高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解

x

2

2
)

sin(
x

3

) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
( 1)( n 1)xn ( n)
2
4
即
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数
求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
练习 设sin y xe y 0, 求 dy . dx
解 利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y, 得
y

ey cos y
xey
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
若 n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
( 1)( n 1)xn ( n)
( x )(n)


n!
( n)
0
( n)
例如： ( x5 )(6) 0
( x3 6 x2 5 x 1)(3) 3! 6
例4 设 y e x , 求y(n) .
解 y e x , y e x , y e x , , (e x )(n) e x .
例5 设 y a x , 求 y(n). 解: y a x ln a,
y a x (ln a)2 ,
y a x (ln a)3 ,
消参数困难或无法消参数 如何求导.
例
如
x y

a(t a(1

sin t ) cos t)
参
数
方
程
x y

(t )所 确 定 函 数 的 导 (t )
数
为
dy
dy (t) dx (t)
即 dy dt dx dx
dt
（参数方程所确定函数的二阶导公式不需掌握。）
例3 设 y x ( R), 求y(n) . 解 y x1
y (x1 ) ( 1)x2 y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3

y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
一、高阶导数的定义
高阶导数也是由实 际需要而引入的.
问题:变速直线运动的加速度.
设 s s(t ),则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
将f ( x)的导数称为f ( x)的 二阶导数.
y
u(x)
y u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
例 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x 上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 求下列函数二阶导数。
(1) y sinx (2) y ln(1 x2 )
(3) y (1 x2 )arctan x
例2：设f (x)二阶可导，求y x2 f (ln x)的二阶导数。
解：
y 2xf (ln x) x2 f (ln x) 1 x
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
例题 设x y y x , 求y.
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y,
上式两边对x求导得
y ln x y ln y x y,
f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
注意：（1）f (0) ( x) f ( x) f (1) ( x) f ( x)
(2) 若f (n)( x)存在，则f ( x)所有低于n阶 的导数都存在。
二、 高阶导数求法举例

dy dx

1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89

y
x2
y

3 2
3
9 x 16 y
x2
y

3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)

y(n) a x (ln a)n
例6 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x) sin(x ) sin( x )
2
2
2
y sin x sin(x ) sin( x 2 )
2
y
cos(
上式两边对 x求导得
隐函数
1 y

y
1 x1

1 3( x 1)

2 x
4
1

y

(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1

1 3( x
1)

x
2
4

1]
有些显函数用对数求导法很方便.
例如,
两边取对数
ln
y

x
ln
a b

a
[
ln
b

ln
x
]

b[
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法:
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
(含导数 y的方程)
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dx
ln
x

ln
a
]
两边对x求导
y y

ln a b

a x

b x
(2)幂指函数 u( x)v( x) .
如y xsin x .
y u( x)v( x) (u( x) 0)
等式两边取对数得 ln y v( x) ln u( x)
两边对x求导得
y v(x) ln u(x) v(x) u(x)
求导法求出导数.
--------对数求导法
适 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数.
用
于
如
y

(x (
x
1) 3 x 4)2e x
1,
例
设
y

(x (x
1) 3 x 1 4)2e x ,
求y.
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2ln( x 4) x 3
几个常用的基本初等函数的n阶导数公式
(幂函数n阶导公式);
隐函数求导法则 将方程两边对x求导.
注意:变量y是x的函数.
对数求导法
对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.
参数方程求导
dy
dy dx

dt dx
dt
(2)
(x
)(n)


n!
( n)
0
( n)
(3) (sin x)(n) sin(x n ) 2
(4)
(cos
x)(n)

cos(x

n
)
2
二、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
2xf (ln x) xf (ln x)
y [2xf (ln x) xf (ln x)]
2 f (ln x) 2xf (ln x) 1 f (ln x) xf (ln x) 1
x
x
2 f (ln x) 2 f (ln x) f (ln x) f (ln x)
例
求 由
x y

a(t a(1

sin t ) cos t)
所确
定函
数
在t


2
处的导数。
dy
解
dy dx

dt dx

a sin t a a cos t
sin t 1 cos t
dt

dy dx
t 2sinFra bibliotek1

2 cos

1.
2
四、小结
高阶导数的定义;