群的划分

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群输溉势

王占民

内容提要本文主要给出群划分的几个结果并用群划分给出图着色的方法

关键词群划分完全图着色

1引言G是一阿贝尔群若G}{0}~S,US:U

…U5.S;并必S`门S,~必S`=一S、(S`

+S、)ns`=必}G!二n以G的元为顶点的完全图K可以如下着色任取K的一条

边{ab}a护bab〔G则b一a护0b一a

eG!{O}则存在某个i使b一a任S`这样

我们定义{ab)着C`色易证已对k着m色

c;cZ二心二且K中不出现单一颜色的三角

形由Ramsey定理知R健三之二旦;2)一{,,I泛线着m色K中

一定有单一颜色的三角形}中n的最小值因此有如下结论:

定理i若G}{0}=S,U…US,S`尹

必S、门55“必`笋jS`-一S;(S`+S`)

门S、二必IGI~n则R(33…3;2)>m~-r-一~这样讨论群G具有性质(S+)S门S-

必5gG的S的性质及G=S:US:U…U

5.S、并必S`门Sj~必i并jS、=一S`

(S、十S、)门S,~必划分是很有意义的

.2群的划分2IG是群S二G若5满足(S+S)门

S=必称S的自由和集当对任意的TgG

G的自由和集T满足IT}成!S!称权G)一

}S}为G的最大自由和集的势

定理21若G为有限阿贝尔群则(注:本文仅讨论有限群)定理21是

Erdos的结果两个界均能达到久(Z:)~l且

又(27)=2定理22设G为有限群并设S为G的

最大自由和集则。,1~}51毯宁IG}一~2一一。。_1~二。二。、证:假设!别>音}G}冷}SI+}别>一认~一2一一”一}G}冷}S+S}~}G!=>S+S~G。(S+S)

门S~S笋必这与S的定义矛盾

定理23设S为有限群5gG则{S+SI一!别片存在H镇GS+H-

S~H+S且S一S一H~一S+S

证:(1)设51S:任S且Hl=S,+SHZ

=S一52则IHI+HZI=fs+5.=15}=}H,}=}HZ}但o任H,门HZ冷H:UHZ

二Hl+HZ冷Hl+HZ~Hl一HZ

令Hl=H则H成G

(2)由S+H一S~H+S我们知S为H的右陪集的并也是左陪集的并且151

是】H}的倍数但因为

}H}一}S一S}){S}二}S+H}一}H+S}…}H!二{S!且S既为H的右陪集又为左陪集则

S=S+H二H十SVS任S且15十别~}S十H+H+引

号,G,镇“(G,一!G!盏一一艺二!H}

推论24设{GI二!51二Zn:则权G)=

刃茄笋刀丈彩少庆裘`满节藏育了刀漱夕6

三道毅母联赛题的令析

张庆

设尸为等腰直角三角形B斜边B上任意一点尸E垂直AC于点E尸F垂

直BC于点FPG垂直EF于点G延长GP

并在其延长线上取一点D使得尸D二尸c试证BC土BD且BC二BD分析:根据题目要求画出图形如图1

欲证BC土BD且BC一BD只需证△尸CB望△尸DB这是因为△ACB为等腰直角三角

形故乙ABC一450而此时乙DB尸“45气这

样乙DBC=45+450=900故BC一BD而BC~BD是显然的以下给出证明

由已知易见艺E尸G~乙EF尸一乙C尸F

故乙D尸B一乙APG一45+乙E尸G~450+乙C尸F一乙F尸B+乙C尸F=乙B尸C因为尸C一尸D尸B~PB故△PDB望△尸CB

图1因此BC二BD又因为匕PBD~乙CB尸

45故乙CBD=乙尸BD+乙尸BC=9。因此BC土DB证毕

m拱G有一个阶为m的子群H

.22G划分的例例zG=2525一弋01234}51“

{14}S:~{23}则易证S:S:均为G的自

由和集且(S、+S`)自S`~必S`~一S`S,

门s:一必G】{o}=S:UsZ这也说明了

RZ(32))5易证RZ(32)=6

(注:RZ(32)=R(332)R.(32)~

R(3…3;2))

例ZG为初等阿贝尔群}Gl=16把

它看成GF[2`〕的加群且这个域的生成元是x`三x+1(modZ)的根51二{护护+护护+xxs+护+x

+11}是这个域中的三次剩余类集并且我们

取S:53是51关于这个域乘法群的陪集S:~{xx+1x“十x+1x“+x+1

护十扩+l}53一{xz,xZ+xxZ+1x“+xZ+x

x3+1}

则515253都是自由和集且G】(o}=51US:U53是G非零元的一

个划分

参考文献〔1〕M赫尔著裘光明译群论北京科学出

版社1982【幻卢开澄组合数学算法与分析北京清华大学出版社1983〔3〕王朝瑞图论北京科学技术出版社

1982