立体几何中的截面(解析版)
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？
分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。进一步地，截面也不能为正五边形。这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.
故选：D
二、完形填空
在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。而正五边形的五条边是彼此不平行的，所以这个截面不可能是正五边形。
一.教学内容 第五讲 截切体与相贯体（一）
二.教学目标 1. 了解截切体的形成及相关概念、术语。
2．掌握平面立体截交线的作图方法和步骤。
3. 了解回转体截交线的特点和作图的步骤。
4. 掌握圆柱体截交线的三种形式和作图方法。
5．了解圆锥体截交线的五种形式，掌握圆锥体截交线的作图方法。
6．掌握圆球体截交线的作图方法。
三.教学重点 1．平面立体截交线的作图方法。
2．圆柱体截交线的三种形式和作图方法。
3．圆球体截交线的作图方法。
四.教学难点 1．平面立体截截交线的作图方法。
2．圆柱体截交线作图方法。
五.教学过程
教学内容 教学行为 详细的教学内容和教学过程
一、截切体的形成及相关概念、术语 课件演示＋讲述 （课件展示立体截切的应用实例）立体被平面截切后的形状称为截切体，该平面称为截平面，截切后在立体上所得到的平面图形称为截断面，截断面由封闭的线框组成，此线框称为截交线。
二、平面立体截交线的作图方法和步骤 设问 如何求作截交线的投影呢？
课件演示＋讲述 平面立体被截平面截切后所得到的截交线是由直线组成的封闭多边形，其多边形的边数和形状取决于平面体的形状和截平面的空间位置，平面立体截交线的作图方法和步骤如下：
(1)分析截交线的形状——是矩形、三角形、还是多边形等。
(2)分析截交线的投影特性——积聚性、类似形等。
(3)画出截交线的投影——分别找出截平面与棱线的公有点、截平面与平面的公有线并连接成多边形。
动画演示讲解例题 例1：试求四棱锥被一正垂面P截切后的三视图。
解：
(1)空间投影分析：（动画演示）因截平面P与四棱锥四个棱面都相交，所以截交线为四边形，它的四个顶点即四棱锥的四条棱线与截平面P的交点。截平面垂直于正面投影面，而倾斜于侧面投影面和水平投影面，所以截交线在主视图上积聚成一段直线p'，而在俯视图和左视图上则为类似形。
第五讲 平面与立体的表面交线——截交线
教学目标：掌握立体截交线的画法
教学重点：特殊位置平面与回转体的交线
掌握了在立体表面上取点取线的方法，本讲介绍截交线的画法。
一、截交线的概念
平面截切立体，在立体表面上产生的交线，称为截交线。用以截切立体的平面称为截平面，截交线围成的图形称为截断面。求截交线的目的就是求截断面。
二、截交线的基本性质
从图中可以看到，立体不同以及截平面与立体相对位置不同，截交线的形状也各不相同，看它们都有一些共同的性质
1．截交线是截平面与立体表面的共有线，同时位于截平面和立体的表面上。
2. 是一封闭的平面折线或平面曲线。
3. 截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置。 三、平面与平面立体相交
平面立体的表面都是平面，因此平面与平面立体的交线是一闭合的平面折线——多边形。多边形的各边是截平面与立体相应棱面的交线，多边形的顶点是截平面与立体相应棱线的交点。求截交线时，可根据具体情况求出棱线与截平面的交点，或求出棱面与截平面的交线。
实例分析：
分析截平面切到哪些棱线和棱面，要分别求出与他们的交点和交线。
四、平面与回转体相交
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
求截交线的方法：即求截平面与回转体表面的共有点。
求截交线的步骤：
· 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以确定截交线的形状。
☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。
· 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，再补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
1．平面与圆柱相交
截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
当截平面与圆柱轴线垂直时，截交线为圆，投影如图示；当截平面与圆柱轴线平行时，截交线为平行两直线（素线），投影如图示；当截平面与圆柱轴线倾斜时，截交线为椭圆，投影如图示。
第 1 页 共 4 页
平面与基本平面立体截交线的方法和步骤
一、课题
平面与基本平面立体截交线的方法和步骤
二、教学目标
1. 让学生理解平面与基本平面立体截交线的概念。
2. 使学生掌握求平面与基本平面立体截交线的方法和步骤。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学重点&难点
1. 教学重点
掌握不同类型平面立体（棱柱、棱锥等）与平面相交时截交线的特点。
学会运用正确的方法求出截交线。
2. 教学难点
想象空间中平面与立体的相交情况。
准确绘制截交线的形状和位置。
四、教学方法
1. 直观演示法 第 2 页 共 4 页
利用实物模型（如三棱柱、四棱锥等实物模型）向学生展示平面与平面立体的相交情况，让学生直观地看到截交线的形状。
2. 绘图讲解法
在黑板上逐步绘制平面与平面立体相交的图形，一边画一边讲解求截交线的步骤，让学生清楚地看到每一个绘图环节的依据。
五、教学过程
1. 导入
同学们，咱们今天来玩个小游戏啊。我这儿有个三棱柱的小模型，还有一个小平板（可以用硬纸板代替表示平面）。我把这个平板和三棱柱相交，你们看看在三棱柱上会出现一条什么线呢？对了，这就是咱们今天要深入研究的平面与基本平面立体的截交线。这就像是给这个立体的三棱柱做了个小手术，然后留下的一道小痕迹。
2. 概念讲解
那什么是平面与基本平面立体截交线呢？说白了，就是一个平面和一个平面立体（像棱柱、棱锥这些）相交的时候，在平面立体表面上形成的交线。就好比你拿一把刀去切一个面包（面包可以想象成棱柱或者棱锥形状），切完之后面包表面上留下的那道切口的形状，就是截交线的形状。
3. 棱柱与平面相交情况
咱们先来说棱柱啊。如果是三棱柱和一个平面相交呢？咱们得先确定这个平面相对于三棱柱的位置。如果这个平面是平行于三棱柱底面的，那这个截交线的形状啊，就和底面是一样的形状。要是这个平面是倾斜着和三棱柱相交呢？那截交线的形状可就变了，就第 3 页 共 4 页
