平面向量的坐标运算
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例1 如图3，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。
y
A2
b
A j Oi
a A1
x
c
d
图3
解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j, ∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3)
（x1,y1）= λ(x2,y2)
即 x1= λx2 y1= λy2
消去λ后得 x1y2-x2y1=0
也就是说，a//b(b<>0)的充要条件是
x1y2-x2y1=0
平面向量的坐标运算
一、提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？
既有大小又有方向的量叫向量， 一般用有向线段表示。
2、有向线段的三个要素是什么？
三要素是：起点、方向和长度。
3、什么叫相等向量？
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
一、平面向量的坐标表示
如图1，在直角坐标系内，我们
y
分别取与x轴、y轴方向相同的两
结论：
一个向量的坐标等于表示此向量
的有向线段的终点的坐标减去始点的
坐标。
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 根据上面的结论，有
y
AB= OB - OA
A(x1,y1)
B(x2,y2)
= (x2,y2) - (x1,y1)
O
x
= (x2-x1,y2-y1)
已知a=(x,y)和实数λ，那么
二、平面向量的坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则
a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
个单位向量i、 j作为基底，任何
a
一个向量a，由平面向量基本定理
j
可知，有且只有一对实数x、y，使
得
Oi
x
a=xi+yj
我们把（x,y)叫做向量a 的（直
角）坐标，记作
图1
a=(x，y),
其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫
做a在y轴上的坐标，（x ,y）叫做
向量的坐标表示。
y
y A（x,y） a
如图2，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a惟一确定。
j
a i
Ox
图2
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 x （x,y)就是点A的坐标；反过来，
点A的坐标（x,y)也就是向量OA 的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数惟一表示。
着∈万变飞影森林掌←的鸭头状的仙翅枕头环，随着蘑菇王子的旋动，鸭头状的仙翅枕头环像笔头一样跳跃。接着他念动咒语：“森林嚷噎唷，小子嚷噎唷，森林小 子嚷噎唷……∈神音蘑菇咒←！掌！掌！掌！”只见蘑菇王子的身影射出一片淡灰色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的亮黑色光狐，似奇影一样直奔 深灰色银光而去……！只听一声古怪虚幻的声音划过，五只很像刚健轻盈的身形般的奶油状的片片闪光物体中，突然同时窜出九簇晶莹透明的中灰色飞丝，这些晶莹 透明的中灰色飞丝被虹一扭，立刻化作摇曳的云丝，不一会儿这些云丝就怪舞着飘向巍峨仙柱的上空……很快在海月光色的庞然丝绸上面形成了地影色的 ，醒目的 标题是：《Ｐ．基莫姆道长表演流派的二十三种构架》，而全部文字正好一万字，这时丝绸上面的文字颜色开始不断的闪烁变化，越来越亮突然，只见丝绸顶部猛然 射出一片浓绿色的明光，这片神光很快化作密如蜂群的隐隐约约的雨点，以飘然 飞向每个ｌ官和所 有在场的学生，随着声声奇妙的声响，这些雨点都变成了一份份 ｌ 题的答卷……与此同时，闪亮的文字纷纷变成光闪闪的浓绿色珍珠从上面纷纷落下，瞬间在七只巨碗之上变成了轮廓分明的跳动自由的团体操……蘑菇王子：“哈哈 ！妙呵！这玩法儿甩得遍地是泥汤，满天是豆浆……！”知知爵士：“该换咒语了，学长！”蘑菇王子：“知道了，该用哪个咒语了！”知知爵士：“第二个卡片上 的咒语！”这时，蘑菇王子陡然演了一套，摇雁门铃翻三千二百四十度外加牛啸香槟旋十九周半的招数，接着又耍了一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九 周的恬淡招式。接着像飞云瀑布般的海沙色月光风衣突然飞出云冰五静色的晚欢仙境味……浅浅的体香跃出鹅怪丑闹声和呜呜声……力神般的骨骼变幻莫测射出狗鬼 夜欢般的飘舞……紧接着富于变化的手指整个狂跳蜕变起来……灵快如风的神脚跃出墨紫色的缕缕弧云……灵敏小巧的薄耳朵闪出纯黄色的丝丝怪热！最后旋起灵快 如风的神脚一嚎，变态地从里面弹出一道鬼光，他抓住鬼光风流地一转，一组蓝冰冰、紫溜溜的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖 动，一边发出“咝咝”的仙响……悠然间蘑菇王子全速地扭起光洁柔韧、明亮红润的皮肤，只见他充满活力、青春四射的幼狮肩膀中，酷酷地飞出九串摆舞着∈万变 飞影森林掌←的蚯蚓状的精灵，随着蘑菇王子的扭动，蚯蚓状的精灵像弹头一样在拇指神秘地搞出飘飘光烟……紧接着蘑菇王子又用自己充满活力的幼狮肩膀敲打出 墨蓝色秀丽漫舞的插座，只见他灵快如风的神
λ a=(向量的积的坐 标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
三、向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b<>0,那么 可以知道，a//b的充要条件是存在 一实数λ，使
a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为
例1 如图3，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。
y
A2
b
A j Oi
a A1
x
c
d
图3
解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j, ∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3)
（x1,y1）= λ(x2,y2)
即 x1= λx2 y1= λy2
消去λ后得 x1y2-x2y1=0
也就是说，a//b(b<>0)的充要条件是
x1y2-x2y1=0
平面向量的坐标运算
一、提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？
既有大小又有方向的量叫向量， 一般用有向线段表示。
2、有向线段的三个要素是什么？
三要素是：起点、方向和长度。
3、什么叫相等向量？
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
一、平面向量的坐标表示
如图1，在直角坐标系内，我们
y
分别取与x轴、y轴方向相同的两
结论：
一个向量的坐标等于表示此向量
的有向线段的终点的坐标减去始点的
坐标。
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 根据上面的结论，有
y
AB= OB - OA
A(x1,y1)
B(x2,y2)
= (x2,y2) - (x1,y1)
O
x
= (x2-x1,y2-y1)
已知a=(x,y)和实数λ，那么
二、平面向量的坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则
a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
个单位向量i、 j作为基底，任何
a
一个向量a，由平面向量基本定理
j
可知，有且只有一对实数x、y，使
得
Oi
x
a=xi+yj
我们把（x,y)叫做向量a 的（直
角）坐标，记作
图1
a=(x，y),
其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫
做a在y轴上的坐标，（x ,y）叫做
向量的坐标表示。
y
y A（x,y） a
如图2，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a惟一确定。
j
a i
Ox
图2
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 x （x,y)就是点A的坐标；反过来，
点A的坐标（x,y)也就是向量OA 的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数惟一表示。
着∈万变飞影森林掌←的鸭头状的仙翅枕头环，随着蘑菇王子的旋动，鸭头状的仙翅枕头环像笔头一样跳跃。接着他念动咒语：“森林嚷噎唷，小子嚷噎唷，森林小 子嚷噎唷……∈神音蘑菇咒←！掌！掌！掌！”只见蘑菇王子的身影射出一片淡灰色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的亮黑色光狐，似奇影一样直奔 深灰色银光而去……！只听一声古怪虚幻的声音划过，五只很像刚健轻盈的身形般的奶油状的片片闪光物体中，突然同时窜出九簇晶莹透明的中灰色飞丝，这些晶莹 透明的中灰色飞丝被虹一扭，立刻化作摇曳的云丝，不一会儿这些云丝就怪舞着飘向巍峨仙柱的上空……很快在海月光色的庞然丝绸上面形成了地影色的 ，醒目的 标题是：《Ｐ．基莫姆道长表演流派的二十三种构架》，而全部文字正好一万字，这时丝绸上面的文字颜色开始不断的闪烁变化，越来越亮突然，只见丝绸顶部猛然 射出一片浓绿色的明光，这片神光很快化作密如蜂群的隐隐约约的雨点，以飘然 飞向每个ｌ官和所 有在场的学生，随着声声奇妙的声响，这些雨点都变成了一份份 ｌ 题的答卷……与此同时，闪亮的文字纷纷变成光闪闪的浓绿色珍珠从上面纷纷落下，瞬间在七只巨碗之上变成了轮廓分明的跳动自由的团体操……蘑菇王子：“哈哈 ！妙呵！这玩法儿甩得遍地是泥汤，满天是豆浆……！”知知爵士：“该换咒语了，学长！”蘑菇王子：“知道了，该用哪个咒语了！”知知爵士：“第二个卡片上 的咒语！”这时，蘑菇王子陡然演了一套，摇雁门铃翻三千二百四十度外加牛啸香槟旋十九周半的招数，接着又耍了一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九 周的恬淡招式。接着像飞云瀑布般的海沙色月光风衣突然飞出云冰五静色的晚欢仙境味……浅浅的体香跃出鹅怪丑闹声和呜呜声……力神般的骨骼变幻莫测射出狗鬼 夜欢般的飘舞……紧接着富于变化的手指整个狂跳蜕变起来……灵快如风的神脚跃出墨紫色的缕缕弧云……灵敏小巧的薄耳朵闪出纯黄色的丝丝怪热！最后旋起灵快 如风的神脚一嚎，变态地从里面弹出一道鬼光，他抓住鬼光风流地一转，一组蓝冰冰、紫溜溜的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖 动，一边发出“咝咝”的仙响……悠然间蘑菇王子全速地扭起光洁柔韧、明亮红润的皮肤，只见他充满活力、青春四射的幼狮肩膀中，酷酷地飞出九串摆舞着∈万变 飞影森林掌←的蚯蚓状的精灵，随着蘑菇王子的扭动，蚯蚓状的精灵像弹头一样在拇指神秘地搞出飘飘光烟……紧接着蘑菇王子又用自己充满活力的幼狮肩膀敲打出 墨蓝色秀丽漫舞的插座，只见他灵快如风的神
λ a=(向量的积的坐 标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
三、向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b<>0,那么 可以知道，a//b的充要条件是存在 一实数λ，使
a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为
