高一数学教案平面向量的坐标运算(2

平面向量的坐标运算（一）（教案）教学目标：知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算.过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力；（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；（2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质；（3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律.教学重点和教学难点：教学重点：平面向量的坐标运算；教学难点：平面向量坐标的意义.教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式.教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计：一、创设问题情境，引入课题.同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。

”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量.思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答）（不能，因为向量既有大小，又有方向）思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考）在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？让我们先来探讨这样一个问题：探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 请学生动手完成并回答： 根据向量加法的几何意义，我们只要把分解在,i j 的方向上，就可得到： 33a i j =+，同理可得2b i j =-+33c i j =+ 42d i j =- 我们用,i j 来表示的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生） 由此复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数12λλ，，使1122=a e e λλ+，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底.强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的.二、理解概念，加深认识.根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标.推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义）如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得a xi yj =+…………○1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作yx－1 －4O －2 －3 1 23 4b a cd －1 1 2 3 4 5 －3 －4 －5 i j －2(,)a x y =…………○2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 在定义中，要注意a xi yj =+(,)x y =定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底方向的分解形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在、方向的分解形式.结合定义，指导学生求出向量、、，OP 的坐标.（多媒体演示）在坐标系中观察，向量及OP 的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标.类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？结合向量坐标的定义，将平移前后的向量分别分解在基底的方向上，所得四边形是全等的，因此，这两个向量的坐标相同.也可这样理解，通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.三、自主探索，推导法则.前面所学的向量的加法、减法、实数与向量的积这几种运算的结果是向量，因此，引入向量后，这些运算的结果也能用坐标表示，1122(,),(,),,(,),a x y b x y a b a b a x y a λλ==+-=探究二： (1)已知 求 的坐标.(2)已知和实数求 的坐标.请学生以四人小组为单位，自己讨论推导，再将推导方法及所得结论在班上进行交流，最后，教师再来归纳整理，由此得出平面向量的坐标运算法则：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差： ),(2121y y x x b a ±±=±→→（其中),(),,(2211y x b y x a ==→→） （2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：若),(y x a =→，则),(y x a λλλ=→；(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+练习1 .已知求 的坐标. 探究三：通过前面的学习，我们知道，起点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不在原点的向量，又该如何来确定其坐标？若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？先来看一个具体的例子：求出图中的向量的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？.再将A,B 的坐标指导学生进行证明，关键说明道了向量, OB 的坐标，而AB OB =-由此，终点的坐标减去始点的坐标.练习2.(2,3),(3,5),A B BA =-(1)已知求 的坐标.(1,2),(2,1),AB A B =-（2）已知求 的坐标.(1,2),(2,1),AB B A =-（3）已知求 的坐标. 四、巩固应用，加深理解.例1、 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、 （-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标.解：设顶点D 的坐标为(,)x y例2、已知平面上三点的坐标分别为A (-2, 1), B (-1, 3), C (3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边(1,2)(3,4),12=(3,4)31242222AB DC x y AB DC x y x x y y D ==--=---==⎧⎧∴∴⎨⎨-==⎩⎩∴， 由得（，）点的坐标为（，）.(2,3)1形的四个顶点.（引导学生思考，多媒体演示）分析：未固定四边形四个顶点的顺序，因此，点D 的位置有3个.五、课堂小结.（先请学生归纳，再由教师完善）1.平面向量的坐标的概念；2.几个重要结论：(1)相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等向量；(2)起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标.（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 即：11222121(,),(,),(,)A x y B x y AB x x y y =--若则3.平面向量的坐标运算:1122(,),(,),a x y b x y ==若1212(,),a b x x y y +=++则(1)1212(2)(,),a b x x y y -=--11(3)(,)a x y λλλ=六、布置作业.（必做题）课本P114. 2.3.4（选做题）我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系.平面上任意一点P 的斜坐标定义为：若12OP xe ye =+（其中1e 、2e 分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，x 、y ∈R ），则点P 的斜坐标为（x , y ）.在平面斜坐标系xoy 中，若60xoy ︒∠=，已知点M 的斜坐标为 (1, 2)，则点M 到原点O 的距离为 .（使学生进一步加强对向量坐标表示的理解，把对数学知识的探究由课内延伸到课外）平面向量的坐标运算（一）（教案说明）一、教学内容分析及目标设定.向量是“形”与“数”的结合体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与三角、数列、函数、解析几何、立体几何等内容交叉渗透，自然地交汇在一起；同时，向量具有丰富的物理背景，在物理中应用很广泛，因此，向量是中学数学学习中一个重要的内容。

第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示教学设计一、教学目标1.掌握平面向量加、减运算的坐标表示.2.会用向量求两向量的和与差.3.理解向量的坐标与表示有向线段起、终点坐标的关系.二、教学重难点1、教学重点平面向量加、减运算的坐标表示.2、教学难点平面向量加、减运算的坐标表示.三、教学过程1、新课导入上节课我们已经学习了平面向量的坐标表示，掌握了平面向量与一对有序实数的一一对应关系，那么如何运用坐标进行向量的加、减运算呢？这节课我们就来一起学习一下平面向量加、减运算的坐标表示.2、探索新知一、平面向量加、减运算的坐标表示已知11)(,x y =a ，22) (,x y =b ， 则1122()()x y x y +++=+i j i a j b 1212x x y y =+++i i j j 1212)(()x x y y =+++i j ，即1212)(,x x y y ++=+a b .同理可得1212)(,x x y y --=-a b .两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.例1 已知)2(3,=a ，,) (21-=b ，求+a b ，-a b 的坐标. 解：2(3,)(2,11,(3))-+=+=a b ，,2(3)(2,15,()1)--=-=a b .如图，已知11(),A x y ，22(),B x y ，求AB 的坐标.如图，作向量OA ，OB ，则22112121((,,(,)))x y x y x x y A OA y B OB =-=--=-.因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 例2 如图，已知ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是()2,1-，()1,3-，(3,4)，求顶点D 的坐标.解法一：设顶点D 的坐标为(),x y .因为2(1()),311,2()AB =---=-，(34,)x y DC =--，又AB DC =，所以(1,2)(3,)4y x =--.即2413y x ⎧⎨=-=-⎩，解得22x y ⎧⎨==⎩， 所以顶点D 的坐标为(2,2).解法二：如图，由向量加法的平行四边形法则可知1),131(2()+(),4333(,1())BD BA BC =+=-------=-，而(3,12,2(1,3))()OD OB BD =+=--=+，所以顶点D 的坐标为(2,2).3、课堂练习1.在平行四边形ABCD 中，(1,2)A =，5)(3,B =，(1),2AD =-，则AC BD +等于( ).A.(2,4)-B.(4,6)C.(6,2)--D.()1,9-答案：A解析：因为(1,2)A =，5)(3,B =，所以(2,3)AB =，又(1,2)AD =-，所以(1,5)AC AB AD =+=，(3,1)BD AD AB =-=--，所以(2,4)AC BD +-=，故选A. 2.在平行四边形ABCD 中，若(3,1)AB =，(2,4)AC =，则BD =( )A.(4,2)-B.(4,2)--C.(4,2)D.(4,)2- 答案：A解析：(1,3)BC AC AB =-=-，(4,2)BD BC CD BC AB =+=-=-.故选A.3.已知(3,2)M -，(5,1)N -，若NP MN =，则点P 的坐标为( )A.(3,2)B.(3,1)-C.(7,0)D.(1,0)答案：C解析：设点P 的坐标为(,)x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(7,0)，故选C. 4、小结作业小结：本节课学习了平面向量加、减运算的坐标表示.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示1.平面向量加、减运算的坐标表示：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.。

6.2.3平面向量的坐标及其运算-人教B版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解平面向量的概念，掌握向量坐标表示方法和向量的基本运算法则；2.理解向量的加、减、数乘和数量积的几何意义，并能熟练运用；3.能够解决平面向量的线性方程组问题；4.能够灵活运用平面向量的计算方法，解决与平面向量有关的几何问题。

教学重难点重点：向量坐标表示方法，向量的基本运算法则。

难点：向量的线性方程组问题。

教学过程1. 引入教学向学生展示两个不同的向量，向学生询问是否能知道这两个向量的大小和方向，引发学生对向量的疑惑和兴趣。

2. 向量的概念向学生讲解向量的概念，引导学生感受向量的大小、方向和作用，并向学生展示向量在几何图形中的应用。

3. 向量的表示方法引导学生进行向量的初、末点表示法，并着重讲解向量的坐标表示方法及坐标表示的唯一性。

4. 向量的基本运算法则教师示范简单的向量加、减、数乘和数量积的计算方法，引导学生进行独立练习，并针对学生经常出错的运算法则进行重点讲解。

5. 向量的线性方程组问题引导学生掌握向量的线性方程组的数学意义和解的方法，让学生通过实际问题进行解题实践，达到掌握的目的。

6. 平面向量的应用针对实际问题让学生进行平面向量的运用，并引导学生感受平面向量在几何问题中的应用。

教学方法采用讲述法、演示法、示范法、独立练习法、引导式教学法等多种教学方法，以培养学生的学习兴趣和独立思考能力。

教学评价通过课堂练习和教学评测，进行学生认识形式的反馈。

同时，教师也需要认真备课，制定细致的教学计划和教学目的，做到全方位培养学生对向量概念和运算方法的掌握。

教学反思本节课中，教师采用多种教学方法，可以让学生在学习中感受到探究的乐趣，并能够熟练掌握向量的坐标表示方法和运算法则。

本节课教学评价要求学生进行独立思考和探究，同时也要注意反馈学生的实际认知情况，做到因材施教。

平面向量的坐标运算教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 学生能够运用坐标进行向量的加法、减法、数乘和数量积运算。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的加法和减法运算3. 向量的数乘运算4. 向量的数量积运算5. 向量的坐标表示及其运算规律三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的加法、减法、数乘和数量积运算的坐标表示方法。

2. 教学难点：向量的坐标运算规律和实际应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算规律。

2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解。

3. 举实例进行分析，让学生在实际问题中掌握向量坐标运算的方法。

4. 练习题巩固所学知识，提高学生的应用能力。

五、教学过程1. 导入：回顾高中数学中关于向量的基本概念，引导学生进入新课。

2. 讲解向量的概念和表示方法，让学生理解向量的基本性质。

3. 讲解向量的加法和减法运算，引导学生掌握运算规律。

4. 讲解向量的数乘运算，让学生理解数乘对向量的影响。

5. 讲解向量的数量积运算，引导学生掌握数量积的计算方法。

6. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量运算。

7. 举例分析，让学生在实际问题中运用向量坐标运算方法。

8. 布置练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

9. 总结本节课的主要内容，强调向量坐标运算的规律。

10. 布置课后作业，让学生进一步巩固向量坐标运算的知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对向量坐标运算的理解程度。

2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对向量坐标运算的掌握情况。

3. 课后作业：收集学生作业，分析其对向量坐标运算的运用能力。

4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的表现。

七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏。

2. 针对学生的疑惑，进行解答和巩固。