隐函数;高阶导数

上式两边对 x 求导得
1 y
y (cos x ln x
sin x x
)
y y (cos x ln x sin x
1
x
sin x
(cos x ln x
sin x
x sin x
)
x
)
方法二：将 y x
改写成 y e
sin x ln x
例 解 两边取对数
y x ( 2 x ) ( 3 x ) p5 ( x )
2 3
其中 p 5 ( x ) 为 x 的 5 次多项式,
108 x p 5 ( x )
6
y
(6)
108 6!.
例 设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 . 解 方程两边对 x 求导 , 得
结
注意: y 是 x 的函数.
对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导. 高阶导数及其物理意义
思考题
求 f (a ).
设 g ( x ) 连续 , 且 f ( x ) ( x a ) 2 g ( x ),
解答
g ( x ) 可导
( a ) 2 ( x a ) g ( a ) ( a a ) 2 g ( a ) a f x x x x
例 设 y arctan x , 求 y x 0 , y x 0 . 解
y 1 1 x
2
y (
1 1 x
) 2

2x (1 x )
2 2
2x y 2 3 2 2 (1 x ) (1 x )
3 3 , 2 2

隐函数的求导法则笔记在微积分中，隐函数的求导是一个重要的概念。

隐函数是指方程中的变量之间存在函数关系，但并未显式地表示出来。

在这种情况下，我们需要使用隐函数的求导法则来求出其导数。

本文将介绍隐函数的求导法则，并通过实例演示如何应用这一法则。

隐函数的求导法则可以总结为以下几点：1. 隐函数的求导法则假设有一个方程式：F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。

为了求出 y 对 x 的导数，我们可以使用以下的步骤：- 对方程两边关于 x 求导- 将得到的导数项集中到一边，将 y' 提取出来- 最终得到 y' 的表达式2. 通过实例演示隐函数的求导法则为了更好地理解隐函数的求导法则，我们通过一个具体的例子来演示。

假设有一个方程式：x^2 + y^2 = 25，我们需要求出 y 对x 的导数。

首先，对方程两边关于 x 求导，得到：2x + 2yy' = 0。

然后，将导数项集中到一边，得到：2yy' = -2x。

最后，将 y' 提取出来，得到：y' = -x/y。

3. 隐函数的高阶导数除了一阶导数之外，有时候我们也需要求隐函数的高阶导数。

在这种情况下，我们可以通过多次应用隐函数的求导法则来求出高阶导数。

4. 隐函数的参数化有时候，我们也可以通过参数化的方法来求隐函数的导数。

通过引入参数 t，将隐函数表示为参数方程的形式，然后对参数 t 求导，最终得到 y 对 x 的导数。

5. 隐函数的求导在实际问题中的应用隐函数的求导在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，隐函数的求导可以帮助我们求解运动学和动力学问题；在工程学中，隐函数的求导可以帮助我们优化设计和分析系统行为；在经济学中，隐函数的求导可以帮助我们理解市场行为和决策过程。

总结隐函数的求导法则是微积分中的重要概念，它可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中得到应用。

通过本文的介绍和实例演示，相信读者对隐函数的求导法则有了更深入的理解。

例：若 f (x)存在，求函数 f (arc sin 1) 的导数。 x
练习：已知 f (x) 可导，求 y f (ex )e f (x) 的导数。 答案： y e f (x)[ex f (ex ) f (ex ) f (x)] 例：若z y2，y f (x) ，求 dz .
dx 1.y (1 x)5 2.y cos2 x
3.y ln sin 2x
x
4.y e 2 cos 3x
5.y (ex ex )2
6.y x2 1 x2
7. y x a2 x2 a2 arcsin x , (a 0)
2
2
a
注：1.分清复合关系，由外向里，逐层求导，不 漏层，不重复； 2.求导过程中，分清是哪个函数对哪个变量求导。
为由此参数方程所确定的函数。
例：

x y

2t t2
可确定 y x2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
dy
定理：若

x y

(t) (t)
，则 dy
dx
dt dx
yt . xt
dt
dy
x
定理：若

y
(t) (t)
，则
dy dx

dt dx
1.y

5y xy
y2 yey 1
2.切线：y 3 (x 3)
2
2
法线：y x
y
y x2 y2 x
y
|
(
3,3
)

1
22
y
|
x

3

解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h

两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 dt
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m 时, tan 1 ,sec2 2 ,
v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼茨公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
例12. 设
求
解:
y

1
1 x
2
,
即
(1 x2 ) y 1
(t)
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注意 : 已知
对谁求导?
?
例5. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t ) ,
且
f
(t)

0 ,求
d d
2
x
y
2
.
解:
d d
y x
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2

1
f (t)
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2
2
例7
设
y 1 , ax b
求
y(n).
解
y

(
1 ax
) b

a (ax b)2
;
y

a [(ax b)2
]

2a2 (ax b)3