隐函数、参数方程的求导、高阶导数

偏导数
z x
f x ( x, y),
z y
f y( x, y),
一般说来仍然是 x , y 的函
如数果，这两个函数关于
它x们,的y偏的导偏数导是数也f 存(x在,，y)的二阶偏导数.
则称
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四 个：
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
3
x
x y y x
解
z x
1 1 y
2
y x2
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
感谢下 载
感谢下 载
(1)n1(n 1)!.
例 11
设
y
=
sin
x求，dn y
dx n
.
解 dy cos x sin x ，
dx
2
d2 y dx 2
cos
x
2
sin
x
2
2
，
d3 y dx 3
cos
x
2
2
sin
x
3
2
，
dn y dx n
sin
x
n 2
.
五、 高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个
第三模块 函数的微分学

y= 3 2
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2

上式两边对 x 求导得
1 y
y (cos x ln x
sin x x
)
y y (cos x ln x sin x
1
x
sin x
(cos x ln x
sin x
x sin x
)
x
)
方法二：将 y x
改写成 y e
sin x ln x
例 解 两边取对数
y x ( 2 x ) ( 3 x ) p5 ( x )
2 3
其中 p 5 ( x ) 为 x 的 5 次多项式,
108 x p 5 ( x )
6
y
(6)
108 6!.
例 设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 . 解 方程两边对 x 求导 , 得
结
注意: y 是 x 的函数.
对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导. 高阶导数及其物理意义
思考题
求 f (a ).
设 g ( x ) 连续 , 且 f ( x ) ( x a ) 2 g ( x ),
解答
g ( x ) 可导
( a ) 2 ( x a ) g ( a ) ( a a ) 2 g ( a ) a f x x x x
例 设 y arctan x , 求 y x 0 , y x 0 . 解
y 1 1 x
2
y (
1 1 x
) 2

2x (1 x )
2 2
2x y 2 3 2 2 (1 x ) (1 x )
3 3 , 2 2

原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参 数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求 导.
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′