第4讲平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形正方形已知夹角的任意三角形矩形直角梯形平行四边形等腰梯形圆【题型目录】【题型目录】题型一：建坐标系求向量值题型二：三角形建坐标系求向量最值问题题型三：四边形建坐标系求向量最值问题题型四：多边形建坐标系求向量最值问题题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一：建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅= （）A ．-15B ．-13C ．13D ．14则()120A -，，(00)B ，，(08)C ，，(60)F -，，又3CE =，8CB =，12AB =，则2210CF CB BF =+=，即310CE FC =，即710FE FC =，则()77601010BE BF FE BF FC +==+=-+ ，()(776,81010EA EF FA CF FA =+=+=--+- 【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，由正三角形CDE 及正方形ABCD ()()2,2,1,23C E +，所以()()2,21,23AC AE →→⋅=⋅+=故选：D【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（）A 0OE OG ++=B ．OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为2OH - 【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：在正八边形ABCDEFGH 中，由AOB BOC COD DOE ∠=∠=∠=∠360458GOH HOA =∠=∠== 过A 作AM HD OM AM⊥⇒=因为2OA =，所以OM AM ==所以(2,2),(0,2),(2,A B E ---【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺【答案】C 【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺），5AD = （尺），()22251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴= ，()10,12DE =- ，5014494AC DE ∴⋅=-+= （平方尺）．故选：C.【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB =uuu r ，2AD = ，3DM MC = ，BP PC = ，则AM AP ⋅= （）A ．6B ．10C ．14D ．38【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM uuu r uuur的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A ,()2,4,D ()2,0C 由BP PC = ，则()1,0P ,由3DM MC = ，则()2,1M 所以()1,4AP =-uuu r ,()2,3AM =-uuur 所以()()124314AM AP ⋅=⨯+-⨯-=uuur uuu r 故选：C。
