总复习二导数与微分

学习好资料 欢迎下载

一.函数与极限

1.两个重要极限：

11lim1lim111lim0sinlim11lim1sinlim11000xxxxxxxxxxxexxxxexxx扩展极限：

2.等价无穷小公式： 当x→0时，

xlna~121~1x1x~1xlnx~121~cosx-1x~arctanxx~arcsinxx~tanxx~sinx2xxaxex

3.分析技巧:00 重要极限,洛必达法则,化简

 洛必达法则,同除最高次幂项

0 取倒数

 通分

00,0,1 取对数 (0)

二．导数与微分

熟悉函数的可导性与连续性的关系 求高阶导数会运用两边同取对数 隐函数的显化

会求由参数方程确定的函数的导数

xfxF 则 dxxfxFd 学习好资料 欢迎下载

导数公式：

三.微分中值定理与导数的应用

1. 洛必达法则解题中应注意：

① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足00或型.

② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

2. 曲线的凹凸性与拐点：

xf>0 上凹， xf<0 上凸， 0,0xfxf 拐点

注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在

定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）

四.不定积分

1.基本积分公式：

CxxdxCxxdxCaadxaCxdxxxxcotcsctansecln11221

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

12 / 15 第二章导数与微分

一、学习目的与要求

1、加深理解导数概念,并能利用导数解决一些具体问题.

2、熟练掌握求导法则及导数基本公式，能正确求出初等函数的导数。

3、熟练掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶、二阶导数的求法。

二、学习重点

导数概念及复合函数求导问题

三、内容提要

1、 导数定义设函数)(xfy在0x的某邻域内有定义,对应于自变量的任一改变资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

13 / 15 量x，函数的改变量为)()(00xfxxfy，如果xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称)(xf在0x处可导，且称此极限值为)(xf在点0x处的导数，记作00||),(0xxxxydxdyxf或.若记)(,00xfxxx则又可记为.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx若记,)()(lim)(0000xxxfxfxfxx,)()(lim)(0000xxxfxfxfxx

则称)(0xf、)(0xf分别是f在0x处的右导数与左导数，且).()()(000xfxfxf存在

2、可导与连续的关系可导连续，不连续不可导；反之,不一定成立。

3、若)(xfy在点x处的增量)()()(xoxAxfxxfy，其中xA与无关，则称)(xf在x处可微，并称xxfxA)(为函数y在点x处的微分，记为xAdy.当)(xf在x处可微时，)(xfA因此,dxxfxxfdy)()(

由上可知，导数dxdyxf)(可表为函数的微分与自变量微分之商.可导可微。 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

14 / 15 4、导数与微分的四则运算

大学数学微积分复习重点

微积分是大学数学中的重要组成部分，对于理工科和经济类专业的学生来说，掌握微积分知识至关重要。为了帮助大家更好地复习微积分，以下是一些重点内容。

一、函数与极限

函数是微积分的基础，要理解函数的概念，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。掌握常见函数的性质和图像，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

极限是微积分的核心概念之一。要掌握极限的定义、性质和运算法则。学会求各种类型的极限，如数列极限、函数极限（包括趋向于无穷大、某一点等情况）。熟练运用极限的四则运算法则、两个重要极限以及等价无穷小替换等方法来计算极限。

二、导数与微分

导数是函数的变化率，要理解导数的定义和几何意义。掌握基本初等函数的求导公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数。熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。

微分是导数的应用，理解微分的概念和几何意义。掌握微分的运算法则，以及利用微分进行近似计算和误差估计。

三、中值定理与导数的应用 中值定理是微积分中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。要理解这些定理的条件和结论，并能够运用它们证明相关的问题。

导数的应用广泛，如函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点、函数图形的描绘等。通过求导判断函数的单调性和极值点，利用二阶导数判断函数的凹凸性和拐点，能够准确地描绘出函数的图形。

四、不定积分与定积分

不定积分是求导的逆运算，要掌握不定积分的基本公式和积分方法，如换元积分法、分部积分法。

定积分是微积分的重要内容，理解定积分的定义、几何意义和性质。掌握定积分的计算方法，包括牛顿莱布尼茨公式。能够运用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。

五、反常积分

反常积分包括无穷限的反常积分和无界函数的反常积分。要理解反常积分的收敛和发散的概念，掌握反常积分的计算方法和判别敛散性的方法。

六、多元函数微积分

28

第二章 导数与微分

§2.1 导数的概念

微分学中最基本的概念是导数，而导数来源于许多实际问题的变化率，它描

述了非均匀变化现象的变化快慢程度.下面通过几个实例来引出导数概念.

一、引例

例1 变速直线运动的瞬时速度

设表示一物体从某个时刻开始到时刻t做直线运动的路程，则是时间t的

函数. ss

()sst=

当时间t由改变到时，物体在

otttΔ+

0tΔ这一段时间内所经过的距离为

.当物体匀速运动时，它的速度不随时间而改变，即 ()

00()ssttstΔ=+Δ−

()

0()

osttst

s

tt+Δ−

Δ

=

ΔΔ

是一个常量，它是物体在任意时刻的平均速度. 当物体作变速运动时，它的速度就随时间的变化而变化了，此时s

v

tΔ

=

Δ 近

似地表示物体时刻的速度，显然

0ttΔ越小，近似的程度就越好.而当时，

如果0tΔ→

0lim

ts

t

Δ→Δ

Δ存在，就称此极限为物体在时刻的瞬时速度，即

0t

()()

00

0

00()limlim

ttsttst

s

vt

tt

Δ→Δ→+Δ−

Δ

==

ΔΔ

例2 平面曲线切线的斜率.

已知曲线，它经过点()yfx=()

000,Mxy，取曲线上的另一点

()

M

100,xxyy+Δ+Δ

01作割线MM ，如图2-1所示.设割线

01MM与x轴的夹角为

ϕ，则割线的斜率为

()()

00

tanfxxfx

y

xxϕ+Δ−

Δ

==

ΔΔ .

当时，动点0xΔ→

1M沿曲线()yfx=趋于定点

0M，使得割线

01MM的位置

也随着变动而趋向于极限位置，即直线

0MT.称直线

0MT为曲线在定点()yfx=29

0M处的切线.显然，此时倾角ϕ

趋向于切线

0MT的倾角α

，即切线

0MT的斜率

为

tanα

=

0lim

→Δ

x()()

00

00tanlimlim

xxfxxfx

y

xxϕ

Δ→Δ→+Δ−

Δ

==

ΔΔ.

变量改变量的比，当自变量改变量趋于零时的

在点以上两个例题都归结为计算函数改变量与自

极

限.这种特殊的极限叫做函数的导数.

二、导数的定义

()yfx=

0x定义2.1 设函数的某个邻域内