(完整版)高阶、隐函数的导数和微分练习题

高数第二章导数与微分知识点总结第一节 导数1．基本概念 （1）定义0000000000()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x yf x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数0'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-. 0'00000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.（3）导数的几何应用曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=--. 2．基本公式（1）'0C = （2）'1()a a x ax -=（3）()'ln xxa a a =（特例()'xxe e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-（11）2(arcsin )'1x x=- （12）2(arccos )'1x x=-（13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （152222[ln()]'x x a x a++=+3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2''()'u u v uv v v-= （2）复合函数求导法则--链式法则设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.例5 求函数21sin xy e=的导数.（3）反函数的求导法则设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则11'()'()'(())g y f x f g y ==. （4）隐函数求导设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x yF y F =-.（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式： （1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =（2） ()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+（3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+（4）()1(1)(1)n n nn x x --+=-+ （5）()()(1)(2)(1)k n k n x k k k k n x -=---+（6）莱布尼茨公式：()()()()nn k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v == 第二节 微分1．定义背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.注：,y dy x dx ∆≠∆= 2．可导与可微的关系一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =. 3．微分的几何意义 4．微分的计算（1）基本微分公式'()dy f x dx =. （2）微分运算法则 ②四则运算法则()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2()u vdu udvd v v-= ②一阶微分形式不变若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.练习题1、求下列函数的导数。

高阶导数练习题一、基本概念题1. 若函数f(x)的二阶导数f''(x)存在，则f''(x)是______的导数。

2. 设y = f(x^2)，求y关于x的二阶导数。

3. 已知f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1，求f''(x)。

4. 若f(x) = e^(2x)，求f^(4)(x)。

二、计算题1. 已知f(x) = sin(x^2)，求f''(x)。

2. 设y = ln(x^2 + 1)，求y的第三阶导数。

3. 已知y = (x^2 + 1)^(1/2)，求y的第四阶导数。

4. 设f(x) = (x^3 3x)^5，求f''(x)。

5. 已知y = e^x cos(x)，求y的第三阶导数。

三、应用题1. 设物体在直线运动中的位移s关于时间t的函数为s = t^3 3t^2 + 2t，求物体在t = 2时的加速度。

2. 已知某曲线的方程为y = 3x^4 4x^3 + 2x^2，求该曲线在x = 1处的曲率。

3. 设某函数f(x)的二阶导数f''(x) = 6x 4，求f(x)在x = 0处的拐点。

4. 已知某函数的图像在点(x, y)处的切线斜率为y' = 2x + 1，求该函数在x = 2处的曲率半径。

5. 设某物体的速度v关于时间t的函数为v = t^2 2t + 3，求物体在t = 1时的加速度和减速度。

四、综合题1. 已知函数f(x) = arctan(x^2)，求f''(x)。

2. 设y = (x^2 + 1) e^x，求y的第四阶导数。

3. 已知y = x^3 ln(x)，求y的第三阶导数。

4. 设f(x) = (1 + x^2)^(1/2)，求f''(x)。

5. 已知y = (x^4 2x^2 + 1)^(1/3)，求y的第四阶导数。

高阶导数1． 填空题.（1）x y 10=，则()()=0n y. （2）y x =sin 2，则()()y x n = ..2． 选择题. （1）设f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( )A.'<f x ()0且''<f x ()0； B.'<f x ()0 且''>f x ()0； C.'>f x ()0且''<f x ()0； D.'>f x ()0 且''>f x ()0.（2）设函数()yf x =的导数'f x ()与二阶导数''f x ()存在且均不为零，其反函数为()x y =ϕ，则()''=ϕy ( )A ．()1''f x ； B. ()()[]-'''f x f x 2；C. ()[]()'''f x f x 2； D. ()()[].3x f x f '''- 3. 求下列函数的n 阶导数. (1) .)1(αx y += (2) .5x y =4．计算下列各题.（1）()y x x =-11，求()().24y （2）()ye x x =-21，求().20y （3）y x x =-+1322，求()y n . （4）x y 2sin =，求().n y（5）,2sin 2x x y = 求()..50y5. 设x x f 2cos )(cos '=，求).(''x f6. 已知)(''x f 存在，)(ln x f y =，求'.'y隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1． 设y ey x x sin 22=-，求.dx dy 2． 设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dx dy3．求曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t ty t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 4．利用对数求导法求导数.（1）.1sin x e x x y -=（2）().sin ln x x y =5．设()y y x =由方程e y x xy +-=350所确定，试求d d y x x =0，.d d 022=x x y 6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.（1） 设()x t y e t ==+⎧⎨⎪⎩⎪-ln sin tan 1，02<<⎛⎝ ⎫⎭⎪t π，求.d d x y （2） 设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，求.0=t dx dy 7．已知函数()()f x ax bx c x x x =++<+≥⎧⎨⎪⎩⎪2010,ln , ，在点x =0处有二阶导数，试确定参数a b c ,,的值.函数的微分1． 填空题.（1）设x x y 22-=在x 02=处∆x =001.，则=∆y ，=y d . (2) 设()y f x =在x 0处可微，则=∆→∆y x 0lim .（3）函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x .（4）d .1dx x = （5）d .3dx e x =（6）d .112dx x -=（7）d .2tan 2sec xdx x =.2． 选择题.（1） 设()y f u =是可微函数，u 是x 的可微函数，则d y =( )A ．();d x u u f 'B ．();d x u f 'C ．();d u u f 'D ．().d u u u f ''（2） 若f x ()可微，当∆x →0时，在点x 处的∆y y -d 是关于∆x 的 ( )A ．高阶无穷小；B ．等价无穷小；C ．同阶无穷小；D ．低阶无穷小. （3） 当∆x 充分小，'≠f x ()0时，函数()y f x =的改变量∆y 与微分d y 的关系是( )A ．;d y y =∆B ．;d y y <∆C ．;d y y >∆D ．.d y y ≈∆（4）()y f x =可微，则d y ( )A ．与∆x 无关；B ．为∆x 的线性函数；C ．当∆x →0时是∆x 的高阶无穷小；D ．当∆x →0时是∆x 的等价无穷小.3．求下列函数的微分.（1）.412x x y += （2）.2cos x x y =（3）.2x e x y -=（4） .1cos 2x x y -= （5）.)2ln (ln 3x y =4．设x x x y cos ln 22-=，求1=x dy .5．)(x f 可微，)(sin )(sin x f x f y -=，求.dy6．223y xy x y ++=，求.dy7．计算302.1和98.0ln 的近似值.8.钟摆摆动的周期T 与摆长l 的关系是g l T π2=，其中g 是重力加速度。

高中导数与微分精选练习题1. 导数的定义问题1给定函数$f(x) = 3x^2 + 2x - 5$，求函数$f(x)$在$x = 2$处的导数。

解答：导数的定义是函数在某一点的切线斜率，可以用极限的概念来表示。

函数$f(x)$的导数可以用$f'(x)$表示，即$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。

首先，计算函数$f(x)$在$x = 2$处的导数。

将$x = 2$代入函数$f(x)$得$f(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 15$。

接下来，我们计算导数的定义式。

将$x = 2$代入定义式得到：\[f'(2) = \lim_{h\to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{3(2+h)^2 + 2(2+h) - 5 - 15}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{12h + 3h^2 + 6h + 7}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} (3h + 6 + \frac{7}{h})\]\[= 6\]所以，函数$f(x)$在$x = 2$处的导数为6。

问题2对于函数$g(x) = \sqrt{4x + 1}$，求函数$g(x)$在$x = 3$处的导数。

解答：首先，计算函数$g(x)$在$x = 3$处的值。

将$x = 3$代入函数$g(x)$得$g(3) = \sqrt{4(3) + 1} = \sqrt{13}$。

接下来，我们使用导数的定义来计算导数。

将$x = 3$代入定义式得到：\[g'(3) = \lim_{h\to 0} \frac{g(3+h) - g(3)}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{4(3+h) + 1} - \sqrt{13}}{h}\]由于根式的导数计算比较复杂，我们可以将定义式进行简化，令$t = 3 + h$，则上述式子可以改写为：\[g'(3) = \lim_{t\to 3} \frac{\sqrt{4t + 1} - \sqrt{13}}{t - 3}\]接下来，我们使用极限性质来计算该极限。

【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。

【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zxye zxye xy xy +==---1122()()。

（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。

【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得yz x x z xz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z -+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。

【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z=-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz x y z ++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。

第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。

第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。