【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,选修2-1) 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 课时作业]
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2.3.2 双曲线的几何性质
课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．
1．双曲线的几何性质
标准方程 x2a2－y2b2＝1
(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质 焦点
焦距
范围
对称性
顶点
轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____
离心率
渐近线
2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的________；
(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的两个顶点为A1(－a,0)、A2(a,0)．设B1(0，－b)、B2(0，b)，线段A1A2叫做双曲线的________，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长，线段B1B2叫做双曲线的________，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做________双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为________．
(3)当双曲线的离心率e由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是ba＝e2－1，当e增大时，ba也增大，渐近线的斜率的绝对值________．
一、填空题
1．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________________________________________________________________________．
2．以双曲线x29－y216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是____________________．
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的方程为________．
4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，PF1·PF2＝4ab，则双曲线的离心率是______.
5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
6．两个正数a、b的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e＝______.
7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是______________________．
8．与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为________________．
二、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点154，3，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.
10．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的离心率．
能力提升
11．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________．
12．过双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右两支相交于点A、B.
(1)求证：点P在直线x＝a2c上；
(2)求双曲线的离心率e的范围；
1．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.
2．双曲线的离心率e的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且ba＝e2－1，离心率e越大，双曲线的开口越大．
3．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax，也可记为x2a2－y2b2＝0；与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x2a2－y2b2＝λ (λ≠0)．
2．3.2 双曲线的几何性质
知识梳理
1.
标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率 e＝ca(e>1)
渐近线 y＝±bax y＝±abx
2.(1)中心 (2)实轴
虚轴 等轴 y＝±x
(3)开阔 增大
作业设计
1．y＝±22x
解析 由题意知，2b＝2,2c＝23，则b＝1，c＝3，a＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x.
2．x2＋y2－10x＋9＝0
解析 双曲线x29－y216＝1的右焦点为(5,0)，渐近线为y＝±43x，即4x±3y＝0.
∴r＝|4×5|42＋32＝4.
∴所求圆方程为(x－5)2＋y2＝16，
即x2＋y2－10x＋9＝0.
3．2y2－4x2＝1
解析
由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为0，±32，则双曲线的焦点坐标为0，±32，又由渐近线方程为y＝2x，得ab＝2，即a2＝2b2，又由322＝a2＋b2，得a2＝12，b2＝14，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.
4.5
解析 由题意，|PF1－PF2|＝2a，①
PF21＋PF22＝4c2.
①平方得PF21＋PF22－2PF1·PF2＝4a2，
即4c2－8ab＝4a2，因此b＝2a.
由于c2－a2＝4a2，因此c2＝5a2，即e＝5.
5.53
解析 |PF1－PF2|＝2a，即3PF2＝2a，
所以PF2＝2a3≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，
则ca≤53.
6.133
解析 a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.
又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝13，从而e＝ca＝133.
7.x29－y216＝1(x>3)
解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而AB－AC＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，
其方程为x29－y216＝1(x>3)．
8.x294－y24＝1
解析 ∵所求双曲线与双曲线x29－y216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ (λ≠0)．
∵点(－3,23)在双曲线上，
∴λ＝－329－23216＝14.
∴所求双曲线的方程为x294－y24＝1.
9．解 (1)因直线x＝154与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1，
由 1542a2－32b2＝1，b2a2＝－432， 解得 a2＝9，b2＝16.
故所求的双曲线方程为x29－y216＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．
因为PF1⊥PF2，且OP＝6，
所以2c＝F1F2＝2OP＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为π3，
所以a＝OP·tanπ6＝23，所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为x212－y224＝1.
10．解 由渐近线方程3x±4y＝0，即x4±y3＝0，
可设双曲线方程为x216－y29＝λ (λ∈R且λ≠0)，
即x216λ－y29λ＝1.
当λ>0时，焦点在x轴上，c2＝16λ＋9λ＝25λ，
所以e＝ca＝5λ4λ＝54.
当λ<0时，焦点在y轴上，
方程化为y2－9λ－x2－16λ＝1，
所以c2＝－25λ，a2＝－9λ，
所以e＝ca＝5－λ3－λ＝53.
故所求双曲线的离心率为54或53.
11.5＋12
解析 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，
而kBF＝－bc，∴ba·(－bc)＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝1＋52或e＝1－52(舍去)．
12．(1)证明 设双曲线的右焦点为F(c,0)，斜率大于零的渐近线方程为y＝bax.
则l的方程为y＝－ab(x－c)，从而点P坐标为a2c，abc.因此点P在直线x＝a2c上．
(2)解 由 y＝－abx－c，x2a2－y2b2＝1，
消去y得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0.
∵A、B两点分别在双曲线左、右两支上，设A、B两点横坐标分别为xA、xB.
由b4－a4≠0且xAxB<0.即－a2a2c2＋b4b4－a4<0，
得b2>a2.即b2a2>1，∴e＝ 1＋b2a2>2.
故e的取值范围为(2，＋∞)．
