第二章第四讲高阶导数与隐函数求导参数方程求导PPT课件

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隐函数对数函数求导法则课件.ppt

y 33 (,) 22
yx2
y2 x
33 1.
(,) 22
所求切线方程为 y3(x3)
2
2
法线方 y程 3x为 3 22
即 xy30.
显然通过原点.
例3 设 x 4 x y y 4 1 , 求 y '在点 ( 0 , 1 ) 处的值 .
解方程两x边求对导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
方程.
dy
解
dy dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1)
2
即yxa(2)
2
小结
隐函数求导法则: 方程两边对x求导; 对数求导法: 等式两边取以e为底对数,按隐函数的求导法等式两边同对x求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
1 2x x 1 3 x x 2 4 x1 1x 12x1 3x 14
三、由参数方程确定的函数的导数
由参数方程
x y
t所确定的函数 t
y
f
x的导数
dy 为：
dx
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
''tt
dt
例8 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切线
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
( 1 )
二、对数求导法

3.4 隐函数的求导及高阶导数

上式两边对 x 求导得
1 y
y (cos x ln x
sin x x
)
y y (cos x ln x sin x
1
x
sin x
(cos x ln x
sin x
x sin x
)
x
)
方法二：将 y x
改写成 y e
sin x ln x
例解两边取对数
y x ( 2 x ) ( 3 x ) p5 ( x )
2 3
其中 p 5 ( x ) 为 x 的 5 次多项式,
108 x p 5 ( x )
6
y
(6)
108 6!.
例设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 . 解方程两边对 x 求导 , 得
结
注意: y 是 x 的函数.
对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导. 高阶导数及其物理意义
思考题
求 f (a ).
设 g ( x ) 连续 , 且 f ( x ) ( x a ) 2 g ( x ),
解答
g ( x ) 可导
( a ) 2 ( x a ) g ( a ) ( a a ) 2 g ( a ) a f x x x x
例设 y arctan x , 求 y x 0 , y x 0 . 解
y 1 1 x
2
y (
1 1 x
) 2

2x (1 x )
2 2
2x y 2 3 2 2 (1 x ) (1 x )
3 3 , 2 2

第二章第4节隐函数及参数方程求导9534429页PPT

所d d 以 t0.1(弧 4 /度分 )
--------对数求导法适用范围
多个函数相乘和数u幂 (x)指 v(x)的函情.形
6
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
解等式两边取对数得 ln y ln x 1 ) ( 1 3 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x
上式两边 x求对导得 y yx1 13(x11)x2 41
y (x ( x 1 )4 3 )2 x ex 1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ].
7
例6 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解等式两边取对数得
ln y sixn ln x 上式两边x求对导 ,得
1 yycoxslnxsix n1 x
所y 以 y (cx o ln x s six n 1 x )
其速率1为 4米 0 /分.当气球高5度 0米 0为时 ,观察员视
线的仰角增加率 ? 是多少
解设气球 t分上钟 ,其升后高h,度观为察员的视仰
角为 ,则
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
h 500
上式两边 t求对导得
500米
se2 cddt510d 0dh t
500米
因为 ddh t14米 0/分 ,当 h 5米 0,0 s时 2 e c 2
yey xeyy，
即
y1exy ey
ey ， 2 y
yeyy(2(2y)y)2ey(y)，
故yey2eyy(2( 2 y)y)2ey(2eyy)
e2y(3 (2
y) y)3
.
4
例4 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的值

高等数学第六版第二章第四节隐函数求导

) (cos x) ( n) cos( x n π 2 n! 1 (n) n (1) ax (a x) n 1
(4) 利用莱布尼茨公式
目录上页下页返回结束
2.补充题 π x2 则 2 n 1) (填空题)（1）设 f ( x) ( x 3x 2) cos 16 ,
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
目录上页下页返回结束
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2.参数方程求导法则
若参数方程关系, 可导, 且可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
目录上页下页返回结束
x (t ) 例3.求参数方程所表示的函数y f ( x) 的

隐函数、参数方程的求导、高阶导数

高等数学应用教程例2.27
2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
例2.28
高等数学应用教程例2.29
2.2.5 高阶导数
所以
高等数学应用教程小结
பைடு நூலகம்
2.2 导数的运算
隐函数的求导法对数求导法由参数方程所确定的函数的求导法高阶导数的概念及求导法
高等数学应用教程
第2章导数与微分
2.2 导数的运算
➢ 2.2.3 隐函数的求导法
➢ 2.2.4 由参数方程所确定的
函数的求导法
➢ 2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程例2.22
2.2.3 隐函数的求导法
两个函数, 容易得,
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程例2.23
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程课堂练习 P53, 9 (2)
2.2.3 隐函数的求导法
例2.24
高等数学应用教程例2.25
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
例2.26
高等数学应用教程 2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
作业
P52 习题2-2: 9（1）；10; 11(1); 12(2); 13(2)

第二章第四讲高阶导数与隐函数求导参数方程求导36页PPT

dx n
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院刘照军
1
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
4.问题：如何求函数的高阶导数？一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院刘照军
2
2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
证将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x2
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院刘照军
4
解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
2
22
si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导数的求法。
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院刘照军
10

高等数学方明亮版课件24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
2020/6/12
6
按幂函数求导公式
目录
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
第二章
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率四、小结与思考题
2020/6/12
1
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
13
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返回
例5
由椭圆的参数方程
x y
a b
cos t, sin t,
所确定的函数
y y(x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．
解： d y y t ( b s in t ) b c o s t b co t t d x x t ( a c o s t ) a ( s in t ) a (t 0,π,2π)
(t) (t)
2020/6/12
dt
(此时看成 x 是 y 的函数 )
9
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .

参数方程表示的函数的求导高阶导数.ppt

y n(n 1)(n 2)a0 xn3 (n 1)(n 2)(n 3)a1xn4 (n 2)(n 3)(n 4)a2 xn5 3 2an3 ,
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
2
22
2
所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).

隐函数与参数方程确定的函数的求导法则-PPT模板

1.2 由参数方程确定的函数的导数
设由参数方程
x y
(t) ，确定 (t)
y
是
x
的函数，
(t)
，
(t
)
可导，且
(t)
0
，
x (t) 是单调连续的，其反函数为 t 1(x) ．在上述条件下， y (t) ( 1(x)) ，由复合函数求导与反函数求导法则可
得
dy
dy dx
dy dt
1.1 隐函数的导数
例 1 求由方程 x y3 1 0 确定的隐函数的导数．
解
即解得
y 是 x 的函数，将方程 x y3 1 0 两边同时对 x 求导得
d (x y3 1) 0 ，
dx
1 3y2 dy 0 1 3y2 dy 0 ，
dx
dx
dy dx
1 3y2
1.1 隐函数的导数
dt dx
dy dt
1 dx
dt dx
．
dt dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
所以，由参数方程
x
y
(t)
，确定的函数
(t)
y
y(x)
的导数为
dy
dy dx
dt dx
(t) (t)
．
dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
例6
解已知当椭t 圆4ax时22 ，设by22椭圆1 的上的参对数应方点程为为M0xy(x0 ，abycs0io)ns，tt，，则求椭圆在
t
4
相应点处的切线方程．
x0
a cos
4
2 2
a
，
y0
b sin
4

隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数

所以
dy sitn dy
,
3.
dx 1c o t sdxtπ
3
点 P 处的切线方程为
y1 2a3 x 3a2 3a .
例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出，
如果不计空气阻力，以发射点为原点，
地
平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y
由轴物(如理图学).知道它的运动方程为
|v |v x 2 v 2 yv 0 2 2 v 0 gsti n g 2 t2 ，
它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿
炮弹的前进方向，其斜率为
d dx yv0vs0icno sg.t
(2)令
y
=
0，得中弹点所对应的时刻t0
2v0 s in，
g
所以x射 v0 2程 si2 n .
g t0
,
验证了
2z 2z . xy yx
例
设uexy,z求 3u .
14
x yz
解因为
u yzexy z, x
2u (yezxy)z z (yexy)z
xy y
y
z[exy zyexyx z ]z
z(1xy )exzy,z
所以
x3yuzzx2uy
[z(1xy)ezx y]z z
(1xy)ezxyz zxyexyz
③
同样对方程 ① 两边求微分，得
dx = (t)dt，
④
③得 ④
即
ddxyf((tt))ddtt,
yx
f(t).
(t)
例4
设参数方程
x
y
a cost，(椭圆方程)确 b s i nt
定了函数 y = y(x)，求 dy .

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2
例6 求对数函数ln(1+x)的n阶导数
解
yln1(x),y 1 ,
1x
y (1 1 x )2,y (1 1 x 2 )3,y (4 ) (1 1 2 x 3 )4,
一般地,可得
y(n) (1)n1((1nx1))n!,
即
ln1 (x)(n) (1)n1((1nx1))n!
通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立.
4.问题：如何求函数的高阶导数？一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
26.11.2020
泰山医学院信息工程学院刘照军
3
2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率
四、小节
五、作业
26.11.2020
泰山医学院信息工程学院刘照军
12
一、隐函数的导数
1 复习:函数的表示法 1.直接表示: 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数
2 间接表示
(1)由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数
高阶导数、隐函数求导、参数方程求导重点：求导法则、高阶导数的定义难点：高阶导数的具体求法关键：高阶导数的求导顺序
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1
第三节高阶导数
一、基本概念
1.如果 yf(x)的导数存在，称为 y f(x) 的二阶导数
记作：y ，d 2 y 或 d ( dy )
v2x,v2,v(k)0(k3,4, 2)0,
代入莱布尼茨公式,得
y(2)0(e2x)(2)0x22(0e2x)(1)9(x2)
2(020 1)(e2x)(1)8(x2)0 2!
2 2e 0 2 xx 2 22 0 1e 9 2 x2 x 21 0 2 1 9 e 8 2 x2 2 !
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
dx 2 dx dx
2. y 仍是x的函数，还可以进一步考虑
有三阶导数 y 或 d 3 y ， dx 3
四阶导数 y ( 4 ) 或 d 4 y ，
……
dx 4
n阶导数 y ( n ) 或 d n y .
dx n
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2
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
2
22
si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
2
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6
用类似方法,可得
(c
ox)(sn)
c
oxs(n ).
例1 求由方程 eyxye0所确定的隐函数的导数 dy
dx
解我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x), 方程左边对x求导得
deyx yeeyd yyxd,y
dx
dx dx
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10
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导数的求法。
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11
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
证将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x211Fra bibliotek(2x
x
2
)
3 2
y3
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4
于是
y3y10
下面介绍几个初等函数的n阶导数
例4 求指数函数y e x的n阶导数解 y e x ,y e x ,y e x ,y (4 ) e x
一般地,可得即
y(n) ex,
(ex)(n) ex
例5 求正弦与余弦函数的n阶导数
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5
解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
例 x2 y2 1 可确定函数 y 1x2 ,
(2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:
x
y
x(t) y(t)
t是参数
方法(1)表示的函数称为隐函数.
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.
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13
2 隐函数的定义
一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的 y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数
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7
例7 求幂级数的n阶导数公式
解设 yx(R),那么
yx1 y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3 一般地,可得
y ( n ) ( 1 ) ( 2 ) ( n 1 ) x n
即 ( x ) ( n ) ( 1 ) ( 2 ) ( n 1 ) x n
2! n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n)
k!
n
C u v k (nk) (k) n k0
(3)称为莱布尼兹公式
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例8 设 y x 2 e 2 x ,求 y (2). 0 解设 ue2x,vx2,则
u(k) 2ke2x
(k1,2,2)0
若为自然n,数则
y(n) (xn)(n)n!, y(n1) (n!)0.
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高阶导数运算法则
设函u和数 v具有 n阶导则数,
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u ) (3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v