中考数学专题复习4 因式分解

1 因式分解知识点总结

1.因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式几个整式的积

例：111()333axbxxab

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂

例：333234221286abcabcabc的公因式是 ．

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,abcabcabc都含有因式32abc，故多项式的公因式是232abc.

②提公因式的步骤

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把2233121824ababab分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。 2 解：2233121824ababab

226(234)ababab

例2：把多项式3(4)(4)xxx分解因式

解析：由于4(4)xx，多项式3(4)(4)xxx可以变形为3(4)(4)xxx,我们可以发现多项式各项都含有公因式（4x）,所以我们可以提取公因式（4x）后,再将多项式写成积的形式.

专题06 例谈因式分解的方法与技巧

【专题综述】 因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。

【方法解读】

一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1：因式分解 32422baba

【举一反三】

因式分解：611623xxx

二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例2：因式分解444yx

【举一反三】

因式分解 4323xx

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分

解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例3：因式分解24)6)(43(22xxxx

【举一反三】

因式分解2)1()2)(2(xyyxxyyx

四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例4：因式分解)()(2222nmxyyxmn

【举一反三】

因式分解 22)()(mynxnymx

五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例5：因式分解xyxyxxx2232234

【举一反三】

因式分解abcbccbaccaabba2222222

中考数学专题复习：因式分解

一、单项选择题（共6小题）

1．下列从左到右的变形是因式分解的是（）

A．(x－a)(x＋a)＝x2

－a2B．4a2

＋4a＋1＝4a(a＋1)＋1

C．(a＋b)2

＝a2

＋2ab＋b2D．x2

－4y2

＝(x－2y)(x＋2y)

2．下列各选项中因式分解正确的是（）

A．x2

－1＝(x－1)2B．a3

－2a2

＋a＝a2(a－2)

C．－2y2

＋4y＝－2y(y＋2)D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2

3．已知x－y＝2，xy＝3，则xy2

－x2y的值为（）

A．5B．6C．－6D．12

4．下列因式分解正确的是（）

A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)

B．a2

－9b2

＝(a－3b)2

C．a2

＋4ab＋4b2

＝(a＋2b)2

D．a2

－ab＋a＝a(a－b)

5．已知a－b＝2，则a2

－b2

－4b的值为（）

A．2B．4C．6D．8

6．若4x2

＋(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）

A．±6B．±12C．－13或11D．13或－11

二、填空题（共4小题）

7．分解因式：4－4m2

＝__________．

8．因式分解－a3

＋2a2

－a＝__________．

9．若x2

＋ax＋4＝(x－2)2

，则a＝__________．

10．若a＋b＝2，ab＝2，则1

2a3b＋a2b2

＋1

2ab3

的值是__________．

三、解答题（共6小题）

11．将下列各式因式分解：

（1）a4

－16；（2）－mp2

＋4mp－4m；

（3）(x－3)x2

＋9(3－x)；（4）(m2

＋2m)2

＋2(m2

＋2m)＋1.12．已知b2

－4b＋a2

＋10a＋29＝0，求3a＋2022

2





b

的值。

13．如图，你能用若干个边长为a的小正方形与长、宽分别为a，b的小长方形

拼成一个长方形ABCD吗？若能，请画出示意图，再写出表示长方形ABCD面积的一个多项式，并将其因式分解。

14．先阅读下列材料，再解答下列问题。

1 专题04 因式分解

聚焦考点☆温习理解

1、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：)(cbaacab

（2）运用公式法：))((22bababa

222)(2bababa

222)(2bababa

（3）分组分解法：))(()()(dcbadcbdcabdbcadac

（4）十字相乘法：))(()(2qapapqaqpa

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、提取公因式

【例1】2016湖南长沙第13题）分解因式：x2y﹣4y= ．

【答案】y（x+2）（x﹣2）．

【解析】

试题分析：提取公因式y，后再利用平方差公式分解，即x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x+2）（x﹣2）．

考点：分解因式.

【点睛】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来， 2 之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因式m即可.

【举一反三】

1.（2016四川达州第11题）分解因式：a3﹣4a= ．

【答案】a（a+2）（a﹣2）.

考点：分解因式.

2.（2016湖南岳阳第10题）因式分解：6x2﹣3x=

．

【答案】3x（2x﹣1）．