§6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、内容和内容解析内容：平面向量数乘运算的坐标表示．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第四课时的内容．前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握向量数乘运算的坐标表示.（2）会根据向量的坐标，判断向量是否共线．目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用分配律，推导出向量数乘运算的坐标表示．（2）三点共线问题和定比分点问题都可以转化为向量平行问题，利用共线向量基本定理推导得出结论.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数乘运算的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导向量数乘运算的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数乘运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合平面向量的坐标表示推理出结论．2. 教学问题二：研究三点共线和定比分点问题是本节课的第二个教学问题．解决方案：将三点共线转为两个向量平行，利用共线向量基本定理，结合平面向量基本定理推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：向量的坐标表示的理解及运算的准确性．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数乘运算的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点的目的．在教学过程中，重视平面向量数乘运算的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1506＋502＝2 008(km).晶晶：502×4＝2 008(km).可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.用实际问题引入，激发学生学习的积极性.探索交流，解决问题[问题1]当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？[问题2]如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？[问题3]已知a＝(x，y)，你能得出2a、3a的坐标吗？【练习】已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________.[问题4]如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向教师1：提出问题1．学生1：学生思考．横、纵坐标均不为0时成比例.教师2：提出问题2．学生2：能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.教师3：提出问题3．学生3：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x,2y)；3a＝2a＋a＝(2x,2y)＋(x，y)＝(3x,3y)．教师4：平面向量数乘运算的坐标表示：已知a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标．教师5：完成练习学生4：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).教师6：提出问题4.通过复习共线向量定理引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.量定理，a 与b 共线时，存在唯一实数λ，使a ＝λb ，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a 与b 的坐标之间的关系吗？[问题5]如图，线段P 1P 2的端点P 1，P 2的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，点P 是直线P 1P 2上的一点，当21PP P P λ=时，点P 的坐标是什么？学生5：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1y 2＝x 2y 1.教师7：平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1))，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.教师8：中点坐标公式 若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.教师9：提出问题5.学生6：)1,1(2121λλλλ++++y y x x P通过探究让学生掌握向量的数乘的坐标表示，培养数学运算的核心素养.通过探究得出一般结论，通过学生解决问题的能力.典例分析巩固落实 1.向量数乘运算的坐标表示 例1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3，－4)，c ＝(－2,6)，试求a ＋3b, 3a －2b ＋12c .2.平面向量共线的坐标运算 例2.已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b教师10：完成例1．学生7：因为a ＝(1,2)，b ＝(3，－4)，c ＝(－2,6)，所以a ＋3b ＝(1,2)＋3(3，－4)＝(1,2)＋(9，－12)＝(10，－10)，3a －2b ＋12c ＝3(1,2)－2(3，－4)＋12(－2,6)＝(3,6)－(6，－8)＋(－1,3)＝(－4,17)． 教师11：完成例2学生8：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，通过例1进一步掌握向量加法、减法、数乘向量的坐标运算，提高学生的观察、概括能力.通过例2练习共线向量的坐标运算，平行？平行时它们是同向还是反向？3.向量共线的判定及解决点共线问题例3.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A ，B ，C 三点共线．[课堂练习] 1.已知()()2,1,3,4a b ==- ，求34a b +的坐标.2.已知()()4,2,6,a b y ==，且a b ，求y .当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．学生9：k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行， ∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.故k a ＋b 与a －3b 反向．教师12：完成例3学生10：∵A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线， ∴存在实数λ，使得AB →＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋m j )．于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2.故m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线． 教师13：布置课堂练习1、2． 学生11：完成课堂练习，并核对答案．提高学生解决问题的能力.通过例3练习共线向量的坐标运算，提高学生解决问题的能力.[问题6]通过这节课，你学到了什么知识？教师13：提出问题6．学生11：师生共同回顾总结：引领课堂小结升华认知在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a－2b的坐标是()A．(5，3)B．(4，3)C．(8，3)D．(0，－1)2．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝()A．－9B．9C．3D．－33．与向量a＝(1，2)平行，且模等于5的向量为________．4．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．学生12：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：B、B、(1，2)或(－1，－2)、x＝12.学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
