是有一条公共边的等边三角形，故三角形是等腰直角三角形，故，所以求的表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积计算问题，关键是找到球心和求出球的半径，属于基础题. 16.如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边.则四边形的面积最大值为_____．【答案】【解析】 【分析】 设，利用表示出四边形面积，并根据三角函数的性质求得面积的最大值.【详解】设设，由余弦定理得，所以四边形的面积，故当，时，面积取得最大值为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查辅助角公式以及三角函数求最值的方法，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的首项，且，10，构成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）因为，10，构成等差数列，所以，又因为数列为等比数列，，设其公比为，那么，解得，所以；（2）因为，所以，【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和，考查裂项求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分.为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为，，，，，，，，九组，整理得到如图频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）从当天购物数额在，的顾客中按分层抽样的方式抽取6人.那么，从这6人中随机抽取2人，则这2人积分之和不少于240分的概率.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用小长方形面积之和为列方程，解方程求得的值.（2）利用列举法列出所有的基本事件，求得“积分之和不少于分”的事件数，根据古典概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】（1）各组的频率分别为0.04，0.06，，，，0.2，，0.08，0.02∴化简得，解得，（2）按分层抽样的方法，在内应抽取4人，记为每人的积分是110分；在内应抽取2人，记为，每人的积分是130分；从6人中随机抽取2人，有共15种方法.所以，从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的有共9种方法.设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分为事件，则.所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查利用列举法求解古典概型问题，属于中档题. 19.如图，四棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，.（1）求证：；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见证明；（2）1【解析】【分析】（1）通过证明，证得平面，由此证得.(2)首先证得平面，其次证得平面，由此得到，从而得到四边形是直角梯形，并求得面积，利用椎体体积公式计算得四棱锥的体积.【详解】（1）因为平面，平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）因为，，且，平面，平面，所以平面.①因为平面，平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面②由①②得，因为，所以四边形是直角梯形，因为，，所以又因为平面，所以【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四棱锥体积的计算，属于中档题.20.已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求得，根据焦点求得，结合求得，由此得到椭圆的标准方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式及韦达定理，利用列出方程，并由此化简直线方程，得到直线所过定点.当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，证得直线过定点.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，∴∴∴所以，椭圆的标准方程为.（2）①直线斜率存在，设直线：，，，联立方程消去得，，，，又，由得，即，，∴，∴，∴.解得：，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，直线过定点.②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线：，：，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，也过定点综上所述，直线恒过定点【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数关系以及判别式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.直线和圆锥曲线相交有关的题目，直线的斜率是否存在，这是首先要考虑的，要分为斜率存在和不存在两种情况讨论.21.已知函数，（且为常数）.（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）当时，先求得函数的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.（2）构造函数，将原不等式恒成立问题，转化为求解.利用的导数，研究函数的单调性，求得的最小值，令这个最小大于或等于零，求得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，当时，的导数.令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值.（2）令那么，对于任意都有，只须即可，，且记由已知，所以对于任意，都有恒成立，又因为，所以在上单调递增，所以，，由，解得，所以，当时，对任意都有成立.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.解决恒成立问题，可以采用分离常数法，或者构造函数法，本题中构造出函数，将问题转化为的最小值为非负数求解.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）直线与曲线在第一象限内的交点为，过点的直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的斜率.【答案】(1) 的极坐标方程,曲线的普通方程 (2)-4【解析】【分析】（1）对于，根据圆心和半径，得出其极坐标方程，对于，利用消去参数，化简为直角坐标方程.（2）求出直线的参数方程，代入得到关于的一元二次方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义列方程，由此求得直线的斜率.【详解】（1）曲线的圆心极坐标为，半径为1，所以，其极坐标方程为.由题意得：，，曲线的普通方程.（2）当时，，，所以，于是直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入的普通方程，整理得关于的方程.①因为曲线截直线所得线段的中点在内，设对应的参数为，，则.由韦达定理得：，，.所以，直线的斜率为-4.【点睛】本小题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查参数方程化为直角坐标方程，考查直线的参数方程的几何意义，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2），使得，求的取值范围.【答案】(1) (2) 或.【解析】【分析】（1）利用零点分段法，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；（2）不等式有解，即,利用绝对值三角不等式可得f(x)最大值，从而得到a的范围.【详解】（1）当时，，令，①当时，，，矛盾.②当时，，，所以，.③当时，，，所以.综上所述，不等式的解集为.（2）由题意得：，有解，因为，，所以，，于是，或，所以，或.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查利用绝对值三角不等式求最值问题，属于基础题型.。

2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末]已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B =∅I ，则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分4．[2019·恩施质检]在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13 B ．59 C ．79 D ．89 5．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．5 6．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ） A ．π4 B ．π2 C ．3π4 D ．3π2 7．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ） A ． B ． 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是（ ）A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C，若2BC BF =，且21AF =+，则此抛物线的方程为（ ）A ．22y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．23y x =11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ） A ．9π2 B ．7π2 C ．5π2 D ．3π2 12．[2019·菏泽期末]如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '、DD '交于M ，N ，设BM x =，[]0,1x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''； ②当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[]0,1x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题的序号为（ ） A ．①④ B ．② C ．③ D ．③④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，13+=a b ，则=b _____． 14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________． 15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·哈三中]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，22a <，且2019n S =，则n 的最大值为___________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos 3sin c A a C +=．（1）求角A的大小；（2）若7a=，1b=，求ABC△的面积．18．（12分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形ABED中，AB DE∥，AB BE⊥，点C在AB上，且AB CD⊥，2AC BC CD===，现将ACD△沿CD折起，使点A到达点P的位置，且22PE=．（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求三棱锥P EBC-的体积．19．（12分）[2019·合肥质检]为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.751r≤≤，则认为y 与x线性相关性很强；0.30.75r≤<，则认为y与x线性相关性一般；0.25r≤，则认为y与x线性相关性较弱）；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）参考公式：()()()()2211nn ni ii ix x y yrx x y y==--=--∑∑∑，()2110niix x=-=∑，()211.3niiy y=-=∑13 3.6056，()()()121ˆni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-．20．（12分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C的方程为()222210x ya ba b+=>>，1F，2F为椭圆C的左右焦点，离心率2，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点1F，2F，求该平行四边形ABCD面积的最大值．21．（12分）[2019·豫西名校]已知函数()()2ln f x a x x ax a =+-∈R ．（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()2g x f x x =-在区间[]1,e 上的最小值()h a ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·哈三中]已知曲线1:33C x +=26:2x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程； （2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·江南十校]设函数()()lg 2121f x x x a =-++-． （1）当4a =时，求函数()f x 的定义域； （2）若函数()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围．2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或， {}1B x a x a =<<+；若A B =∅I ，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ．2．【答案】A【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-，∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ．3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．∴135012160d +=，解得119012d =-，∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分）．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈，区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ．5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a -=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-，∵直线1y x a =与2y x =-垂直，∴()121a ⨯-=-，即2a =，∴22215c e a +===．故选B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ． 7．【答案】A 【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=，∴()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C 【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ．9．【答案】C 【解析】由题意，n 的值为多项式的系数，由100，99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ． 10．【答案】A 【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点， 由抛物线的定义，BF BE =，21AF AD ==， ∵2BC =，∴2BC =，∴45DCA ∠=︒， ∴222AC ==+22211CF =+=， ∴222CF PF ==，即22p PF ==，∴抛物线的方程为22y x =，故选A ．11．【答案】D【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2，最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==，或()()122g x g x ==-（舍去）．故有()()122g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-，则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ．12．【答案】C【解析】①连结BD ，B D ''，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD B ''，∴平面MENF ⊥平面BDD B ''，∴①正确；②连结MN ，∵EF ⊥平面BDD B ''，∴EF MN ⊥，四边形MENF 的对角线EF 是固定的， ∴要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即12x =时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小，∴②正确；③∵EF MN ⊥，∴四边形MENF 是菱形，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由大变小，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由小变大，∴函数()L f x =不单调，∴③错误；④连结C E '，C M '，C N '，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C EF '为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥，∵三角形'C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面'C EF 的距离是个常数，∴四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数，∴④正确，∴四个命题中③假命题，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ， 又由13+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ， 变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1， 又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】12 【解析】设男学生人生为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，且x ，y ，*z ∈N ， 则2z x y z >>>，当1z =时，21x y >>>不成立；当2z =时，42x y >>>不成立； 当3z =时，63x y >>>，则5x =，4y =，此时该小组的人数最小为12． 15．【答案】3800 【解析】设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+， 甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域，由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2， 当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800． 16．【答案】63 【解析】数列{}n a n -是以1-为公比，以11a -为首项的等比数列， 数列{}n a n -的前n 项和为()()()()111112122n n n n n S n S a +---++⋯+=-=-⋅， ()()()1111122nn n n S a --+=-⋅+，当n 为偶数时，()120192n n n S +==，无解；当n 为奇数时，由()()11120192n n n S a +=+-=，可得()1120202n n a +=-，由121n n a a n ++=+可得213a a +=，123a a =-，∵22a <，∴11a >，即()()1120201140382n n a n n +=->⇒+<，结合n ∈N ，可得63n ≤，∴使得2019n S =的n 的最大值为63，故答案为63．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）33S ．【解析】（1）∵()1cos 3sin c A a C +=，由正弦定理可得()sin 1cos 3sin C A A C +=3sin cos 1A A -=， ∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．（2）∵7a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11333sin 1322S bc A ==⨯⨯18．【答案】（1）见解析；（223【解析】（1）证明：∵AB BE ⊥，AB CD ⊥，∴BE CD ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴PC BE ⊥，又BC BE ⊥，PC BC C =I ，∴EB ⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）解法1：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由22PE =得222PB PE EB =-=，∴PBC △为等边三角形，∴2323PBC S ==△， ∴11233233P EBC E PBC PBC V V S EB --==⋅=△，解法2：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥， 由22PE =，得222PB PE EB =-=，∴PBC △为等边三角形， 取BC 的中点O ，连结OP ，则3PO = ∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ， ∴21112323332P EBC EBC V S PO -=⋅=⨯⨯△． 19．【答案】（1）相关性很强；（2）0.36 4.6ˆ727y x =-，208个． 【解析】（1）2016x =，1y =， ()()12211n i n n i i i i x x y y r x x y y ===----∑∑∑ 20.710.410.420.7360.753605610 1.3-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==>⋅．．，∴y 与x 线性相关性很强． （2）()()()()()()()12120.710.410.420.70.3641014ˆn i i i n i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， 120160.36724.7ˆ6ˆa y bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是0.36 4.6ˆ727y x =-． 当2019x =时，0.36724.76ˆ 2.08y x =-=（百个）， 即A 地区2019年足球特色学校的个数为208个． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）22 【解析】（1）依题意得22b =，2c e a ==，解得2a =1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =， 联立2212x y +=，解得2y =，此时平行四边形ABCD 的面积22S = 当AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-， 联立2212x y +=，得()2222124220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+， 则())2222222121222222148811121212k k k AD k x x x x k k k k +⎛⎫-=++-+-= ⎪+++⎝⎭， 两条平行线间的距离221k d k -=+，则平行四边形ABCD 的面积)()()2222222221124212112k k k kS k k k ++-==+++令212t k =+，1t >， 则221112242221t t S t t +-⨯⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()10,1t ∈， 开口向下，关于1t 单调递减，则(S 0,22=，综上所述，平行四边形ABCD 的面积的最大值为2221．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222ax ax af x x a x x -+=+-='，∵3x =是()f x 的极值点，∴()183303a af '-+==，解得9a =，∴()()()2233299x x x x f x x x ---+=='，当302x <<或3x >时，()0f x '>；当332x <<时，()0f x '<．∴()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭．（2）()2ln 2g x a x x ax x =+--，则()()()22122x a x x ax a g x x x ---+='=-， 令()0g x '=，得2a x =或1x =．①当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()min 11h a g a ==--； ②当1e 2a <<，即22e a <<时，()g x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，∴()2min 1ln 224a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；③当e 2a≥，即2e a ≥时，()g x 在[]1,e 上为减函数，∴()()()2min e 1e e 2e h a g a ==-+-．综上，()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1π3:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2226:12sin C ρθ=+；（2）1． 【解析】（1）∵2C 的参数方程为62x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）， ∴其普通方程为22162x y +=， 又1:33C x y = ∴可得极坐标方程分别为1π3:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2226:12sin C ρθ=+． （2）∵()3,0M ，()0,1N ，∴312P ⎫⎪⎪⎝⎭，∴OP 的极坐标方程为π6θ=， 把π6θ=代入π3sin 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1． 23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ；（2）3a <． 【解析】（1）当4a =时，()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-； 当112x -<<时，12224x x -++>，无解； 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>， 综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++， ()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=， ∴3a <．。

2021-2021 年高三第三次高考模拟考试 数学文 含答案考试说明： 本试卷分第 I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，总分值150 分，考试时间 120 分钟．〔 1〕答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；〔 2〕选择题必定使用2B 铅笔填涂， 非选择题必定使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，字迹清楚；（ 3〕请依照题号序次在各题目的答题地域内作答，超出答题地域书写的答案无效，在稿本纸、试题卷上答题无效；（ 4〕保持卡面干净，不得折叠、不要弄破、弄皱，严禁使用涂改液、刮纸刀．第 I 卷 〔选择题，共 60 分〕一、选择题 ( 本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的． ) 1.全集 UR ，会集 A{ x x 2 2x 3 0}， B{ x 2 x 4} ，那么会集 (C U A) B〔 A 〕 { x 1 x 4}〔 B 〕 { x 2 x 3}〔 C 〕 { x 2 x 3} 〔 D 〕 { x 1 x 4}2.复数 1 i i 2i 10 等于〔 A 〕 i〔 B 〕 i〔 C 〕 2i〔 D 〕 2i3.a， blog 0 .2 3 ， c log 0 .2 4 ，那么〔 A 〕 a bc〔 B 〕 a c b 〔 C 〕 b c a〔 D 〕 c b a4.直线 m, n 和平面 ，那么 m //n 的一个必要条件是〔 A 〕 m // ， n // 〔 B 〕 m ， n〔 C 〕 m //， n〔 D 〕 m, n 与 成等角5.x 与 y 之间的一组数据：x123ym37已求得关于 y 与x的线性回归方程为y＝x＋，那么m的值为?开始〔A 〕1〔B 〕〔 C 〕〔D 〕6.在 数 列 a n 中 ， 已 知 a 1 a 2a n2n 1 ， 那么 S0 , n1222等于SS na 1 a 2a nn2n 2nn2〔B 〕2 1〔D 〕4 1〔 A 〕 2 n1〔 C 〕 4 n 1337.S 15 ，那么框图中 否 ①执行以以下图的程序框图，假设输出①处是输出 S结束可以填入〔 A 〕 n 4 〔 B 〕 n 8 〔 C 〕 n16〔 D 〕 n 16y x8. z 2xy ，其中实数 x, y 满足 x y2 ，且 z 的最大值是最小值的4 倍，那么 a 的值是x a〔A 〕2〔B 〕1〔C 〕 4〔D 〕1111429. x 2 y 2 0, b 0) 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 交双曲线的渐近线于 A, B 两点，双曲线2b 2 1(aa且与其中一条渐近线垂直，假设 AF 4FB ，那么该双曲线的离心率是〔A 〕 5〔B 〕2 5〔 C 〕10 〔D 〕2 105510. 函数 f ( x)3sin( 2x) ，那么以下结论正确的选项是4〔 A 〕假设 f ( x 1 )f (x 2 ) 0 ，那么 x 1 x 2 k (k Z )〔 B 〕函数 fx 的图象与 g( x)3cos(2x ) 的图象相同4〔 C 〕函数 fx 的图象关于 (,0) 对称8〔 D 〕函数 fx 在区间[ 1 ,3] 上是增函数8811. 一个正周围体的俯视图以以下图，其中四边形ABCD 是边长为 3 2 的正方形，那么该正周围体的内切球的表面积为CB〔A 〕 6〔B 〕 54〔 C 〕12〔D 〕 48D A12. 定义在(1,) 上的函数f(x) 满足以下两个条件：〔1〕对任意的 x (1,) 恒有 f ( 2x) 2 f ( x) 建立；〔2〕当 x 1,2时， f ( x)2x ．记函数 g(x) f ( x)k ( x 1) ，假设函数 g( x) 恰有两个零点，那么实数k 的取值范围是〔 A〕1,2〔 B〕4,2〔C〕4,2〔D〕4,2 3332021 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷〔文史类〕第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分，将答案填在答题卡相应的地址上．〕13.从 1,2,3,4,5,6 这六个数中，随机抽取2 个不相同的数，那么这 2 个数的和为偶数的概率是.14.11.假设等边 ABC 的边长为 2 ，平面内一点 M 满足 CM CBCA ，那么 MA MB3215. cos()10 ,(0, ) ，那么sin(2).4102316.假设在由正整数构成的无量数列{ a n } 中，对任意的正整数n ，都有 a n a n 1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有2k1 个 k ，那么a2021=.三、解答题〔本大题共 6 小题，共 70 分，解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤．〕17.〔本小题总分值 12 分〕设 ABC 的内角 A, B , C 的对边分别为 a, b, c ，满足2asin A (2b3c) sin B (2c3b) sinC ．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设 a 2 ，b 2 3 ，求ABC 的面积．18.〔本小题总分值12 分〕某校从参加某次知识竞赛的同学中，采用60 名同学将其成绩( 百分制，均为整数) 分成[ 40,50)，[50,60) ， [60,70) ， [ 70,80)形中的信息，答复以下问题，[80,90) ，.[90,100]六组后，获取局部频率分布直方图〔如图〕，观察图〔Ⅰ〕求分数在70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；〔Ⅱ〕从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；〔Ⅲ〕假设从第1 组和第 6 组两组学生中，随机抽取 2 人，求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于10 的概率 .19.〔本小题总分值 12 分〕如图，在三棱柱ABC A1B1C1中， B1 B B1 A AB BC 2，B1BC 90 ，D为AC的中点，AB B1D ．A1〔Ⅰ〕求证：平面ABB1 A1平面 ABC ；B1C1〔Ⅱ〕求三棱锥 C BB1D 的体积．ADB C20. 〔本小题总分值12 分〕椭圆 C : x222y21〔a b0 〕的左，右焦点分别为F1, F2，上极点为B．Q为抛物线y212 xa b的焦点，且F1B QB 0 ，2F1F2．QF10〔Ⅰ〕求椭圆 C 的标准方程；〔Ⅱ〕过定点P( 0,2) 的直线l与椭圆C交于M , N两点〔M在P, N之间〕，设直线l的斜率为k 〔 k 0 〕，在x轴上可否存在点A(m,0) ，使得以AM , AN 为邻边的平行四边形为菱形？假设存在，求出实数m 的取值范围；假设不存在，请说明原由．yPM B．．F1O F2xN21.〔本小题总分值 12 分〕函数 f ( x) ln x ax 1 〔a0 〕 .〔Ⅰ〕求函数 f ( x) 的最大值；〔Ⅱ〕假设a1，且关于 x 的方程f ( x)1x b在 1,4上恰有两个不等的实根，26求实数 b 的取值范围；〔Ⅲ〕设各项为正数的数列a n满足 a11， a n 1 ln a n a n 2〔 n N〕，求证： a n 2 n 1 .请考生在第 22， 23， 24 三题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分．22. 〔本小题总分值10 分〕选修4－ 1：几何证明选讲C 如图， AB是⊙O的一条切线，切点为B，GADE , CFD , CGE 都是⊙ O 的割线， AC AB ．F 〔Ⅰ〕证明：AD AE AC 2；〔Ⅱ〕证明： FG // AC ．OD EB23.〔本小题总分值 10 分〕选修 4－ 4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线x3 3 t〔 t 为参数〕.是 4 cos ，直线l的参数方程是1 t 2y2〔Ⅰ〕过极点作直线 l 的垂线，垂足为点P ，求点 P 的极坐标；〔Ⅱ〕假设点 M , N 分别为曲线C和直线l上的动点，求MN 的最小值.24.〔本小题总分值 10 分〕选修 4— 5：不等式选讲函数 f ( x) x 2 , g( x)x 3 m.〔Ⅰ〕假设关于x 的不等式g (x)0 的解集为{ x5x1} ，求实数 m 的值；〔Ⅱ〕假设 f ( x) g(x) 关于任意的x R 恒建立，求实数m 的取值范围.AC的极坐标方程2021 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案〔文史类〕选择题 :1B 2A 3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A12D填空 :13．214.8 15. 4 335910解答 :17. 解：〔Ⅰ〕由及正弦定理可得2a 2 (2b3c)b (2c3b)c ，整理得 b 2 c 2a 23bc ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以 cos A3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分2又 A ( 0, )，故 A．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分6〔Ⅱ〕由正弦定理可知ab，又 a2 ， b 23 ， A，sin Asin B6所以 sin B3 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2又 B ( 0, 5)，故 B或2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分63 3假设B， CS ABC13；10 分2，于是 ab 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯32假设B2 ， C，于是 S ABC1 absin C 3 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分36218.解：〔Ⅰ〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 〔Ⅱ〕220⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分3〔Ⅲ〕第 1 ：606人〔 1， 2，3， 4， 5， 6〕第6 ： 603 人〔 A ， B ，C 〕共有 36 个根本领件， 足条件的有18 个，所以概率1⋯⋯⋯⋯ 12分219.解：〔Ⅰ〕取 AB 中点 O ， 接 OD ， OB 1 ．因 B 1B B 1 A ，所以 OB 1 AB ．又 ABB 1D ， OB 1B 1DB 1 ，A 1所以 AB 平面 B 1OD ，因 OD平面 B 1OD ，所以 ABOD ．⋯3分B 1C 1由， BCBB 1 ，又 OD // BC ，所以 OD BB 1 ，因 ABBB 1B ，A所以 OD平面 ABB 1 A 1 ．ODB C又 OD平面 ABC ，所以平面ABC平面ABB1 A1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分〔Ⅱ〕三棱 C BB1 D 的体=三棱B1BCD 的体由〔Ⅰ〕知，平面ABC平面 ABB1 A1,平面ABC平面 ABB1 A1AB ,OB1AB ,OB1平面 ABB1 A1所以 OB1平面 ABC ,即 OB1平面 BCD ,B1O 即点 B1到平面BCD的距离,B1O3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分SBCD 1S ABC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分2所以VC BB1D VB1BCD1133⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分3320. 解：〔Ⅰ〕由Q(3,0) ， F1 B QB ， |QF1 |4c 3 c ，所以c 1．⋯⋯⋯ 1 分在 Rt F1BQ 中， F2段 F1Q 的中点，y故 |BF2 |2c 2 ，所以 a2．⋯⋯⋯ 2分B于是 C 的准方程x 2y21．⋯4 分43．．x 〔Ⅱ〕 l : y kx 2 〔k0〕，F1O F2QM ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，取MN的中点 E( x0 , y0 ) ．假存在点 A(m,0) 使得以AM , AN的平行四形菱形，AE MN．y kx2x 2y 21(4k 23) x216kx40 ，430k 21，又 k 0，所以 k 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分42因x1x216k8k， y0kx0264k2，所以 x0232．⋯⋯⋯ 8分34k4k360 1 ，因 AE MN ，所以k AE 1，即4k 23k8kmk4k 23整理得m2k2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4k 234k3k因k 1， 4k3 4 3，1(0,3]，所以 m [3,0)．⋯⋯⋯12分2k4k3126k21.解：〔Ⅰ〕函数的定域0,，f( x)ax10) ，x(x0,1, f ( x)0, f ( x)单调递加，1，, f (x)0, f ( x)单调递减a a1x当a ，1〔Ⅱ〕 a ，由 f (x) 2f (1ln af (x))取最大a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1x b 得 ln x x 1 b 在1,4上有两个不相同的根，63g( x) ln x x1, x1,43g ( x)3x， x1,3 ，g ( x) 0， x3,4 ，g (x)0 3xg ( x) max g(3)ln 3，g (1)22 ln 21 , g (4)3 3g (1)g( 4)22ln 211 2 ln 20 ，得 g(1)g (4) 33b 2 ln 21, ln 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3〔Ⅲ〕由〔 1〕知当a1， ln x x1。

广东东莞三校（厚中济中四中）2019高三下学期联考-数学文文科数学试卷(厚街中学供卷)说明：本试卷共三大题21小题，总分值150分。

考试用时120分钟。

第I 卷〔选择题〕〔50分〕【一】选择题：〔本大题共10小题，每题5分，总分值50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、集合}3{<=x x M ，{}0862<+-=x x x N ，那么M ∩N=( )A.φB.}30|{<<x xC.}31|{<<x xD.}32|{<<x x 2、复数ii --13等于( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i3、“1±=a ”是函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A 、充分不必要条件 B.充要条件C. 必要不充分条件 D 、既不充分条件也不必要条件 4、方程的一个根所在的区间是( )A.(0,1)B. (1,2)C.(2,3)D. (3,4) 5、一个算法的程序框图如下图所示，假设该程序输出的结果为65，那么判断框中应填入的条件是( )A.i<4B.i<5C.i ≥5D.i<6 6、假如一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图是半径为3的圆及其圆心，那么那个几何体的体积为( )A 、π3 B.3π C 、π33 D 、π397.将函数sin 2y x =的图像向左平移4π个单位, 再向上平移个单位, 所得的图像的函数的解析式是 ( )A. 22cos y x =B. 22sin y x =C.12sin(2)4y x π=++ D. cos 2y x =8、假设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为03=+y x ，那么此双曲线的离心率为〔 〕 A 、10103 B 、310C 、22 D 、109.函数()x f 是(－∞，＋∞)上的偶函数，假设关于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，()x f ＝log 2(x ＋1)，那么f (-2018)＋f (2018)的值为〔 〕 A 、-2 B 、-1 C 、2 D 、1 题，那么实数a 的取值范围为()A 、a ≤-2或a=1B.a ≤-2或1≤a ≤2C 、a ≥1D 、-2≤a ≤1第II 卷〔非选择题〕〔100分〕【二】填空题：〔本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分〕 〔一〕必做题(11-13题) 11.平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，那么23a b +＝.12.函数)(x f 的图像在点))1(,1(f M 处的切线方程为012=+-y x ，那么=+)1()1('f f 、13.设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，那么目标函数y x z 32+=的最小值为〔二〕选做题(14、15题，考生只能从中选做一题) 14、〔几何证明选讲选做题〕如下图，AC 和AB 分别是 圆O 的切线，B 、C 为切点，且OC=3，AB=4，延长AO 到D 点，那么△ABD 的面积是___________.15.〔坐标系与参数方程选做题〕设P 〔x,y 〕是曲线⎩⎨⎧=+-=θθsincos 2:y x C 〔θ为参数〕上任意一点，那么x y 的取值范围是___________. 三、解答题：〔本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤〕16、〔此题总分值12分〕在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足B B B 2cos 3cos sin 2-=.(1)求B 的大小；(2)假如b=72=a ，求△ABC 的面积S △ABC 、17.〔此题总分值14分〕为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了假设干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14〕；第二组[14，15〕；……；第五组[17，18]、按上述分组方法得到的频率分布直方图如下图，图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8、(1)将频率当作概率，请可能该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数； (2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；(3)假设从第【一】五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值 大于1秒的概率、18.(此题总分值12分〕等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}nb 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}nb 的公比22S q b =〔1〕求n a 与nb ；〔2〕记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和nT . 19、〔此题总分值14分〕如图：平行四边形ABCD 中，BC=6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点、 (1)求证：GH ∥平面CDE ； (2)假设CD=2，24=DB ，求四棱锥F-ABCD 的体积. 20、〔此题总分值14分〕椭圆)0(1:2222>>=+b a by a xC 的离心率为35，短轴一个端点到右焦点的距离为3、(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 上的动点P 引圆O ：x 2+y 2=b 2的两条切线PA 、PB ， A 、B 分别为切点，试探究椭圆C 上是否存在点P ，由点P 向圆O 所引的两条切线互相垂直？假设存在，请求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由.21、〔此题总分值14分〕f(x)=xlnx ，ax x x g +-=221)(. (1)当a=2时，求函数y=g(x)在[0，3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t+2](t>0)上的最小值； (3)证明：对一切x ∈(0，+∞)，都有e ex g x x x21)('ln -+>成立参考答案一.选择题DCBCDDABDA二.填空题11.(-4,-8)12.513.714、54815、]33,33[-16、(1)解：=B B cos sin 2⇒-B 2cos 332tan -=B ……4分∵0<2B<π，322π=∴B ，3π=∴B ……6分(2)由332tan π=⇒-=B B∵b=7，2=a ，由余弦定理，得：3cos22472π⨯⨯⨯-+=c c …8分解得1-3或=c 〔舍去负根〕…10分 ∴233233221sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC(面积单位)…12分 17.解：(1)百米成绩在[16，17)内的频率为0.32×1=0.32.0.32×1000=320∴可能该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数为320人。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（文科）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． （1）【2017年全国Ⅲ，文1，5分】已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中的元素的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】集合A 和集合B 有共同元素2，4，则{}2,4A B =I 所以元素个数为2，故选B ．（2）【2017年全国Ⅲ，文2，5分】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C【解析】化解i(2i)z =-+得22i i 2i 1z =-+=--，所以复数位于第三象限，故选C ． （3）【2017年全国Ⅲ，文3，5分】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）（A ）月接待游客量逐月增加 （B ）年接待游客量逐年增加 （C ）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月（D ）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由折线图可知，每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A ．（4）【2017年全国Ⅲ，文4，5分】已知4sin cos ,3αα-=，则sin2α=（ ）（A ）79- （B ）29- （C ）29（D ）79【答案】A【解析】()2167sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299αααααα-=-=-=∴=-，故选A ．（5）【2017年全国Ⅲ，文5，5分】设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是（ ） （A ）[]3,0- （B ）[]3,2- （C ）[]0,2 （D ）[]0,3【答案】B【解析】由题意，画出可行域，端点坐标()0,0O ，()0,3A ，()2,0B ．在端点,A B 处分别取的最 小值与最大值． 所以最大值为2，最小值为3-，故选B ．（6）【2017年全国Ⅲ，文6，5分】函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为（ ）（A ）65 （B ）1 （C ）35 （D ）15【答案】A【解析】11113()sin()cos()(sin cos cos sin sin 5365225f x x x x x x x x xππ=++-=⋅++⋅=6sin()53x π=+，故选A ．（7）【2017年全国Ⅲ，文7，5分】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A ，C ，当x →+∞时，1y x →+，故排除B ，满足条件的只有D ，故选D ．（8）【2017年全国Ⅲ，文8，5分】执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D【解析】若2N =，第一次进入循环，12≤成立，100100,1010S M ==-=-，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时101001090,110S M -=-==-=，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D ．（9）【2017年全国Ⅲ，文9，5分】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）（A ）π （B ）3π4（C ）π2 （D ）π4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以r BC ==22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B ． （10）【2017年全国Ⅲ，文10，5分】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）（A ）11A E DC ⊥ （B ）1A E BD ⊥ （C ）11A E BC ⊥ （D ）1A E AC ⊥ 【答案】C【解析】11A B ⊥平面11BCC B 111A B BC ∴⊥，11BC B C ⊥又1111B C A B B =，1BC ∴⊥平面11A B CD ，又1A E ⊂平面11A B CD 11A E BC ∴⊥，故选C ．（11）【2017年全国Ⅲ，文11，5分】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）（A（B（C（D ）13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a =选A ．（12）【2017年全国Ⅲ，文12，5分】已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） （A ）12- （B ）13 （C ）12 （D ）1【答案】C【解析】()()11220x x f x x a e e --+'=-+-=，得1x =，即1x =为函数的极值点，故()10f =，则1220a -+=，12a =，故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）【2017年全国Ⅲ，文13，5分】已知向量()2,3a =-，()3,b m =，且a b ⊥，则m =______． 【答案】2【解析】因为a b ⊥0a b ∴⋅=，得630m -+=，2m ∴=．（14）【2017年全国Ⅲ，文14，5分】双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =__ ____． 【答案】5【解析】渐近线方程为by x a=±，由题知3b =，所以5a =．（15）【2017年全国Ⅲ，文15，5分】ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A _______． 【答案】075【解析】根据正弦定理有：3sin 60=sin B ∴，又b c > 045=∴B 075=∴A ． （16）【2017年全国Ⅲ，文16，5分】设函数1,0,()2,0,xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_______．【答案】1(,)4-+∞【解析】由题意得：当12x >时12221x x-+> 恒成立，即12x >；当102x <≤时12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤；综上x 的取值范围是1(,)4-+∞． 三、解答题：共70分。

2019届广东省东莞市高三上学期期末文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若复数 z 满足 z （ 1+i ） =3+i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数为（）A ． 2+i________B ． 2﹣i________C ．﹣2+i________D ．﹣2﹣i2. 已知全集 U=R ，集合 A={x|log 2 （ x﹣2 ）＜ 2} ，∁ U B= （﹣∞ ， 1 ）∪ [4 ，+∞ ），则A∩B= （）A ．（ 4 ， 6 ]________B ． [1 ， 6 ）________C ．（ 2 ， 4 ]________D ．（ 2 ， 4 ）3. 已知命题 p ：∃ m ∈ R ，使得函数 f （ x ） =x 2 + （ m﹣1 ） x 2 ﹣2 是奇函数，命题 q ：向量 = （ x 1 ， y 1 ）， = （ x 2 ， y 2 ），则“ = ” 是：“ ” 的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A ．p ∧ q________B ．（￢ p ）∧ q________C ．p ∧ （￢ q ）________D ．（￢ p ）∧ （￢ q ）4. 网上大型汽车销售点销售某品牌 A 型汽车，在 2015 双十一期间，进行了降价促销，改型汽车的价格与月销量之间有如下关系：p5. ly:宋体; font-size:10.5pt">价格（万元） 25 23.5 22 20.5 销售量（辆） 30 3336 39已知 A 型汽车的购买量 y 与价格 x 符合如下线先回归方程： = x+80 ，若 A 型汽车价格降到 19 万元，预测月销量大约是（）A ． 39________B ． 42________C ． 45________D ． 506. 已知圆（ x﹣m ） 2 +y 2 =4 上存在两点关于直线 x﹣y﹣2=0 对称，若离心率为的双曲线﹣ =1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（）A ． 1________B ．________C ． 2 ________D ． 47. 已知一个几何的三视图如图所示，图中小正方形的边长为 1 ，则该几何体的体积为（）A ．________B ． 4________C ． 6________D ． 108. 已知点 P （ t ，）为锐角φ终边上的一点，且 cosφ= ，若函数 f（ x ） =2sin （ωx+φ）（ω＞ 0 ）的图象与直线 y=2 相邻的两交点之间的距离为π，则函数 f （ x ）的一条对称轴为（）A ． x= ________B ． x= ________C ． x= ________D ． x=9. 在△ ABC 中， | |=| + | ， | |=4 ， | |=3 ，若 =2，则• 的值为（）A ．________B ．﹣________C ．﹣________D ．﹣810. 已知各项为正的数列 {a n } 的前 n 项的乘积为 T n ，点（ T n ， n 2 ﹣15n ）在函数 y= x 的图象上，则数列 {log 2 a n } 的前 10 项和为（）A ．﹣140________B ． 50________C ． 124________D ． 15611. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为 1538 ，则判断框内可填入的条件为（）A ． n ＞ 6 ？________B ． n ＞ 7 ？________C ． n ＞ 8 ？________D ． n＞ 9 ？12. 设抛物线 E ： y 2 =2px （ p ＞ 0 ）的焦点为 F ，点 M 为抛物线 E 上一点，|MF| 的最小值为 3 ，若点 P 为抛物线 E 上任意一点， A （ 4 ， 1 ），则|PA|+|PF| 的最小值为（）A ． 4+ ________B ． 7________C ． 4+2 ________D ． 1013. 如图，某时刻点 P 与坐标原点 O 重合，将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴正方向滚动，设顶点 P （ x ， y ）的轨迹方程是 y=f （ x ），对任意的t ∈ [1 ，2 ] ，函数 g （ x ） =x3 +x 2 [﹣ +f （4 ） + ] 在区间（ t ， 3 ）上不是单调函数，则 m 的取值范围为（）A ．（﹣，﹣9 ）________B ．（﹣∞ ，﹣）________C ．（﹣，﹣5 ）________ D ．（﹣9 ，﹣5 ）二、填空题14. 如图，等腰直角三角形 ABC ， |AB|= ，AC ∥ L ，三角形 ABC 绕直线 L 旋转一周，得到的几何体的体积为_________ ．15. 已知函数 f （ x ） = ，若 f （ 8﹣m 2 ）＜ f（ 2m ），则实数 m 的取值范围是___________ ．16. 已知实数 x ， y 满足，则 Z=y﹣（） x 的取值范围为________________________ ．17. 已知各项为正的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， S 4 =30 ，过点 P（ n ， log 2 a n ）和 Q （ n+2 ， log 2 a n+1 ）（n ∈ N * ）的直线的斜率为1 ，设 b n = ，则数列 {b n } 的前 n 项和 T n= ．三、解答题18. 已知△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，设 = （ a ，）， = （ cosC ， c ），且• =b ．（Ⅰ ）若 sin （ A+θ） = ，求 cos （﹣θ）的值；（Ⅱ ）若 b=4 ， a=2 ，求△ ABC 的面积．19. 如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形， PA=AB=1 ，PA ⊥ 平面 ABCD ， E 为棱 PB 上一点，PD ∥ 平面 ACE ，过 E 作 PC 的垂线，垂足为 F ．（Ⅰ ）求证：PC ⊥ 平面 AEF ；（Ⅱ ）求三棱锥 P﹣AEF 的体积．20. 某品牌汽车 4S 点，对该品牌旗下的 A 型、 B 型、 C 型汽车进行维修保养调查，汽车 4S 店记录了该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：p21. ly:宋体; font-size:10.5pt">车型 A 型 B 型 C 型频数 20 40 40假设该店采用分层抽样的方法从上维修的 100 辆该品牌三种类型汽车中随机抽取 10 辆进行问卷回访．（Ⅰ ）求 A 型， B 型， C 型各车型汽车的数目；（Ⅱ ）从抽取的 A 型和 B 型汽车中随机再选出 2 辆汽车进行电话回访，求这 2 辆汽车来自同一类型的概率；（Ⅲ ）维修结束后这 100 辆汽车的司机采用“100 分制”“ 打分的方式表示 4S店的满意度，按照大于等于 80 优秀，小于 80 合格，得到如下列联表p22. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 优秀合格不合格男司机 10 38 48 女司机 2527 52 合计 35 65 100问：能否在犯错误概率不超过 0.01 前提下认为司机对 4S 店满意度调查于性别有关？请说明原因．附p23. ly:Calibri; font-size:10.5pt">P （K 2 ≥k ） 0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.841 6.635 10.828K 2 = ．24. 在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆Γ： + =1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的右焦点，已知点 A （ 0 ，﹣2 ）与椭圆右顶点关于直线 y=﹣x 对称，且直线 AF 的斜率为．（Ⅰ ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ ）若点 C ， D （ C 在第一象限）都在椭圆Γ上，点 B 为椭圆Γ的右顶点，满足 =λ，且• =0 ，求实数λ的值．25. 设函数 f （ x ） = + +b ， g （ x ） =kx ，曲线 y=f （ x ）在点（ 1 ， f （ 1 ））处的切线方程为 x﹣y+e﹣3=0 （ e 为自然对数的底数）（Ⅰ ）求 a ， b ；（Ⅱ ）若 x ＞ 0 时， f （ x ）＞ g （ x ），求 k 的取值范围．26. 如图，已知圆 O 的内接四边形 BCED ， BC 为圆 O 的直径， BC=2 ，延长 CB ，ED 交于 A 点，使得∠ DOB= ∠ ECA ，过 A 作圆 O 的切线，切点为 P ，（ 1 ）求证： BD=DE ；（ 2 ）若∠ ECA=45° ，求 AP 2 的值．27. （ 2015 秋• 东莞市期末）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的参数方程是（θ为参数），曲线 C 与 l 的交点的极坐标为（ 2 ，）和（ 2 ，），（ 1 ）求直线 l 的普通方程；（ 2 ）设 P 点为曲线 C 上的任意一点，求 P 点到直线 l 的距离的最大值．28. （ 2015 秋• 东莞市期末）已知函数 f （ x ） =m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3| ，若∃x 0 ∈ R ，不等式 f （ x 0 ）≥0 成立，（ 1 ）求实数 m 的取值范围；（ 2 ）若 x+2y﹣m=6 ，是否存在 x ， y ，使得 x 2 +y 2 =19 成立，若存在，求出x ， y 值，若不存在，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。