高一数学平面向量坐标表示

平面向量的坐标表示与方向角平面向量是平面上的有向线段，既有大小又有方向。

为了方便表示和计算，我们可以使用坐标表示和方向角来描述平面向量。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以使用二维坐标来表示平面上的点。

同样地，我们可以使用两个实数来表示一个平面向量。

设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂, y₂)。

则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。

举例说明：若A(1, 2)和B(4, 5)是平面上的两个点，可以计算得到向量AB的坐标表示为(3, 3)。

二、平面向量的方向角平面向量的方向可以用方向角来表示。

方向角是从正 x 轴逆时针旋转到向量所在直线的角度。

设平面向量为AB，与正 x 轴的夹角为θ（0 <= θ < 2π）。

则向量AB的极坐标表示为(│AB│, θ)，其中│AB│表示向量AB的长度。

计算方向角θ的方法如下：1. 若向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，则有tanθ = Δy/Δx。

- 当Δx > 0时，θ = arctan(Δy/Δx)。

- 当Δx = 0且Δy > 0时，θ = π/2。

- 当Δx = 0且Δy < 0时，θ = 3π/2。

- 当Δx < 0时，θ = arctan(Δy/Δx) + π。

2. 根据θ的值的范围，进行调整使其满足0 <= θ < 2π。

举例说明：若向量AB的坐标表示为(3, 3)，则有tanθ = 3/3 = 1，所以θ = π/4。

由于0 <= π/4 < 2π，θ = π/4就是向量AB的方向角。

三、使用坐标表示和方向角求解平面向量的运算使用坐标表示和方向角可以方便地进行平面向量的运算，包括加减法和数量乘法。

1. 加减法：设向量AB的坐标表示为(Δx₁, Δy₁)，向量CD的坐标表示为(Δx₂, Δy₂)。

高一数学知识点向量坐标高一数学知识点之向量坐标引言：在高中数学课程中，向量坐标是一项重要的内容，它涉及到平面向量在坐标系中的表示和运算。

本文将以高一数学知识点之向量坐标为主题，探讨向量坐标的基本概念、运算规律以及在几何问题中的应用。

一、向量坐标的基本概念向量坐标是指用有序数对表示的具有大小和方向的量，常用于描述平面中的几何图形和物体的运动。

在笛卡尔坐标系中，一个向量可以表示为(a, b)，其中a表示向量在x轴上的分量，b表示向量在y轴上的分量。

二、向量坐标的表示方法向量坐标有两种表示方法：分量表示法和行列式表示法。

1. 分量表示法在分量表示法中，向量的分量分别对应于向量在x轴和y轴上的投影长度。

例如，向量A的分量表示为A=(a, b)，其中a表示A 在x轴上的分量，b表示A在y轴上的分量。

2. 行列式表示法行列式表示法是通过一个二维矩阵来表示向量的坐标。

例如，向量A可以表示为A=[a; b]，其中a和b分别表示矩阵的第一列和第二列元素。

三、向量坐标的运算规律向量坐标的运算包括加法、减法和数乘运算。

1. 加法运算向量坐标的加法运算遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后将其终点连接起来，得到一个新的向量。

例如，向量A=(a1, b1)和向量B=(a2, b2)的和为A+B=(a1+a2, b1+b2)。

2. 减法运算向量坐标的减法运算可以通过加上另一个向量的相反数来实现。

例如，向量A=(a1, b1)减去向量B=(a2, b2)的结果为A-B=(a1-a2,b1-b2)。

3. 数乘运算向量坐标的数乘运算是将向量的每个分量乘以一个实数。

例如，向量A=(a, b)乘以实数k的结果为kA=(ka, kb)。

四、向量坐标在几何问题中的应用向量坐标在几何问题中有着广泛的应用，涉及到几何图形的性质、距离计算和方向判断等方面。

1. 几何图形的性质通过向量坐标，我们可以判断几何图形的形状和性质。

例如，通过计算向量的模长可以判断直线的长度，通过向量的夹角可以判断直线的相互关系（平行、垂直等）。

6.3 平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．二、用基底表示向量用基底表示向量的一般方法(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．三、平面向量基本定理的应用(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．四、平面向量的坐标表示1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．3．坐标表示：a＝(x，y)．4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．五、平面向量加、减法的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表，符号表示加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要结论已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)六、平面向量坐标运算的应用坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．七、数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．八、向量共线的判定设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a ，b 共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 九、 利用向量共线的坐标表示求参数 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量共线的坐标表示直接求解．提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 十、有向线段定比分点坐标公式及应用对任意的λ(λ≠－1)，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 注意点：(1)λ的值可正、可负．(2)分有向线段的比与线段长度比不同． 十一、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a |2＝a ·a .(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. (3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2. 十二、平面向量的模1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12.求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．十三、平面向量的夹角、垂直问题设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.1．cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.2．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.考点一 平面向量的基本定理【例1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．()()120,0,1,2e e == B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底；对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B.【练1】(2020·广东云浮市·高一期末)下列各组向量中，可以作为基底的是( )． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e =C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B考点二 加减数乘的坐标运算【例2】(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－4，－2) C ．(2，4) D ．(4，2)【答案】A【解析】M (－3，3)，N (－5，－1)，()=2,4MN ∴--.故选：A【练2】(2020·苍南县树人中学高一期中)已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为( ) A ．()0,0 B ．()1,1 C ．()2,2-- D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C. 考点三 共线定理的坐标表示【例3】(2020·全国高一)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是( ) A ．6 B ．2- C ．6- D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- ,若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B【练3】(2020·新绛县第二中学高一月考)已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB共线的单位向量为( )A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】B【解析】因为()13A ，，()41B -，，所以向量()3,4AB =-， 所以与向量AB 共线的单位向量为3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故选：B 考点四 向量与三角函数的综合运用【例4】(2021·湖南)已知向量(cos 2sin ,2)a θθ=-，(sin ,1)b θ=，若a //b ，则tan 2θ的值为( )A ．14B ．34C ．815D ．415【答案】C【解析】因为a //b ，故可得22cos sin sin θθθ-=，故可得14tan θ=，又22284211tan 15116tan tan θθθ===--.故选：C【练4】(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 【答案】3π【解析】∵a //b ,∴3sin 3cos 0αα-=，又α为锐角，cos 0α≠，∴tan 3α=，3πα=．故答案为：3π．考点五 奔驰定理解三角形面积【例5】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知O 为ABC ∆内一点，且有23OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为( ) A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】设D 是AC 的中点，则2OA OC OD +=， 又因为23OA OC BC +=，所以223OD BC =,3BC OD =，//OD BC ， 所以12OBC DBC ABC ABC S S DC S S AC ∆∆∆∆===故选：C 【练5】(2020·江西)在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为( )A ．14B ．13C ．23 D ．16【答案】B【解析】设AC 的中点为点E ，则有2BA BC BE +=，又3BA BC BP +=，所以23BP BE =，则点P 在线段BE 上，因为D 为BC 的中点，所以得点P 为ABC 的重心，故ABP △与ABC 面积之比为13.故选：B考点六 数量积的坐标运算【例6】(2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末)向量()()2112a b =-=-，，，，则()2a b a +⋅=( ) A ．1 B ．1- C ．6- D ．6【答案】D【解析】因为()()2112a b =-=-，，，所以()()23,0(2,1)3206a b a +⋅=⋅-=⨯+=故选：D【练6】(2021·深圳市龙岗区)已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b ( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-，()5,4b =-，所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=，故选：C考点七 巧建坐标解数量积【例7】(2020·山东济南市·)在ABC 中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC所在平面上任意一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为( )A ．1B ．12-C ．－1D ．-2【答案】C【解析】如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ，(,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--，∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--，∴当11,22x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值1-．故选：C ．【练7】(2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．(1)求AP AQ ⋅；(2)若AC AP AQ λμ=+(λ，μ∈R )，求λμ的值. 【答案】(1)14；(2)23λμ=. 【解析】如图，分别以边AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴， 点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,3P ，()4,0B ，()4,3C ，()4,2Q .(1)∵()2,3AP =，()4,2AQ =，∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. (2)∵()4,3AC =，()2,3AP =，()4,2AQ =，由AC AP AQ λμ=+，得()()4,324,32λμλμ=++，∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=. 考点八 数量积与三角函数综合运用【例8】向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．3【答案】A【解析】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++，故选A ． 【练8】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( )A ．1B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A . 考点九 数量积与几何的综合运用【例9】(2020·陕西渭南市·高一期末)已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---.(1)若点A ，B ，C 能够成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值. 【答案】(1)12m ≠；(2)74m =. 【解析】(1)已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---， 若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与BC 不共线.()3,1AB =，()2,1AC m m =--，故知()312m m -≠-，∴实数12m ≠时，满足条件.(2)若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥，∴()()3210m m -+-=，解得74m =. 【练9】(2020·辽宁)已知向量．(1)若ΔABC 为直角三角形，且∠B 为直角，求实数λ的值．(2)若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．【答案】(1)λ=2；(2)λ≠−2．【解析】∵即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2(2)∵若点A、B、C能构成三角形，则A、B、C不共线∴−7(3λ−2)≠7(6−λ)∴实数λ应满足的条件是λ≠−2课后练习1. （2021·内江模拟）已知空间三点 O(0,0,0) ， A(−1,1,0) ， B(0,1,1) ，在直线 OA 上有一点 H 满足 BH ⊥OA ，则点 H 的坐标为. A.(12,−12,0) B.(−12,12,0) C.(−2,2,0) D.(2,−2,0) 【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算【解析】由O （0，0，0），A （﹣1，1，0），B （0，1，1）， ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = （﹣1，1，0），且点H 在直线OA 上，可设H （﹣λ，λ，0）， 则 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （﹣λ，λ﹣1，﹣1）， 又BH ⊥OA ， ∴ BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0， 即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0， 即λ+λ﹣1＝0， 解得λ =12 ，∴点H （ −12 ， 12 ，0）． 故答案为：B ．【分析】根据已知中空间三点O(0,0,0)，A(−1,1,0)，B(0,1,1)，根据点H 在直线OA上，我们可以设出H点的坐标(含参数λ) ,进而由BH⊥OA，根据向量垂直数量积为0，构造关于λ的方程，解方程即可得到答案.2.（2021高二上·辽宁月考）若a=(2,2,0)，b⃗=(1,3,z)，<a ,b⃗>=π3，则z等于（）A. √22B. −√22C. ±√22D. ±√42【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】由空间向量夹角的余弦公式得cos<a ,b⃗>=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2×1+2×3+0×z2√2×√12+32+z2=2√2√10+z2=12，解得z=±√22。

第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0)例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。