概率的基本性质 (2) 公开课一等奖课件

注： ①区别：互斥、对立事件和相互独立事件 的区别：
②如果事件A与B相互独立，那么A与B， A与B，A与B是不是相互独立的
相互独立
24
2、相互独立事件同时发生的概率公式： 两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生
的概率为：P(A B) P(A) P(B)
A D {次品数为0,1,2,3,4,5,6,7,8} 16
二:概率的基本性质
1.概率P(A)的取值范围
1) 必然事件B一定发生, 则 P(B)=1 2) 不可能事件C一定不发生, 则p(C)=0 3) 随机事件A发生的概率为 0＜P(A) ＜1
4) 若A B, 则 p(A) P(B)
概率P(A)的取值范围: 0 P( A) 1
20
（2）某战士射击一次，击中 环数大于7的概率为0.6，击中 环数是6或7或8的概率为0.3， 则该战士击中环数大于5的概 率为0.6+0.3=0.9，对吗？为什 么？
21
2.甲、乙两个下棋，和棋的概 率为1/2，乙获胜的概率为1/3， 求：
（１）甲获胜的概率；P1
1
1 2
1 3
1 6
（２）甲不输的概率。P2
1.概率P(A)的取值范围 （1）0≤P(A)≤1. （2）必然事件的概率是1. （3）不可能事件的概率是0. （4）若AB, 则 P(A) ≤P(B)
5
概率的基本性质
事件 的关系 和运算
概率的 几个基 本性质
6
1、事件的关系与运算
一般地,对于事件A与事件B，如果事
件A发生，则事件B一定发生,这时称事件
18
3) 对立事件有一个发生的概率
如在掷骰子实验中，事件.
G {出现的点数为偶数}； H {出现的点数为奇数}；G H

一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.

(4)概率加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则有 P(A∪B)＝__P__(A__)＋__P__(B__)__． (5)对立事件的概率 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 A∪B 为必然事件，则 有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝___1____．
■名师点拨 (1)互斥事件与对立事件的区别与联系 ①区别：两个事件 A 与 B 是互斥事件，包括如下三种情况：(ⅰ) 若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；(ⅱ)若事件 B 发生，则事件 A 不发生；(ⅲ)事件 A，B 都不发生． 而两个事件 A，B 是对立事件，仅有前两种情况，因此事件 A 与 B 是对立事件，则 A∪B 是必然事件，但若 A 与 B 是互斥事件，则 A∪B 不一定是必然事件，亦即事件 A 的对立事件只有一个，而事件 A 的互斥事件可以有多个．
事 事件
事件 A 与事件 B 互斥 则 A 与 B 互斥
件
的
若 A∩B 为
__不__可__能__事__件____，A∪
若__A__∩__B_＝__∅___，
关 对立 B 为___必__然__事__件_____， 且 A∪B＝U，则
系 事件
A 与 B 对立，即 A
那么称事件 A 与事件 B
＝B 或 B＝A
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出 现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用 Venn 图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的 试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
利用互斥、对立事件求概率 一名射击运动员在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环， 7 环，7 环以下的概率分别为 0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计 算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中 10 环或 9 环的概率； (2)至少射中 7 环的概率．

不可能事件，必然事件与随机事件的关系 １、当Ａ是必然发生的事件时，P(A)是多少？ 必然事件发生的可能性是 100% ，P(A)=1; ２、当Ａ是不可能发生的事件时，P(A)是多少？ 不可能事件发生的可能性是 0; P(A)= 0; 3、不确定事件发生的可能性是大于0而小于1的. 即随机事件的概率为 0 ＜P A ＜1 0 事件发生的可能性越来越小 1 概率的值
4、 任意掷一枚均匀的硬币，前9
次都是正面朝上，当他掷第10次 时，你认为正面朝上的概率 是 0.5 。
课堂小结：
1、概率的定义及基本性质。
如果在一次实验中，有n种可能的结果， 并且他们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A发生 的概率P(A)=m/n。 0≤m≤n，有0 ≤ m/n≤1
不可能事件
事件发生的可能性越来越大
必然事件
例1：掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下 列事件的概率： 思考：（1）、（2）、 （1）点数为2； （2）点数为奇数； （3）点数大于2且小于5。
解：掷一个骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4， 事件 A发生的概率表示为 5，6，共 6种。这些点数出现的可能性相等。
5 (2)P(指向红色或黄色）=_______ 7 4
(3)P(不指向红色）= ________
7
6、如图,能自由转动的转盘中, A、B、C、D
四个扇形的圆心角的度数分别为180°、
1 止时, 指针指向B的概率是_____, 12 5 指向C或 D的概率是_____。 12
30 °、 60 °、 90 °,转动转盘,当转盘停
摸到红球的概率
例：盒子中装有只有颜色不同的3个 黑棋子和2个白棋子，从中摸出一棋子， 是黑棋子的可能性是多少？

由互斥事件的概率加法公式得 P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10) ＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. 9 分 (3)由于事件“射击一次，命中不足 8 环”是事件 B；“射击 一次，至少命中 8 环”的对立事件 3 ，即－B 表示事件“射 击一次，命中不足 8 环”，根据对立事件的概率公式得 P(－B ) ＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22. 12 分
【名师点评】 (1)应用概率加法公式时要保证事件互斥，复 杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简：注意不重不 漏． (2)当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较 少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即贯彻“正难则 反”的思想．
方法感悟
1．判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论 是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一 样的．二是考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用 Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果 ,再进行分析．(如例1) 2．用公式时，一定要分清是互斥，还是对立，对立的事件到 底是什么事件，不能重复或遗漏，尤其对于“至多”、“至 少”的包含情况要分清．
【解】 依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验 中不会同时发生可知： (1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此 它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以 它们不是对立事件，同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥 事件，从而也不是对立事件． (3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．
B．0.28
黑球是互斥事件，所以摸出黑
球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
题型一 事件间关系的判断 例1 从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件

小结
❖ 课堂小结 ❖ 本节主要研究了古典概型的概率求法，解
题时要注意两点： ❖ （1）古典概型的使用条件：试验结果的有
限性和所有结果的等可能性。 ❖ （2）古典概型的解题步骤； ❖ ①求出总的基本事件数； ❖ ②求出事件A所包含的基本事件数，然后
利用公式
P（A）=
A包含的基本事件数 总的基本事件个数
例1 从字母a、b、c、d中任意取出 两个不同字母的试验中，有哪些基本 事件？
解：所求的基本事件共有6个：
A={a,b}，B={a,c}，
C={a,d}，D={b,c}，
E={b,d}，F={c,d}，
思考？
在古典概型下，基本事件出现的概 率是多少？随机事件出现的概率如 何计算？
3．古典概型的概率
P(Ω)＝1，P(φ)=0.
思考:有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌， 将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张， 那么抽到的牌为红心的概率有多大？
二、新课
1．问题：对于随机事件，是否只能 通过大量重复的实验才能求其概率呢？
大量重复试验的工作量大，且试验数据不稳定， 且有些时候试验带有破坏性。
正解:分别记白球1,2,3号，红球为4,5号,从中摸出2只球, 有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：
（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）
（2，3）（2，4）（2，5）
（3，4）（3，5）
（4，5）
I
因此，共有10个基本事件
(1,2) (1,3)(2,3)
(1)记摸到2只白球的事件为事件A， A
如果一次试验的等可能基本事件 共有n个，那么每一个基本事件的概率 都是 1 。
n
如果某个事件A包含了其中m个等可 能基本事件，那么事件A的概率

命题方向3 ⇨对立事件概率公式的应用
在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率 是0. 18，在80～89分的概率是0. 51，在70～79分的概率是 0.15，在60～69分的概率是0. 09,60分以下的概率是0.07， 计算：
(1)小明的数学考试中取很80分及以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率．
设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C．
∵A、B、C 两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)1＋11000＋0 50＝1
61 000.
故
1
张奖券的中奖概率为1
61 000.
(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券 中特等奖或中一等奖”互为对立事件，
『规律总结』 1.求复杂的概率通常有两种方法：一是将所求 事件转化成彼此互斥事件的并；二是先求对立事件的概率，进而再 求所求事件的概率．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时 要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概 率加法公式：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 如果事件不互斥，上述公式就不能使用！
(1)P(A)、P(B)、P( C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[分析] (1)由概率公式求解；(2)根据互斥事件的性质和 概率公式求解；(3)利用对立事件的性质和概率公式求解．
[解析] (1)P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000＝1100，P(C)1 50000＝210. 故事件 A，B，C 的概率分别为1 0100，1100，210. (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．

【习练·破】 掷一枚骰子,下列事件: A={出现奇数点},B={出现偶数点}, C={点数小于3},D={点数大于2}, E={点数是3的倍数}.
求:(1)A∩B,BC. (2)A∪B,B∪C. (3)记H是事件D的对立事件,求H,AC,H∪E.
【解析】(1)A∩B=∅,BC={出现2点}. (2)A∪B={出现1,2,3,4,5或6点}, B∪C={出现1,2,4或6点}. (3)H={点数小于或等于2}={出现1或2点}; AC={出现1点}; H∪E={出现1,2,3或6点}.
【解析】选D.A项中若取出的3个球是3个红球,则这两 个事件同时发生,故它们不是互斥事件,
所以A项不符合题意;B项中,这两个事件不能同时发生, 且必有一个发生,则它们是互斥事件且是对立事件,所以 B项不符合题意;C项中,若取出的3个球是1个红球2个 白球时,它们同时发生,则它们不是互斥事件,所以C项不 符合题意;D项中,这两个事件不能同时发生,是互斥事件, 若取出的3个球都是红球,则它们都没有发生,故它们不 是对立事件,所以D项符合题意.
2.概率的性质 (1)概率的取值范围为[0,1]. (2)必然事件的概率为1, (3)不可能事件的概率为0.
(4)概率加法公式: ①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B). ②若A与B为对立事件,则P(A)=1-P(B).
【思考】 (1)依据概率性质的前三条,你能说出随机事件的概率 的取值范围吗? 提示:随机事件的概率的取值范围为(0,1).
【加练·固】 在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事 件,如: A={出现1点},B={出现3点或4点},C={出现的点数是 奇数},D={出现的点数是偶数}. (1)说明以上4个事件的关系. (2)求两两运算的结果.

(3)概率加法公式为：如果事件 A 与 B 为互斥事件，则 P(A∪B)
＝__P_(_A_)_＋__P_(B__) _______．
(4)若 A 与 B 为对立事件，则 P(A)＝__1_－__P_(_B_)____． P(A∪B)＝_1_，P(A∩B)＝__0．
思考：在掷骰子的试验中，事件 A＝{出现的点数为 1}，事件 B ＝{出现的点数为奇数}，A 与 B 应有怎样的关系？
[提示] A⊆ B
互斥事件与对立事件的判定 【例 1】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为“只 订甲报”，“不订甲报”，事件 E 为“一种报纸也不订”．判 断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事 件： (1)A 与 C；(2)B 与 E；(3)B 与 D；(4)B 与 C；(5)C 与 E.
[解] 分别记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80 分～89 分”“在 70 分～79 分”在“60 分～69 分”为事件 B，C，D，E， 这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在 80 分以上的概率是 P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明数学考试及格的概率是 P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15 ＋0.09＝0.93. 法二：小明数学考试不及格的概率是 0.07，所以小明数学考试及 格的概率是 1－0.07＝0.93.
互斥 称事件 A 与事件 B 互斥
若 A∩B 为_不__可__能__事__件_， 事件 A∪B 为_必__然__事__件_，那么称 A∩B＝∅
对立 事件 A 与事件 B 互为对立事 且 A∪B＝U 件
(2)事件的运算：
定义

2.同时掷3枚硬币,那么互为对立事件的是（ C）
A、至少有1个正面和最多有1各正面 B、最多有1个正面和恰有2个正面 C、不多于1个正面和至少有2个正面 D、至少有2个正面和恰有1个正面
1.事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件
事件 关系
事件 运算
1.包含关系 2.等价关系
3.事件的并 (或和) 4.事件的交 (或积) 5.事件的互斥 (或互不相容)
n
n
n
2.概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则
P(A B）= P(A) + P(B）
3.对立事件的概率公式
若事件A，B为对立事件,则
P(B）=1－P(A)
例2：如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取
一张，那么取到红心（事件A）的概率是 1，取到方
片（事件B）的概率是 1 。问:
4
4
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
显然事件 A 与事件 B 等价 记为：A = B
3 .事件的并（或称事件的和）
若事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生 （即事件A，B中至少有一个发生），则称此事件 为A与B的并事件（或和事件）记为 A B（或 A + B ）。
A
B
例: 抽查一批零件, 记事件 A＝“都是合格品”， B＝“恰有一件不合格品”, C＝“至多有一件不合格品”.
4
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解:（2）C与D是互斥事件，又因为C D为必然事件，
所以C与D为对立事件。所以
P（D）= 1－P(C) 1
2
6/5/2020
1.某射手射击一次射中，10环、9环、8环、7环的 概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16，计算这名射 手射击一次 1）射中10环或9环的概率； 2）至少射中7环的概率.