高阶导数与隐函数的导数

y′ = 1 1+ x2
⎛ 1 ⎞′ − 2x y′′ = ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 1 + x ⎠ (1 + x 2 ) 2
2 ⎛ −2 x ⎞′ 2( 3 x − 1) = y′′′ = ⎜ 2 2 ⎟ (1 + x 2 ) 3 (1 + x ) ⎠ ⎝
− 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
(k )
莱布尼兹（Leibniz）公式
例6
设 y = x e , 求y
2 2x 2x 2
( 20 ) 2x ( 20 ) 2
( 20 )
.
2x ( 19 ) 2
解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
y
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) + (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x 20 ⋅ 19 18 2 x + 2 e ⋅2 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
代入 x = 0, y = 1, y ′
x=0 y =1
1 = 得 y ′′ 4
x=0 y =1
=−
1 . 16
y = x + e x 的反函数的导数 . 例3 求
dy 解 方法1 ∵ = 1+ ex dx 1 dx = ∴ dy 1+ ex
方法2 等式两边同时对 y 求导
dx x dx +e ⋅ 1= dy dy
π
n! 1 (n) n n ( ) = ( −1) a ax + b (ax + b )n+1
(5) [ln(ax + b )]
( n)
= ( −1)
n −1
( n − 1)! a (ax + b )n
n
三、高阶导数的运算法则
设函数 u和v具有n阶导数 , 则
(1) ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) ( 2) (Cu) ( n ) = Cu ( n )
y = (sin 2 x ) 3 + (cos 2 x ) 3 解 = (sin 2 x + cos 2 x )(sin 4 x − sin 2 x cos 2 x + cos 4 x ) = (sin 2 x + cos 2 x ) 2 − 3 sin 2 x cos 2 x
3 2 3 1 − cos 4 x = 1 − sin 2 x = 1 − ⋅ 4 4 2 5 3 = + cos 4 x 8 8 π 3 n ( n) ∴ y = ⋅ 4 ⋅ cos(4 x + n ⋅ ). 8 2
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ′′( x ), y ′′, 2 或 2 dx dx
一般地, 函数f ( x )的n − 1阶导数的导数称为 d n y d n f ( x) 函数f ( x )的n阶导数, 记作 f ( n ) ( x ), y ( n ) , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
f ′(ax + b ) ⋅ a f ′′(ax + b ) ⋅ a 2 f ′′′(ax + b ) ⋅ a 3
[ f (ax + b)]
(n)
= f ( n ) (ax + b ) ⋅ a n
常用高阶导数公式可写成
(1) (a bx + d )( n ) = b n a bx + d ⋅ ln n a (a > 0) (e bx + d )( n ) = b n e bx + d
降 幂
小结
高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法.
练习 1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
1− x (1) y = 1+ x
2 解: y = −1 + 1+ x y
(n)
n! = 2( −1) n+1 (1 + x )
n
x3 (2) y = 1− x
2! y ′′′ = (1 + x ) 3 y
(4)
3! =− (1 + x ) 4
y
(n)
= ( −1)
n −1
( n − 1)! (1 + x ) n
( n ≥ 1, 0! = 1)
例4
设 y = sin x , 求y (n ) . ′ = cos x = sin( x + π ) 解 y 2 π π π π ′′ = cos( x + ) = sin( x + + ) = sin( x + 2 ⋅ ) y 2 2 2 2 π π ′′′ = cos( x + 2 ⋅ )= sin( x + 3 ⋅ ) y 2 2
相应地 , f ( x )称为零阶导数 ; f ′( x )称为一阶导数 .
d3y 二阶导数的导数称为三阶导数,记作 f ′′′( x ), y′′′, . 3 dx
二、高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y = arctan x , 求f ′′(0), f ′′′(0). 解
= a sin(ax + b + n ⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos(ax + b )) = a cos(ax + b + n ⋅ ) 2 (4) [(ax + b )α ]( n ) = α (α − 1) (α − n + 1)a n (ax + b )α − n
(n) n
(2) (sin(ax + b ))
x y
dy x y dy 解 方程两边对 x求导 : y + x dx − e + e dx = 0
dy e x − y 解得 = y dx x + e
( x + e y ≠ 0),
由原方程知 x = 0, y = 0,
dy ∴ dx
x=0
ex − y = x+ey
x=0 y=0
= 1.
要特别注意在求导的过程中，视 y = f (x)是x的函数.
例2 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 ( 0,1)处的值 . 解 方程两边对x求导得
4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
y′
x=0 y =1
(1)
1 = ; 4
将方程 (1)两边再对 x求导得
12 x 2 − 2 y′ − xy′′ + 12 y 2 ( y′ )2 + 4 y 3 y′′ = 0
( 3) ( u ⋅ v ) +
(n)
= u v + nu
(n)
( n −1 )
n( n − 1) ( n− 2 ) v′ + u v ′′ 2! + uv
(n)
n( n − 1)
n k n
( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v + k!
( n− k )
= ∑C u
k =0
v
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 例7
1 (5) 设 y= 2 , 求y . x −1 1 1 1 1 ∵y= 2 = ( − ) x −1 2 x −1 x +1
解
∴y
(5)
1 ⎡ − 5! − 5! ⎤ = ⎢ − 6 2 ⎣ ( x − 1) ( x + 1)6 ⎥ ⎦
⎡ 1 1 ⎤ = 60 ⎢ − 6 ( x + 1) ( x − 1)6 ⎥ ⎣ ⎦
练习
y=
1 x2 + x − 2
, 求y ( n ) .
解 ∵ y = 1( 1 − 1 )
3 x −1 x+2
∴y
(n)
⎡ ⎤ 1 1 1 n = ( −1) n! ⎢ − ⎥ n +1 3 ( x − 1) ( x + 2) n + 1 ⎦ ⎣
例8 设 y = sin 6 x + cos 6 x , 求y ( n ) .
关于莱布尼兹公式，应该注意：
(u( x ) ⋅ v( x ))
(n)
=
∑C
k =0
n
k n
u
( n− k ) ( k )
v

k (1)不要丢了系数 C n；
(2) 恰当地选择u( x )和v ( x )， [求导最快为0的为v ( x ), 容易求出任意阶导数的取做u( x )].
间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
1 解: y = − x − x − 1 + 1− x n! (n) y = , n≥3 n+1 (1 − x )
2
2.4
隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
定义: 设在方程 F ( x , y ) = 0 中 , 当 x 取某区 间内的任一值时 , 相应地总有满足这方程 的 唯一 的 y 值存在 , 那么就说方程 F ( x , y ) = 0 在 该区间内确定了一个隐 函数 y = f ( x ) .
x=0
2( 3 x 2 − 1) = 0; f ′′′(0) = (1 + x 2 ) 3